數(shù)學(xué)平面向量多選題專項訓(xùn)練(講義及答案)附解析一、平面向量多選題1．題目文件丟失！2．下列說法中錯誤的為（）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．若，則在方向上的投影為D．非零向量和滿足，則與的夾角為60°答案：ACD【分析】由向量的數(shù)量積?向量的投影?基本定理與向量的夾角等基本知識，逐個判斷即可求解.【詳解】對于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且(時與的夾角為0)，所以且，故A錯誤；對于B解析：ACD【分析】由向量的數(shù)量積?向量的投影?基本定理與向量的夾角等基本知識，逐個判斷即可求解.【詳解】對于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且(時與的夾角為0)，所以且，故A錯誤；對于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B正確；對于C，若，則在方向上的正射影的數(shù)量為，故C錯誤；對于D，因為，兩邊平方得，則，，故，而向量的夾角范圍為，得與的夾角為30°，故D項錯誤.故錯誤的選項為ACD故選：ACD【點睛】本題考查平面向量基本定理及向量的數(shù)量積，向量的夾角等知識，對知識廣度及準(zhǔn)確度要求比較高，中檔題.3．在中,內(nèi)角的對邊分別為若,則角的大小是()A． B． C． D．答案：BD【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.【詳解】由正弦定理可得,,而,,,故或.故選:BD.【點睛】本題考查了根據(jù)正弦定理求解三角形內(nèi)角,解題關(guān)鍵是掌握解析：BD【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.【詳解】由正弦定理可得,,而,,,故或.故選:BD.【點睛】本題考查了根據(jù)正弦定理求解三角形內(nèi)角,解題關(guān)鍵是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判斷,考查了分析能力和計算能力,屬于中等題.4．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，下列說法正確的有（）A． B．若，則C．若，則 D．答案：ACD【分析】根據(jù)正弦定理的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A，在，由正弦定理得，則，故A正確；對于B，若，則或，所以和不一定相等，故B錯誤；對于C，若，由正弦定理知，由于三角形中，大邊對大角解析：ACD【分析】根據(jù)正弦定理的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A，在，由正弦定理得，則，故A正確；對于B，若，則或，所以和不一定相等，故B錯誤；對于C，若，由正弦定理知，由于三角形中，大邊對大角，所以，故C正確；對于D，由正弦定理得，則，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．在RtABC中，BD為斜邊AC上的高，下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．答案：AD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積關(guān)系判斷各個選項的正誤.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，,故C錯誤；對于D，,,故D正確.故選：AD.【點睛】本題考查三角形解析：AD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積關(guān)系判斷各個選項的正誤.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，,故C錯誤；對于D，,,故D正確.故選：AD.【點睛】本題考查三角形中的向量的數(shù)量積問題，屬于基礎(chǔ)題.6．在中，角，，所對各邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．答案：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正確選項.【詳解】解：根據(jù)正弦定理得：，由于，所以或.故選：BC.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，是基礎(chǔ)題.解析：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正確選項.【詳解】解：根據(jù)正弦定理得：，由于，所以或.故選：BC.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，是基礎(chǔ)題.7．下列各組向量中，不能作為基底的是（）A．， B．，C．， D．，答案：ACD【分析】依次判斷各選項中的兩向量是否共線即可.【詳解】A，C，D中向量與共線，不能作為基底；B中，不共線，所以可作為一組基底．【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理及基底的定義，屬解析：ACD【分析】依次判斷各選項中的兩向量是否共線即可.【詳解】A，C，D中向量與共線，不能作為基底；B中，不共線，所以可作為一組基底．【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理及基底的定義，屬于基礎(chǔ)題.8．有下列說法，其中錯誤的說法為（）．A．若∥，∥，則∥B．若，則是三角形的垂心C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向D．若∥，則存在唯一實數(shù)使得答案：AD【分析】分別對所給選項進行逐一判斷即可.【詳解】對于選項A，當(dāng)時，與不一定共線，故A錯誤；對于選項B，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B正確；對于選項C，兩個非零向量解析：AD【分析】分別對所給選項進行逐一判斷即可.【詳解】對于選項A，當(dāng)時，與不一定共線，故A錯誤；對于選項B，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B正確；對于選項C，兩個非零向量，，若，則與共線且反向，故C正確；對于選項D，當(dāng)，時，顯然有∥，但此時不存在，故D錯誤.故選：AD【點睛】本題考查與向量有關(guān)的命題的真假的判斷，考查學(xué)生對基本概念、定理的掌握，是一道容易題.9．在下列結(jié)論中，正確的有（）A．若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合 B．平行向量又稱為共線向量C．兩個相等向量的模相等 D．兩個相反向量的模相等答案：BCD【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.若兩個向量相等，它們的起點和終點不一定不重合，故錯誤；B.平行向量又稱為共線向量，根據(jù)平行向量定義知正確解析：BCD【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.若兩個向量相等，它們的起點和終點不一定不重合，故錯誤；B.平行向量又稱為共線向量，根據(jù)平行向量定義知正確；C.相等向量方向相同，模相等，正確；D.相反向量方向相反，模相等，故正確；故選：【點睛】本題考查了向量的定義和性質(zhì)，屬于簡單題.10．已知正三角形的邊長為2，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．答案：CD【分析】分析知，，與的夾角是，進而對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】分析知，，與的夾角是.由，故B錯誤，D正確；由，所以，故A錯誤；由，所以，故C正確.故選：CD【點睛】解析：CD【分析】分析知，，與的夾角是，進而對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】分析知，，與的夾角是.由，故B錯誤，D正確；由，所以，故A錯誤；由，所以，故C正確.故選：CD【點睛】本題考查正三角形的性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.11．已知實數(shù)m，n和向量，，下列說法中正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則答案：ABD【分析】根據(jù)向量數(shù)乘運算判斷AB選項的正確性，通過的特殊情況判斷C選項的正確性，根據(jù)向量運算判斷D選項的正確性.【詳解】根據(jù)向量數(shù)乘的運算可知A和B正確；C中，當(dāng)時，，但與不一定相等，解析：ABD【分析】根據(jù)向量數(shù)乘運算判斷AB選項的正確性，通過的特殊情況判斷C選項的正確性，根據(jù)向量運算判斷D選項的正確性.【詳解】根據(jù)向量數(shù)乘的運算可知A和B正確；C中，當(dāng)時，，但與不一定相等，故C不正確；D中，由，得，因為，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】本小題主要考查向量數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題.12．對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若，，，則符合條件的有兩個D．若，則是鈍角三角形答案：BD【分析】對于A，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行判斷；對于B，根據(jù)正弦定理即可判斷證明；對于C，利用余弦定理即可得解；對于D，根據(jù)正弦定理去判斷即可．【詳解】在中，對于A，若，則或，當(dāng)A＝解析：BD【分析】對于A，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行判斷；對于B，根據(jù)正弦定理即可判斷證明；對于C，利用余弦定理即可得解；對于D，根據(jù)正弦定理去判斷即可．【詳解】在中，對于A，若，則或，當(dāng)A＝B時，△ABC為等腰三角形；當(dāng)時，△ABC為直角三角形，故A不正確，對于B，若，則，由正弦定理得，即成立．故B正確；對于C，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C錯誤；對于D，若，由正弦定理得，∴，∴C為鈍角，∴是鈍角三角形，故D正確；綜上，正確的判斷為選項B和D．故選：BD．【點睛】本題只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的二倍角公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．13．已知中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足,則()A．2 B．3 C． D．答案：AC【分析】將兩邊同時平方，可得一個關(guān)系式，再結(jié)合余弦定理可得結(jié)果.【詳解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，聯(lián)立①②，可得，即，解得或.故選：AC.【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)解析：AC【分析】將兩邊同時平方，可得一個關(guān)系式，再結(jié)合余弦定理可得結(jié)果.【詳解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，聯(lián)立①②，可得，即，解得或.故選：AC.【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，是基礎(chǔ)題.14．下列命題中正確的是()A．單位向量的模都相等B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C．若與滿足，且與同向,則D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同答案：AD【分析】利用向量的基本概念，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】單位向量的模均為1，故A正確；向量共線包括同向和反向，故B不正確；向量是矢量，不能比較大小，故C不正確；根據(jù)解析：AD【分析】利用向量的基本概念，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】單位向量的模均為1，故A正確；向量共線包括同向和反向，故B不正確；向量是矢量，不能比較大小，故C不正確；根據(jù)相等向量的概念知，D正確.故選：AD【點睛】本題考查單位向量的定義、考查共線向量的定義、向量是矢量不能比較大小，屬于基礎(chǔ)題．15．化簡以下各式,結(jié)果為的有()A． B．C． D．答案：ABCD【分析】根據(jù)向量的線性運算逐個選項求解即可.【詳解】;;;.故選：ABCD【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,屬于基礎(chǔ)題型.解析：ABCD【分析】根據(jù)向量的線性運算逐個選項求解即可.【詳解】;;;.故選：ABCD【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,屬于基礎(chǔ)題型.二、平面向量及其應(yīng)用選擇題16．中，，，分別為，，的對邊，如果，，成等差數(shù)列，，的面積為，那么等于（）A． B． C． D．解析：B【分析】由題意可得，平方后整理得，利用三角形面積可求得的值，代入余弦定理可求得b的值.【詳解】解：∵，，成等差數(shù)列，∴，平方得，又的面積為，且，由，解得，代入式可得，由余弦定理得，，解得，∴.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三角形的面積公式，涉及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.17．如圖，在直角梯形中，，為邊上一點，，為的中點，則＝（）A． B．C． D．解析：C【分析】根據(jù)平面向量的三角形法則和共線定理即可得答案.【詳解】解：故選：C.【點睛】本題考查用基底表示向量，向量的線性運算，是中檔題.18．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點，，，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則必有（）A．B．C．D．解析：C【分析】利用已知條件得到為垂心，再根據(jù)四邊形內(nèi)角為及對頂角相等，得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義、投影的定義、比例關(guān)系得到，進而求出的值，最后再結(jié)合“奔馳定理”得到答案.【詳解】如圖，因為，所以，同理，，所以為的垂心。因為四邊形的對角互補，所以，．同理，，，．，．又．由奔馳定理得.故選C．【點睛】本題考查平面向量新定義，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解過程中要注意連比式子的變形運用，屬于難題.19．在中，下列命題正確的個數(shù)是（）①；②；③點為的內(nèi)心，且，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4解析：B【解析】【分析】利用向量的定義和運算法則逐一考查所給的命題是否正確即可得到正確命題的個數(shù).【詳解】逐一考查所給的命題：①由向量的減法法則可知：，題中的說法錯誤；②由向量加法的三角形法則可得：，題中的說法正確；③因為，即；又因為，所以，即，所以△ABC是等腰三角形.題中的說法正確；④若，則，據(jù)此可知為銳角，無法確定為銳角三角形，題中的說法錯誤．綜上可得，正確的命題個數(shù)為2.故選：B.【點睛】本題主要考查平面向量的加法法則、減法法則、平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，由平面向量確定三角形形狀的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20．在中，，，，則（）A． B． C． D．解析：A【分析】根據(jù)面積公式得到，再利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案.【詳解】利用余弦定理得到：正弦定理：故故選【點睛】本題考查了面積公式，正弦定理，余弦定理，綜合性強，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.21．已知菱形ABCD邊長為2，∠B＝，點P滿足＝λ，λ∈R，若·＝－3，則λ的值為()A． B．－ C． D．－解析：A【分析】根據(jù)向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積的運算公式，建立方程即可得到結(jié)論．【詳解】法一：由題意可得·＝2×2cos＝2，·＝(＋)·(－)＝(＋)·[(－)－]＝(＋)·[(λ－1)·－]＝(1－λ)2－·＋(1－λ)··－2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故選A.法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.∵＝λ，∴λ＝.故選A.【點睛】1.已知向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解．設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.2.通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計算.22．三角形的三邊分別是，若，，且，則有如下四個結(jié)論：①②的面積為③的周長為④外接圓半徑這四個結(jié)論中一定成立的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：C【分析】由正弦定理可得三角形的外接圓的半徑；由三角函數(shù)的恒等變換化簡或，即；分別討論，結(jié)合余弦定理和三角形面積公式，計算可得所求值，從而可得結(jié)論．【詳解】，，可得，可得外接圓半徑，④正確；，即為，即有，則，即或，即；若，，，可得，①可能成立；由可得，，則三角形的周長為；面積為；則②③成立；若，由，可得，，則三角形的周長為；面積為；則②③成立①不成立；綜上可得②③④一定成立,故選C．【點睛】本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式，考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.23．在矩形中，，點在邊上，若，則的值為（）A．0 B． C．-4 D．4解析：C【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，求出B,E,F坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得結(jié)果.【詳解】如圖所示，．以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，為軸，為軸，則，因此，故選C.【點睛】平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進行化簡.24．在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍為A． B．C． D．解析：A【分析】先化簡已知得，再化簡，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求其范圍.【詳解】由可得，即，所以，所以，，所以，又，，所以，所以，所以，故的取值范圍為．故選A．【點睛】(1)本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函數(shù)的思想研究數(shù)學(xué)問題，一定要注意“定義域優(yōu)先”的原則，所以本題一定要準(zhǔn)確計算出A的范圍，不是.25．在△中，M為BC上一點，，則△的面積的最大值為（）A． B． C．12 D．解析：A【分析】由已知條件，令，，則在△中結(jié)合余弦定理可知，根據(jù)三角形面積公式即可求最大值【詳解】由題意，可得如下示意圖令，，又，即有∴由余弦定理知：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立∴有∴故選：A【點睛】本題考查了正余弦定理，利用向量的知識判斷線段的長度及比例關(guān)系，再由余弦定理并應(yīng)用基本不等式求三角形兩邊之積的范圍，進而結(jié)合三角形面積公式求最值26．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設(shè)點，分別是△的外心、垂心，且為中點，則（）A． B．C． D．解析：D【分析】構(gòu)造符合題意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的線性運算法則進行計算即可得解．【詳解】解：如圖所示的，其中角為直角，則垂心與重合，為的外心，，即為斜邊的中點，又為中點，，為中點，．故選：．【點睛】本題考查平面向量的線性運算，以及三角形的三心問題，同時考查學(xué)生分析問題的能力和推理論證能力．27．如圖，測量河對岸的塔高時，選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D.現(xiàn)測得，，，并在點C測得塔頂A的仰角為，則塔高為()A． B． C．60m D．20m解析：D【分析】由正弦定理確定的長，再求出．【詳解】，由正弦定理得：故選D【點睛】本題是正弦定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是利用正弦定理求出，屬于基礎(chǔ)題．28．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.若，的面積為，則（）A．5 B． C．4 D．16解析：C【分析】根據(jù)正弦定理邊化角以