高級(jí)高二上期第三學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.．考生必須保持答題卡的整潔.第I卷選擇題（分）85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用兩點(diǎn)求出直線斜率即可得解.【詳解】設(shè)傾斜角為，因?yàn)?，所以，又，所?故選：D2.樣本數(shù)據(jù)：，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位數(shù)是（）A.16B.19C.20D.22【答案】C【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解.【詳解】共有10個(gè)數(shù)，，故從小到大排列，選擇第7個(gè)數(shù)和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即20為第70百分位數(shù).故選：C.3.過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程是（）A.B.C.D.【答案】A第1頁(yè)/共17頁(yè)【解析】【分析】根據(jù)直線的截距式定義求解.【詳解】根據(jù)截距式方程得出過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程是.故選：A.4.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.且C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓且焦點(diǎn)在軸上，列出不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由題意.故選：C5.若點(diǎn)在圓：的外部，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接代入點(diǎn)坐標(biāo)并結(jié)合二元二次方程為圓的條件即可得到不等式組，解出即可.【詳解】由題意得，解得.故選：C.6.若方程表示圓，則的取值范圍是（）A.B.C.D.R【答案】D【解析】第2頁(yè)/共17頁(yè)【詳解】因?yàn)樵摲匠瘫硎緢A，所以，所以.故選：D7.若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2的最小值為（）A.B.C.2D.4【答案】C【解析】【分析】利用半徑、圓心到直線的距離、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，可得圓心到直線的距離為，若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則，整理得，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為2.故選：C.第3頁(yè)/共17頁(yè)，則的值為（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向基本定理可得，，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間向量，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】第4頁(yè)/共17頁(yè)ABC，根據(jù)夾角公式即可求解D.【詳解】A：，A錯(cuò)誤；B：由知，，解得，B正確；C：由知，，解得，C錯(cuò)誤；D：若，，則，D正確.故選：BD10.在正方體中，下列說(shuō)法正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.直線與底面所成的角為C.直線與垂直D.二面角大小為【答案】ACD【解析】AB垂直判斷C，根據(jù)二面角定義計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，連接，因?yàn)?，所以是平行四邊形，則是異面直線與所成的角，，是等邊三角形，異面直線與所成的角為，故A正確；第5頁(yè)/共17頁(yè)對(duì)于B，底面，直線與底面所成的角為，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，平面，平面，平面，，故C正確；對(duì)于D，平面，是二面角的平面角，二面角大小為，故D正確.故選：ACD.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，P為橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)為定值8B.當(dāng)為直角三角形時(shí)，C.當(dāng)直線PA，PB的斜率都存在時(shí)，其斜率之積為D.當(dāng)直線與的斜率之差為2時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】由題意，根據(jù)橢圓的定義即可判斷AP的坐標(biāo)，代入三角形面積公式中即可判斷B；設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式即可判斷C；將直線與的斜率之差表述出第6頁(yè)/共17頁(yè)來(lái)，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上，可得，代入三角形面積公式中即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)闄E圓，所以，，，即，，則四邊形的周長(zhǎng)為，正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，解得，取，則，錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)橹本€交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，，因?yàn)?，兩式相減并整理得，因?yàn)椋?，所以，正確；對(duì)于D：易知，，所以，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，解得，則，正確．第7頁(yè)/共17頁(yè)故選：ACD第卷非選擇題（分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.圓的半徑大小為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的半徑大小為.故答案為：.13.兩平行線，之間的距離為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】將直線方程化為，再根據(jù)兩平行線間的距離公式計(jì)算即可.【詳解】直線方程可化為，所以兩平行線，之間的距離為.故答案為：.14.三棱錐中，，，面面，，以的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的取值范圍是______.【答案】【解析】到求出點(diǎn)在平面上的射影到點(diǎn)距離的最大值和最小值，再根據(jù)勾股定理求出的最大值和最小值，得到答案.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連；由等腰三角形的性質(zhì)，，由已知平面第8頁(yè)/共17頁(yè)系：根據(jù)幾何關(guān)系，可求出坐標(biāo)：，，，，.不妨記旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)所在的平面為，由題目已知，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)在平面截以為圓心，為半徑的球所得到的圓上.記點(diǎn)在內(nèi)的射影為，到平面的距離為垂線段的長(zhǎng)度，記該距離為.由，可用坐標(biāo)法計(jì)算點(diǎn)到平面的距離為：，由勾股定理，由幾何關(guān)系，，可知當(dāng)最小時(shí)，最??；最大時(shí)，最大.在平面上的幾何關(guān)系如下圖：可得的最大值為，最小值為，的最大值為，最小值為.故答案為：點(diǎn)的范圍擴(kuò)大為以為圓心，半徑為的整個(gè)球面.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第9頁(yè)/共17頁(yè)15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）設(shè)為中點(diǎn)，求直線的方程；（2）求的面積．【答案】（1）（2）8【解析】1）先確定中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)確定直線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程.（2）法一：確定直線的方程及，利用點(diǎn)到直線的距離求三角形的高，再求三角形面積；法二：通過(guò)判斷直線與的關(guān)系，可得為直角三角形，利用直角三角形的面積的計(jì)算方法求三角形面積.法三：利用行列式的方法求三角形面積.【小問(wèn)1詳解】中點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以直線的斜率.所以直線的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】法一：因?yàn)?所以直線的方程為，即.所以點(diǎn)到直線的距離.因?yàn)?，所?法二：因?yàn)?，，所?所以.第10頁(yè)/共17頁(yè)因?yàn)椋?，所?法三：由題意：.16.是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者，我市為提高市民對(duì)文明城市建設(shè)的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50[50，60[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）若從成績(jī)位于區(qū)間[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分層隨機(jī)抽樣，抽取7份，再?gòu)倪@7份中隨機(jī)抽取兩份，求這兩份答卷的成績(jī)都落在[80，90）的概率；（3）已知落在平均成績(jī)是56，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?5，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差【答案】（1）（2）（3），【解析】1）根據(jù)頻率之和為1求的值.（2）根據(jù)分層抽樣的概念，古典概型概率公式求解即可.（3）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)與方差公式計(jì)算即可．第11頁(yè)/共17頁(yè)【小問(wèn)1詳解】由題意，解得：.【小問(wèn)2詳解】由題可知，成績(jī)?cè)趨^(qū)間的頻數(shù)為：；成績(jī)?cè)趨^(qū)間的頻數(shù)為：.利用分層抽樣，從中抽取7份，成績(jī)?cè)诘念l數(shù)為，成績(jī)?cè)诘念l數(shù)為.再?gòu)倪@7份答卷中隨機(jī)抽取兩份，這兩份答卷的成績(jī)都落在的概率為：.小問(wèn)3詳解】因?yàn)槁湓谂c的頻率比為，所以，．17.已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線與曲線交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】1）由橢圓的定義求解，（2）由點(diǎn)差法得直線斜率后求解，【小問(wèn)1詳解】由題可知，則由橢圓定義知的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，第12頁(yè)/共17頁(yè)∴，∴∴的軌跡方程為：【小問(wèn)2詳解】設(shè),∵都在橢圓上，∴，，相減可得，又中點(diǎn)為，∴，∴，即直線的斜率為，∴直線的方程為，即,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，滿足條件.故直線的方程為.18.橢圓過(guò)點(diǎn)且離心率為，的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，定點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】1）待定系數(shù)法求解出值，則橢圓的方程可知；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程得到縱坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，根據(jù)，代入韋達(dá)定理求解出參數(shù)值，則直線的方程可知.第13頁(yè)/共17頁(yè)由題意可知，解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率為時(shí)，顯然不符合題意；因?yàn)?，設(shè)，聯(lián)立，可得，則，，因?yàn)椋?，解得，所以直線的方程.19.的高為2，，，是上靠近①所示，將沿折起到的位置，使得，如圖②所示，點(diǎn)在棱上.第14頁(yè)/共17頁(yè)（2）若是的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若平面與平面所成的銳二面角為45°，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）（3）【解析】1）根據(jù)題意可知，進(jìn)而可得，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面的法向量，利用空間向量求線面夾角；（3）設(shè)，求平面的法向量，利用空間向量結(jié)合面面夾角運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】在圖①中，過(guò)作，垂足為，則，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，在圖②中，可得，又因?yàn)?，，平?/p>