高中數(shù)學(xué)換元法解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4*+2*-2≥0,先變形為設(shè)2?=t(t>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y=√x+√1-x的值域時，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1],設(shè)x,問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x2+y2=r2(r>0)時，則可作三角代換x=rcosθ、y=rsinθ化為三角問題。均值換元，如遇到x+y=S形式時，設(shè)我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和(3.已知數(shù)列{an}中，a?=-1,an+1·an=an+1-an,則數(shù)列通項an=04.設(shè)實數(shù)x、y滿足x2+2xy-1=0,則x+y的取值范圍是_o5.方程的解是o6.不等式log?(2×-1)·log?(2*+1-2)<2的解集是o【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx=t∈[-√2,√2],則,對稱軸t=-1,2小題：設(shè)x2+1=t(t≥1),則f(t)=loga[-(t-1)2+4],所以值域為[-∞,loga4];4小題：設(shè)x+y=k,則x2-2kx+1=0,△=4k2-4≥0,所以k≥1或k≤-1;5小題：設(shè)3×=y,則3y2+2y-1=0,解得,所以x=-1;6小題：設(shè)log?(2*-1)=y,則y(y+1)<2,解得-2<y<1,所以例1.實數(shù)x、y滿足4x2-5xy+4y2=5(①式),設(shè)S=x2+y2,求的值。(93年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)【分析】由S=x2+y2聯(lián)想到cos2α+sin2a=1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)【解】設(shè)此種解法后面求S最大值和最小值，還可由的有界性而求，即解不等【另解】由S=x2+y2,設(shè)移項平方整理得100t2+39S2-160S+100=0?！咀ⅰ看祟}第一種解法屬于“三角換元法”,主要是利用已知條件S=x2+y2與三角公式cos2a+sin2a=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。第二種解法屬于“均值換元法”,主要是由等式S=x2+y2而按照均值換元的思和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法=a+b,y=a—b,這稱為“和差換元法”,換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設(shè)x=a+b,y=a—b,代入①式整理得3a2+13b2=5,求得,所以S=(a—b)2+(a+b)2,再求的值。的值。(96年全國理)【分析】由已知“A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得;由“A+C=120°”進(jìn)行均值換元，則設(shè),再代入可,代入已知等式得：十【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所所以兩式分別相加、相減得：得：3m?-16m-12=0,解出m2=6,代入【注】本題兩種解法由“A+C=120°”、’分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運算直接解出：由A+cosC=-2√2cosAcosC,和積互化得：例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a2的【解】設(shè)sinx+cosx=t,則t∈[-√2,√2],例4.設(shè)對所于有實數(shù)x,不等式恒成立，求a的取值范圍。(87年全國理)、10g?三項有何聯(lián)系?進(jìn)行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法。22代入后原不等式簡化為(3-t)x2+2tx-2t>0,它對一切實數(shù)x恒成立，所以：【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時，使用了“判值。【解】2+y2)=1,代入②式得：【另解】由,將等式②兩邊同時除以設(shè)tg2θ=t,第二種解法將已知變形為,不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tgθ,再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時，都使用了換元法使方例6.實數(shù)x、y滿若x+y—k>0恒成立，求k的范圍?！痉治觥坑梢阎獥l件可以發(fā)現(xiàn)它與a2+b2=1有相似之處，3cosθ+4sinθ—k>0,【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題)化為了含參三角不等式+c>0(a>0)所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上x+y—k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線x+y—k=0在與橢圓下部相切的切線之下時。當(dāng)直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組實數(shù)解，消元后由△=0可求得k=-3,所以k<-3時原不等式恒成立。Ⅲ、鞏固性題組：1.已知f(x3)=1gx(x>0),則f(4)的值為oA.21g2B.C.2.函數(shù)y=(x+1)?+2的單調(diào)增區(qū)間是_o3.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差且S100=145,則a?+a?+a?+……·a?9的值為 o5.已知a≥0,b≥0,a+b=1,則的范圍6.不等式的解集是(4,b),