線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1行列式

（-）行列式概念和性質(zhì)

1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)

2、行列式定義：不一樣行不一樣列元素乘積代數(shù)和

3、行列式性質(zhì)：（用于化簡(jiǎn)行列式）

（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變

（2）兩行（列）互換，行列式變號(hào)

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)

k乘此行列式

（4）拆列分派：行列式中假如某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個(gè)

行列式就等于兩個(gè)行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。

（6）兩行成比例，行列式的值為0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主對(duì)角線）行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積

川（“一1）

5、副對(duì)角線行列式的值等于副對(duì)角線元素的乘積乘（一1）2

6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則

：0J、J⑷理

7、n階（n22）范德蒙德行列式

1

廠

人rr=n（%-弓）

數(shù)學(xué)歸納法證明

★8、對(duì)角線的元素為a,其他元素為b的行列式的值:

Qbb…b

bab…b

bba■■b=[a+(n-l)fe](a-6)w-1

bbb…a

（三）按行（列）展開

9、按行展開定理：

（1）任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各個(gè)元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘

積之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式：

（1）|kA|=kn|A|

（2）|AB|=|A|?|B|

（3）|AT|=|A|

（4）|A-i|=|A|T

（5）|A*|=|A|n-x

川=n4

（6）若A的特性值入1、A2、……An,則川

（7）若A與B相似，則|A|二|B|

（五）克萊姆法則

11、克萊姆法則：

（1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0,那么方程為唯一解

D

Xj=—t,j=12…,〃

(2)假如非齊次線性方程組無解或有兩個(gè)不一樣解，則它的系數(shù)行列式必為0

(3)若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0,則齊次線性方程組只有。解；假

如方程組有非零解，那么必有D=0。

2矩陣

(-)矩陣的運(yùn)算

1、矩陣乘法注意事項(xiàng)：

(1)矩陣乘法規(guī)定前列后行一致；

(2)矩陣乘法不滿足互換律；(因式分解的公式對(duì)矩陣不合用，但若B=E,O,A-

1,A*,f(A)時(shí),可以用互換律)

(3)AB=O不能推出A=O或B=Oo

2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)(5條)

(1)(A+B)T=AT+BT

(2)(kA)T=kAT

(3)(AB)T=BTAT

(4)|A|T=|A|

(5)(AT)T=A

(二)矩陣的逆

3、逆的定義：

AB=EBA=E稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A]

注：A可逆的充要條件是|A|W0

4、逆的性質(zhì)：(5條)

(1)(kA)“=l/k?A，(kWO)

(2)(AB)-^B1?A"

(3)|A」|二|A|T

(4)(AT)"(A-1)T

(5)(A1)』

5、逆的求法:

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解

（2）A為數(shù)字矩陣：（A|E）玲初等行變換好（EIA1）

（三）矩陣的初等變換

6、初等行（列）變換定義：

（1）兩行（列）互換；

（2）一行（列）乘非零常數(shù)c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

7、初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嘐通過一次初等變換得到的矩陣。

8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：

（1）初等行（列）變喚相稱于左（右）乘對(duì)應(yīng)的初等矩陣

（2）初等矩陣均為可逆矩陣,且F「=Eij（i,j兩行互換）：

Er1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）

Eif1（k）=Eij（-k）（第i行乘k力口至ljj）

★（四）矩陣的秩

9、秩的定義：非零子式的最高階數(shù)

注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0,即A=O

(2)r(Anxn)=n(滿秩)0|A|/OGfA可逆；

r(A)<門<-->|八|=0<-->八不可逆；

(3)r(A)=r(r=l>2、…、n-1)(玲r階子式非零且所有r+l子式均為00

10、秩的性質(zhì)：(7條)

(1)A為mXn階矩陣，則r(A)Wmin(m,n)

(2)r(A±B)<r(A)±(B)

(3)r(AB)Wrnin{r(A),r(B)}

(4)r(kA)=r(A)(kWO)

(5)r(A)=r(AC)(C是一種可逆矩陣)

(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)

(7)設(shè)A是mXn階矩陣，B是nXs矩陣，AB=O,則r(A)+r(B)Wn

11、秩的求法:

(1)A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；

(2)A為數(shù)字矩陣：A玲初等行變換玲階梯型(每行第一種非零元素下面的元

素均為0),則r(A);非零行的行數(shù)

(五)伴隨矩陣

12、伴隨矩陣的性質(zhì)：(8條)

(1)AA*=A*A=|A|E玲★A*=|A|A-1

(2)(kA)*=kn4A*

(3)(AB)*=B*A*

(4)|A*|=|A|n-1

(5)(AT)*=(A*)1

(6)(A1)*=(A*)i=A|A「i

(7)(A*)*=|A|n-2?A

★(8)r(A*)=n(r(A)=n)；

r(A*)=1(r(A)=n-l)；

r(A*)=0(r(A)<n-l)

(六)分塊矩陣

13、分塊矩陣的乘法:規(guī)定前列后行分法相似。

14、分塊矩陣求逆：

B叩界oO

1印J。廠

Oc\oaCo\［寸o

3向量

(一)向量的概念及運(yùn)算

1、向量的內(nèi)積：(Q，3)=aTg=pTa

2、長(zhǎng)度定義：||a||二而荷=后=擊：+<+…+U

3、正交定義：(a,P)=a丁B=B1a=a1bi+a2b2+?，，+anbn=0

4、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AA，=EG玲A"ATG玲ATA=Ef|A|=±1

(二)線性組合和線性表達(dá)

5、線性表達(dá)的充要條件：

非零列向量B可由Qi，a2,cis線性表達(dá)

⑴<■玲非齊次線性方程組（Q1，a2，…，as）（xi，X2，…，XS）T=B有解。

團(tuán)（2）<~玲r（Q1，。2，…，?s）=r（apa2,???,as,3）（系數(shù)矩陣的秩等

于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢查）

6、線性表達(dá)的充足條件：（理解即可）

若。2，…，。s線性無關(guān)，。1，。2，…，as，B線性有關(guān)，則B可由。

1,a2，…，as線性表達(dá)。

7、線性表達(dá)的求法：（大題第二步）

設(shè)Qi，a2,…，線性無關(guān)，B可由其線性表達(dá)。

（ya2,…，as|B）3初等行變換玲（行最簡(jiǎn)形|系數(shù)）

行最簡(jiǎn)形：每行第一種非0的數(shù)為1,其他元素均為0

（三）線性有關(guān)和線性無關(guān)

8、線性有關(guān)注意事項(xiàng)：

（1）a線性有關(guān)6玲a=0

（2）a1，a2線性有關(guān)dai，a2成比例

9、線性有關(guān)的充要條件：

向量組aI，a2,???,a5線性有關(guān)

（1）有個(gè)向量可由其他向量線性表達(dá)；

（2）齊次方程（a1,a2，…，as）（Xi,X2,…，Xs）丁=0有非零解；

0（3）（a1，a2，???,as）Vs即秩不不小于個(gè)數(shù)

尤其地，n個(gè)n維列向量ai，a2，…，an線性有關(guān)

（1）Gfr（a］，a2,…，an）Vn

（2）<-->Ia1，a2，…，an|=0

（3）<-->（a1，a2,…，an）不可逆

10、線性有關(guān)的充足條件：

（1）向量組具有零向量或成比例的向量必有關(guān)

（2）部分有關(guān)，則整體有關(guān)

（3）高維有關(guān)，則低維有關(guān)

（4）以少表多，多必有關(guān)

團(tuán)推論：n+1個(gè)n維向量一定線性有關(guān)

11、線性無關(guān)的充要條件

向量組。2,…，的線性無關(guān)

（1）G3任意向量均不能由其他向量線性表達(dá)；

（2）Gf齊次方程（J,。2，…，as）（Xi，X2，…，Xs）丁=0只有零解

a

（3）<-->r（a1，a2，…，s）=s

尤其地，n個(gè)n維向量a1，a2，…，Qn線性無關(guān)

（ai，Q2，…，Qn）=n<—>|ana2,…，。眉金06玲矩陣可逆

12、線性無關(guān)的充足條件：

（1）整體無關(guān)，部分無關(guān)

（2）低雄無關(guān)，高維無關(guān)

（3）正交的非零向量組線性無關(guān)

（4）不一樣特性值的特性向量無關(guān)

13、線性有關(guān)、線性無關(guān)鑒定

（1）定義法

團(tuán)（2）秩：若不不小于階數(shù)，線性有關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān)

【專業(yè)知識(shí)補(bǔ)充】

（1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩二列數(shù)），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行

滿秩矩陣，矩陣的秩不變。

（2）若n維列向量J,a2,a?線性無關(guān)，31，口，83可以由其線性表

達(dá)，即（B1，Bz，P3）=（ai?a2,a3）C,貝r（31,B2，33）=r

（C）,從而線性無關(guān)。

82,B3）=3（玲r（C）|C|WO

（四）極大線性無關(guān)組與向量組的秩

14、極大線性無關(guān)組不唯一

15、向量組的秩:極大元關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)成為向量組的秩

對(duì)比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)

團(tuán)注:向量組a1，a2，…，as的秩與矩陣A=（Qi，a2，…，a$）的秩相等

如6、極大線性無關(guān)組的求法

（1）a1,a2,…，J為抽象的：定義法

Cs

（2）ai,a2,…，為數(shù)字的：

（aj,a2,…，as）玲初等行變換好階梯型矩陣

則每行第一種非冬的數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組

（五）向量空間

17、基（就是極大線性無關(guān)組）變換公式：

若aI，a2,???,an與Bi,B2，…，Bn是n維向量空間V的兩組基，則基

aa

變換公式為（Bl，P2，…,Pn）=（1，a2，…，n）Cnxn

其中，C是從基al，。2,…，Qn到Bl，02,…，Bn的過渡矩陣。

C=（a1，Q2，…，Qn）"（B1，B2，…，Bn）

18、坐標(biāo)變換公式：

向量丫在基ai，a2，???,an與基B1，82，…，Bn的坐標(biāo)分別為x=（X1，

X2，…，Xn）T,y=（yi.V2?…，Vn）T?，固Jy=X1Q1+X2a2+???+XnQn=yiB1+

丫2匕+…+ynPn，則坐標(biāo)變換公式為x=Cy或y=C-】x。其中，C是從基a1，a

1

2,…，an到Bi，p2,…，Bn的過渡矩陣。C=（ai,a2,…，an）-（P

1，02，…，Bn)

（六）Schmidt正交化

19>Schmidt正交化

設(shè)aI，a2,a3線性無關(guān)

（1）正交化

令Bi=ai

（。2血）

隊(duì)=心Px

6=a_（。3、⑷（。3,尸2）6

自3（無㈤百（自以產(chǎn)

（2）單位化

IIAII

4線性方程組

（一）方程組的體現(xiàn)形與解向量

1、解的形式：

⑴一般形式

(2)矩陣形式:Ax=b：

a

⑶向量形式：A=(ai?a2，…，n)

2、解的定義：

若n=(ci，C2，…，.),滿足方程組Ax=b,即An=b,稱n是Ax=b的一種解

(向量)

(二)解的鑒定與性質(zhì)

3、齊次方程組：

(1)只有零解6玲r(A)=n(n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù))

(2)有非零解6玲r(A)<n

4、非齊次方程組：

(1)無解G玲r(A)<r(A|b)(A)=r(A)-1

(2)唯一解(玲r(A)=r(A|b)=n

(3)無窮多解6玲r(A)=r(A|b)<n

5、解的性質(zhì)：

(1)若&i，&2是Ax=O的解，則kiJ+k2g2是Ax=O的解

(2)若g是Ax=o的修，n是Ax=b的解，貝|Jg+n是Ax=b的解

(3)若ni，是Ax=b的解，則ni-n2是Ax=o的解

【推廣】

(1)設(shè)Q1，a2，…，Qs是Ax=b的解，則kini+k2Q2+…+ks9s為

Ax秒的解(當(dāng)2"1)

AxL的解(當(dāng)Z"0)

(2)設(shè)ni，n2,…，ns是Ax=b的s個(gè)線性無關(guān)的解，則nz-ni，g-n

i,…，n6-ni為Ax=o的s-i個(gè)線性無關(guān)的解。

變式：①ni-nz,ns-nz,…，ns-n2

(2)n2-ni>n3-n2,…，n$-ns-i

(三)基礎(chǔ)解系

6、基礎(chǔ)解系定義:

（1）€1，一，…，>是Ax=O的解

（2）€1，―，…，"線性有關(guān)

（3）Ax=O的所有解均可由其線性表達(dá)

好基礎(chǔ)解系即所有解的極大無關(guān)組

注：基礎(chǔ)解系不唯一。

任意n-r（A）個(gè)線性無關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系。

團(tuán)7、重要結(jié)論：（證明也很重要）

設(shè)A施mXn階矩陣，B是nXs階矩陣，AB=O

（1）B的列向量均為方程Ax=O的解

（2）r（A）+r（B）Wn（第2章，秩）

X、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r（A）個(gè)線性無關(guān)的解

（2）A為數(shù)字的：A玲初等行變換好階梯型

自由未知量分別取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系

（四）解的構(gòu)造（通解）

9、齊次線性方程組的通解（所有解）

設(shè)r（A）=r,一，…，。一「為Ax=O的基礎(chǔ)解系，

則Ax=0的通解為kin二+k2n2+…+kn-rnn-r（其中l(wèi)<2，…，kn-r為任意常數(shù)）

10、非齊次線性方程組的通解

設(shè)r（A）=r,C1，g2,…，Zn.r為Ax=o的基礎(chǔ)解系，n為人*小的特解,

則Ax=b的通解為n+kiq1+k2n2+…+kn.rnn-r（其中ki，k2,…，k"為任意常

數(shù)）

（五）公共解與同解

11、公共解定義：

假如。既是方程組Ax=o的解，乂是方程組Bx=0的解，則稱a為其公共解

12、非零公共解的充要條件：

方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解

（（A\

x=0r<n

S⑷有北零解eoB

13、重要結(jié)論（需要掌握證明）

（1）設(shè)A是mXn階矩陣，則齊次方程ATAx=O與Ax=O同解，r（ATA）=r

（A）

（2）設(shè)A是mXn除矩陣，r（A）=n,B是nXs階矩陣，則齊次方程ABx=O

與Bx=O同解，r（AB）=r（B）

5特性值與特性向量

（一）矩陣的特性值與特性向量

1、特性值、特性向量的定義：

設(shè)A為n階矩陣，假如存在數(shù)人及非零列向量Q,使得Aa=、a,稱a是矩陣

A屬于特性值入的特性向量。

2、特性多項(xiàng)式、特性方程的定義：

|人E-A|稱為矩陣A的特性多項(xiàng)式（入的n次多項(xiàng)式）。

I入E-A|=0稱為矩陣A的特性方程（入的n次方程）。

注:特性方程可以寫為|A-入E|=0

3、重要結(jié)論：

（1）若。為齊次方程Ax=0的非零解，則AQ=0-a,即a為矩陣A特性值X

=0的特性向量

（2）A的各行元素和為k,則（1,1,…，1戶為特性值為k的特性向量。

（3）上（下）三角或主對(duì)角的矩陣的特性值為主對(duì)角線各元素。

回4、總結(jié)：特性值與特性向量的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊

（2）A為數(shù)字的：由特性方程法求解

5、特性方程法：

（1）解特性方程I入E-A|=0,得矩陣A的n個(gè)特性值入i，入2,…，入n

注：n次方程必須有n個(gè)根（可有多重根，寫作入產(chǎn)入2=??=入產(chǎn)實(shí)數(shù)，不能省略）

（2）解齊次方程（入iE-A）=0,得屬于特性值1的線性無關(guān)的特性向量，卻其

基礎(chǔ)解系（共n-r（入iE-A）個(gè)解）

6、性質(zhì)：

（1）不一樣特性值的特性向量線性無關(guān)

（2）k重特性值最多k個(gè)線性無關(guān)的特性向量

lWn-r（入jE-A）

（3）設(shè)A的特性值為入i,入2，…,入n,則|A|=n入「SXpSan

（4）當(dāng)r（A）=1,即A=QBL其中-6均為n維非零列向量，則A的特性

TT

值為入產(chǎn)2an=ap=Pa,X?=…二人n=0

（5）設(shè)。是矩陣A屬于特性值人的特性向量，則

P4AP（相

fAA

AA*

T-i

(A)似）

fX|A|X-

4JX

（入）-11

(a/aaplQ

（二）相似矩陣

7、相似矩陣的定義：

設(shè)A、B均為n階矩陣，假如存在可逆矩陣P使得B二P」AP,稱A與B相似，記

作A~B

8、相似矩滸的性質(zhì)

（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似

（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似

（3）相似矩陣有相似的行列式、秩、特性多項(xiàng)式、特性方程、特性值、跡（即

主對(duì)角線元素之和）

【推廣】

（4）若A與B相似,則AB與BA相似,從丁與3相似，A，與相似,A*與B*

也相似

（三）矩陣的相似對(duì)角化

9、相似對(duì)角化定義：

4

當(dāng)

**

假如A與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣P,使得P-】AP=A=L4」，

稱A可相似對(duì)角化。

注：AapXjaj（a^O,由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特性值儲(chǔ)

的特性向量

10、相似對(duì)角化的充要條件

（1）A有n個(gè)線性無關(guān)的特性向量

（2）A的k重特性值有k個(gè)線性無關(guān)的特性向量

11、相似對(duì)角化的充足條件：

（1）A有n個(gè)不一樣的特性值（不一樣特性值的特性向量線性無關(guān)）

（2）A為實(shí)對(duì)稱矩陣

12、重要結(jié)論：

（1）若A可相似對(duì)角化，則r（A）為非零特性值的個(gè)數(shù)，n-r（A）為零特性值

的個(gè)數(shù)

（2）若A不可相似對(duì)角化，r（A）不一定為非零特性值的個(gè)數(shù)

（四）實(shí)對(duì)稱矩陣

13、性質(zhì)

（1）特性值全為實(shí)數(shù)

（2）不一樣特性值的埼性向量正交

（3）A可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP二A

（4）A可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ=QTAQ=A

6二次型

（一）二次型及其原則形

1、二次型:

（1）一般形式

（2）矩陣形式（常用）

2、原則形：

假如二次型只含平方項(xiàng),即f（Xl，X2，…，Xn）=dlXl2+d2X22+---+dnXn2

這樣的二次型稱為原則形（對(duì)角線）

3、二次型化為原則形的措施：

（1）配措施：

通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為原則形