全國卷中的隨機(jī)過程

一.全概率公式與隨機(jī)游走

1.轉(zhuǎn)移概率：對于有限狀態(tài)集合S,定義：4/二尸（乂向=）|*“甘）為從狀態(tài)1到狀態(tài)）的轉(zhuǎn)

移概率.

2.馬爾可夫鏈：若P（X“+p|X,=j,X,i=*,…,X°j）=P（X〃+”|X.=Pir即未來狀態(tài)

X〃z只受當(dāng)前狀態(tài)X”的影響，與之前的X“_”X“_2,…,X°無關(guān).

3.完備事件組：如果樣本空間Q中一組事件組｛A，…4J符合下列兩個條件：

⑴AcAj=0,iw/,"=l,2,…〃；

（2）UA.=Q.

k=\

則稱｛4,A?,…A,』是。的一個完備事件組，也稱是。的一個分割.

4.全概率公式：設(shè)｛A，4,…AJ是一個完備事件組，則有

尸（8）二支尸（4）p⑻4）

*=i

二.典例分析.

例.（2019仝國1卷）.為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更

有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于

兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪

試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈

只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施

以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一1分：若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白

鼠木治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩

種藥的治愈率分別記為。和￡,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為工

（1）求X的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，2（，=01??、8）表示“甲藥的累計(jì)得分為了

時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則〃o=O,外=1,

Pi-aPp+m+cPt+i(J=1,2,,7),其中a=P(X=-l)，b^P(X=0),

c=P(X=l).假設(shè)。=0.5,/?=0.8.

⑴證明：{〃,+「〃,}Q=0,1,2,,7)為等比數(shù)列；

(ii)求小，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

解析：(1)由題意可知X所有可能的取值為：一1，。，1

.?.P(X=—l)=(l—a)￡；P(X=O)=^+(1-?)(1-/?)；P(X=1)=?(1-/?)

則X的分布列如卜.：

X-101

P(1-。)夕必+(1-戊)(1-0。(1-4)

(2),.,(2=0.5,P=0.8

=0.5x0.8=0.4>/?=0.5x0.84-0.5x0.2=0.5>c=0.5x0.2=0.1

(i)?;=api+bp+cpi<i=、2…J)

即Pi=0.4化_]+0.5p.+0Jp,+1(i=l,2,?-?,7)

整理可得:5p.=4PH+加(i=1,2,…,7)%-p,=4(p,-J(i=1,2,…,7)

?.{〃源-2}(i=0,1,2,…,7)是以p「Po為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列

(ii)由⑴知：Pi+「Pi=(P「Po)1="

；邛「1)7=&0，P7-P6=PI*,……，PLPO=Pr40

〔_4848_]

作和可得：〃8-％=〃|,(4°+41+~+4?)=匚了叢=口一回=1

3

7,0,1=用1-4，44-1311

???-〃?！?4+4+4-4卜』叱虧二不二百

/人表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為

0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為〃4=焉之0.0039,此時(shí)得出錯誤結(jié)論的概率非常小，

說明這種比驗(yàn)方案合理.

分支過程與滅絕概率背景下的2021新高考2卷概率題分析

一.概率母函數(shù)⑶

1.設(shè)X是非負(fù)整數(shù)值的離散型隨機(jī)變量，其概率分布列為=P{X=Z},Z=0J,2…，則

定義累級數(shù)。G)=豆〃人心§區(qū)1,稱為隨機(jī)變量X的概率母函數(shù).

k=0

2.主要性質(zhì)⑵：

(1)隨機(jī)變量的概率分布由它的母函數(shù)唯一確定.即：

%(S)=冊(s)oP(X=k)=P(Y=k)

2

(2)EX=(px(1),E(X)=^X(1)+(f)x(1).

二.分支過程⑵

設(shè)最初有〃o個物種，每隔一單位時(shí)間，一個物種可以分裂成/(/=(),1,2…)個物種，設(shè)其對

00

應(yīng)的概率為Pt:Pl=1-

1=0

假設(shè)這些物種分裂是相互獨(dú)立且具有相同的分布，令.表示在時(shí)刻〃存在的第/個物種

在下一時(shí)刻(第〃+1時(shí)刻)分裂成的物種個數(shù)，Z”表示時(shí)刻〃中總物種的個數(shù)，則

4)=%

=<

z”Z.=>X..

〃十1/J

>='

下圖說明具體的分裂過程：

ZQ=s

4=乂(0)+…+X,(0)

/=*?)+…+心(|)

Z.=X(〃-l)+~+Xzi(D=gx,(D

三.分支過程的母函數(shù)⑵

分支過程Z〃,〃=o,1,2…任一代的任意一個個體繁衍概率母函數(shù)均為：

六o

四.滅絕概率：分支過程的滅絕概率夕是方程。(s)=s的最小正根.

注：由四可知，關(guān)于該物種分裂的滅絕概率研究等價(jià)于去研究方程。(s)=s的最小正根.

五.典例分析

(2021新高考2卷)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物

為第()代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖

的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，

?(%=/)=/?,(/=0,1,2,3).

(1)已知Po=048=0.3,“2=02心=0.1,求E(X)；

(2)設(shè)0表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，〃是關(guān)于*的方程：

p0+Pd+p/2+p3x3=x的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)K1時(shí)，〃=1,當(dāng)E(X)>1時(shí)，

P<1;

(3)根據(jù)你的理解說明12)問結(jié)論的實(shí)際含義.

解析：(1)￡(%)=0x0.44-1x0.3+2x0.2+3x0.1=1,

(2)設(shè)〃K)=P3V+P2f+(月一1)工+〃()，因?yàn)橥?〃2+月+〃0=1，故

/(X)=〃3丁+一(+Po+〃3)工+〃0，若E(X)41,貝!Pl+2〃2+3〃3K1，故〃2+2P3?Po.

(x)=3P3f+2P2工一(〃2+〃0+，因?yàn)閞(°)=一(“2+〃o+〃3)<°，

,

/(l)=p2+2p3-po<0,故/'(X)有兩個不同零點(diǎn)且％

且x4e/JSZ'E)時(shí)，r(x)>0；X?X1,X2)時(shí)，/'(4)<。；

故在(fA),(0+8)上為增函數(shù)，在(與與)上為減函數(shù)，

若％=1?因?yàn)?X)在(號”)為增函數(shù)且"1)=0.

而當(dāng)xe(0，W)時(shí)，因?yàn)?(x)在(N，大2)上為減函數(shù)，故/(x)>/(玉)"⑴=°，

故1為P<)+7V+/V2+“3/=%的一個最小正實(shí)根，

若占>1，因?yàn)?⑴=。且在(。,毛)上為減函數(shù)，故1為Po+PM+P2X2+P/3=x的一個最小

正實(shí)根，綜上，若石(X)Q,則〃=1.

若￡（X）>1,則8+2〃2+30>1,故0+2〃3>〃0.

此時(shí)r⑼=-（0+〃o+〃J＜O，/11）=〃2+2〃3-〃0＞0，故/'（X）有兩個不同零點(diǎn)與4，

且.13＜。＜七＜1,且工式一七川伍，”）時(shí)，/'（x）＞0；”￡（￡,王）時(shí)，/'（x）＜。；

故/（x）在（4+8）上為增函數(shù)，在（項(xiàng),七）上為減函數(shù)，W/（1）=O,故/（5）＜。，

又/（0）=〃。＞0,故“X）在（。,七）存在一個零點(diǎn)〃，且〃＜1.所以〃為

Po+P|X+〃2『+P3x3=x的一個最小正實(shí)根，此時(shí)〃＜1,故當(dāng)E（X）＞1時(shí)，p＜\.

（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代必然滅絕，若繁殖后

代的平均數(shù)超過1,則若干代后被滅絕的概率小于1.

注1.此題實(shí)際就是分支過程的經(jīng)典應(yīng)用.

注2.在最多分裂三個的情況下，EX=Pl+2p2+3p3.若使得EX＞1,明顯讓〃2，〃3越

大，EX就越大，物種的滅絕概率就會小于1,持續(xù)生存下去，這可能就是生二胎，生三胎

的一個最直觀的解釋！

參考文獻(xiàn)：［2］孫榮恒.隨機(jī)過程及其應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社,2003.

三.習(xí)題演練

習(xí)題1.足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21口打響,

決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.

校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí),

傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球

都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第〃次觸球者是甲的概率記為K，即6=1.

(1)求8(直接寫出結(jié)果即可)；

(2)證明：數(shù)列｛乙-；｝為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.

解析：(1)由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三

人中的一人，故傳給甲的概率為:，故鳥=:.

(2)第〃次觸球者是甲的概率記為％,則當(dāng)〃22時(shí)，第〃-1次觸球者是甲的概率為。一，

第〃一1次觸球者不是甲的概率為1-匕…則4=乙/0+(1-匕-

從而又《一!=[,?.?[△—是以1為首項(xiàng)，公比為一：的等比數(shù)列.

44J44I4J43

-89

|,1|(_3(1Y'1.口3f1Y1I03(1Y11

貝吠=-x——+-,..=-x——,R,=-x——,

"413j4194｛3)44204(3J44

馬，故第19次觸球者是甲的概率大

習(xí)題2.某年級I班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量

及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，特意在微信上設(shè)計(jì)了一個每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得

優(yōu)秀時(shí)，就有機(jī)會參與一次小程序中”玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學(xué)后可根據(jù)獲得積

分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子

在第1格，每點(diǎn)一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概

率均為g,依次點(diǎn)擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎勵0分）或第15格（獎

勵5分