（2026年新教材）人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)教學(xué)課件2026年新版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)（人教版）教材變化一、核心結(jié)構(gòu)與章節(jié)調(diào)整內(nèi)容重組：二次根式由九上移至八下；一次函數(shù)由八上移至八下；反比例函數(shù)移至九下；分式調(diào)整至八上。章題優(yōu)化：“四邊形”改為平行四邊形，刪去梯形內(nèi)容，聚焦核心圖形。欄目升級(jí)：每節(jié)新增引言；章引言與小結(jié)優(yōu)化；新增溯源、圖說(shuō)數(shù)學(xué)史欄目，強(qiáng)化問(wèn)題驅(qū)動(dòng)與文化滲透。二、內(nèi)容與表述優(yōu)化二次根式：根號(hào)下含字母的化簡(jiǎn)與運(yùn)算標(biāo)注為選學(xué)；只要求理解加減乘除法則，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單四則運(yùn)算（根號(hào)下僅限數(shù)）。勾股定理：突出面積法證明；新增數(shù)學(xué)活動(dòng)，用勾股定理證明“HL”判定；加強(qiáng)知識(shí)總結(jié)與實(shí)踐應(yīng)用。平行四邊形：突出邏輯推理，部分結(jié)論從逆命題角度推導(dǎo)，減少實(shí)驗(yàn)操作；強(qiáng)化定義—性質(zhì)—判定的研究路徑。一次函數(shù)：強(qiáng)化“變化與對(duì)應(yīng)”思想；情境貼近生活，新增多選題與探究題，分層更清晰。數(shù)據(jù)的分析：新增趨勢(shì)分析，完善統(tǒng)計(jì)知識(shí)體系，例習(xí)題更新超60%，情境更真實(shí)。三、綜合實(shí)踐與活動(dòng)升級(jí)新增2個(gè)綜合與實(shí)踐：《基于一次函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題》《利用平行四邊形性質(zhì)設(shè)計(jì)圖案》，強(qiáng)調(diào)建模與跨學(xué)科應(yīng)用。數(shù)學(xué)活動(dòng)更新：每章2個(gè)共10個(gè)，6個(gè)換新，突出探究與動(dòng)手操作，如勾股定理的拓展證明。20.2勾股定理的逆定理及其應(yīng)用第二十章勾股定理逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2勾股定理的逆定理勾股數(shù)知1－講知識(shí)點(diǎn)勾股定理的逆定理11.勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c

滿足

a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟(1)找：找出三角形三邊中的最長(zhǎng)邊；(2)算：計(jì)算其他兩邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方；(3)判：若兩者相等，則這個(gè)三角形是直角三角形，否則不是.知1－講3.勾股定理與其逆定理的關(guān)系勾股定理勾股定理的逆定理?xiàng)l件在Rt△ABC

中，∠A，∠B，∠C

的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠C＝90°在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a2＋b2＝c2結(jié)論a2＋b2＝c2△ABC

為直角三角形，且∠C＝90°知1－講續(xù)表勾股定理勾股定理的逆定理關(guān)系知1－講特別提醒1.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一個(gè)依據(jù)，在判定時(shí)不能說(shuō)“在直角三角形中”“直角邊”“斜邊”，因?yàn)檫€沒(méi)有確定是直角三角形.2.a2＋b2＝c2只是一種表現(xiàn)形式，滿足a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2的也是直角三角形，只是這時(shí)a或b為斜邊長(zhǎng).知1－練

例1知1－練解題秘方：直角三角形的判定方法(1)用角判定：①(定義法)有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形；②(判定定理)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；(2)用邊判定：勾股定理的逆定理.

知1－練已知比例式，設(shè)參數(shù)，表示邊長(zhǎng)知1－練知識(shí)拓展設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c(c為最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)).(1)如果a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；(2)如果a2＋b2＜c2，那么這個(gè)三角形是鈍角三角形；(3)如果a2＋b2＞c2，那么這個(gè)三角形是銳角三角形.知1－練1－1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是()A.∠B＝∠C－

∠AB.a2＝(b＋c)(b－c)C.∠A∶∠B∶∠C

＝5∶4∶3D.a∶b∶c＝5∶4∶3C知1－練學(xué)校內(nèi)有一塊如圖20.2－1所示的三角形空地，計(jì)劃開辟為生物園，測(cè)得AC＝10m，BC＝24m，AB＝26m.如果沿CD修一條水渠且D點(diǎn)在AB邊上，水渠的造價(jià)為130元/m，當(dāng)水渠的造價(jià)最低時(shí)，CD的長(zhǎng)為多少米？最低造價(jià)是多少元？例2知1－練解題秘方：當(dāng)CD⊥AB時(shí)，水渠的造價(jià)最低.由勾股定理的逆定理推知∠ACB＝90°，所以結(jié)合面積法來(lái)求CD的長(zhǎng)度，然后求其造價(jià)即可.

知1－練知1－練2－1.如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12nmile和16nmile，1h后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20nmile.如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿_________方向航行.北偏東50°知2－講知識(shí)點(diǎn)勾股數(shù)21.勾股數(shù)定義能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)意義某些三角形能根據(jù)勾股數(shù)快速判斷是否為直角三角形常見(jiàn)勾股數(shù)常見(jiàn)的勾股數(shù)有3，4，5(這是最著名的一組，俗稱“勾三股四弦五”)；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等.勾股數(shù)有無(wú)數(shù)組知2－講注意以勾股數(shù)為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，但是能構(gòu)成直角三角形的三條邊的數(shù)不一定是勾股數(shù).知2－講

不是正整數(shù)知2－講拓寬視野1.畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的勾股數(shù)組：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1(n為正整數(shù)).當(dāng)n＝2時(shí)，可以得到一組勾股數(shù)5，12，13.2.柏拉圖發(fā)現(xiàn)的勾股數(shù)組：2m，m2－1，m2＋1(m>1且m是正整數(shù)).當(dāng)m＝4時(shí)，可以得到一組勾股數(shù)8，15，17.知2－練給出下列數(shù)組：①5，13，12；②2，3，4；③2.5，6，6.5；④32，42，52.其中勾股數(shù)的組數(shù)是()A.4 B.3 C.2 D.1例3知2－練思路導(dǎo)引：知2－練解：序號(hào)分析判斷①因?yàn)?2＋122＝132，且5，12，13均是正整數(shù)，所以5，12，13是一組勾股數(shù)是②因?yàn)?2＋32≠42，所以2，3，4不是一組勾股數(shù)不是知2－練答案：D序號(hào)分析判斷③因?yàn)?.5，6，6.5不都是正整數(shù)，所以2.5，6，6.5不是一組勾股數(shù)不是④因?yàn)?2＝9，42＝16，52＝25，92＋162≠252，所以32，42，52

不是一組勾股數(shù)不是知2－練

B勾股定理的逆定理及其應(yīng)用勾股定理的逆定理作用勾股數(shù)判定直角勾股定理由數(shù)到形由形到數(shù)題型利用勾股定理及其逆定理解決邊角問(wèn)題1如圖20.2－2，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC邊上的中線AD＝6.求BC

的長(zhǎng).類型1求線段的長(zhǎng)例4思路引導(dǎo)：

方法總結(jié)倍長(zhǎng)中線法：當(dāng)出現(xiàn)三角形的中線時(shí)，一般要延長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)的部分與中線等長(zhǎng)(倍長(zhǎng)中線法)，構(gòu)造全等三角形，把已知條件轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中進(jìn)行計(jì)算或證明.如圖20.2－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB＝1，PC＝2，PA＝3.求∠BPC

的度數(shù).類型2求角的度數(shù)例5思路引導(dǎo)：解：如圖20.2－3，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CP，并截取CE＝CP，連接BE，PE，則△PCE為等腰直角三角形.∴∠CPE＝45°，PE2＝PC2＋CE2＝8.∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCE＋∠PCB＝90°，∴∠ACP＝∠BCE.又∵AC＝BC，CP＝CE，∴△APC

≌△BEC(SAS).∴

BE＝PA＝3.

∵

PB＝1，∴

PE2＋PB2＝BE2.

∴△BPE

是直角三角形，且∠BPE＝90°.∴∠BPC＝∠CPE＋∠BPE＝45°＋90°＝135°.思路當(dāng)已知長(zhǎng)度的三條線段共點(diǎn)時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造全等三角形，將已知線段(或根據(jù)已知條件能求出長(zhǎng)度的線段)集中在一個(gè)三角形中，進(jìn)而尋找解決問(wèn)題的方法.模型解讀構(gòu)造“手拉手”模型的方法圖示解讀已知AB

＝AC，∠BAC＝α，作∠DAE＝α，且AD＝AE，則可證△ABD≌△ACE(SAS).題型利用勾股定理及其逆定理解決面積問(wèn)題2如圖20.2－4，已知AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝24，DA＝26.求四邊形ABCD的面積.例6解題秘方：連接AC，將四邊形ABCD分割成兩個(gè)三角形，從而將求四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為求△ABC，△ACD的面積之和.

技巧求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，就目前所學(xué)的知識(shí)來(lái)說(shuō)作輔助線應(yīng)遵循的幾個(gè)原則：1.作垂線或垂線段構(gòu)造直角三角形；2.分割或補(bǔ)充圖形使之由不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形；3.盡可能把具有勾股數(shù)特征的線段集中到一個(gè)三角形中.題型利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題3如圖20.2－5，南北方向的領(lǐng)海線PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海區(qū)域，以西為公海．例7某日22點(diǎn)30分，我邊防反偷渡巡邏號(hào)艇A發(fā)現(xiàn)其正西方向有一可疑船只C正向我國(guó)的領(lǐng)?？拷?，便立即通知正處于PQ上的巡邏艇B注意其動(dòng)向.經(jīng)觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)A艇與可疑船只C之間的距離為10nmile，A，B兩艇之間的距離為6nmile，B艇與可疑船只C之間的距離為8nmile．若該可疑船只的航行速度為12.8nmile/h，則它最早在何時(shí)進(jìn)入我國(guó)的領(lǐng)海區(qū)域？思路引導(dǎo)：

另解由題意得∠ADB＝∠BDC＝90°，所以在Rt△ADB和Rt△BDC中，BD2＝AB2－AD2＝BC2－CD2，即62－(10－CD)2＝82－CD2，解得CD＝6.4.

方法轉(zhuǎn)化思想在勾股定理的逆定理中的應(yīng)用：解此類實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，我們應(yīng)從實(shí)際問(wèn)題入手，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.例如，要求該可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海，必須首先確定該可疑船只進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的航行路線,由“垂線段最短”可知線段CD的長(zhǎng)即為該可疑船只進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的最短距離，因此，計(jì)算CD的長(zhǎng)即為解題的關(guān)鍵.題型利用勾股定理及其逆定理判斷兩線的位置關(guān)系4如圖20.2－6，在正方形ABCD中，E為AD的三等分點(diǎn)，G為DC上一點(diǎn)，且DG∶GC＝2∶7，那么BE與EG

垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.解題秘方：判斷兩條線段的垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為判斷兩條線段所在的三角形為直角三角形.例8解：BE

與EG

垂直.理由如下：如圖20.2－6，連接BG.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9x.∵

E為AD的三等分點(diǎn)，∴

AE＝3x.∴

ED＝6x.∵

DG∶GC＝2∶7，∴

DG＝2x，CG＝7x.在Rt△AEB中，∵

AB＝9x，AE＝3x，∴

BE2＝AB2＋AE2＝(9x)2＋(3x)2＝90x2.同理可得EG2＝ED2＋DG2＝(6x)2＋(2x)2＝40x2，BG2＝BC2＋CG2＝(9x)2＋(7x)2＝130x2.∵90x2＋40x2＝130x2，即BE2＋EG2＝BG2，∴△BEG

是直角三角形，且∠BEG＝90°.∴

BE⊥EG.思路BE與EG不在同一個(gè)三角形中，如果要用勾股定理的逆定理證明BE與EG垂直，就需要連接BG，構(gòu)造△BEG.方法本題利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)對(duì)邊長(zhǎng)的計(jì)算，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形來(lái)判定兩條線段垂直.易錯(cuò)點(diǎn)運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時(shí)易受思維定式的影響而出錯(cuò)

例9

診誤區(qū)：利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時(shí)，我們不能簡(jiǎn)單地看兩邊a，b的平方和是否等于邊c的平方，而應(yīng)先比較a，b，c的大小，找出最大邊長(zhǎng)，再分別計(jì)算出三邊長(zhǎng)的平方，最后看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方.[中考·濟(jì)寧]如圖20.2－7，在正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點(diǎn)上，線段AB，CD交于點(diǎn)F，若∠CFB＝α，則∠ABE

等于(

)A.180°－α

B.180°－2αC.90°＋α

D.90°＋2α考法利用勾股定理的逆定理確定角的度數(shù)1例10試題評(píng)析：本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是先應(yīng)用勾股定理的逆定理判定某個(gè)三角形為直角三角形，再進(jìn)行角度的計(jì)算.

答案：C清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”.法則的提出，不僅簡(jiǎn)化了勾股數(shù)的生成過(guò)程，也體現(xiàn)了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn).由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；….根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為__________.考法勾股數(shù)的應(yīng)用2例1111，60，61試題評(píng)析：本題考查勾股數(shù)，是數(shù)字類規(guī)律探究題.觀察可知，每組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)字為奇數(shù)，后面兩個(gè)數(shù)字為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，從而得到第⑤組勾股數(shù)的第1個(gè)數(shù)，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列出方程求解．解：由題意知，第⑤組勾股數(shù)的第1個(gè)數(shù)為11，設(shè)第2個(gè)數(shù)為x，則第3個(gè)數(shù)為x＋1.由勾股定理，得112＋x2＝(x＋1)2，解得x＝60.則x＋1＝61.因此第⑤組勾股數(shù)為11，60，61.1.[期中·重慶綦江區(qū)]下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是()A.6，8，10 B.7，24，25C.2，3，4 D.9，12，15C2.[期中·三明永安市]已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足(a－17)2＋|b－15|＋c2－16c＋64＝0，則△ABC是(

)A.以a為斜邊的直角三角形B.以b為斜邊的直角三角形C.以c為斜邊的直角三角形D.非直角三角形A3.[中考·益陽(yáng)]已知M，N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM＝MN＝2，NB＝1，以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為半徑畫??；再以點(diǎn)B

為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則△ABC

一定是(

)A．銳角三角形

B．直角三角形C．鈍角三角形

D．等腰三角形B4.甲、乙兩艘客輪沿不同方向同時(shí)離開港口P，航行的速度都是40m/min，甲客輪用30min到達(dá)A點(diǎn)，乙客輪用40min到達(dá)B點(diǎn).若A，B兩點(diǎn)的直線距離為2000m，甲客輪沿北偏西60°的方向航行，則乙客輪的航行方向可能是()A.南偏西30° B.北偏東60°C.南偏東30° D.南偏西60°A5.如圖所示的一塊地，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥

DC，AB＝13m，BC＝12m，則這塊地的面積為_________.24m26.勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．

柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m(m≥3，m

為正整數(shù))，則其弦是________(結(jié)果用含m

的式子表示).m2＋17.[月考·福州福清市]如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上(每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn))．按要求回答問(wèn)題：(1)直接寫出AB的長(zhǎng)；

8.[模擬·荊門]如圖，漢江是長(zhǎng)江最大的支流，它流經(jīng)美麗的荊門，漢江一側(cè)有一村莊C，江邊原有兩個(gè)觀景臺(tái)

A，B，其中AB＝AC，現(xiàn)建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，決定在漢江邊新建一個(gè)觀景臺(tái)H(點(diǎn)A，H，B

在同一條直線上)，并新修一條路CH，測(cè)得BC＝6km，CH＝4.8km，BH＝3.6km．(1)CH是不是從村莊C到江邊的最短路線？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；解：CH是從村莊C到江邊的最短路線．理由：在△CHB中，BC＝6km，CH＝4.8km，BH＝

3.6km，∴CH2＋BH2＝4.82＋3.62＝36，BC2＝36.∴CH2＋BH2＝BC2.因此CH⊥AB，即CH是從村莊C到河邊的最短路線．(2)求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．解：設(shè)AC＝AB＝xkm，則AH＝(x－3.6)km.在Rt△ACH中，由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2，∴x2＝(x－3.6)2＋4.82，解得x＝5.因此原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為5km.9.如圖，四邊形ABCD的三條邊AB，BC，CD和對(duì)角線BD的長(zhǎng)度都為5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB－BD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，速度為2cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DC－CB－BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，速度為2.8cm/s.若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，5s時(shí)點(diǎn)P，Q相距3cm，試確定5s時(shí)△APQ的形狀.解：∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB—BD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，速度為2cm/s，∴5s時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為2×5＝10(cm)．∵AB＝BD＝5cm，∴AB＋BD＝10cm，∴5s時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合．∵