中考數(shù)學(xué)壓軸題60例（解答題）

一、解答題（共60小題）

1．（2015?遵義）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與

y軸交于點(diǎn)C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)以A、C、D為頂點(diǎn)的三角

形面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積；

（3）以AB為直徑作⊙M，直線經(jīng)過點(diǎn)E（﹣1，﹣5），并且與⊙M相切，求該直線的解析

式．

2．（2015?株洲）已知AB是圓O的切線，切點(diǎn)為B，直線AO交圓O于C、D兩點(diǎn)，CD=2，

∠DAB=30°，動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，PC交圓O于另一點(diǎn)Q．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使Q、C兩點(diǎn)重合時(shí)（如圖1），求AP的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，有幾個(gè)位置（幾種情況）使△CQD的面積為？（直接寫出答案）

（3）當(dāng)△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的上半圓，CQ＞QD時(shí)（如圖2），求

AP的長(zhǎng)．

3．（2015?長(zhǎng)沙）在直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱之為“中國(guó)結(jié)”．

（1）求函數(shù)y=x+2的圖象上所有“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)；

（2）若函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”，試求出常數(shù)k的值與

相應(yīng)“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)；

1

（3）若二次函數(shù)y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交

得到兩個(gè)不同的“中國(guó)結(jié)”，試問該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共

包含有多少個(gè)“中國(guó)結(jié)”？

4．（2015?岳陽）已知直線m∥n，點(diǎn)C是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線n上一點(diǎn)，CD與直

線m、n不垂直，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖①所示），

連接PB，請(qǐng)直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：．

（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的PA

與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖③所示），

若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PA?PB=k?AB．

5．（2015?玉林）已知：一次函數(shù)y=﹣2x+10的圖象與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象相交

于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)）．

（1）當(dāng)A（4，2）時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB是以AB為

直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）當(dāng)A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）時(shí)，直線OA與此反比例函數(shù)圖象的另一支交

于另一點(diǎn)C，連接BC交y軸于點(diǎn)D．若=，求△ABC的面積．

6．（2015?煙臺(tái)）【問題提出】

如圖①，已知△ABC是等腰三角形，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，

將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF連接EF

試證明：AB=DB+AF

2

【類比探究】

（1）如圖②，如果點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間

又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由

（2）如果點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，

并寫出AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由．

7．（2015?湘西州）如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=

﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速

度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以個(gè)單位/秒的速度勻速

運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；

（2）問：當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形；

（3）過點(diǎn)P作PE∥y軸，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF∥y軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，

當(dāng)EF∥PQ時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（4）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂

點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說

明理由．

8．（2015?湘潭）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，

交y軸于點(diǎn)C，連接BC，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以每

秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P、

Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）如圖2，當(dāng)t＜2時(shí)，延長(zhǎng)QP交y軸于點(diǎn)M，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得PQ

的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)與t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

3

9．（2015?咸寧）如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將直線在x

軸下方的部分沿x軸翻折，得到一個(gè)新函數(shù)的圖象（圖中的“V形折線”）．

（1）類比研究函數(shù)圖象的方法，請(qǐng)列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì)，并求新函數(shù)的解析式；

（2）如圖2，雙曲線y=與新函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C（1，a），點(diǎn)D是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不

包括端點(diǎn)），過點(diǎn)D作x軸的平行線，與新函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)E，與雙曲線交于點(diǎn)P．

①試求△PAD的面積的最大值；

②探索：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形PAEC能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)D的

坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

10．（2015?通遼）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為B（2，

1），且過點(diǎn)A（0，2），直線y=x與拋物線交于點(diǎn)D，E（點(diǎn)E在對(duì)稱軸的右側(cè)），拋物線的

對(duì)稱軸交直線y=x于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)G，EF⊥x軸，垂足為F，點(diǎn)P在拋物線上，且位于

對(duì)稱軸的右側(cè)，PQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q，△PCQ為等邊三角形

4

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）求證：CE=EF；

（4）連接PE，在x軸上點(diǎn)Q的右側(cè)是否存在一點(diǎn)M，使△CQM與△CPE全等？若存在，

試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．[注：3+2=（+1）2]．

11．（2015?天津）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)b=2，c=﹣3時(shí)，求二次函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）當(dāng)c=5時(shí)，若在函數(shù)值y=l的怙況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，求此時(shí)二次

函數(shù)的解析式；

（Ⅲ）當(dāng)c=b2時(shí)，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小

值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式．

12．（2015?泰州）已知一次函數(shù)y=2x﹣4的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在

該函數(shù)的圖象上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2．

（1）當(dāng)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求d1+d2的值；

（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求當(dāng)d1+d2=3時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若在線段AB上存在無數(shù)個(gè)P點(diǎn)，使d1+ad2=4（a為常數(shù)），求a的值．

13．（2015?沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A

在第一象限，點(diǎn)C在第四象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．點(diǎn)

P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O、B重合），過點(diǎn)P與y軸平行的直線l交邊OA

或邊AB于點(diǎn)Q，交邊OC或邊BC于點(diǎn)R，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，線段QR的長(zhǎng)度為m．已知

t=40時(shí)，直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)0＜t＜30時(shí)，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

5

（3）當(dāng)m=35時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值；

（4）直線l上有一點(diǎn)M，當(dāng)∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周長(zhǎng)為60時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿

足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

14．（2015?日照）如圖，拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與

D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：

（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否

存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE

以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，

當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？

15．（2015?泉州）（1）如圖1是某個(gè)多面體的表面展開圖．

①請(qǐng)你寫出這個(gè)多面體的名稱，并指出圖中哪三個(gè)字母表示多面體的同一點(diǎn)；

②如果沿BC、GH將展開圖剪成三塊，恰好拼成一個(gè)矩形，那么△BMC應(yīng)滿足什么條件？

（不必說理）

（2）如果將一個(gè)三棱柱的表面展開圖剪成四塊，恰好拼成一個(gè)三角形，如圖2，那么該三

棱柱的側(cè)面積與表面積的比值是多少？為什么？（注：以上剪拼中所有接縫均忽略不計(jì)）

6

16．（2015?潛江）已知拋物線經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三點(diǎn)，其對(duì)稱軸交

x軸于點(diǎn)H，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，與拋物線交于另一點(diǎn)D（點(diǎn)D在點(diǎn)

C的左邊），與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，當(dāng)S△EOC=S△EAB時(shí)，求一次函數(shù)的解析式；

（3）如圖2，設(shè)∠CEH=α，∠EAH=β，當(dāng)α＞β時(shí)，直接寫出k的取值范圍．

17．（2015?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分

別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長(zhǎng)滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO

的平分線交x軸于點(diǎn)C過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．

（1）求線段AB的長(zhǎng)；

（2）求直線CE的解析式；

（3）若M是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以A、B、M、P為頂

點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

7

18．（2015?莆田）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，

連接PC，PE．

特殊發(fā)現(xiàn)：

如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC上，則結(jié)論：PC=PE成立（不要求證明）．

問題探究：

把圖1中的△AEF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖2，若點(diǎn)E落在邊CA的延長(zhǎng)線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；

若不成立，請(qǐng)說明理由；

（2）如圖3，若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若

不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）記=k，當(dāng)k為何值時(shí)，△CPE總是等邊三角形？（請(qǐng)直接寫出k的值，不必說明理

由）

19．（2015?寧夏）如圖，是一副學(xué)生用的三角板，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；

在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若將邊A1C1與邊CA重

合，其中點(diǎn)A1與點(diǎn)C重合．將三角板A1B1C1繞點(diǎn)C（A1）按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過的

角為α，旋轉(zhuǎn)過程中邊A1C1與邊AB的交點(diǎn)為M，設(shè)AC=a．

（1）計(jì)算A1C1的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)α=30°時(shí)，證明：B1C1∥AB；

（3）若a=，當(dāng)α=45°時(shí)，計(jì)算兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積；

（4）當(dāng)α=60°時(shí)，用含a的代數(shù)式表示兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積．

（參考數(shù)據(jù)：sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣，sin75°=，

cos75°=，tan75°=2+）

8

20．（2015?南通）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點(diǎn)P，Q分別在BC，AC

上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，得到△PDE，點(diǎn)D落在線段PQ上．

（1）求證：PQ∥AB；

（2）若點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，求CP的長(zhǎng)；

（3）若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長(zhǎng)為T，且12≤T≤16，求x的取值范圍．

21．（2015?南寧）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B是拋物線y=ax2（a＞0）上兩個(gè)不同的

點(diǎn)，其中A在第二象限，B在第一象限，

（1）如圖1所示，當(dāng)直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時(shí)，求此拋物線的解析

式和A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積．

（2）如圖2所示，在（1）所求得的拋物線上，當(dāng)直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°

時(shí)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積是否為常數(shù)？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．

（3）在（2）的條件下，若直線y=﹣2x﹣2分別交直線AB，y軸于點(diǎn)P、C，直線AB交y

軸于點(diǎn)D，且∠BPC=∠OCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

22．（2015?綿陽）已知拋物線y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）與y軸相交于A點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，直線

y=x﹣a分別與x軸、y軸相交于B，C兩點(diǎn)，并且與直線MA相交于N點(diǎn)．

（1）若直線BC和拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求a的取值范圍，并用a表示交點(diǎn)M，A的坐

標(biāo)；

（2）將△NAC沿著y軸翻轉(zhuǎn)，若點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對(duì)稱

軸相交于點(diǎn)D，連接CD，求a的值及△PCD的面積；

（3）在拋物線y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在點(diǎn)P，使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊

形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

9

23．（2015?梅州）如圖，過原點(diǎn)的直線y=k1x和y=k2x與反比例函數(shù)y=的圖象分別交于兩

點(diǎn)A，C和B，D，連接AB，BC，CD，DA．

（1）四邊形ABCD一定是四邊形；（直接填寫結(jié)果）

（2）四邊形ABCD可能是矩形嗎？若可能，試求此時(shí)k1，k2之間的關(guān)系式；若不能，說明

理由；

（3）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函數(shù)y=圖象上的任意兩點(diǎn)，a=，

b=，試判斷a，b的大小關(guān)系，并說明理由．

24．（2015?婁底）如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P與B、C不重合），連接

AP，過點(diǎn)B作BQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q，將△BQC沿BQ所在的直線對(duì)折得到△BQC?，延長(zhǎng)

QC?交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．

（1）試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)AB=3，BP=2PC，求QM的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)BP=m，PC=n時(shí)，求AM的長(zhǎng)．

10

25．（2015?遼陽）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+3與拋物線y=ax2+x+c相交

于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上存在一點(diǎn)M，使△MAB是以AB為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)，BE=2，以BE為腰作等腰Rt△BDE，使它與△AOB

在直線AB的同側(cè)，∠BED=90°，△BDE沿著BA方向以每秒一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B

與A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△BDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫

出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

26．（2015?錦州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和

點(diǎn)B（4，0），且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CA，CD，PD，PB．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)△PDB的面積等于△CAD的面積時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)，過點(diǎn)P作直線PE⊥y軸于點(diǎn)E交直線BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥x

軸于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，線段EG的最小值．

27．（2015?錦州）如圖①，∠QPN的頂點(diǎn)P在正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，∠QPN=α，

將∠QPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于

11

點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重

合）．

（1）如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當(dāng)α=60°

時(shí)，（1）中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF=AD，請(qǐng)給出證明；

（3）在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點(diǎn)E，其他條件不變，

探究在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加

以證明．

28．（2015?濟(jì)南）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，點(diǎn)M為射線

AE上任意一點(diǎn)（不與A重合），連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線

段CN，直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D．

（1）直接寫出∠NDE的度數(shù)；

（2）如圖2、圖3，當(dāng)∠EAC為銳角或鈍角時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變

化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD=，其他條

件不變，求線段AM的長(zhǎng)．

12

29．（2015?濟(jì)南）如圖1，點(diǎn)A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，

過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D．

（1）求m的值和直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OD﹣DB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

動(dòng)點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到

D時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①設(shè)△OPQ的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

②如圖2，當(dāng)?shù)腜在線段OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果作△OPQ關(guān)于直線PQ的對(duì)稱圖形△O?PQ，

是否存在某時(shí)刻t，使得點(diǎn)O?恰好落在反比例函數(shù)的圖象上？若存在，求O?的坐標(biāo)和t的值；

若不存在，請(qǐng)說明理由．

13

30．（2015?黃石）已知雙曲線y=（x＞0），直線l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）過定點(diǎn)F

且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直線l2：y=﹣x+．

（1）若k=﹣1，求△OAB的面積S；

（2）若AB=，求k的值；

（3）設(shè)N（0，2），P在雙曲線上，M在直線l2上且PM∥x軸，求PM+PN最小值，并

求PM+PN取得最小值時(shí)P的坐標(biāo)．（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若A（x1，y1），B

（x2，y2）則A，B兩點(diǎn)間的距離為AB=）

31．（2015?黃岡）我市某風(fēng)景區(qū)門票價(jià)格如圖所示，黃岡赤壁旅游公司有甲、乙兩個(gè)旅游團(tuán)

隊(duì)，計(jì)劃在“五一”小黃金周期間到該景點(diǎn)游玩．兩團(tuán)隊(duì)游客人數(shù)之和為120人，乙團(tuán)隊(duì)人數(shù)

不超過50人，設(shè)甲團(tuán)隊(duì)人數(shù)為x人．如果甲、乙兩團(tuán)隊(duì)分別購買門票，兩團(tuán)隊(duì)門票款之和

為W元．

（1）求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）若甲團(tuán)隊(duì)人數(shù)不超過100人，請(qǐng)說明甲、乙兩團(tuán)隊(duì)聯(lián)合購票比分別購票最多可可節(jié)約

多少錢；

（3）“五一”小黃金周之后，該風(fēng)景區(qū)對(duì)門票價(jià)格作了如下調(diào)整：人數(shù)不超過50人時(shí)，門票

價(jià)格不變；人數(shù)超過50人但不超過100人時(shí)，每張門票降價(jià)a元；人數(shù)超過100人時(shí)，每

張門票降價(jià)2a元，在（2）的條件下，若甲、乙兩個(gè)旅行團(tuán)隊(duì)“五一”小黃金周之后去游玩，

最多可節(jié)約3400元，求a的值．

32．（2015?呼倫貝爾）直線y=x﹣6與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)，

以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段BO向O點(diǎn)移動(dòng)（不考慮點(diǎn)E與B、O兩點(diǎn)重合的情況），

過點(diǎn)E作EF∥AB，交x軸于點(diǎn)F，將四邊形ABEF沿直線EF折疊后，與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記

作點(diǎn)C，與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記作點(diǎn)D，得到四邊形CDEF，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）畫出當(dāng)t=2時(shí)，四邊形ABEF沿直線EF折疊后的四邊形CDEF（不寫畫法）；

14

（2）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，CD交x軸于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)H，試探究t為何值時(shí)，△CGF

的面積為；

（3）設(shè)四邊形CDEF落在第一象限內(nèi)的圖形面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求出S

的最大值．

33．（2015?黑龍江）如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，△ODE是△OCB

繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點(diǎn)D在x軸上，直線BD交y軸于點(diǎn)F，交OE于點(diǎn)H，線

段BC、OC的長(zhǎng)是方程x2﹣6x+8=0的兩個(gè)根，且OC＞BC．

（1）求直線BD的解析式；

（2）求△OFH的面積；

（3）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩

形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

34．（2015?河南）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、

AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)α=0°時(shí)，=；②當(dāng)α=180°時(shí)，=．

15

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng)．

35．（2015?貴陽）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C

落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD=3．

（1）求MP的值；

（2）在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合．當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)

最?。?/p>

（3）若點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG

的周長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

36．（2015?貴港）已知：△ABC是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以

PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：

（1）如圖①，若點(diǎn)P在線段AB上，且AC=1+，PA=，則：

①線段PB=，PC=；

②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖②，若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你利用圖

②給出證明過程；

（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿足=，求的值．（提示：請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求）

37．（2015?廣西）在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，點(diǎn)M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B、

C不重合），連接AM，過點(diǎn)M作MN⊥AM，垂足為M，MN交CD或CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．

（1）求證：△CMN∽△BAM；

（2）設(shè)BM=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出y

的最大值；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求使得下列兩個(gè)條件都成立的b的取值范圍：①點(diǎn)N始終

在線段CD上，②點(diǎn)M在某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)D重合．

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38．（2015?甘南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c，經(jīng)過A（0，﹣4），

B（x1，0），C（x2，0）三點(diǎn)，且|x2﹣x1|=5．

（1）求b，c的值；

（2）在拋物線上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形；

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形？若存在，

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說明理由．

39．（2015?丹東）在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O；在Rt△PMN中，

∠MPN=90°．

（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點(diǎn)E、F，請(qǐng)

直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中的Rt△PMN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜45°）．

①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明

理由；

②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15°時(shí)，連接EF，若正方形的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)直接寫出

線段EF的長(zhǎng)；

③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若Rt△PMN的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD=3BP

時(shí)，猜想此時(shí)PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD=m?BP時(shí)，請(qǐng)直接寫出PE與PF

的數(shù)量關(guān)系．

17

40．（2015?大連）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC上，且CD＞DA，DA=2，

點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿射線DC、射線DA運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作AC的

垂線段QR，使QR=PQ，連接PR，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PQ=x，

△PQR與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤，＜

x≤m時(shí)，函數(shù)的解析式不同）．

（1）填空：n的值為；

（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

41．（2015?成都）已知AC，EC分別是四邊形ABCD和EFDG的對(duì)角線，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，

∠CAE+∠CBE=90°．

（1）如圖①，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時(shí)，連接BF．

（i）求證：△CAE∽△CBF；

（ii）若BE=1，AE=2，求CE的長(zhǎng)；

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（2）如圖②，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且==k時(shí)，若BE=1，AE=2，CE=3，

求k的值；

（3）如圖③，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且∠DAB=∠GEF=45°時(shí)，設(shè)BE=m，

AE=n，CE=p，試探究m，n，p三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答

過程）

42．（2015?常州）如圖，反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)

B的橫坐標(biāo)是4．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方．

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），直接寫出k的值和△PAB的面積；

（2）設(shè)直線PA、PB與x軸分別交于點(diǎn)M、N，求證：△PMN是等腰三角形；

（3）設(shè)點(diǎn)Q是反比例函數(shù)圖象上位于P、B之間的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)P、B不重合），連接AQ、

BQ，比較∠PAQ與∠PBQ的大小，并說明理由．

43．（2015?北京）在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)P在射線CD上（與點(diǎn)C、D

不重合），連接AP，平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△BCQ，過點(diǎn)Q作QH⊥BD于

H，連接AH，PH．

（1）若點(diǎn)P在線段CD上，如圖1．

①依題意補(bǔ)全圖1；

②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；

（2）若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)寫出求

DP長(zhǎng)的思路．（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）

19

44．（2015?包頭）已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交

于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接AC，CD，BD，BC，設(shè)△AOC，△BOC，△BCD的面積分別為S1，S2和S3，

用等式表示S1，S2，S3之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)A和點(diǎn)B），過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，

連接MC，是否存在點(diǎn)M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和此時(shí)刻直線MN

的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

45．（2015?重慶）如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），

與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AD與y軸交于點(diǎn)E．

（1）求直線AD的解析式；

（2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于

x軸交直線AD于點(diǎn)H，求△FGH周長(zhǎng)的最大值；

（3）點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，

Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AM為邊的矩形．若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱，求點(diǎn)T的

坐標(biāo)．

46．（2015?重慶）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+x+3交x軸于A，

B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)W，頂點(diǎn)為C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為

D．

（1）求直線BC的解析式；

（2）點(diǎn)E（m，0），F(xiàn)（m+2，0）為x軸上兩點(diǎn)，其中2＜m＜4，EE?，F(xiàn)F?分別垂直于x軸，

交拋物線于點(diǎn)E?，F(xiàn)?，交BC于點(diǎn)M，N，當(dāng)ME?+NF?的值最大時(shí)，在y軸上找一點(diǎn)R，使

|RF?﹣RE?|的值最大，請(qǐng)求出R點(diǎn)的坐標(biāo)及|RF?﹣RE?|的最大值；

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（3）如圖2，已知x軸上一點(diǎn)P（，0），現(xiàn)以P為頂點(diǎn)，2為邊長(zhǎng)在x軸上方作等邊三

角形QPG，使GP⊥x軸，現(xiàn)將△QPG沿PA方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，當(dāng)點(diǎn)P

到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，記平移后的△QPG為△Q?P?G?．設(shè)△Q?P?G?與△ADC的重疊部分面積為

s．當(dāng)Q?到x軸的距離與點(diǎn)Q?到直線AW的距離相等時(shí)，求s的值．

47．（2015?漳州）如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)

D為拋物線的頂點(diǎn)，請(qǐng)解決下列問題．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（，）；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），當(dāng)|PD﹣PC|最大時(shí)，求α的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；

（3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B?C?P?，設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)C?的橫

坐標(biāo)為t（其中0＜t＜6），在運(yùn)動(dòng)過程中△B?C?P?與△BCD重疊部分的面積為S，求S與t

之間的關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)S最大，最大值為多少？

48．（2015?營(yíng)口）如圖1，一條拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y

軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)x=﹣1和x=3時(shí)，y的值相等，直線y=x﹣與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6，另一個(gè)交點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式．

（2）動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)

Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)

時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①若使△BPQ為直角三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的t值；

21

②求t為何值時(shí)，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？

（3）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OB的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，連接

OD，OM，MD得△ODM，將△OPD沿x軸向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜2），將平移

后的三角形與△ODM重疊部分的面積記為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

2

49．（2015?威海）已知：拋物線l1：y=﹣x+bx+3交x軸于點(diǎn)A，B，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），

交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為x=1，拋物線l2經(jīng)過點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（5，0），

交y軸于點(diǎn)D（0，﹣）．

（1）求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為直線x=1上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，當(dāng)PA=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）M為拋物線l2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN∥y軸，交拋物線l1于點(diǎn)N，求點(diǎn)M自

點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值．

50．（2015?泉州）閱讀理解

拋物線y=x2上任意一點(diǎn)到點(diǎn)（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，你可以利用這

一性質(zhì)解決問題．

問題解決

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1與y軸交于C點(diǎn)，與函數(shù)y=x2的圖象交于A，

B兩點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作直線y=﹣1的垂線，交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并說明∠ECF=90°；

（2）在△PEF中，M為EF中點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)．

①求證：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；

②已知PE=PF=3，以EF為一條對(duì)角線作平行四邊形CEDF，若1＜PD＜2，試求CP的取

值范圍．

22

51．（2015?青島）已知，如圖①，在?ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD

沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻

速移動(dòng)，速度為1cm/s，當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖②，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為

t（s）（0＜t＜4），連接PQ，MQ，MC，解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥MN？

（2）設(shè)△QMC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S△QMC：S四邊形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，

請(qǐng)說明理由．

（4）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

52．（2015?龍巖）如圖，已知點(diǎn)D在雙曲線y=（x＞0）的圖象上，以D為圓心的⊙D與

y軸相切于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，

點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且線段AP與BC所在直線有交點(diǎn)Q．

（1）寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)并求出拋物線的解析式；

（2）證明∠ACO=∠OBC；

（3）探究是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)Q為線段AP的四等分點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由．

23

53．（2015?濟(jì)寧）如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)

A在點(diǎn)B的上方），與x軸的正半軸交于點(diǎn)C，直線l的解析式為y=x+4，與x軸相交于點(diǎn)

D，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最小時(shí)．求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離．

54．（2015?荊門）如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，將△BCD

沿直線CD折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊OA上的點(diǎn)E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，

y軸建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）求OE的長(zhǎng)及經(jīng)過O，D，C三點(diǎn)拋物線的解析式；

（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從

E點(diǎn)出發(fā)，沿EC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停

止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，DP=DQ；

（3）若點(diǎn)N在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，

使M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由．

55．（2015?河南）如圖，邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋

物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)

F，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（﹣4，0），連接PD、PE、DE．

（1）請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式；

24

（2）小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值，進(jìn)而

猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值，請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說明理由；

（3）小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)”，則存在

多個(gè)“好點(diǎn)”，且使△PDE的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P也是一個(gè)“好點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，

并求出△PDE周長(zhǎng)最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo)．

56．（2015?海南）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，

0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)G是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線GC交x軸于點(diǎn)H（3，0），AD

平行GC交y軸于點(diǎn)D．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求證：四邊形ACHD是正方形；

（3）如圖2，點(diǎn)M（t，p）是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，過點(diǎn)M

的直線y=kx交二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)N．

①若四邊形ADCM的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出t的取值范圍；

②若△CMN的面積等于，請(qǐng)求出此時(shí)①中S的值．

2

57．（2015?廣州）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y1=ax+bx+c（a≠0）與x軸相交于點(diǎn)A（x1，

0），B（x2，0），與y軸交于點(diǎn)C，且O，C兩點(diǎn)間的距離為3，x1?x2＜0，|x1|+|x2|=4，點(diǎn)A，

C在直線y2=﹣3x+t上．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)y1隨著x的增大而增大時(shí)，求自變量x的取值范圍；

（3）將拋物線y1向左平移n（n＞0）個(gè)單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，

2

直線y2向下平移n個(gè)單位，當(dāng)平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)，求2n﹣5n的最小值．

25

58．（2015?德州）已知拋物線y=﹣mx2+4x+2m與x軸交于點(diǎn)A（α，0），B（β，0），且=

﹣2，

（1）求拋物線的解析式．

（2）拋物線的對(duì)稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為E，是否

存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使四邊形DNME的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖冢?qǐng)畫出圖形（保

留作圖痕跡），并求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

59．（2015?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x

軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y=kx+b與y軸交于點(diǎn)C，與

拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC．

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的一點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；

（3）設(shè)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形

能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

60．（2015?酒泉）如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），

其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；

26

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？

若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

27

2015年全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題60例（解答題卷）

參考答案與試題解析

一、解答題（共60小題）

1．（2015?遵義）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與

y軸交于點(diǎn)C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)以A、C、D為頂點(diǎn)的三角

形面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積；

（3）以AB為直徑作⊙M，直線經(jīng)過點(diǎn)E（﹣1，﹣5），并且與⊙M相切，求該直線的解析

式．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二

次函數(shù)解析式；勾股定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

專題：綜合題；壓軸題．

分析：（1）只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問題；

（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，交直線AC于點(diǎn)G，如圖2，可用待定系數(shù)法求出直線

AC的解析式，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)也為m，從而可以用m的代數(shù)式

表示出DG，然后用割補(bǔ)法得到△ADC的面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，運(yùn)用二次函數(shù)的最

值性就可解決問題；

（3）設(shè)過點(diǎn)E的直線與⊙M相切于點(diǎn)F，與x軸交于點(diǎn)N，連接MF，如圖3，根據(jù)切

線的性質(zhì)可得MF⊥EN．易得M的坐標(biāo)、ME、MF、EF的長(zhǎng)，易證△MEF∽△NEM，

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MN，從而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可解

決問題．

解答：解：（1）如圖1，

由題可得：

，

28

解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2；

（2）過點(diǎn)D