第一章向量基本概念與運算第二章向量的坐標運算與線性關系第三章向量的應用：幾何問題解析第四章向量的應用：物理與工程第五章向量的進階應用：空間向量與變換第六章向量綜合應用與拓展01第一章向量基本概念與運算向量的引入：生活中的向量引入場景小明騎自行車從學校出發(fā)，向東騎行3公里到達圖書館，再向北騎行4公里到達家。數(shù)學建模在平面直角坐標系中，如何用數(shù)學語言描述小明的位移？向量定義向量是既有大小又有方向的量，用有向線段表示，記作$vec{a}$或$vec{AB}$。具體數(shù)據(jù)位移向量$vec{AB}$的模為5公里，方向為北偏東$53.13^circ$。向量的表示方法幾何表示有向線段的起點和終點分別表示向量的起點和終點，如$vec{AB}$。代數(shù)表示在直角坐標系中，向量$vec{a}$的坐標表示為$(a_x,a_y)$。單位向量模為1的向量，記作$vec{e}$，如$vec{i}=(1,0),vec{j}=(0,1)$。零向量模為0的向量，記作$vec{0}$，方向任意。向量的基本運算加法運算平行四邊形法則或三角形法則，如$vec{a}+vec=vec{c}$。減法運算$vec{a}-vec=vec{a}+(-vec)$，用向量相加法表示。數(shù)乘運算$lambdavec{a}$，其中$lambda$為實數(shù)，改變向量?；蚍较?。數(shù)量積$vec{a}cdotvec=|vec{a}||vec|cos heta$，其中$ heta$為向量夾角。向量的幾何意義向量加法在數(shù)軸上，$vec{a}+vec$的長度等于兩個向量模的平方和減去兩向量模的乘積的平方根。向量減法$vec{a}-vec$的幾何意義是終點在起點的向量。數(shù)乘向量$lambdavec{a}$的長度是$lambda|vec{a}|$，方向與$vec{a}$相同（$lambda>0$）或相反（$lambda<0$）。數(shù)量積表示$vec{a}$在$vec$方向上的投影長度乘以$vec$的模。02第二章向量的坐標運算與線性關系向量的坐標運算引入場景已知點A(1,2)和點B(3,4)，求向量$vec{AB}$的坐標。計算方法$vec{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)=(3-1,4-2)=(2,2)$。運算法則$vec{a}+vec=(a_x+b_x,a_y+b_y)$，$vec{a}-vec=(a_x-b_x,a_y-b_y)$。數(shù)乘運算$lambdavec{a}=(lambdaa_x,lambdaa_y)$。線性組合與共線性線性組合若$vec{a}=xvec+yvec{c}$，則稱$vec{a}$是$vec$和$vec{c}$的線性組合。共線條件向量$vec{a}$與$vec$共線當且僅當存在實數(shù)$lambda$使$vec{a}=lambdavec$。具體案例向量(2,3)與(4,6)共線，因為(2,3)=0.5(4,6)。三元線性方程組$ax+by+cz=0$的解空間是三維空間中的直線或平面。向量的線性相關性引入問題三個向量$vec{a}=(1,2,3),vec=(2,4,6),vec{c}=(1,1,1)$是否線性相關？判定方法若存在不全為0的系數(shù)使線性組合為0，則向量組線性相關。計算過程$_x0008_egin{vmatrix}1&2&1\2&4&1\3&6&1end{vmatrix}=0$，所以向量組線性相關。幾何意義線性相關的向量在空間中位于同一直線或同一平面上。向量的線性無關定義若只有全零系數(shù)使線性組合為0，則向量組線性無關。判定定理n個n階方陣的行列式不為0時，對應向量組線性無關。典型例子標準正交基$vec{i}=(1,0,0),vec{j}=(0,1,0),vec{k}=(0,0,1)$線性無關。應用場景在三維空間中，任意三個不共面的向量都線性無關。03第三章向量的應用：幾何問題解析向量的引入：生活中的向量引入場景小明騎自行車從學校出發(fā)，向東騎行3公里到達圖書館，再向北騎行4公里到達家。數(shù)學建模在平面直角坐標系中，如何用數(shù)學語言描述小明的位移？向量定義向量是既有大小又有方向的量，用有向線段表示，記作$vec{a}$或$vec{AB}$。具體數(shù)據(jù)位移向量$vec{AB}$的模為5公里，方向為北偏東$53.13^circ$。向量的表示方法幾何表示有向線段的起點和終點分別表示向量的起點和終點，如$vec{AB}$。代數(shù)表示在直角坐標系中，向量$vec{a}$的坐標表示為$(a_x,a_y)$。單位向量模為1的向量，記作$vec{e}$，如$vec{i}=(1,0),vec{j}=(0,1)$。零向量模為0的向量，記作$vec{0}$，方向任意。向量的基本運算加法運算平行四邊形法則或三角形法則，如$vec{a}+vec=vec{c}$。減法運算$vec{a}-vec=vec{a}+(-vec)$，用向量相加法表示。數(shù)乘運算$lambdavec{a}$，其中$lambda$為實數(shù)，改變向量?；蚍较颉?shù)量積$vec{a}cdotvec=|vec{a}||vec|cos heta$，其中$ heta$為向量夾角。向量的幾何意義向量加法在數(shù)軸上，$vec{a}+vec$的長度等于兩個向量模的平方和減去兩向量模的乘積的平方根。向量減法$vec{a}-vec$的幾何意義是終點在起點的向量。數(shù)乘向量$lambdavec{a}$的長度是$lambda|vec{a}|$，方向與$vec{a}$相同（$lambda>0$）或相反（$lambda<0$）。數(shù)量積表示$vec{a}$在$vec$方向上的投影長度乘以$vec$的模。04第四章向量的應用：物理與工程向量的引入：生活中的向量引入場景小明騎自行車從學校出發(fā)，向東騎行3公里到達圖書館，再向北騎行4公里到達家。數(shù)學建模在平面直角坐標系中，如何用數(shù)學語言描述小明的位移？向量定義向量是既有大小又有方向的量，用有向線段表示，記作$vec{a}$或$vec{AB}$。具體數(shù)據(jù)位移向量$vec{AB}$的模為5公里，方向為北偏東$53.13^circ$。向量的表示方法幾何表示有向線段的起點和終點分別表示向量的起點和終點，如$vec{AB}$。代數(shù)表示在直角坐標系中，向量$vec{a}$的坐標表示為$(a_x,a_y)$。單位向量模為1的向量，記作$vec{e}$，如$vec{i}=(1,0),vec{j}=(0,1)$。零向量模為0的向量，記作$vec{0}$，方向任意。向量的基本運算加法運算平行四邊形法則或三角形法則，如$vec{a}+vec=vec{c}$。減法運算$vec{a}-vec=vec{a}+(-vec)$，