期末重難點(diǎn)真題特訓(xùn)之壓軸滿分題型（84題24個(gè)考點(diǎn)）【精選最新考試題型專訓(xùn)】壓軸滿分題一、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)1．（2024·山西長治·模擬預(yù)測(cè)）如下內(nèi)容是李明在練習(xí)中的一道解題過程，在這個(gè)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）已知，．求的值．解：；原式．A．方程 B．整體 C．?dāng)?shù)形結(jié)合 D．函數(shù)【答案】B【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，算術(shù)平方根的非負(fù)性，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)求代數(shù)式值中的整體思想，即可解答．【詳解】在這個(gè)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是整體的數(shù)學(xué)思想，故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·山東濱州·期中）小明做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)；；；；；按此規(guī)律，若，為正整數(shù)），則．【答案】【分析】此題考查了數(shù)字類規(guī)律，找出一系列等式的規(guī)律為的正整數(shù)），令求出與的值，即可求得的值．【詳解】解：根據(jù)題中的規(guī)律得：的正整數(shù)），，，，則．故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·貴州貴陽·期中）貴陽市第十九中學(xué)數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)，在社團(tuán)活動(dòng)中遇到了化簡(jiǎn)二次根式的難題．【問題解決】（1）小慧同學(xué)的解決思路是將轉(zhuǎn)化為的形式，根據(jù)．因?yàn)椋訽_____，______，則可得到化簡(jiǎn)；【問題探究】（2）請(qǐng)仿照小慧的解題思路，化簡(jiǎn)二次根式；【問題遷移】（3）若，解方程．【答案】；；【分析】本題考查完全平方公式，二次根式的化簡(jiǎn)，理解并掌握題干中給定的解題方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目所給方法對(duì)變形即可得解；（2）根據(jù)題意結(jié)合所給方法對(duì)變形，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得解；（3）根據(jù)題目所給方法，得到，再利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，得到，再解方程即可；【詳解】（1），故答案為：；（2），（3），又，∴，上式，，故方程為，解得：．壓軸滿分題二、二次根式的乘除混合運(yùn)算1．（23-24九年級(jí)上·湖北·單元測(cè)試）如圖，正方形中，，連接，的平分線交于點(diǎn)，在上截取，連接，分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．先根據(jù)定理證出，從而可得，再根據(jù)角的和差即可判斷結(jié)論①；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段的和差、等量代換即可判斷結(jié)論②；先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)可得，求解，由此即可判斷結(jié)論③；過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，然后利用勾股定理解直角三角形即可得判斷結(jié)論④．【詳解】解：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，即，結(jié)論①正確；平分，，，，，，，，，結(jié)論②正確；，，∴，∴，即，故結(jié)論③正確；如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

平分，，，，，由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，由垂線段最短得：當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)在中，，即的最小值是，結(jié)論④正確；綜上，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②③④，故選：D．2．（23-24九年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）按如圖所示的運(yùn)算程序，若輸入數(shù)字“3”，則輸出的結(jié)果是．【答案】/【分析】本題考查程序框圖的運(yùn)算，仔細(xì)判斷方向，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)輸入的數(shù)字從左往右依次計(jì)算即可．【詳解】解：輸入3，第一步，第二步，第三步．故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·四川綿陽·期末）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，正確的計(jì)算即可；（3）利用加減消元法解方程組即可；（4）分式方程的求解步驟求解即可；（5）先分別求解各不等式，從而即可得解；（6）先分別求解各不等式，從而即可得解；（7）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（8）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．（3）解：，，可得，解得，把代入①，可得：，解得，∴原方程組的解是．（4）解：，去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，，∴是原分式方程的解．（5）解：，解不等式，可得：，解不等式，可得：x>1，∴不等式組的解集為：．（6）解：，解不等式，可得：，解不等式，可得：x>2，∴不等式組的解集為：．（7）解：．（8）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算法則，解二元一次方程組，解不等式組，分式的混合運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則，二次根式的運(yùn)算法則，解二元一次方程組，解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．壓軸滿分題三、二次根式的化簡(jiǎn)求值1．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）若三個(gè)實(shí)數(shù)，，滿足，且，則有：，則的值（

）A． B． C．2023 D．【答案】B【分析】結(jié)合所給的條件，把所求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求值即可．【詳解】解：三個(gè)實(shí)數(shù)，，滿足，且，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，數(shù)字的變化規(guī)律，分式的加減法，解答的關(guān)鍵是理解清楚所給的條件．2．（2024·山東菏澤·一模）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中的0.618就應(yīng)用了黃金分割數(shù)．設(shè)，，記，，……，，則的值為．【答案】【分析】本題考查分式的加減法和二次根式的運(yùn)算．找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．利用分式的加減法則分別可求，，???，，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：∵，∴，，……，……∴．故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）有這樣一個(gè)問題：已知，求的值．小明是這樣解答的：∵，∴，∴，即，∴，∴．根據(jù)小明的解答過程，解決以下問題：(1)計(jì)算：．(2)已知．①求的值；②求的值．【答案】(1)(2)①，②【分析】本題考查了分母有理化，二次根式的化簡(jiǎn)求值；（1）原式各項(xiàng)分母有理化，計(jì)算即可求出值；（2）①先把a(bǔ)分母有理化可得到，從而得到，再把式子進(jìn)行整理，將代入計(jì)算即可求出值；②將式子整理成，再代入，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：①∵，∴，∴，∴，∴；②∵，∴．壓軸滿分題四、二次根式的應(yīng)用1．（24-25九年級(jí)上·河北邯鄲·階段練習(xí)）現(xiàn)有兩塊同樣大小的長方形木板①，②，甲木工采用如圖1所示的方式，在長方形木板①上截出三個(gè)面積分別為，和的正方形木板A，B，C．(1)木板①中截出的正方形木板A的邊長為___________，B的邊長為___________，C的邊長為___________；(2)求木板①中剩余部分（陰影部分）的面積；(3)乙木工想采用如圖2所示的方式，在長方形木板②上截出兩個(gè)面積均為的正方形木板，請(qǐng)你判斷能否截出，并說明理由．【答案】(1)2，，(2)陰影部分面積為；(3)不能截出；理由見解析【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，（1）根據(jù)正方形的面積，即可求出邊長；（2）先求出木板①的邊長，根據(jù)長方形面積公式即可求解；（3）求出兩個(gè)面積為的正方形木板的邊長，即可得出所需木板的長和寬，將其與實(shí)際木板長和寬進(jìn)行比較，即可解答．【詳解】（1）解：∵正方形木板A的面積為，正方形木板B的面積為，正方形木板C的面積為，∴正方形木板A的邊長為，正方形木板B的邊長為，正方形木板C的邊長為，故答案為：2，，；（2）解：∵正方形木板A的邊長為，正方形木板B的邊長為，正方形木板C的邊長為，∴長方形木板①的長為，寬為，∴陰影部分面積為；（3）解：不能截出；理由：，，∴兩個(gè)正方形木板放在一起的寬為，長為．由（2）可得長方形木板的長為，寬為．∵，但，∴不能截出．2．（2024九年級(jí)上·湖南·專題練習(xí)）材料一：我國南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，記小斜為a，中斜為b，大斜為c，則三角形的面積為，這個(gè)公式稱之為秦九韶公式；材料二：希臘數(shù)學(xué)家海倫在其所著的《度量論》中給出了用三角形的三條邊長表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長分別為a，b，c，則它的面積為，其中，這個(gè)公式稱之為海倫公式．請(qǐng)解決下列問題：(1)若一個(gè)三角形邊長依次為，求這個(gè)三角形的面積．小明利用海倫公式很快就可以求出這個(gè)三角形的面積．以下是他的部分求解過程，請(qǐng)你把它補(bǔ)充完整．解：∵一個(gè)三角形邊長依次為，即，，，∴___________．根據(jù)海倫公式可得：___________．(2)請(qǐng)你選擇海倫公式或秦九韶公式計(jì)算：若一個(gè)三角形的三邊長分別是，，，求這個(gè)三角形的面積．【答案】(1)9，(2)【分析】本題主要考查三角形面積的計(jì)算方法，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算，理解材料提示的計(jì)算方法，掌握實(shí)數(shù)的計(jì)算，二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）直接代入求解即可；（2）根據(jù)材料提示，運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】（1）解：，，故答案為：，．（2）解：∵，，，∴，，，∴．3．（24-25九年級(jí)上·四川自貢·階段練習(xí)）閱讀材料：基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，其中我們把叫正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫正數(shù)的幾何平均數(shù)，它是解決最大（小）值問題的有力工具．例如：在的條件下，當(dāng)為何值時(shí)，有最小值，最小值是多少？解：∵，∴，即∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為2；請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解答下列問題：(1)若，函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)有最值，并求出其最值．(2)若時(shí)，求式子的最值，并說明此時(shí)的值．(3)時(shí)，式子成立嗎？說明理由．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，且最小值為(2)的最小值為；此時(shí)(3)不成立；理由見解析【分析】本題考查基本不等式的應(yīng)用，二次根式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)仿照例子解決問題．（1）仿照材料中的例子求解即可；（2）仿照材料中的例子利用二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）仿照材料中的例子求出時(shí)，有最小值2，根據(jù)，不能取到最小值2，得出時(shí)，，原等式不成立．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：，負(fù)值舍去，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為；（2）解：∵，∴，∵，∴當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，∴的最小值為，解方程得：，（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為；（3）解：式子不成立．理由：∵，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值，且最小值為2，∵，∴不等式不能取等號(hào)，即不等式不成立．壓軸滿分題五、一元二次方程的解法（直接開平方法、因式分解法、公式法）1．（24-25九年級(jí)上·四川雅安·期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)(3)【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直接開平方法解一元二次方程；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程；（3）先化簡(jiǎn)，再利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，，；（3）解：，，．2．（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）計(jì)算或解方程：(1)計(jì)算：；(2)計(jì)算：；(3)解方程：；(4)解方程：．【答案】(1)；(2)；(3)，；(4)，．【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，解一元二次方程；根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則以及解一元二次方程的方法進(jìn)行計(jì)算，即可求解．（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，二次根式的乘除法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)因式分解法解一元二次方程；（4）先化為一般形式，然后直接開平方法解一元二次方程，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，∴，∴，∴或，解得：，；（4）解：，∴，即，∴，解得：，．3．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·期中）“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中的一種基本思想方法，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)此曾有生動(dòng)的描述：“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微”，下面我們分別以我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽（公元世紀(jì)）和公元世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米在解一元二次方程即時(shí)的做法為例加以說明．【學(xué)習(xí)研究】數(shù)學(xué)家趙爽的做法是，用四個(gè)邊長分別為，且面積為的矩形構(gòu)造成圖形狀的大正方形，然后用兩種方式表示出大正方形的面積，得到．從而得到一個(gè)正數(shù)解．阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米采用的方法是用一個(gè)邊長為的正方形和個(gè)邊長分別為，的矩形構(gòu)造出圖的形狀（面積為）并把它補(bǔ)成一個(gè)大正方形，然后也是用兩種方式表示出大正方形的面積，得到，從而得到一個(gè)整數(shù)解．（1）圖中，小正方形的邊長為____，將圖中補(bǔ)充完整（補(bǔ)充的部分用陰影表示）；【類比遷移】（2）小明想通過以上述構(gòu)造圖形的方法來解一元二次方程．請(qǐng)分別構(gòu)造以上兩種圖形，并在圖中標(biāo)注出相關(guān)線的長：（注：第一種方法中已經(jīng)畫好了一個(gè)矩形，第二種方法中已經(jīng)畫好了一個(gè)正方形，請(qǐng)?jiān)谝呀?jīng)畫好的圖形上進(jìn)行補(bǔ)充）請(qǐng)分別根據(jù)所畫圖形，求出方程的一個(gè)正數(shù)解．（注：需要寫出必要的推算過程）【拓展應(yīng)用】（3）一般地，形如的一元二次方程可以構(gòu)造類似以上圖形來求解，請(qǐng)選擇其中的一種方法，進(jìn)行圖形構(gòu)造，且在圖中標(biāo)注出相關(guān)線段的長，并直接寫出該方程的正數(shù)解與負(fù)數(shù)解．【答案】（1）2，作圖見解析；（2）①作圖見解析；②5（3）【分析】本題主要考查了解一元二次方程，（1）根據(jù)邊長之間的關(guān)系可得小正方形的邊長，再根據(jù)題意補(bǔ)充完整即可；（2）畫出圖形，根據(jù)面積相等列出方程，再求出解即可；（3）根據(jù)題意畫出圖形，標(biāo)注長度，再根據(jù)面積相等列出方程，求出解即可.【詳解】圖1小正方形的邊長為：；故答案為：2；補(bǔ)充完整，如圖所示；（2）①如圖所示，②用四個(gè)邊長分別為，且面積為的矩形構(gòu)造大正方形，用來那個(gè)中方式表示出大正方形的面積，得到整理，得，解得；，即，解得；（3），如圖所示，用四個(gè)邊長分別為，且面積為的矩形構(gòu)造大正方形，用兩種方式表示出大正方形的面積，得到可知，解得．壓軸滿分題六、配方法解一元二次方程與應(yīng)用1．（23-24九年級(jí)上·河北張家口·期末）老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，規(guī)則：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后解出方程．過程如圖所示：接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的是（

）A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁【答案】B【分析】本題考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)配方法解一元二次方程判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，甲中，丙中，∴甲和丙出現(xiàn)了錯(cuò)誤，故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·浙江寧波·期中）新定義：關(guān)于x的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．例如：與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程與是“同族二次方程”，則代數(shù)式的最小值是．【答案】2020【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項(xiàng)式相等的條件列出關(guān)于與的方程組，求出方程組的解得到與的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．【詳解】解：與是“同族二次方程”，，，，解得，，則代數(shù)式的最小值是2020．故答案為：2020．3．（24-25九年級(jí)上·河南商丘·階段練習(xí)）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答問題例題：求代數(shù)式的最小值解：∵

∴不代數(shù)式的最小值為4．(1)代數(shù)式的最小值為(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足，求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)2(2)5【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法．（1）先將原式變形，進(jìn)行配方后即可得答案；（2）由可得，再代入后，進(jìn)行配方，利用配方法即可得答案．【詳解】（1），，，的最小值是2，故答案為：2；（2），，，，代數(shù)式的最小值是5．壓軸滿分題七、一元二次方程根的判別式1．（23-24九年級(jí)上·湖南長沙·期末）已知關(guān)于的一元二次方程，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．實(shí)根的個(gè)數(shù)與的取值有關(guān) D．沒有實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷作答即可．【詳解】解：∵，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．2．（23-24九年級(jí)上·湖南湘潭·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．【答案】【分析】本題考查一元二次方程，根據(jù)根的判別式即可求出答案，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的根的判別式．【詳解】解：∵關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·湖南·階段練習(xí)）新定義：對(duì)于一元二次方程，若根的判別式是一個(gè)整數(shù)或整式的平方，則此方程叫“美好方程”．(1)判斷下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序號(hào)）①；②；③；(2)若關(guān)于的一元二次方程方程，①證明：此方程一定是“美好方程”；②設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，是否存在實(shí)數(shù)，使得始終在函數(shù)的圖象上？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①③(2)①證明見解析；②存在，的值為【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，解一元二次方程，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．（1）先計(jì)算根的判別式，再判斷完全平方數(shù)（式），即可得到答案；（2）①計(jì)算出根的判別式，即可證明結(jié)論；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根據(jù)一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出的值．【詳解】（1）解：①，，故符合題意；②，，故不符合題意；③，，故符合題意；故選：①③．（2）解：①證明：，，此方程一定是“美好方程”．②存在，理由如下：，，，始終在函數(shù)的圖象上，，，即存在實(shí)數(shù)，使得Px1,x2始終在函數(shù)的圖象上，的值為壓軸滿分題八、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線沿軸向上平移個(gè)單位長度得到直線，直線與反比例函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等相關(guān)知識(shí)，根據(jù)題意可得出直線的解析式，聯(lián)立，得出一元二次方程，令即可得出的值，得出關(guān)于的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由平移可得直線的解析式為：令整理得，∵直線與反比例函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，解得：或(舍去)，∴的值為4，故選：C．2．（2024·湖南株洲·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)根，且滿足，則m的值為．【答案】【分析】本題考查一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)，列式結(jié)合求解即可得到答案；【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)根，∴，，∵，∴，，∴，∴，解得：，，當(dāng)時(shí)，，，故不符合題意舍去，當(dāng)時(shí)，，，符合題意，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·湖南永州·期中）我們約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)滿足，我們就說點(diǎn)是該平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的“大九中”點(diǎn)，若函數(shù)圖象上存在一個(gè)或以上的“大九中”點(diǎn)的函數(shù)我們稱之為“幸福函數(shù)”．根據(jù)約定請(qǐng)解決以下問題：(1)若反比例函數(shù)是“幸福函數(shù)”，請(qǐng)問是否是該函數(shù)圖象上的“大九中”點(diǎn)？（填“是、否”即可）(2)若函數(shù)是“幸福函數(shù)”且函數(shù)圖象上有兩個(gè)“大九中”點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若反比例函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)“大九中”點(diǎn)為，且，求的值．【答案】(1)是函數(shù)圖象上的“大九中”點(diǎn)(2)，且(3)或【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵掌握相關(guān)知識(shí)，并理解“幸福函數(shù)”和“大九中”點(diǎn)的定義．（1）根據(jù)“大九中”點(diǎn)的定義判斷即可；（2）由函數(shù)是“幸福函數(shù)”，可得，整理可得，根據(jù)題意可得：，即可求解；（3）根據(jù)題意可得：，，整理得：，，推出，是方程的兩個(gè)根，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：，，是函數(shù)圖象上的“大九中”點(diǎn)；（2）函數(shù)是“幸福函數(shù)”，，即，整理得：，函數(shù)是“幸福函數(shù)”且函數(shù)圖象上有兩個(gè)“大九中”點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，解得：，，，，且；（3）反比例函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)“大九中”點(diǎn)為，，，，，，，，整理得：，，，是方程的兩個(gè)根，，，整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，方程為，，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為，，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意；綜上，或．壓軸滿分題九、一元二次方程的應(yīng)用（營銷、傳播、工程）問題1．（23-24九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染，請(qǐng)用一元二次方程的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，那么經(jīng)過三輪感染后，被感染的電腦共有多少臺(tái)？【答案】每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染8臺(tái)電腦；經(jīng)過三輪感染后，被感染的電腦共有729臺(tái)【分析】設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，則有1+x+（1+x）x=81，再解方程求出滿足條件的x的值，然后計(jì)算81（1+x）即可．【詳解】解：設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，得：1+x+（1+x）x=81即（1+x）2=81解得x1=8，x2=﹣10（不合題意，舍去），所以經(jīng)過三輪感染后，被感染的電腦共有81+81×8=729臺(tái)．答：每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染8臺(tái)電腦．經(jīng)過三輪感染后，被感染的電腦共有729臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是本題的關(guān)鍵．2．（24-25九年級(jí)上·四川攀枝花·期中）暑假期間，為了加強(qiáng)青少年積極參加體育鍛煉，某體育用品店開展乒乓球拍促銷活動(dòng)．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某體育用品店近幾個(gè)月的乒乓球拍銷售量逐月提升，已知6月共銷售乒乓球拍副，每月的月銷售增長率相同，8月共銷售副，求該乒乓球拍6月份到8月份銷售量的月平均增長率；(2)已知某體育用品店乒乓球拍平均每天可銷售副，每副盈利元，每下降1元，則每天可多售4副，在每副降價(jià)幅度不超過10元的情況下，如果每天要盈利1000元，則每副乒乓球拍應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)該乒乓球拍6月份到8月份銷售量的月平均增長率為；(2)每副乒乓球拍應(yīng)降價(jià)元．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)平均每月增長率為x，利用8月銷售量6月銷售量增長率，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每副乒乓球拍降價(jià)y元，則每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用總利潤每副的銷售利潤日銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)平均每月增長率為x，根據(jù)題意得：，解得：或（舍去），答：該增長率為；（2）解：設(shè)每副乒乓球拍降價(jià)y元，則每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，根據(jù)題意得：，即，解得：或（舍去），答：每副乒乓球拍應(yīng)降價(jià)元．3．（23-24九年級(jí)上·四川內(nèi)江·期中）由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測(cè)，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護(hù)人員到一個(gè)大型小區(qū)設(shè)置了、兩個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行核酸采樣，當(dāng)天共采樣9220份，已知點(diǎn)平均每人采樣720份，點(diǎn)平均每人采樣700份．(1)求、兩點(diǎn)各有多少名醫(yī)護(hù)人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護(hù)人員前往這個(gè)小區(qū)進(jìn)行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數(shù)個(gè)商戶也納入這個(gè)小區(qū)采樣范圍，同時(shí)重新規(guī)劃，決定從點(diǎn)抽調(diào)部分醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)每減少1名醫(yī)護(hù)人員，人均采樣量增加10份，點(diǎn)人均采樣量不變，最后當(dāng)天共采樣9360份，求從點(diǎn)抽調(diào)了多少名醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)？【答案】(1)A檢測(cè)隊(duì)有6人，B檢測(cè)隊(duì)有7人(2)從B檢測(cè)隊(duì)中抽調(diào)了2人到A檢測(cè)隊(duì)【分析】（1）設(shè)A點(diǎn)有x名醫(yī)護(hù)人員，B點(diǎn)有y名醫(yī)護(hù)人員，根據(jù)“A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)共13名醫(yī)護(hù)人員，且當(dāng)天共采樣9220份”，即可得出關(guān)于x，y的且當(dāng)天共采樣9220份，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)從B點(diǎn)抽調(diào)了m名醫(yī)護(hù)人員到A點(diǎn)，則B點(diǎn)平均每人采樣份,根據(jù)重新規(guī)劃后當(dāng)天共采樣9360份，即可得出關(guān)于m的一元_二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)A檢測(cè)隊(duì)有人，B檢測(cè)隊(duì)有人，依題意得：，分解得：答：A檢測(cè)隊(duì)有6人，B檢測(cè)隊(duì)有7人；（2）解：設(shè)從B檢測(cè)隊(duì)中抽調(diào)了人到A檢測(cè)隊(duì)，則B檢測(cè)隊(duì)人均采樣人，依題意得：，解得：，解得：，，由于從B對(duì)抽調(diào)部分人到A檢測(cè)隊(duì)，則故，答：從B檢測(cè)隊(duì)中抽調(diào)了2人到A檢測(cè)隊(duì)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．壓軸滿分題十、一元二次方程的應(yīng)用（幾何、行程、圖形）問題1．（2024·四川成都·一模）為切實(shí)推進(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場(chǎng)、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動(dòng)．學(xué)生堅(jiān)持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時(shí)從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個(gè)過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480米(2)70分鐘【分析】（1）設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；（2）設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，再根據(jù)熱量的消耗規(guī)律建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，既是所列分式方程的解也符合題意，則，答：小明每分鐘跑480米．（2）解：設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：小明從地到地鍛煉共用70分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．2．（24-25九年級(jí)上·四川眉山·期中）如圖所示，已知在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，若一動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，則另一個(gè)也隨之停止．(1)如果、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？(2)在（1）中，的面積能否等于？說明理由．【答案】(1)1秒后的面積等于(2)不能等于，理由見詳解【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用；（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，的面積等于，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，表示出和的長可列方程求解．（2）根據(jù)（1）的方法列出方程，通過根的判別式即可判定能否達(dá)到．【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒以后面積為，依題意，則，整理得：，解得：（舍去），答：1秒后的面積等于；（2）解：的面積不能等于，理由如下∶設(shè)經(jīng)過t秒以后面積為，則，整理得：，，所以此方程無解，故的面積不能等于．3．（24-25九年級(jí)上·安徽淮南·階段練習(xí)）有如下問題：“平面上，分別有2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)、5個(gè)點(diǎn)，…，個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上，經(jīng)過每?jī)牲c(diǎn)畫一條直線，它們分別可以畫多少條直線？”為了解決這一問題，小明設(shè)計(jì)了如下圖表進(jìn)行探究：點(diǎn)數(shù)2345…示意圖…直線1…(1)當(dāng)點(diǎn)數(shù)時(shí)，直線的條數(shù)是______；(2)請(qǐng)你幫小明在下列橫線上填上歸納出的一般性結(jié)論：______；(3)若某人共畫了190條直線，則該平面上共有多少個(gè)點(diǎn)？【答案】(1)45(2)(3)該平面上共有20個(gè)點(diǎn)【分析】本題主要考查了圖形類的規(guī)律探索，一元二次方程的應(yīng)用：（1）根據(jù)前幾個(gè)圖形中點(diǎn)與直線的個(gè)數(shù)關(guān)系可得規(guī)律，n個(gè)點(diǎn)有條直線，據(jù)此規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)（1）所求即可得到答案；（3）根據(jù)（2）所求可得方程，解方程，看方程是否有正整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：2個(gè)點(diǎn)有1條直線，3個(gè)點(diǎn)有條直線，4個(gè)點(diǎn)有條直線，5個(gè)點(diǎn)有條直線，……，以此類推可知，n個(gè)點(diǎn)有條直線，∴當(dāng)點(diǎn)數(shù)時(shí)，直線的條數(shù)是；（2）解：由（1）可知，；（3）解：當(dāng)時(shí)，整理得：．解得，或（不合題意，舍去）．答：該平面上共有20個(gè)點(diǎn)．壓軸滿分題十一、平行線分線段成比例1．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中四邊形與四邊形都是正方形，點(diǎn)H為的中點(diǎn)．連結(jié)并延長，分別交正方形各邊于點(diǎn)M，N，P，Q，若，則的長為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，連接并延長交于T，推出四邊形是平行四邊形，得到，求得，過P作于L，根據(jù)勾股定理得到，于是得到的長【詳解】解：∵四邊形都是正方形，，∴,∵點(diǎn)H為的中點(diǎn)，∵四個(gè)直角三角形全等，∴，連接并延長交于T，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴∵∴∴，過P作于L，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴或（不合題意舍去）∴，∴的長，故選：C．2．（23-24九年級(jí)上·重慶忠縣·期中）如圖，在等腰中，，點(diǎn)和點(diǎn)分別在AB和上，連接DE，將沿DE翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在上，若，，，則的長為．【答案】【分析】先作，，根據(jù)平行線的判定即可推得，結(jié)合三線合一、勾股定理求出、CF、后，由平行線分線段成比例得到后，再結(jié)合翻折性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作，，則，，，，，，，，即，，，，，，將沿DE翻折，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的判定、三線合一、勾股定理、平行線分線段成比例、翻折性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例．3．（24-25九年級(jí)上·四川遂寧·期中）請(qǐng)閱讀下面的材料，并回答所提出的問題．三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．(1)已知：如圖1，在中，是角平分線，求證：．證明：過C作，交的延長線于E．（完成以下證明過程）(2)用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：①已知：如圖2，在中，是角平分線，，，．求的長．②如圖3，在中，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，是的平分線，，則的長為____________．【答案】(1)見解析(2)①cm；②【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，角平分線的定義，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由，可求證，，，可得，即可求解；（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求解．②根據(jù)（1）可得，進(jìn)而得出，根據(jù)是中點(diǎn),得出，進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例得出的長，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，∵，∴，，，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：①∵是角平分線，∴，∵，，，∴，解得cm；②解：∵是角平分線，∴，∴，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．故答案為：9．壓軸滿分題十二、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合1．（24-25九年級(jí)上·四川成都·期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．（1）由四邊形是矩形，得到，，從而有，根據(jù)得，即可求證；（2）設(shè)，由得出，則可得出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，；（2）解：∵，設(shè)，則在中，由勾股定理得，∵四邊形是矩形，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，且，，解得，．2．（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖，直線分別交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，且，相交于點(diǎn)，已知，．(1)求的長；(2)當(dāng)時(shí)，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理與相似三角形的應(yīng)用（1）利用平行線分線段成比例定理求得，可求得的長，進(jìn)一步可求得的長．（2）利用平行線性質(zhì)得到,則，即，可求得的長，然后可求得的長，然后再利用，即可求得的長．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，

∴，∴∴∴，∴，∴，∴∴，∴．3．（24-25九年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，，，連接，，探究，的位置關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出與的位置關(guān)系：_____________；與的數(shù)量關(guān)系為______________；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，寫出正確的結(jié)論并說明理由．（與的數(shù)量關(guān)系可用含式子表示）【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)，，時(shí)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長．【答案】（1）；；（2）當(dāng)時(shí)，成立，不成立，應(yīng)為．理由見解析；（3）的長為或【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（2）證明，得出，，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（3）分兩種情況：當(dāng)D在線段上時(shí)，同（2）知，，故，得，根據(jù)勾股定理得，解得；當(dāng)E在線段上時(shí)，，解得．【詳解】解：（1）如圖，延長交于，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，故答案為：；；（2）成立，不成立，應(yīng)為．理由如下：延長交于，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，則，∵，，∴，∴；（3）當(dāng)D在線段上時(shí)，如圖：同（2）可得，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，解得（舍去）；當(dāng)E在線段上時(shí)，如圖：同理可得，解得（舍去）；綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．壓軸滿分題十三、證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例1．（2024·河北唐山·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE∶EC＝2∶3，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則DF∶BF等于（

）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2【答案】A【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得出AB∥CD且AB＝CD，結(jié)合DE∶EC＝2∶3可得出＝，由AB∥CD可得出，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF∶BF的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD．∵DE∶EC＝2∶3，∴＝＝＝．∵AB∥CD，∴，∴＝＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解題的關(guān)鍵．2．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，OA＝3，AB＝4，OA⊥AB．(1)△OAB的面積為；(2)若點(diǎn)C在線段OB上，OC＝2BC，雙曲線過點(diǎn)C，則k＝．【答案】6【分析】（1）△OAB的面積為：×OA×AB，代入數(shù)計(jì)算即可；（2）過C作CD⊥OA，可得△OCD∽△OBA，從而得到對(duì)應(yīng)線段成比例，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出k．【詳解】（1）△OAB的面積為：×OA×AB＝×3×4＝6；（2）過C作CD⊥OA，∵OA⊥AB，∴CD∥AB，∴△OCD∽△OBA，∴，∵OC＝2BC，∴，∴，=，∵OA＝3，AB＝4，∴OD＝2，CD＝，∴C(2，)，∵雙曲線過點(diǎn)C，∴k＝．故答案為6；．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的面積求法，相似三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，關(guān)鍵是同學(xué)們掌握好基礎(chǔ)知識(shí)．3．（2023·上海松江·一模）如圖，已知梯形中，．是邊上一點(diǎn)，與對(duì)角線交于點(diǎn)，且．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由可證，得到，再由得到，即可證明；（2）由得到，得到，進(jìn)而得到，即可得到．【詳解】（1）∵，∴∵，∴∴∵，∴∴；（2）∵，∴∵，∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定方法是解題的關(guān)鍵．壓軸滿分題十四、相似三角形的應(yīng)用1．（24-25九年級(jí)上·四川眉山·期中）一塊直角三角形木板的一條直角邊AB為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，小明打算按圖1的方式進(jìn)行加工，小華準(zhǔn)備按圖2的方式進(jìn)行加工，加工損耗忽略不計(jì)，請(qǐng)用學(xué)過的知識(shí)說明誰的加工方案符合要求？【答案】小明，見解析【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，圖中，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得；圖中，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比即可求得．首先根據(jù)勾股定理求得直角三角形的直角邊，再根據(jù)找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．【詳解】解：由得.設(shè)小明加工的桌面邊長為.因?yàn)椋?，所以，所以，即，解得；設(shè)小華加工的桌面邊長為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交DE于點(diǎn)，因?yàn)樗裕驗(yàn)樗?，因?yàn)椋?，所以，所以即，解得，因?yàn)?，所以故小明的加工方案符合要?2．（24-25九年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量凌霄塔的高度．如圖，塔前有一棵小樹的高度米，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)、樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測(cè)得米，，之間有一個(gè)花圃距離無法測(cè)量；然后，在處放置一平面鏡，沿后退，退到處恰好在平面鏡中看到樹頂?shù)南?，米，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1.6米；已知，，，且、、、在同一水平線上．(1)請(qǐng)求出的距離；(2)請(qǐng)求出凌霄塔的高度．（平面鏡的大小厚度忽略不計(jì)）【答案】(1)9米(2)40米【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)題意可得，，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算可得米；（2）證明，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，，∵，，，∴，∴，∴，∴解得米，（2）解：∵，∴，∴∴解得：米,∴凌霄塔的高度為米．3．（2024·河南商丘·二模）如圖1，在等腰中，，點(diǎn)D為斜邊AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．作，DE，DF分別交AB，AC于點(diǎn)E和點(diǎn)F．請(qǐng)根據(jù)圖形解答下面問題：【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，若點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出DE，DF的數(shù)量關(guān)系_________．【類比探究】（2）如圖2，若點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，且．猜想DF與DE的數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在邊長為4的等邊中，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，作．DE交AC邊于點(diǎn)E．請(qǐng)問在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果沒有，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值為1．【分析】（1）連接，證明，即可求證；（2）分別過點(diǎn)、作、交于點(diǎn)，根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，求得DF與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）由題意可知，設(shè)，求出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）連接，如下圖：∵點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)∴又∵為等腰直角三角形∴，，∴又∵∴∴∴（2）分別過點(diǎn)、作、交于點(diǎn)∵為等腰直角三角形∴又∵、∴、為等腰直角三角形∴，∵，∴∴∴∴，，∴，∴又∵∴∴，即（3）∵，∴又∵∴∴∴設(shè)，∴∴當(dāng)時(shí)，最大，最大為1．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的綜合應(yīng)用，涉及到三角形全等、相似以及二次函數(shù)的性質(zhì)，其中多次利用了“一線三等角”模型，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．壓軸滿分題十五、三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用1．（2023·江西·一模）如圖，四邊形中，，，，請(qǐng)用無刻度的直尺按要求畫圖（不寫做法，保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，畫出的中點(diǎn)．(2)在圖2中，畫出的中點(diǎn)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）延長、，它們相交于點(diǎn)，連接、，它們相交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)；（2）連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，然后延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)為所求．（2）如圖，點(diǎn)為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作也考查了中位線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)．2．（23-24九年級(jí)上·福建福州·期中）如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，點(diǎn)G在射線FC上，且，EF與DG的延長線相交于點(diǎn)H．(1)當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)E在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，問：（1）中的度數(shù)是否發(fā)生變化？若改變，求的度數(shù)的變化范圍；若不變，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)45°(2)∠H的度數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，且∠H=45°【分析】（1）根據(jù)AE=EB=BF=FG=，證明點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，證明△BEF≌△GHF，得到BE=GH，從而得到FG=GH，判定△FGH是等腰直角三角形，從而得證．（2）如圖，連接AC、BD二線交于點(diǎn)O，連接OE、OF，運(yùn)用正方形的性質(zhì)，判定△OEF是等腰直角三角形，再證明OF//DG即可得證．【詳解】（1）∵正方形ABCD中，，E為AB中點(diǎn)，∴AE=EB=BF=FG=，∠EBF=∠BCD=90°，∴點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，∠FGH=90°，∴△BEF≌△GHF，∴BE=GH，∴FG=GH，∴△FGH是等腰直角三角形，∴∠H=45°．（2）∠H的度數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，且∠H=45°．理由如下：如圖，連接AC、BD二線交于點(diǎn)O，連接OE、OF，∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OC，AB=BC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=∠BOF+∠COF=90°．∵AE=BF=FG，∴BE=CF，∴△OBE≌△OCF，∴OE=OF，∠BOE=∠COF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠EOF=90°，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OFE=45°．∵BF=FG，OB=OD，∴OF//DG，∴∠OFE=∠H=45°．故∠H的度數(shù)大小不變，且∠H=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形全等判定，三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．3．（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）本學(xué)期我們研究了三角形的中位線的性質(zhì)，回顧研究的過程，請(qǐng)回答以下問題：(1)三角形中位線定理是：；(2)梯形是有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形，連接梯形兩腰的中點(diǎn)，得到的線段叫做梯形的中位線．如圖①，就是梯形的中位線，梯形的中位線具有什么性質(zhì)呢？小明思考之后給出了如下的證明思路：如圖②，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)G．先證和全等，再說明是△ABG的中位線．經(jīng)過你的分析，請(qǐng)寫出梯形的中位線和兩底、之間的關(guān)系：、；

(3)已知梯形的中位線長為，高為，則梯形面積是；(4)如圖③，直線l為外的任意一條直線，過A、B、C、D分別作直線l的垂線段、、、，請(qǐng)?zhí)剿骶€段、、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】(1)三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半(2)；(3)42(4)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理解答即可；（2）先證和全等，再說明是△ABG的中位線．利用三角形中位線定理得出結(jié)論；（3）根據(jù)梯形的中位線長為，得出梯形兩底和的一半等于于，再根據(jù)梯形面積公式計(jì)算即可；（4）連接、相交于O，過點(diǎn)O作于P，利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線等分線段定理得出是梯形的中位線，是梯形的中位線，再利用梯形的中位線性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：三角形中位線定理是：三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．（2）解：；．證明：連接并延長，交的延長線于點(diǎn)G．如圖，

∵，∴，，∵就是梯形的中位線，∴∴∴，，∴是的中位線，∴，，即，∵∴．（3）解：∵梯形的中位線長為，∴梯形兩底和的一半等于于，∴（4）解：，證明：連接、相交于O，過點(diǎn)O作于P，如圖，

∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，，，∴，∴，，∴是梯形的中位線，是梯形的中位線，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形與梯形中位線性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線等分線段定理．熟練掌握三角形中位線性質(zhì)和應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．壓軸滿分題十六、位似圖形1．（23-24九年級(jí)上·重慶·期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，與是以為位似中心的位似圖形，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則與的周長比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查位似變換，相似三角形的性質(zhì)，掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似變換的概念得到，根據(jù)題意求出相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：與是以為位似中心的位似圖形，與的相似比是，故與的周長比是，故選A．2．（2024·四川成都·三模）如圖，與位似，點(diǎn)O為位似中心，已知，則與的面積比為．

【答案】【分析】本題考查位似圖形的概念，相似三角形的性質(zhì)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)位似圖形的概念求出與的相似比，再根據(jù)相似的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方解題即可．【詳解】解：∵，∴，與位似，與的位似比為，與的相似比為，與的面積比為，故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，和是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若的面積為m，則的面積為．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了位似變換，相似三角形的性質(zhì)，正確得出位似比是解題的關(guān)鍵．（1）首先得到和的位似比為，進(jìn)而求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵和是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴位似比為，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）∵，且相似比為，的面積為m，∴的面積為．壓軸滿分題十七、坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱1．（2023·浙江臺(tái)州·三模）如圖，正方形的頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0，以為邊構(gòu)造菱形，將菱形與正方形組成的圖形沿y軸翻折，此時(shí)點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)與軸對(duì)稱，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)，的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)，求出點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，∵正方形，∴，∴，，∵菱形，∴軸，，∴，∴將菱形與正方形組成的圖形沿y軸翻折，此時(shí)點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；故選B．2．（23-24九年級(jí)上·新疆烏魯木齊·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，直線經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的度數(shù)為；點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．【答案】/75度【分析】題目主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．根據(jù)等邊對(duì)等角確定，再由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出直線垂直平分，結(jié)合圖形即可求解確定；過A作軸于C，過作軸于D．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合圖象即可求解．【詳解】解：∵∴．∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸的正半軸上，∴直線垂直平分，∵直線經(jīng)過原點(diǎn)O，∴，∴．如圖，過A作軸于C，過作軸于D．∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∵，∴，∵點(diǎn)在第四象限，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故答案為：；．3．（24-25九年級(jí)上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）在“勾股定理”一章的學(xué)習(xí)中，我們體會(huì)到了勾股定理應(yīng)用的廣泛性，以及“數(shù)形結(jié)合”是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法．【已有認(rèn)識(shí)】由于，由此得到在數(shù)軸上尋找所表示的點(diǎn)的方法，如圖1．【已有認(rèn)識(shí)】結(jié)合正方形網(wǎng)格，我們還可以表示某些長度為無理數(shù)的線段．【拓展運(yùn)用】（1）請(qǐng)?jiān)趫D2正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為-1）內(nèi)．①畫出頂點(diǎn)在格點(diǎn)的，其中，②直接寫出的面積=____________，點(diǎn)C到AB邊的距離為____________．【拓展運(yùn)用】（2）①在圖3中，設(shè)軸，軸，于點(diǎn)，則____________，____________，由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離公式，；②圖4中，平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)為軸上任一點(diǎn)，則的最小值為____________；③應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式的最大值為：____________．【答案】（1）①見解析；②2，；（2）①，；②；③【分析】本題是三角形的綜合題，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，勾股定理，軸對(duì)稱最短路徑問題，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意畫出圖形；②根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）①根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；②利用軸對(duì)稱求最短路線方法得出點(diǎn)位置，進(jìn)而求出的最小值．③把看成點(diǎn)到兩點(diǎn)和的距離之和，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①如圖所示；②，，的面積，點(diǎn)到邊的距離，故答案為：2，；（2）①軸，軸，，，，故答案為：，；②如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，直線與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．，，，，即的最小值為，故答案為：；③把式看成點(diǎn)到兩點(diǎn)和的距離之差，兩點(diǎn)和的距離是的最大值，最大值為：，故答案為：．壓軸滿分題十八、在坐標(biāo)系中求兩個(gè)位似圖形的相似比、周長比或面積比1．（2023·河南洛陽·一模）如圖，點(diǎn)是的重心，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形．則與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是的重心得到，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，得到∽，，推出∽，得到，同理可得，由此可解．【詳解】解：點(diǎn)是的重心，，，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，∽，，∽，，同理可得，與的面積之比為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形，三角形的重心，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．2．（23-24九年級(jí)上·遼寧丹東·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若A，B的橫坐標(biāo)分別為1，，則的長為．【答案】/【分析】先根據(jù)A，B的橫坐標(biāo)求得的長，進(jìn)而求得的長，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到且，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵A，B的橫坐標(biāo)分別為1，∴，∵正方形，正方形∴，∵正方形與正方形是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為1∶3，∴，且，∴，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形是解題的關(guān)鍵．3．（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期中）已知在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示：(1)在圖中畫出沿x軸翻折后的；(2)以點(diǎn)為位似中心，在第一象限畫出與位似的三角形，使與的相似比為；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)___________；與的周長比是___________，與的面積比是___________．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)，，【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變換—軸對(duì)稱與位似：（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，畫出即可；（2）根據(jù)位似的性質(zhì)，畫出即可；（3）直接寫出的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）如圖所示，即為所求；（3）由圖可知，，∵翻折，∴，∵與的相似比為∴與的相似比為，∴與的周長比是，與的面積比是；故答案為：，，．壓軸滿分題十九、直角三角形的性質(zhì)1．（23-24九年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）如圖，在中，，，是的高，平分，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則的長是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、角平分線定義、等腰三角形和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明．根據(jù)，，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)即可求得的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到，根據(jù)平行的，從而可推出，即得到了的長．【詳解】解：∵，∴，∴（根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)），∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．故選：B．2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)D，E分別為、AB的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，當(dāng)C，，在同一直線上時(shí)，則的長為．【答案】或【分析】本題主要考查三角形中位線定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和分類討論思想的應(yīng)用，根據(jù)三角形中點(diǎn)得，，，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，分情況討論可得，利用線段和差關(guān)系即可．【詳解】解：∵，，點(diǎn)D，E分別為、AB的中點(diǎn)，∴，，，∵，∴，∵繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，∴，則，∵，，∴，∴，∵∴，故的長或．3．（24-25九年級(jí)上·湖北·階段練習(xí)）在等邊中，點(diǎn)D，E分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，AD交CE于點(diǎn)F．(1)如圖1，填空：D，E在運(yùn)動(dòng)過程中，AD與CE的數(shù)量關(guān)系為：______；的度數(shù)為______；(2)如圖2，過C作于P，；①求CF之長；②若，求AB之長；(3)如圖3，于P，連接，若，求證：．【答案】(1)相等，(2)①；②(3)見解析【分析】（1）證即可求解；（2）①由（1）可得，即可求解；②由題意得，進(jìn)一步推出，求得，即可求解；（3）作，交的延長線于點(diǎn)，連接，證得，再證得，推出是等邊三角形，證，即可求證；【詳解】（1）解：由題意得：，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：相等，（2）解：①∵，∴，∴；②∵，∴，∴，∴，由①可求得：，∴，∴（3）證明：作，交的延長線于點(diǎn)，連接，如圖所示：∵，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及含度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．壓軸滿分題二十、三角函數(shù)的定義求邊長1．（2024·湖北恩施·三模）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，左圖為其橫截面示意圖，其形狀均為正六邊形，右圖中的7個(gè)全等的正六邊形不重復(fù)且無縫隙，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心建立平面直角坐標(biāo)系，已知，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，由正六邊形，可得，，則是等邊三角形，，則，，，進(jìn)而可得Q點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，∵正六邊形，∴，，∴是等邊三角形，，∴，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正弦，點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)．熟練掌握正多邊形的內(nèi)角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正弦，點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山西太原·三模）如圖，已知在中，，，，過點(diǎn)C作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，……，按此方法得到的的長為．【答案】【分析】由，，，，可得，由，可得，由，，，可得，由，可得，由題意知，，，則，，，可推導(dǎo)一般性規(guī)律為，然后求解作答即可．【詳解】解：由題意知，，，，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∵，∴，由題意知，，，∴，∴，，∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，余弦，正弦，圖形的規(guī)律探究．根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（24-25九年級(jí)上·重慶渝中·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，連接交于點(diǎn)，，且．(1)求的長；(2)若，求的長．【答案】(1)6(2)【分析】本題考查了正切，勾股定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握正切，勾股定理，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由，可得，即，設(shè)，則，，由勾股定理得，，可求，進(jìn)而可求；（2）如圖，過C作于F，由，可得，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，可求，則，，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，設(shè)，則，，由勾股定理得，，解得，，∴，∴的長為6；（2）解：如圖，過C作于F，∵，∴，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，解得，，∴，，由勾股定理得，，∴的長為．壓軸滿分題二十一、三角函數(shù)綜合1．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的平行四邊形中，射線、分別平分、，且分別交邊、于點(diǎn)、，已知．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若為的中點(diǎn)，且的面積等于，求平行線與間的距離．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證，再證，從而四邊形是平行四邊形，又，于是四邊形是菱形；（2）連接，先證明是等邊三角形，得到，再證，，于是有，最后根據(jù)面積公式即可求得．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，、分別平分、，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）解：連接，由（1）知，，，為的中點(diǎn)，，四邊形是菱形，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，解得：，平行線與間的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，外接于銳角，為邊的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過作的垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，已知平分且．(1)試求的度數(shù)．(2)①證明：．②若，求的值．【答案】(1)(2)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)同弧圓周角相等得，然后利用直角三角形兩個(gè)銳角互余，以及等量代換，即可解決問題；（2）①結(jié)合等腰三角形性質(zhì)，證明，即可解決問題；②過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，設(shè)，根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)即可解決問題【詳解】（1）解：平分，，，，，，，，；（2）①證明：，D為中點(diǎn)，，，，，，，；②解：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，根據(jù)題意設(shè)，，，，，，，，，，的值為【點(diǎn)睛】本題考查同圓中同弧圓周角相等，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用．3．（2024·寧夏銀川·二模）閱讀、理解、應(yīng)用研究間的角的三角函數(shù)，在初中我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦余弦和正切三種三角函數(shù)，即在圖所示的直角三角形，是銳角，那么，，．為了研究需要，我們?cè)購牧硪粋€(gè)角度來規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個(gè)角α，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系（圖），在角α的終邊上任取一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，終邊可以看作是將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得到的，和原點(diǎn)O0,0的距離為（總是正的）然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，（其中，分別是點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)）我們知道，圖的三個(gè)比值的大小與角的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖中四個(gè)比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，三個(gè)比值的正、負(fù)取決于角α的終邊所在的象限，而與點(diǎn)在角α的終邊位置無關(guān)．比較圖與圖，可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題．(1)如圖3，若，則角α的三角函數(shù)值α、α、α，其中取正值的是．(2)已知α是鈍角，則下列說法正確的是．．．．α．α>0(3)若角α的終邊與直線重合，則αα．(4)若角α是銳角，其終邊上一點(diǎn)且，試求和α的值．【答案】(1)α(2)A(3)或(4)的值為；α的值為【分析】（1）由點(diǎn)Px,y在第四象限，推出，根據(jù)（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義分析求解即可；（3）分兩種情形討論即可解決問題；（4）根據(jù)α是銳角，終邊上一點(diǎn)在第一象限，，進(jìn)而得，進(jìn)而得解得或（舍去），從而即可得解．【詳解】（1）解：∵，∴點(diǎn)Px∴，∵，∴，∴取取正值的是，故答案為：；（2）解：α是鈍角，則α的終邊在第二象限，∴，，而>0，∴，故正確；∵，，∴，故不正確；∵，，，∴，故不正確；，故不正確；故答案為：；（3）解：由角α的終邊與直線重合，設(shè)角α終邊上一點(diǎn)為，∴，當(dāng)m>0時(shí)，，，，∴；當(dāng)時(shí)，，，，∴；故答案為：或；（4）解：∵角α是銳角，∴終邊上一點(diǎn)在第一象限，，∴，∵，∴，解得或（舍去）；經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴的值為；∴，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、三角函數(shù)的定義、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．壓軸滿分題二十二、解直角三角形1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為等腰直角三角形，平分，交于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)D，交的延長線于點(diǎn)E，于點(diǎn)G．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．易得，通過證明，得出，再證明，得出，即可判斷A；過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，設(shè)，則，通過證明，得出，則，在得出，根據(jù)正切的定義，即可判斷B；易得，則，即可推出，即可判斷C；過點(diǎn)C作于點(diǎn)P，易得四邊形為矩形，則，通過證明，得出，進(jìn)而求證，得出，即可判斷D．【詳解】解：∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，則，故A錯(cuò)誤，符合題意；過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，設(shè)，則，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，則，∵，，∴，∴，故B正確，不符合題意；∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，故C正確，不符合題意；過點(diǎn)C作于點(diǎn)P，∵，，，∴四邊形為矩形，則，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故D正確，不符合題意；故選：A．

2．（24-25九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，為對(duì)角線，于點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，線段的延長線交于點(diǎn)．若，，，則的長為．【答案】/【分析】本題主要考查了解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)綜合，勾股定理等等，先解直角三角形得到，設(shè)，由勾股定理得到，解方程可得；再由平行四邊形的性質(zhì)得到，則，如圖所示，以點(diǎn)E為圓心，直線和直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，證明，得到，解方程得到，求出直線解析式為，直線解析式為，聯(lián)立，解得，則，即可得到．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，設(shè)，在中，由勾股定理得，∴，解得或（舍去），∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，如圖所示，以點(diǎn)E為圓心，直線和直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，解得，∴，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，同理可知直線解析式為，聯(lián)立，解得，∴，∴，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·河北承德·期中）在一場(chǎng)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)活動(dòng)中，某同學(xué)用兩套三角尺（每一套含有30°與的兩個(gè)直角三角形，且兩個(gè)三角形斜邊上的高相等）拼出了如圖所示的平行四邊形，且中間包含了一個(gè)小平行四邊形，若三角尺斜邊上的高均為h．(1)①求兩種直角三角形的直角邊長（結(jié)果用表示）；②求出中間小平行四邊形的面積（結(jié)果用表示）；(2)請(qǐng)畫出另一種符合題意的平行四邊形，要求不與給定的圖形狀相同，并畫出三角形的直角邊．【答案】(1)①和；②(2)見解析【分析】（1）①解直角三角形即可求解；②由題意可知四邊形是矩形，利用線段的和差可求出矩形的邊長，進(jìn)而可求出面積；（2）根據(jù)題意畫出圖形即可；【詳解】（1）解：①如圖1，為等腰直角三角形，，則；如圖2，為含30°的直角三角形，，，，則，．綜上，等腰直角三角形直角邊長為，含30°的直角三角形直角邊長分別為和．②如圖3，由題意可知，∴四邊形是矩形，由圖可得，，，∴（2）如圖4，即為所作圖形．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面積，圖形設(shè)計(jì)，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．壓軸滿分題二十三、解直角三角形的應(yīng)用1．（23-24九年級(jí)·重慶·自主招生）如圖，公路為東西走向，村莊M在點(diǎn)A北偏東方向，且距離A點(diǎn)5千米處，村莊N與村莊M之間的距離為千米，且．求N、A之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】N、A之間的距離為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)M作于C，過N作于E，過M作于D，求出，，由，得到，設(shè)，則，求出，，根據(jù)勾股定理得，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)M作于C，過N作于E，過M作于D，如圖，則，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，，∵，，設(shè)，則，∴，，在中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得或（舍去），∴，∴．∴N、A之間的距離為．2．（23-24九年級(jí)上·河南安陽·階段練習(xí)）安陽紅旗渠機(jī)場(chǎng)于2023年11月29日正式通航，很多市民共同見證了這一歷史時(shí)刻．如圖，市民甲在處看見飛機(jī)A的仰角為45°，同時(shí)另一市民乙在斜坡上的處看見飛機(jī)A的仰角為30°，若斜坡的坡比，鉛垂高度米（點(diǎn)、、、在同一水平線上）．求飛機(jī)距離地面的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】飛機(jī)距離地面的高度為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確理解題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)坡比的概念得到米，然后證明米，，設(shè)米，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程，并求解即得答案．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，斜坡的坡比，鉛垂高度米，，米，，，四邊形是矩形，米，，，，是等腰直角三角形，，設(shè)米，則米，米，在中，，，解得，米，答：飛機(jī)距離地面的高度為米．3．（24-25九年級(jí)上·山西長治·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求九年級(jí)班各學(xué)習(xí)小組的同學(xué)測(cè)量操場(chǎng)上不同旗桿的高度，活動(dòng)過程如下：【實(shí)地測(cè)量】(1)利用鏡子測(cè)量：如圖，小康站在操場(chǎng)上點(diǎn)處，前面水平放置鏡面，并通過鏡面觀測(cè)到旗桿頂端，．小組中的同學(xué)測(cè)得小康的眼睛距地面高度米，小康到鏡面的距離米，鏡面到旗桿的距離米．求旗桿的高度．(2)利用標(biāo)桿測(cè)量：如圖，小英站在操場(chǎng)上的點(diǎn)處，她的眼睛，標(biāo)桿的頂端和旗桿的頂端在一條直線上，小組中的同學(xué)測(cè)得小英的眼睛到地面的高度為1.5米，標(biāo)桿高米，米，米，DE，CF，AB均垂直于地面，與水平面平行．求旗桿的高度．(3)利用側(cè)角儀測(cè)量：小華所在的小組決定先在水平地面