2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊【公開課課件】第21章一元二次方程21.2.1.2配方法方程(x+3)2=5我們可以用直接開平方法來求解，那么，你能將方程x2+6x+4=0轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n的形式，再利用直接開平方法求解嗎？人教版九年級上冊數(shù)學(xué)21.2.1.2配方法

教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引新，揭示矛盾（5分鐘）1.回顧舊知：同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直接開平方法解一元二次方程，誰能說說這種方法適用于什么形式的方程？請用直接開平方法解這個方程：\((x-2)^2=5\)。學(xué)生回答后，教師板書求解過程，強(qiáng)調(diào)直接開平方法的核心是“平方形式=常數(shù)”。2.提出問題：如果將方程展開為\(x^2-4x+4=5\)，再整理成\(x^2-4x-1=0\)，這個方程還能用直接開平方法求解嗎？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能）3.引出課題：直接開平方法僅適用于特殊形式的一元二次方程，對于像\(x^2-4x-1=0\)這樣的一般形式，我們需要把它轉(zhuǎn)化為“平方形式=常數(shù)”的樣子，這就需要用到一種新的方法——配方法。今天我們就來學(xué)習(xí)這種重要的解方程方法。（板書課題：配方法）二、探究配方原理，突破核心（15分鐘）1.回顧完全平方公式，夯實(shí)基礎(chǔ)教師提問：我們之前學(xué)過完全平方公式，\((a\pmb)^2\)展開后是什么形式？請大家計算：\((x+3)^2=\)；\((x-5)^2=\)。學(xué)生回答后，教師板書：\((x+m)^2=x^2+2mx+m^2\)，引導(dǎo)觀察：右邊的二次三項(xiàng)式中，常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù)有什么關(guān)系？（常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即\(m^2=(\frac{2m}{2})^2\)）小練習(xí)：請?jiān)跈M線上補(bǔ)充適當(dāng)?shù)某?shù)項(xiàng)，使下列式子成為完全平方式。①\(x^2+6x+\underline{\quad}\)；②\(x^2-8x+\underline{\quad}\)；③\(x^2+5x+\underline{\quad}\)。學(xué)生完成后，教師總結(jié)：對于形如\(x^2+bx\)的式子，補(bǔ)充\((\frac{2})^2\)就能化為完全平方式，這個過程就是“配方”。2.探究二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程配方過程出示例題：用配方法解方程\(x^2-4x-1=0\)。教師引導(dǎo)分步思考：第一步：如何把常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊？（兩邊加1）得到\(x^2-4x=1\)。第二步：左邊是\(x^2-4x\)，需要補(bǔ)充什么常數(shù)項(xiàng)才能成為完全平方式？（一次項(xiàng)系數(shù)-4的一半是-2，平方為4）第三步：為了保持等式成立，等號兩邊應(yīng)該同時做什么？（同時加4）教師邊引導(dǎo)邊板書完整步驟：解：移項(xiàng)，得\(x^2-4x=1\)。配方，得\(x^2-4x+(-2)^2=1+(-2)^2\)（兩邊加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）?；癁橥耆椒绞剑肻((x-2)^2=5\)。開方，得\(x-2=\pm\sqrt{5}\)。解得\(x_1=2+\sqrt{5}\)，\(x_2=2-\sqrt{5}\)。小組討論：配方的關(guān)鍵步驟是什么？為什么要“兩邊同時加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”？總結(jié)：關(guān)鍵是通過“移項(xiàng)”分離二次項(xiàng)與一次項(xiàng)、“配方”構(gòu)造完全平方式，依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，確保等式成立。3.探究二次項(xiàng)系數(shù)不為1的方程配方過程出示例題：用配方法解方程\(2x^2-4x-6=0\)。教師提問：這個方程與剛才的方程有什么不同？（二次項(xiàng)系數(shù)是2）能先轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程嗎？引導(dǎo)學(xué)生回答：根據(jù)等式性質(zhì)，方程兩邊同時除以二次項(xiàng)系數(shù)2，可化為\(x^2-2x-3=0\)。請學(xué)生獨(dú)立完成后續(xù)配方過程，教師巡視指導(dǎo)，指名板演，師生共同訂正：解：方程兩邊除以2，得\(x^2-2x-3=0\)。移項(xiàng)，得\(x^2-2x=3\)。配方，得\(x^2-2x+1^2=3+1^2\)，即\((x-1)^2=4\)。開方，得\(x-1=\pm2\)，解得\(x_1=3\)，\(x_2=-1\)。教師強(qiáng)調(diào)：二次項(xiàng)系數(shù)不為1時，必須先將系數(shù)化為1，再進(jìn)行配方，這是避免錯誤的關(guān)鍵步驟。三、總結(jié)步驟，規(guī)范方法（5分鐘）請大家結(jié)合剛才的例題，小組討論用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？學(xué)生發(fā)言后，教師提煉并板書：1.化1：把二次項(xiàng)系數(shù)化為1（方程兩邊同時除以二次項(xiàng)系數(shù)，注意系數(shù)不為0）；2.移項(xiàng)：把常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊，使方程變?yōu)椤岸雾?xiàng)+一次項(xiàng)=常數(shù)項(xiàng)”的形式；3.配方：在等號兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將左邊化為完全平方式；4.開方：利用直接開平方法，將方程化為兩個一元一次方程；5.求解：解兩個一元一次方程，得到原方程的根。四、例題講解，鞏固應(yīng)用（12分鐘）1.基礎(chǔ)例題：規(guī)范步驟求解例1：用配方法解方程\(3x^2+6x-9=0\)。教師示范解題過程，邊寫邊強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)：解：①

化1：方程兩邊除以3，得\(x^2+2x-3=0\)；（系數(shù)化為1時，每一項(xiàng)都要除）②

移項(xiàng)：\(x^2+2x=3\)；（移項(xiàng)要變號，常數(shù)項(xiàng)-3移到右邊變?yōu)?3）③

配方：兩邊加\((\frac{2}{2})^2=1\)，得\(x^2+2x+1=3+1\)；（一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，配方后為和的平方）④

化平方：\((x+1)^2=4\)；⑤

開方：\(x+1=\pm2\)；（開方要考慮正負(fù)兩種情況）⑥

求解：\(x_1=1\)，\(x_2=-3\)。2.變式例題：含分?jǐn)?shù)系數(shù)的配方例2：用配方法解方程\(x^2-5x+6=0\)。引導(dǎo)學(xué)生分析：二次項(xiàng)系數(shù)為1，直接移項(xiàng)配方。一次項(xiàng)系數(shù)是-5，一半為\(-\frac{5}{2}\)，平方為\(\frac{25}{4}\)，注意分?jǐn)?shù)運(yùn)算的準(zhǔn)確性。學(xué)生獨(dú)立完成，教師板書規(guī)范過程：解：移項(xiàng)，得\(x^2-5x=-6\)。配方，得\(x^2-5x+(\frac{-5}{2})^2=-6+(\frac{-5}{2})^2\)。即\((x-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}-\frac{24}{4}=\frac{1}{4}\)。開方，得\(x-\frac{5}{2}=\pm\frac{1}{2}\)。解得\(x_1=3\)，\(x_2=2\)。3.易錯辨析：判斷解的情況例3：用配方法解方程\(x^2-2x+2=0\)。學(xué)生嘗試解題，發(fā)現(xiàn)配方使左邊配成x2+2bx+b2的形式兩邊加9知識點(diǎn)用配方法解一元二次方程x2+6x+4=0移項(xiàng)x2+6x=-4x2+6x+9=-4+9左邊寫成完全平方形式(x+3)2=5降次x+3=±x+3=，或x+3=-解一次方程x1=-3+，x2=-3-思考：為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加9？加其他數(shù)行嗎？使左邊配成x2+2bx+b2的形式兩邊加9x2+6x=-4x2+6x+9=-4+9不行，因?yàn)橹挥性诜匠虄蛇吋由弦淮雾?xiàng)系數(shù)一半的平方，方程左邊才能配成完全平方式.歸納總結(jié)像上面那樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方法的基本思路：

把方程化為(x+n)2=p的形式，將一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.例1

解下列方程：(1)x2-8x+1=0；

(2)2x2+1=3x；

(3)3x2-6x+4=0.分析：

(1)

方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，直接運(yùn)用配方法.(1)解：移項(xiàng)，得：x2-8x=-1.

配方，得：x2-8x+42=-1+42，(x-4)2=15.分析：

(1)

方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，直接運(yùn)用配方法.(2)

先把方程化成

2x2-3x+1=0.它的二次項(xiàng)系數(shù)為2，為了便于配方，需將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，為此方程的兩邊都除以2.例1

解下列方程：(1)x2-8x+1=0；

(2)2x2+1=3x；

(3)3x2-6x+4=0.(2)2x2+1=3x

解：移項(xiàng)，得：2x2-3x=-1.二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：

配方，得：分析：

(1)

方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，直接運(yùn)用配方法.(2)

先把方程化成

2x2-3x+1=0.它的二次項(xiàng)系數(shù)為2，為了便于配方，需將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，為此方程的兩邊都除以2.(3)

與(2)類似，方程的兩邊都除以3后再配方.例1

解下列方程：(1)x2-8x+1=0；

(2)2x2+1=3x；

(3)3x2-6x+4=0.(3)3x2-6x+4=0解：移項(xiàng)，得：3x2-6x=-4.二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：.

配方，得：因?yàn)閷?shí)數(shù)的平方不會是負(fù)數(shù)，所以x取任何實(shí)數(shù)時，(x-1)2都是非負(fù)數(shù)，上式都不成立，即原方程無實(shí)數(shù)根.1.移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊；2.二次項(xiàng)系數(shù)化為1，方程左、右兩邊同時除以二次項(xiàng)系數(shù)；3.配方，方程左、右兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；4.降次，利用平方根的意義降次；5.解兩個一元一次方程，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng).用配方法解一元二次方程的一般步驟：歸納總結(jié)一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成

(x+n)2=p.①當(dāng)p>0時，則

，方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根②當(dāng)p=0時，則

x+n=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根

x1=x2=-n；③當(dāng)p<0時，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x，都有(x+n)2≥0，所以方程無實(shí)數(shù)根.1.填空：(1)x2+6x+_____=(x+_____)2；(2)x2-x+_____=(x-_____)2；(3)4x2+4x+_____=(2x+_____)2；(4)x2-x+_____=(x-_____)2.9311【選自教材P17習(xí)題21.2第2題】隨堂練習(xí)2.解下列方程：（1）x2+10x+9=0；

（2）x2－x－=0；

解：移項(xiàng)，得x2+10x=－9配方，得x2+10x+52

=－9+52

(x+5)2

=16

由此可得x+5=±4

x1=－1，

x2=－9解：移項(xiàng)，得x2－x=配方，得x2－x+()2

=+()2

(x－)2

=2

由此可得x－=±

x1=

+，

x2=－【選自教材P9練習(xí)

第2題】（3）3x2+6x－4=0；

（4）4x2－6x－3

=0；

解：移項(xiàng)，得3x2+6x=4二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+2x=配方，得x2+2x+12

=+12

由此可得x+1=±

x1=－1+，

x2=－1－

(x

+1)2

=

解：移項(xiàng)，得4x2－6x=3二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2－

x=配方，得x2－

x+()2

=+()2由此可得x－=±

(x－)2

=

x1=

，

x2=2.解下列方程：【選自教材P9練習(xí)

第2題】（5）x2+4x－9=2x－11；

（6）x(x+4)

=8x+12.

解：移項(xiàng)，得

x2+4x-2x=-11+9x2+2x=-2配方，得x2+2x+12

=-2+12

原方程無實(shí)數(shù)根.

(x

+1)2

=-1

解：移項(xiàng)，得x2

+4x=8x+12

x2－4x=12

配方，得x2－4x+22=12+22