《等腰三角形的綜合運用（第二課時）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：學(xué)習(xí)運用等腰三角形性質(zhì)和判定來證明線段相等，以及結(jié)合線段垂直平分線和全等三角形等知識進(jìn)行線段相等的證明,培養(yǎng)學(xué)生識圖，幾何推理分析和探究的綜合能力.教學(xué)重點：結(jié)合全等，線段垂直平分線的等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合使用教學(xué)難點：知識的綜合運用及根據(jù)圖形特征添加合適輔助線教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動23分鐘教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的綜合運用第一課時，利用等腰（邊）三角形的性質(zhì)和判定來判斷三角形形狀和計算三角形邊長及角度；今天我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形的綜合運用，利用等腰（邊）三角形的判定和性質(zhì)來證明幾何圖形中線段相等問題.請看例題例如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點D,BE⊥AC于點E,∠BAD=∠CBE.求證:AB=AC.教師提問：首先我們觀察題目中有哪些邊角條件？教師提示：根據(jù)AD⊥BC于點D,BE⊥AC于點E，我們可以推出∠ADC=∠BEC=90°，∠BAD=∠CBE，在圖形上進(jìn)行標(biāo)注.教師提問：我們再來看看問題，如何證明AB=AC？教師提示：我們發(fā)現(xiàn)AB和AC均在同一個三角形△ABC內(nèi).教師提問：如何證明這兩條線段相等呢？教師提示：根據(jù)等腰三角形的判定方法“等角對等邊”，我們只需要證明∠ABC=∠C即可，在圖形上進(jìn)行標(biāo)注.教師追問：請認(rèn)真觀察，利用已知條件，如何來證明這兩角相等呢？教師提示：我們發(fā)現(xiàn)∠ABC和∠C恰好分別是∠BAD和∠CBE的余角，根據(jù)“等角的余角相等”，我們便可得出∠ABC=∠C.證明：∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEC=90°.∴∠ABD+∠BAD=90°，∠C+∠CBE=90°.∵∠BAD=∠CBE，∴∠ABD=∠C.∴AB=AC.【題后反思】當(dāng)要證明的兩條線段在同一個三角形內(nèi)時，一般我們先證明這兩條線段所對的角相等，然后根據(jù)等腰三角形的判定方法“等角對等邊”，即可證明這兩條線段相等.2.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,ME垂直平分AB點E,交BC于點M，NF垂直平分線AC于點F,交BC于點N.求證:BM=MN=CN.AB=AC∠AB=AC∠A=120°∠B=∠B=∠C=30°∠∠BAM=30°∠NAC=30°ME垂直平分線ME垂直平分線AB,NF垂直平分線ACBM=AM,CN=AN∠∠AMN=∠ANM∠MAN=60°BM=MN=CNAM=MN=BM=MN=CNAM=MN=AN△AMN為等邊三角形教師提問：首先我們觀察題目中有哪些邊角條件？教師提出：AB=AC,∠A=120°，根據(jù)“等邊對等角”，可以推出∠B=∠C=30°；教師提問：ME垂直平分線AB,NF垂直平分線AC，你能得出什么結(jié)論？教師提出：根據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等”，可以推出BM=AM,CN=AN,連接MA和NA.再根據(jù)“等邊對等角”推出∠BAM=30°，∠NAC=30°.我們來看下問題，要證明BM=MN=CN，那么我們只需證明AM=MN=AN,也即是證明△AMN為等邊三角形.教師提問：如何證明△AMN為等邊三角形呢？教師提示：我們只能從角度出發(fā)來證明，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可以推出∠AMN=∠ANM=60°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，很容易推出∠MAN=60°,故△AMN為等邊三角形.下面我們來寫一下具體證明過程.證明：∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°∴∠B=∠C=30°∵M(jìn)E垂直平分AB，NF垂直平分AC∴BM=AM,CN=AN∴∠B=∠BAM=30°，∠C=∠NAC=30°∴∠AMN=∠B+∠BAM=60°，∠ANM=∠C+∠NAC=60°∴∠MAN=180°-∠AMN-∠ANM=60°∴△AMN為等邊三角形∴AM=MN=AN∵BM=AM,CN=AN∴BM=MN=CN【題后反思】一般地，當(dāng)題目中出現(xiàn)垂直平分線時，我們會經(jīng)常使用垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等”，來證明線段的相等，或結(jié)合等腰（邊）三角形邊角關(guān)系進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，來證明目標(biāo)線段相等.如圖，點D,E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE教師提問：首先我們觀察題目中有哪些邊角條件？教師提示：邊條件AB=AC，AD=AE，可以推出角條件∠B=∠C,∠ADE=∠AED教師提問：如何來證明BD=CE？教師提示：我們發(fā)現(xiàn)BD和CE不在一個三角形內(nèi)，題目中也沒有出現(xiàn)垂直平分線，看來需要采取新的方法來解決.教師提問：BD和CE分別在△ABD和△ACE中，我們能否通過證明這兩個三角形全等來證明這兩條線段相等呢？教師提示：我們來嘗試尋找兩三角形全等的條件！首先已經(jīng)有兩組對應(yīng)邊相等，還需尋找兩邊夾角對應(yīng)相等，也即是需要證明∠BAD=∠CAE教師提問：如何證明∠BAD=∠CAE?教師提示：∠BAD=∠ADE-∠B，∠CAE=∠AED-∠C，所以∠BAD=∠CAE，好，下面我們來一起寫下證明過程.證明：∵AB=AC，AD=AE∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED∵∠BAD=∠ADE-∠B，∠CAE=∠AED-∠C∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE同學(xué)們，這道題還有其他證明方法嗎？如果過點A做AO⊥BC于點O，你有思路了嗎？根據(jù)等腰三角形三線合一，我們可以推出BO=CO,DO=EO,所以BO-DO=CO-EO，即BD=CE【題后反思】利用全等三角形是證明線段相等的一個很好方法，往往我們結(jié)合等腰三角形的邊角關(guān)系來使用.邊角關(guān)系等腰三角形構(gòu)造全等三角形線段相等邊角關(guān)系等腰三角形構(gòu)造全等三角形線段相等2分鐘課堂小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了幾何圖形中證明線段相等的幾種常見方法：(1)利用等腰三角形的判定和性質(zhì)證明線段相等；(2)利用垂直平分線的判定和性質(zhì)證明線段相等；(3)利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明線段相等.以后還會學(xué)習(xí)更多的方法證明線段相等，經(jīng)常我們會需要綜合以上多種方法使用，希望同學(xué)們認(rèn)真理解和靈活運用這些知識和方法，提高自己的思維和分析探究問題的能力.作業(yè)已知：如圖，AC和BD相交于點O,AB//CD，OA=OB,求證：OC=OD2.如圖，在等邊三角形△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，OB和OC的垂直平分線和分別交BC于點E和F,連接OE,OF.求證:AB=3EF3.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD=AB，∠EDF=60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點E和F，求證：△ABD是等邊三角形；求證：BE=AF知能演練提升一、能力提升1.小明用含有30°角的兩個完全相同的三角尺拼成的圖案如圖所示.若連接BD,則圖中等腰三角形的個數(shù)是()A.2 B.3C.4 D.52.如圖,在△ABC中,AB=3,∠BAC=100°,∠B=40°,點D在BC的延長線上,且∠D=20°,則CD的長是.

3.如圖,上午8時,一船從A處出發(fā)以20海里/時的速度向正北方向航行,上午11時,到達(dá)B處,從A,B望燈塔C分別測得∠NAC=44°,∠NBC=88°,求從B處到燈塔C的距離.4.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥BA于點D,AE平分∠BAC交CD于點F,交BC于點E,你能證明△CEF是等腰三角形嗎?5.如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC邊上的一點,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度數(shù);(2)求證:DC=AB.6.如圖,已知O是△ABC的∠ABC,∠ACB的平分線的交點,OD∥AB交BC于點D,OE∥AC交BC于點E.若BC=10cm,求△ODE的周長.7.如圖,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點E,AD⊥BC于點D,∠BAD=45°,AD與BE交于點F,連接CF.求證:BF=2AE.8.如圖,在△ABC中,AB=AC,在AB上取一點E,在AC延長線上取一點F,使BE=CF,EF交BC于點G.求證:EG=FG.二、創(chuàng)新應(yīng)用★9.如圖,在△ABC中,D,E分別是AC,AB上的點,BD,CE交于點O,給出下列四個條件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.(1)上述四個條件中,哪兩個條件可以判斷△ABC是等腰三角形?(用序號寫出所有情形)(2)選擇(1)中的一種情形,證明△ABC是等腰三角形.

知能演練·提升一、能力提升1.A2.33.解∵∠C=∠CBN-∠A=88°-44°=44°,∴∠C=∠A.∴BC=BA=20×(11-8)=60(海里).故從B處到燈塔C的距離是60海里.4.解能.證明:∵CD⊥BA,∴∠AFD+∠DAF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠CEF+∠EAC=90°.∵AE平分∠BAC,∴∠DAF=∠EAC.∴∠CEF=∠AFD=∠CFE.∴CF=CE.∴△CEF是等腰三角形.5.(1)解∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°.∵∠C+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.(2)證明∵∠DAB=45°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,∴∠ADC=∠DAC,∴DC=AC.∴DC=AB.6.解∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠DBO.又OD∥AB,∴∠ABO=∠DOB,∴∠DBO=∠DOB,∴OD=BD.同理OE=CE.∵BC=10cm,∴△ODE的周長為OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=10(cm).7.證明∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD.∵BE⊥AC,AD⊥BC,∴∠CAD+∠ACD=90°.∠CBE+∠ACD=90°,∴∠CAD=∠CBE.在△ADC和△BDF中,∠∴△ADC≌△BDF(ASA),∴BF=AC.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AC=2AE,∴BF=2AE.8.證明如圖,過E作EM∥AC,交BC于點M.∵EM∥AC,∴∠EMB=∠ACB,∠MEG=∠F.∵AB=AC,∴∠B=