2025-2026學(xué)年上海市徐匯區(qū)中國(guó)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正確的是A． B． C． D．2．（4分）下列二次函數(shù)中，如果函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是軸，那么這個(gè)函數(shù)是A． B． C． D．3．（4分）下列說(shuō)法中，正確的是A．如果，是非零向量，那么 B．如果是單位向量，那么 C．如果，那么或 D．已知非零向量，如果向量，那么4．（4分）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，聯(lián)結(jié)小正方形中兩個(gè)頂點(diǎn)、，如果線段與網(wǎng)格線的其中兩個(gè)交點(diǎn)為、，那么的值是A． B． C． D．5．（4分）如果二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限6．（4分）如圖，在正方形中，△是等邊三角形，、的延長(zhǎng)線分別交邊于點(diǎn)、，聯(lián)結(jié)，，與相交于點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A． B．△△ C．△△ D．二、填空題（共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知線段厘米，厘米，那么線段和的比例中項(xiàng)是厘米．8．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的相似比為，兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)的和是，那么較小的三角形的周長(zhǎng)為．9．（4分）在比例尺為地圖上測(cè)得甲、乙兩地間的圖上距離為4厘米，那么甲、乙兩地間的實(shí)際距離為千米．10．（4分）拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是的．（填“上升”或“下降”11．（4分）已知點(diǎn)，、，為拋物線上的兩點(diǎn)，如果，那么．（填“”“”或“”12．（4分）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，如果，那么．13．（4分）如圖，△的中線、交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，那么的值是．14．（4分）如圖，某小區(qū)門口的欄桿從水平位置繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到位置，已知欄桿的長(zhǎng)為3.5米，的長(zhǎng)為3米，點(diǎn)到的距離為0.3米，支柱的高為0.6米，那么欄桿端點(diǎn)離地面的距離為米．15．（4分）如圖，已知，，，，那么線段的長(zhǎng)度等于．16．（4分）如圖，將沿射線方向平移得到，邊與相交于點(diǎn)，如果，的面積等于，的面積等于，那么．17．（4分）定義：如果以一條線段為對(duì)角線作正方形，那么稱該正方形為這條線段的“對(duì)角線正方形”．例如，如圖①中正方形即為線段的“對(duì)角線正方形”．如圖②，在中，，，，點(diǎn)在邊上，如果線段的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在的邊上，那么的長(zhǎng)是．18．（4分）在△中，，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，線段的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（6分）已知，求的值．20．（8分）已知二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．求的面積．21．（12分）如圖，已知在梯形中，，，，點(diǎn)在邊上，，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，聯(lián)結(jié)，請(qǐng)用向量、表示向量．22．（12分）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，．（1）求證：；（2）如果，，求的長(zhǎng)．23．（12分）如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，且，是的平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：（1）；（2）．24．（14分）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)，不重合），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與線段交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）求拋物線表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．25．（14分）已知在菱形中，，，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．在內(nèi)部作射線與對(duì)角線交于點(diǎn)（與、不重合），且．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如果，求線段的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域；（3）聯(lián)結(jié)，直線與直線交于點(diǎn)，如果與相似，求線段的長(zhǎng)．

參考答案一．選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正確的是A． B． C． D．解：、由比例的性質(zhì)得到，故本選項(xiàng)不符合題意．、根據(jù)比例的性質(zhì)得到是正整數(shù)），故本選項(xiàng)符合題意．、根據(jù)合比性質(zhì)得到，故本選項(xiàng)不符合題意．、根據(jù)等比性質(zhì)得到，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：．2．（4分）下列二次函數(shù)中，如果函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是軸，那么這個(gè)函數(shù)是A． B． C． D．解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為軸，則函數(shù)對(duì)稱軸為，即函數(shù)解析式中，，故選：．3．（4分）下列說(shuō)法中，正確的是A．如果，是非零向量，那么 B．如果是單位向量，那么 C．如果，那么或 D．已知非零向量，如果向量，那么解：、如果，是非零向量，那么，錯(cuò)誤，應(yīng)該是．、如果是單位向量，那么，錯(cuò)誤．應(yīng)該是．、如果，那么或，錯(cuò)誤．模相等的向量，不一定平行．、已知非零向量，如果向量，那么，正確．故選：．4．（4分）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，聯(lián)結(jié)小正方形中兩個(gè)頂點(diǎn)、，如果線段與網(wǎng)格線的其中兩個(gè)交點(diǎn)為、，那么的值是A． B． C． D．解：，，，故選：．5．（4分）如果二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限解：根據(jù)題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且在第四象限，，，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限．故選：．6．（4分）如圖，在正方形中，△是等邊三角形，、的延長(zhǎng)線分別交邊于點(diǎn)、，聯(lián)結(jié)，，與相交于點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A． B．△△ C．△△ D．解：四邊形是正方形，，△是等邊三角形，，，，故正確，，，，又，，，，，△△，故正確，，△與△不相似，故錯(cuò)誤，，，，△△，，，故正確，故選：．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知線段厘米，厘米，那么線段和的比例中項(xiàng)是6厘米．解：線段和的比例中項(xiàng)為，，即，（負(fù)值舍去）．故答案為：6．8．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的相似比為，兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)的和是，那么較小的三角形的周長(zhǎng)為40．解：設(shè)較小的三角形的周長(zhǎng)為，則較大的三角形的周長(zhǎng)為，兩個(gè)相似三角形的相似比為，兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為，，解得，，故答案為：40．9．（4分）在比例尺為地圖上測(cè)得甲、乙兩地間的圖上距離為4厘米，那么甲、乙兩地間的實(shí)際距離為320千米．解：設(shè)甲、乙兩地的實(shí)際距離為，比例尺，，，甲、乙兩地的實(shí)際距離為是，故答案為：320．10．（4分）拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的．（填“上升”或“下降”解：，拋物線開口向下，對(duì)稱軸右側(cè)的部分呈下降趨勢(shì)．故答案為：下降．11．（4分）已知點(diǎn)，、，為拋物線上的兩點(diǎn)，如果，那么．（填“”“”或“”解：，，拋物線開口向上，拋物線對(duì)稱軸為直線，，．故答案為．12．（4分）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，如果，那么．解：點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，，，，解得．故答案為：．13．（4分）如圖，△的中線、交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，那么的值是．解：△的中線、交于點(diǎn)，是△的重心，，，，，，故答案為：14．（4分）如圖，某小區(qū)門口的欄桿從水平位置繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到位置，已知欄桿的長(zhǎng)為3.5米，的長(zhǎng)為3米，點(diǎn)到的距離為0.3米，支柱的高為0.6米，那么欄桿端點(diǎn)離地面的距離為2.4米．解：過(guò)作于，過(guò)作于，則，，，欄桿從水平位置繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到位置，，，，，，，，欄桿端離地面的距離為．故答案為：2.4．15．（4分）如圖，已知，，，，那么線段的長(zhǎng)度等于．解：，，，，，即，解得：，故答案為：16．（4分）如圖，將沿射線方向平移得到，邊與相交于點(diǎn)，如果，的面積等于，的面積等于，那么2．解：，，，，，．故答案為：217．（4分）定義：如果以一條線段為對(duì)角線作正方形，那么稱該正方形為這條線段的“對(duì)角線正方形”．例如，如圖①中正方形即為線段的“對(duì)角線正方形”．如圖②，在中，，，，點(diǎn)在邊上，如果線段的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在的邊上，那么的長(zhǎng)是．解：當(dāng)線段的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在的邊上時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，，，，解得，，，，故答案為：．18．（4分）在△中，，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，線段的長(zhǎng)為或．解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，，，，，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，，在△和△中，，，△△，，且，四邊形是平行四邊形，且，四邊形是矩形，；如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，，，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，△△，，，，故答案為：或．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（6分）已知，求的值．解：根據(jù)題意，設(shè)，則，，，，，解得：，，，，．20．（8分）已知二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．求的面積．解：設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入得解得：，令，那么，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，的面積是：．21．（12分）如圖，已知在梯形中，，，，點(diǎn)在邊上，，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，聯(lián)結(jié)，請(qǐng)用向量、表示向量．解：（1）過(guò)作交于，交于，則，，，，；（2），，，，，，，，．22．（12分）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，．（1）求證：；（2）如果，，求的長(zhǎng)．【解答】證明：（1），，，設(shè)，，，，，，，，，，；（2），，且，，，，，．23．（12分）如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，且，是的平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1），，是邊上的高，，和是直角三角形，，，又，，．，；（2）在和中，，，，，即，在和中，．，是的平分線，，即．24．（14分）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)，不重合），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與線段交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）求拋物線表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．解：（1）將，分別代入拋物線解析式，得．解得．故該拋物線解析式是：；（2）設(shè)直線的解析式是：，把，分別代入，得．解得，．則該直線方程為：．故設(shè)，．則，．，．，．．．又，．于是，即．解得，（舍去）．；（3）由兩點(diǎn)間的距離公式知，，，．①若，，解得，（舍去）．即符合題意．②若，，解得，（舍去）．即符合題意．③若，，解得．綜上所述，的值為1或或2．25．（14分）已知在菱形中，，，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．在內(nèi)部作射線與對(duì)角線交于點(diǎn)（與、不重合），且．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如果，求線段的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域；（3