4.5.2用二分法求方程的近似解——(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))課時(shí)目標(biāo)了解二分法的原理及其適用條件．掌握二分法的實(shí)施步驟.體會(huì)二分法中蘊(yùn)含的逐步逼近與程序化思想．CONTENTS目錄123課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通課時(shí)跟蹤檢測課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)1．二分法的概念條件(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[a，b]上__________．(2)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值滿足_____________方法不斷地把函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間_________，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步_________，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值連續(xù)不斷f(a)f(b)<0一分為二逼近零點(diǎn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟2．|微|點(diǎn)|助|解|(1)二分法的求解原理是函數(shù)零點(diǎn)存在定理．(2)二分法的基本思想：逼近思想和算法思想．(3)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)時(shí)適用，對函數(shù)的零點(diǎn)為不變號(hào)零點(diǎn)時(shí)不適用．如函數(shù)f(x)＝(x－1)2的零點(diǎn)就不能用二分法求解．(4)二分法就是將所給區(qū)間平均分成兩部分，通過不斷逼近的方法，找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)．基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．

(

)(2)函數(shù)f(x)＝|x|可以用二分法求零點(diǎn)．

(

)(3)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，每次等分區(qū)間后，零點(diǎn)必定在右側(cè)區(qū)間內(nèi)．

(

)(4)只有求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)才用到二分法．

(

)××××√3．下列圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是(

)√課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通題型(一)二分法概念的理解[例1]關(guān)于“二分法”求方程的近似解，下列說法正確的是(

)A．“二分法”求方程的近似解一定能得到y(tǒng)＝f(x)在[a，b]內(nèi)的所有零點(diǎn)B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y(tǒng)＝f(x)在[a，b]內(nèi)的零點(diǎn)C．應(yīng)用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]內(nèi)有可能無零點(diǎn)D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]內(nèi)的精確解解析：由二分法求解函數(shù)零點(diǎn)的過程可知，

選項(xiàng)D正確．√√√|思|維|建|模|運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷．(2)在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)．只有滿足上述兩個(gè)條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn)．針對訓(xùn)練1．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與可以用二分法求解的個(gè)數(shù)分別為(

)A．4,4

B．3,4C．5,4 D．4,3√解析：圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)的零點(diǎn)有3個(gè)，所以可以用二分法求解的個(gè)數(shù)為3.2．用“二分法”求f(x)＝x2－6的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間可取(

)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：因?yàn)閒(0)＝02－6＝－6，f(1)＝12－6＝－5，f(2)＝22－6＝－2，f(3)＝32－6＝3，f(4)＝42－6＝10，所以f(2)f(3)＜0.故零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi)．√題型(二)用二分法求方程的近似解(或函數(shù)零點(diǎn)的近似解)[例3]用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解(精確度0.1)．解：令f(x)＝2x3＋3x－3，經(jīng)計(jì)算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)f(1)<0，所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)．即方程2x3＋3x＝3在(0,1)內(nèi)有解．取(0,1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內(nèi)有解．如此繼續(xù)下去，得到方程的正實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作為方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解．[變式拓展]1．若本例中的“精確度0.1”換為“精確度0.05”結(jié)論又如何？解：在本例的基礎(chǔ)上，取區(qū)間(0.6875,0.75)的中點(diǎn)x＝0.71875，因?yàn)閒(0.71875)＜0，f(0.75)＞0且|0.71875－0.75|＝0.03125＜0.05，所以x＝0.75可作為方程的一個(gè)近似解．2．若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”換為“x2－2x＝1”其結(jié)論又如何呢？解：設(shè)f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在區(qū)間(2,3)內(nèi)，方程x2－2x－1＝0有一解，記為x0.取2與3的平均數(shù)2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2與2.5的平均數(shù)2.25，∵f(2.25)＝－0.4375<0，∴2.25<x0<2.5；如此繼續(xù)下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.4375)>0?x0∈(2.375,2.4375)．∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2－2x＝1的一個(gè)精確度為0.1的近似解可取為2.4375.|思|維|建|模|利用二分法求方程的近似解的步驟(1)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理確定方程的解所在的大致區(qū)間，通常取區(qū)間(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出滿足精確度的方程的解所在的區(qū)間M.(3)區(qū)間M內(nèi)的任一實(shí)數(shù)均是方程的近似解，通常取區(qū)間M的一個(gè)端點(diǎn)．題型(三)二分法的實(shí)際應(yīng)用[例4]在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘門到防洪指揮所的電話線路發(fā)生了故障，這是一條長為10km，大約有200根電線桿的線路.請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)能迅速查出故障所在的方案，并回答維修線路的工人師傅最多檢測幾次就能找出故障地點(diǎn)所在區(qū)域(精確到100m范圍內(nèi))．解：如圖，工人師傅首先從AB段的中點(diǎn)C檢測，用隨身帶的話機(jī)向兩端測試，發(fā)現(xiàn)AC段正常，可見故障在BC段；再從BC段的中點(diǎn)D檢測，發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段；再從CD段的中點(diǎn)E檢測；…；|思|維|建|模|二分法的思想在生活中應(yīng)用廣泛，不僅可以用于線路、水管、煤氣、管道故障的排查，還能用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢、資金分配等.針對訓(xùn)練課時(shí)跟蹤檢測134567891011121314152A級(jí)——達(dá)標(biāo)評(píng)價(jià)1．用二分法求函數(shù)f(x)＝x3＋5的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是(

)A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，∴可以取區(qū)間[－2,1]作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算．√1567891011121314152342．用二分法求如圖所示的函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是(

)A．x1 B．x2

C．x3 D．x4√156789101112131415234解析：能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須滿足在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)<0.而x3左右兩側(cè)的函數(shù)值都小于零，不滿足區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)相異的條件．1567891011121314153423．(多選)下列函數(shù)中，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的有(

)A．f(x)＝5x＋2 B．f(x)＝log5xC．f(x)＝x2＋2x＋1 D．f(x)＝3x－2√√√156789101112131415342

156789101112131415342√解析：A、B、C項(xiàng)均可用解方程求其根，D項(xiàng)不能用解方程求其根，只能用二分法求其零點(diǎn)．

1567891011121314153425．在用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，則函數(shù)的一個(gè)精確到0.1的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為(

)A．0.68 B．0.72C．0.7 D．0.6√156789101112131415342解析：已知f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，所以零點(diǎn)在區(qū)間[0.68,0.72]上，且該區(qū)間的左、右端點(diǎn)精確到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值．故選C.1567891011121314153426．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間(2,4)上的實(shí)數(shù)根時(shí)，取中點(diǎn)x1＝3，則下一個(gè)有根區(qū)間是________．解析：設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，∴下一個(gè)有根區(qū)間是(2,3)．(2,3)1567891011121314153427．已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0,0.1)上有唯一零點(diǎn)，如果用“二分法”求這個(gè)零點(diǎn)(精確度為0.01，取端點(diǎn)值為近似解)的近似值，那么應(yīng)將區(qū)間(0,0.1)等分的次數(shù)至少為________．41567891011121314153428．函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則a，b的關(guān)系是__________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2＋ax＋b有零點(diǎn)，但不能用二分法，所以函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖象與x軸相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.a2＝4b1567891011121314153429．(8分)證明函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，并求出這個(gè)零點(diǎn)(精確度為0.1)．解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函數(shù)f(x)是連續(xù)的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為x0，則x0∈(1,2)．156789101112131415342下面用二分法求解：區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值(1,2)1.51.328(1,1.5)1.250.128(1,1.25)1.125－0.444(1.125,1.25)1.1875－0.160因?yàn)閒(1.1875)f(1.25)＜0，且|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6精確度為0.1的零點(diǎn)可取為1.25.15678910111213141534210．(8分)已知A地到B地的電話線路發(fā)生故障(假設(shè)線路只有一處發(fā)生故障)，這是一條10km長的線路，每隔50m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？(精確到50m)156789101112131415342解：如圖所示，可首先從中點(diǎn)C開始檢查，若AC段正常，則故障在BC段；再到BC段中點(diǎn)D檢查，若CD段正常，則故障在BD段；再到BD段中點(diǎn)E檢查，…，每檢查一次就可以將待查的線路長度縮短一半．經(jīng)過8次查找，可將故障范圍縮小到50m之內(nèi)，即可迅速找到故障所在．156789101112131415342B級(jí)——重點(diǎn)培優(yōu)√156789101112131415342156789101112131415342√15678910111213141534215678910111213141