數(shù)列的概念選擇題專項訓練單元達標提優(yōu)專項訓練試題一、數(shù)列的概念選擇題1．數(shù)列成為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前兩相鄰兩項之和，記該數(shù)的前項和為，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．答案：B解析：B【分析】利用迭代法可得，可得，代入即可求解.【詳解】由題意可得該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前兩相鄰兩項之和，則，所以，令，可得，故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是理解數(shù)列新定義的含義得出，利用迭代法得出，進而得出.2．數(shù)列，…的通項公式可能是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根據(jù)觀察法，即可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】因為數(shù)列可寫成，所以其通項公式為.故選：D.3．在數(shù)列中，，則（）A．是常數(shù)列 B．不是單調數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是遞減數(shù)列答案：D解析：D【分析】由，利用反比例函數(shù)的性質判斷即可.【詳解】在數(shù)列中，，由反比例函數(shù)的性質得：是時單調遞減數(shù)列，故選：D4．已知數(shù)列則該數(shù)列中最小項的序號是（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A解析：A【分析】首先將化簡為，即可得到答案?！驹斀狻恳驗楫敃r，取得最小值。故選：A5．設數(shù)列滿足若，則（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由題意有且，即可求，進而可得，即可比較它們的大小.【詳解】由題意知：，，∴，而，∴，故選：C【點睛】本題考查了根據(jù)數(shù)列間的遞推關系比較項的大小，屬于簡單題.6．若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)T，對于任意正整數(shù)都有成立，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，周期為T．已知數(shù)列滿足，則下列結論錯誤的是（）A．若，則可以取3個不同的數(shù)；B．若，則數(shù)列是周期為3的數(shù)列；C．存在，且，數(shù)列是周期數(shù)列；D．對任意且，存在，使得是周期為的數(shù)列．答案：C解析：C【解析】試題分析：A:當時，由得時，由得；時，得；正確.B:所以，正確．C：命題較難證明，先考察命題D．D：命題的否定為“對任意的，且，不存在，使得是周期為的數(shù)列”，而由B顯然這個命題是錯誤的，因此D正確，從而只有C是錯誤．考點：命題的真假判斷與應用．【名師點睛】本題主要考查周期數(shù)列的推導和應用，考查學生的推理能力．此題首先要理解新定義“周期為T的數(shù)列”，然后對A、B、C、D四個命題一一驗證，A、B兩個命題按照數(shù)列的遞推公式進行計算即可，命題C較難證明，但出現(xiàn)在選擇題中，考慮到數(shù)學選擇題中必有一個選項正確，因此我們先研究D命題，并且在命題D本身也很難的情況下，采取“正難則反”的方法，考慮命題D的否定，命題D的否定由命題B很容易得出是錯誤的，從而命題D是正確的．7．已知數(shù)列的通項公式為（），若為單調遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由已知得，根據(jù)為遞增數(shù)列，所以有，建立關于的不等式，解之可得的取值范圍.【詳解】由已知得，因為為遞增數(shù)列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列的函數(shù)性質：遞增性，根據(jù)已知得出是解決此類問題的關鍵，屬于基礎題.8．數(shù)列的一個通項公式為（）A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】分別觀察各項的符號、絕對值即可得出．【詳解】數(shù)列1，-3，5，-7，9，…的一個通項公式．故選C．【點睛】本題考查了球數(shù)列的通項公式的方法，屬于基礎題．9．數(shù)列的前項和記為，，，，則（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019答案：A解析：A【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前8項，分析可得數(shù)列是周期為6的數(shù)列，且，進而可得，計算即可得答案．【詳解】解：因為，，，則，，，，，，…，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期為6，因為，所以．故選：A．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應用，關鍵是分析數(shù)列各項變化的規(guī)律，屬于基礎題．10．刪去正整數(shù)1，2，3，4，5，…中的所有完全平方數(shù)與立方數(shù)（如4，8），得到一個新數(shù)列，則這個數(shù)列的第2020項是（）A．2072 B．2073 C．2074 D．2075答案：C解析：C【分析】由于數(shù)列共有項，其中有個平方數(shù)，12個立方數(shù)，有3個既是平方數(shù)，又是立方數(shù)的數(shù)，所以還剩余項，所以去掉平方數(shù)和立方數(shù)后，第項是在后的第個數(shù)，從而求得結果.【詳解】∵，，，所以從數(shù)列中去掉個平方數(shù)，因為，所以從數(shù)列中去掉個立方數(shù)，又，所以在從數(shù)列中有3個數(shù)即是平方數(shù)，又是立方數(shù)的數(shù)，重復去掉了3個即是平方數(shù)，又是立方數(shù)的數(shù)，所以從數(shù)列中去掉平方數(shù)和立方數(shù)后還有項，此時距項還差項，所以這個數(shù)列的第2020項是，故選：C.【點睛】本題考查學生的實踐創(chuàng)新能力，解決該題的關鍵是找出第項的大概位置，所以只要弄明白在數(shù)列去掉哪些項，去掉多少項，問題便迎刃而解，屬于中檔題.11．已知數(shù)列滿足，且對任意的都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列是增數(shù)列，結合通項公式，列出不等式組求解，即可得出結果.【詳解】因為對任意的都有，則數(shù)列單調遞增；又，所以只需，即，解得.故選：D.【點睛】本題主要考查由數(shù)列的單調性求參數(shù)，屬于基礎題型.12．已知數(shù)列，若，則稱數(shù)列為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列為“凸數(shù)列”，且，，則數(shù)列的前2020項和為（）A．5 B． C．0 D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關系可求得數(shù)的周期為，即可求得數(shù)列的前2020項和.【詳解】，且，，是以為周期的周期數(shù)列，且，，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義、數(shù)列求和，考查運算求解能力，求解時注意通過計算數(shù)列的前6項，得到數(shù)列的周期.13．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由題意可得，，，……，再將這2019個式子相加得到結論.【詳解】由題意可知，，，……，這個式子相加可得.故選：B.【點睛】本題考查累加法，重點考查計算能力，屬于基礎題型.14．數(shù)列的通項公式是，（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】令代入即解【詳解】令，故選：B.【點睛】數(shù)列通項公式是第項與序號之間的函數(shù)關系，求某項值代入求解.15．已知數(shù)列滿足:，，設數(shù)列的前項和為，則（）A．1007 B．1008 C．1009.5 D．1010答案：D解析：D【分析】根據(jù)題設條件，可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，且，從而求得的值，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列滿足:，，可得，可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，且所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應用，其中解答中得出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.二、數(shù)列多選題16．設數(shù)列滿足，對任意的恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．答案：ABD【分析】構造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性，利用單調性即可求解.【詳解】由，設，則，所以當時，，即在上為單調遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調遞增函數(shù)，即，即，所以，解析：ABD【分析】構造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性，利用單調性即可求解.【詳解】由，設，則，所以當時，，即在上為單調遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調遞增函數(shù)，即，即，所以，即，所以，，故A正確；C不正確；由在上為單調遞增函數(shù)，，所以是遞增數(shù)列，故B正確；,所以因此，故D正確故選：ABD【點睛】本題考查了數(shù)列性質的綜合應用，屬于難題.17．(多選)在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．是等方差數(shù)列.D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列答案：BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結合特殊反例對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故解析：BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結合特殊反例對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對于C，數(shù)列中，不是常數(shù)，不是等方差數(shù)列，故C錯誤；對于D，是等差數(shù)列，，則設，是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BD.【點睛】關鍵點睛：本題考查了數(shù)列的新定義問題和等差數(shù)列的定義，解題的關鍵是正確理解等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，利用定義進行判斷.18．記為等差數(shù)列前項和，若且，則下列關于數(shù)列的描述正確的是（）A． B．數(shù)列中最大值的項是C．公差 D．數(shù)列也是等差數(shù)列答案：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關系式，然后結合等差數(shù)列的有關知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項，，所以A選項正確.對于C選項，，，所以，解析：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關系式，然后結合等差數(shù)列的有關知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項，，所以A選項正確.對于C選項，，，所以，所以C選項錯誤.對于B選項，，令得，由于是正整數(shù)，所以，所以數(shù)列中最大值的項是，所以B選項正確.對于D選項，由上述分析可知，時，，當時，，且.所以數(shù)列的前項遞減，第項后面遞增，不是等差數(shù)列，所以D選項錯誤.故選：AB【點睛】等差數(shù)列有關知識的題目，主要把握住基本元的思想.要求等差數(shù)列前項和的最值，可以令或來求解.19．記為等差數(shù)列的前n項和.已知，則（）A． B． C． D．答案：AD【分析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知得，進而得，故，.【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，因為所以根據(jù)等差數(shù)列前項和公式和通項公式得：，解方程組得：，所以，.故選：AD.解析：AD【分析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知得，進而得，故，.【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，因為所以根據(jù)等差數(shù)列前項和公式和通項公式得：，解方程組得：，所以，.故選：AD.20．設是等差數(shù)列，是其前項的和，且，，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．與均為的最大值答案：BD【分析】設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A錯誤；而C選項，，即，可得，解析：BD【分析】設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A錯誤；而C選項，，即，可得，又由且，則，必有，顯然C選項是錯誤的.∵，，∴與均為的最大值，故D正確；故選：BD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列以及前項和的性質，需熟記公式，屬于基礎題.21．設是等差數(shù)列，是其前項和，且，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．的最大值答案：ABD【分析】由，判斷，再依次判斷選項.【詳解】因為，，，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故，AB正確；，所以，故C不正確；由以上可知數(shù)列是單調遞減數(shù)列，因為可知，的最大值，故D正確.故選：AB解析：ABD【分析】由，判斷，再依次判斷選項.【詳解】因為，，，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故，AB正確；，所以，故C不正確；由以上可知數(shù)列是單調遞減數(shù)列，因為可知，的最大值，故D正確.故選：ABD【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和的最值，重點考查等差數(shù)列的性質，屬于基礎題型.22．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法正確的是（）A．（d為常數(shù)） B．數(shù)列是等差數(shù)列C．數(shù)列是等差數(shù)列 D．是與的等差中項答案：ABD【分析】由等差數(shù)列的性質直接判斷AD選項，根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項.【詳解】A.因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)解析：ABD【分析】由等差數(shù)列的性質直接判斷AD選項，根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項.【詳解】A.因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；C.，不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；D.根據(jù)等差數(shù)列的性質可知，所以是與的等差中項，故D正確.故選：ABD【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質與判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，屬于基礎題型.23．等差數(shù)列的首項，設其前項和為，且，則（）A． B． C． D．的最大值是或者答案：BD【分析】由，即，進而可得答案．【詳解】解：，因為所以，，最大，故選：．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質，解題關鍵是等差數(shù)列性質的應用，屬于中檔題．解析：BD【分析】由，即，進而可得答案．【詳解】解：，因為所以，，最大，故選：．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質，解題關鍵是等差數(shù)列性質的應用，屬于中檔題．24．設等差數(shù)列的前項和為，公差為.已知，，則（）A． B．數(shù)列是遞增數(shù)列C．時，的最小值為13 D．數(shù)列中最小項為第7項答案：ACD【分析】由已知得，又，所以，可判斷A；由已知得出，且，得出時，，時，，又，可得出在上單調遞增，在上單調遞增，可判斷B；由，可判斷C；判斷，的符號，的單調性可判斷D；【詳