1.3全等三角形的判定（3）回憶上兩節(jié)課學習的判定兩個三角形全等的方法，用語言表達！溫故知新邊角邊(SAS)：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.\\\ABC\\\DEF符號語言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等．（簡寫成“角邊角”或“ASA”）．在△ABC與△A

B

C

中，∠B＝∠B

（已知），BC＝BC（已知），∠C＝∠C

（已知），∴

△ABC≌△A

B

C

（ASA）．符號語言：角邊角(ASA)：\\ABC\\DEF兩角及一邊分別相等的兩個三角形全等嗎?若兩個三角形中有兩組角相等，則由三角形內角和定理得，第三組角也一定相等.所以，可以用“角邊角”來證明這兩個三角形全等.在△ABC和△DCB中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC和△DEF全等嗎？\\ABC\\DEF∵∠A=∠D，證明：∠B=∠E∴180°-(∠A+∠B)=180°-(∠D+∠E)即∠C=∠F∠C=∠F，∠B=∠E，BC=EF，在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA)“角角邊”你有什么發(fā)現(xiàn)？基本事實“角邊角”的推論：

兩角及其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等．

（簡稱“角角邊”或“AAS”）．ABCA

B

C

在△ABC與△A

B

C

中，∠B＝∠B

（已知），

∠C＝∠C

（已知），

AB＝A

B

（已知），∴

△ABC≌△A

B

C

（AAS）符號語言：1、如圖，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，(1)根據“SAS”需添加條件

；(2)根據“ASA”需添加條件

；(3)根據“AAS”需添加條件

．AB＝AC∠BDA＝∠CDA∠B＝∠C概念辨析：2、∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF．根據“ASA”，應補充條件___________，根據“AAS”，應補充條件____________，∠A＝∠D∠B＝∠EABCFED3．如圖，∠ACB＝∠DBC，要使△ABC≌△DEF．根據“ASA”，應補充條件_________________，根據“AAS”，應補充條件_________________．ADBC∠A＝∠D∠ABC＝∠DCB4、若△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，AC=5，△DEF中，∠D＝70°，∠E＝80°，DE＝5，那么△ABC與△DEF全等嗎？為什么？ABCFDE30°70°570°80°530°△ABC與△DEF不全等例1、如圖：已知AE＝AD，∠B＝∠C，(1)△ABD與△ACE全等嗎？為什么？∴△ABD≌△ACE（

）∠B＝∠C證明：(1)在△ABD與△ACE中，∠A＝∠AAD＝AEAASBCDEAO(2)求證:BE=CD，OD=OE例1、如圖：已知AE＝AD，∠B＝∠C，(1)△ABD與△ACE全等嗎？為什么？∴△BEO≌△CDO（

）∠B＝∠C∠BOE＝∠CODBE＝CDAASBCDEAO(2)求證:BE=CD，OD=OE證明：(2)由(1)得，△ABD≌△ACE∴AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠C∴AB-AE＝AC-AD，∴BE＝CD，

在△BEO與△CDO中，∴OE＝ODADEBC變式1．如圖，BE＝CD，∠1＝∠2，則AB＝AC嗎？為什么？∴△ABE≌△ACD（

）∠A＝∠A∠AEB＝∠ADCBE＝CDAAS解：AB＝AC，理由：∵∠1＝∠2，∴180°-∠1＝180°-∠2，∴∠ADC＝∠AEB，

在△ABE與△ACD中，變式2.已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB＝AC.

求證：AD＝AE

，∠D＝∠E.12∴△DAC≌△EAB（

）∠DAC＝∠EAB∠C＝∠BAC＝ABASA證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAB＝∠2+∠BAC，∴∠DAC＝∠EAB，

在△DAC與△EAB中，ABCDE12例2、如圖，已知∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等嗎？為什么？解：△ABC和△ADE全等.

∵∠1＝∠2（已知）

∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC

即∠BAC＝∠DAE

在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADE（AAS）∠C＝∠E（已知）∠BAC＝∠DAE（已證）AB＝AD（已知）變式、如圖，點A、B、C、D在一條直線上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB.求證：AB＝CD．

證明：∵EA∥FB，EC∥FD(已知)∴∠A＝∠FBD，∠ECA＝∠D，

在△EAC和△FBD中，

∠A＝∠FBD(已證)，

∠ECA＝∠D(已證)，

EA＝FB(已知)，

∴△EAC≌△

FBD(AAS)

∴AC＝BD

，

即

AB＋BC＝CD＋BC

，

∴AB＝CD例3．(1)已知：如圖，△ABC≌△A

B

C

，AD和A

D

分別是△ABC和△A

B

C

中BC和B

C

邊上的高．

求證：AD＝A

D

．ABDCA

B

D

C

證明：∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB=A'B'，∠B=∠B'∵AD，A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的高，∴∠ADB=∠A'D'B'=90°

在△ABD和△A'B'D'中，

∠B=∠B'，

∠ADB=∠A'D'B'，

AB=A'B'，

∴△ABD≌△A'B'D'(AAS)在圖中，如果AD，A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的角平分線(或中線)，那么AD與A'D'相等嗎?證明你的結論.例3．(2)已知：如圖，△ABC≌△

A

B

C

，AD和A

D

分別是△ABC和△A

B

C

中∠A和∠A

的角平分線．

求證：AD＝A

D

．A

B

D

C

ABDC

證明：∵△ABC≌△A′B′C′，

∴AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'，又∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，

∴BD＝B'D'，在△ABD與△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′（SAS），∴AD＝A'D'

例3．(3)已知：如圖，△ABC≌△A

B

C

，AD和A

D

分別是△ABC和△A

B

C

的BC和B

C

邊上的中線．

求證：AD＝A

D

．ABDCA

B

D

C

拓展提高

1．如圖，AC⊥AB，BD⊥AB，CE⊥DE，CE＝DE.

求證：AC＋BD

＝AB.證明：∵AC⊥AB，BD⊥AB，CE⊥DE，

∴∠A=∠B=∠CED=90°，

∴∠C+∠AEC=90°，∠AEC+∠DEB=90°，

∴∠C=∠DEB

在△CAE

和△EBD中，

∠A=∠B，

∠C=∠DEB，

CE＝DE，

∴△CAE≌△EBD(AAS)

∴CA＝EB，AE＝BD，∴AC+BD＝EB+AE∴AC+BD＝AB拓展提高

2．如圖，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為AC上一點，分別過A、C作BD的垂線，垂足分別為E、F.求證：EF＋AE＝CF.證明：∵∠ABC＝90°，

過A、C作BD的垂線，垂足分別為E、F，

∴∠E=∠BFC=∠ABC＝90°，

∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠FBC=90°，

∴∠BAE=∠FBC

在△ABE

和△BCF中，

∠E=∠BFC，

∠BAE=∠FBC，

AB＝BC，

∴△ABE≌△BCF(AAS)