第21章二次根式（高效培優(yōu)單元測試·提升卷）（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．下列各式中，一定是二次根式的是（

）A．3 B．m C．32 D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的概念，熟練掌握二次根式的概念是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的概念，即形如aa≥0【詳解】解：A選項，3中3>0，是二次根式；B選項，m中m<0時，式子無意義，不一定是二次根式；C選項，32D選項，?20中?20<0，式子無意義，不是二次根式．故選：A．2．計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】本題考查的是二次根式的加減運算，掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵；直接合并同類二次根式即可．【詳解】解：，故選：C．3．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查二次根式的計算，根據(jù)二次根式的乘法，二次根式的性質(zhì)分別計算、化簡，再判斷，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.與無意義，故此項不正確；B.不相等，故此項不正確；C.，相等，故此項正確；D.，不相等，故此項不正確；故選：C．4．估計的值應(yīng)在（）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【答案】D【分析】先計算原式的結(jié)果，再根據(jù)結(jié)果判斷范圍．【詳解】原式，，故選：D．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算問題，掌握計算規(guī)則并準(zhǔn)確化簡是解決問題的關(guān)鍵．5．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】D【知識點】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為零列出不等式組，解不等式組得到答案．【詳解】解：由題意得：且，解得：且，故選：D．6．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了最簡二次根式，直接利用最簡二次根式的定義，進而分析得出答案．【詳解】解：A．，被開方數(shù)含有開得盡的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；B．是最簡二次根式，符合題意；C．，被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意；D．，在分母中，不是最簡二次根式，不符合題意，故選：B．7．已知，，則x與y的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．無法比較【答案】C【分析】本題主要考查二次根式的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的大小比較的方法和二次根式的運算法則．將、分別平方后，比較即可得．【詳解】解：∵，，∴、，∵，∴．故選C8．化簡：，那么化簡結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵有意義，∴，∵，∴，∴，故選：B．9．已知，則的值是（

）A．13 B．15 C．17 D．19【答案】C【詳解】解：∵，∴，∴，即，∴．故選：C．10．已知，則的值為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值、分母有理化等知識點，逐步把代入所求式子進行化簡求值是解題的關(guān)鍵．先利用分母有理化對已知條件進行化簡，再依次代入所求的式子進行運算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：C．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分．）11．計算：．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的乘法運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式乘法運算法則．利用二次根式乘法法則進行計算即可．【詳解】解：，故答案為：．12．請用“>，=，<”符號比較大?。?；【答案】>【分析】本題考查了算術(shù)平方根和實數(shù)的大小比較，求出，，再比較大小即可．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：13.如圖，點A，B，C在數(shù)軸上，且點A是的中點，點A，B表示的數(shù)分別為，，則點C表示的數(shù)為．【答案】【分析】由題意得，進而求得點C表示的數(shù)即可．本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：點A是的中點，，點C表示的數(shù)為故答案為：14．已知，則．【答案】5【詳解】解：，，解得，，，故答案為：5．15．已知，，則．【答案】【詳解】解：∵，，∴，，∴，．故答案為：．16．若滿足關(guān)系式，則．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的非負性，解二元一次方程組，由二次根式有意義的條件得，即得，，再根據(jù)二次根式的非負性得，，即得，再解方程組求出的值即可求解，掌握二次根式有意義的條件及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，，∴，∴，，∴，，∴，由，解得，∴，∴，故答案為：．三、解答題（本題共9小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（本題8分）計算(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運算，完全平方公式，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．先把每一個二次根式化成最簡二次根式，然后再進行計算即可解答；利用完全平方公式，平方差公式進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：；（2）解：．（本題8分）教材第16頁的閱讀與思考：海倫－秦九韶公式，如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為．如圖，在中，米，米，米，請你用海倫－秦九韶公式求的面積．【答案】平方米【分析】本題考查二次根式的運算，直接根據(jù)海倫－秦九韶公式求解，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：∵米，米，米，∴，∴（平方米）．答：的面積是平方米．19．（本題8分）已知，，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的混合運算，平方差公式，正確計算是解題的關(guān)鍵：（1）先求出，再代入求值即可；（2）先求出，再根據(jù)平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴．20．（本題8分）對于任意兩個不相等的數(shù)a，b，定義一種新運算“⊕”如下：，如．(1)填空，．(2)若，求x的值．【答案】(1)3(2)【分析】（1）根據(jù)定義得到計算即可．（2）根據(jù)定義得到，代入方程計算即可．【詳解】（1）∵，∴，故答案為：3．（2）∵，∴，∵，∴，解得，故x的值為．【點睛】本題考查了新定義運算，分母有理化，解一元一次方程，熟練掌握新定義的運算法則是解題的關(guān)鍵．21．（本題10分）觀察下列各式及驗證過程：，驗證；，驗證，驗證(1)按照上述三個等式及其驗證過程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進行驗證．(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用為任意的自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．【答案】(1)，驗證見解析(2)，驗證見解析【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)．此題是一個找規(guī)律的題目，觀察時，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯(lián)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．（1）通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：等式的變形過程利用了二次根式的性質(zhì)，把根號內(nèi)的移到根號外；（2）根據(jù)上述變形過程的規(guī)律，即可推廣到一般．表示左邊的式子時，觀察根號外的和根號內(nèi)的分子、分母之間的關(guān)系可得：．【詳解】（1）驗證：；（2）．驗證：．22．（本題10分）比較與的大小可以采用下面的方法：；．因為，所以，即．仔細研讀上面的解題方法，完成下列問題：(1)試比較與的大??；(2)嘗試計算：．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）解：；．因為，所以，即．（2）．23．（本題10分）規(guī)定兩個整數(shù)a，b之間的一種運算記作，如果，那么．例如：因為，所以請解決下列問題：(1)填空：_________，，則_________；(2)如果整數(shù)a，m，n，滿足，，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查新定義運算的理解與應(yīng)用，需根據(jù)定義將問題轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程求解，解題的關(guān)鍵是注意整數(shù)條件的限制．（1）根據(jù)定義求解即可；（2）先根據(jù)定義得出，然后將方程相乘，再與③聯(lián)立列出得出關(guān)于的一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，則，，，，即，，，，故答案為：；【小問2】整數(shù)a，m，n，滿足，，，，得，④，由③、④得，，，解得，．24．（本題13分）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進行了以下探索：若設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)若，當(dāng)、、、均為整數(shù)時，用含、的式子分別表示、，得：______，______；(2)若，且、、均為正整數(shù)，求的值；(3)化簡：．【答案】(1)，(2)的值為或(3)【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡、整式的加減、完全平方式，熟練掌握完全平方式的應(yīng)用，讀懂材料明確題意是解題關(guān)鍵．（1）仔細閱讀材料根據(jù)探索得問題，通過完全平方公式去掉括號表示出、；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求出，，根據(jù)，，均為整數(shù)，分兩種情況求出，；（3）設(shè)，兩邊平方并結(jié)合題意計算得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：，，(，，，均為整數(shù)），，，故答案為：，；（2）解：，，(，，均為整數(shù)），，，，①，，，②，，，綜上所述：或；（3）解：設(shè)，則，∴原式．25．（本題13分）我們定義：一個整數(shù)能表示成（、是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因為．所以5是“完美數(shù)”．【解決問題】（1）已知10是“完美數(shù)”，請將它寫成（、是整數(shù)）的形式_____；（2）已知（、是整數(shù)，是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個值，并說明理由．【探究問題】（3）已知，求的值是_____【實際應(yīng)用】（4）已知，，滿足，求．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）；（4）【分析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)