第第頁浙江省麗水市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比q=12，若A．164 B．132 C．31322．已知向量a=(2,1,0),b=(1,?1,A．22 B．23 C．83．函數(shù)f(x)A．(?∞，2) B．(0，3) C．4．直線x+aA．0,π4 B．3π4,π5．已知l,m是兩條不同的直線，α,β為兩個不同的平面，則下面四個命題中，正確的命題是（）A．若α⊥β,l//β，則l⊥αB．若l⊥m,m?α，則l⊥αC．若m?α,l//β,l//m，則α//βD．若m⊥α,l//β,l//m，則α⊥β6．如圖，將一個圓柱2nn∈A．10π B．20π C．10nπ D．20nπ7．設(shè)橢圓C1:x2m+yA．e1e2的最小值為14 C．e1e2的最大值為14 8．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20.接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N，A．83 B．87 C．91 D．95二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9．已知直線l:mx+y?m?2=0(m∈R)與圓O:xA．直線l過定點(1,2) B．線段AB長的最大值為6C．線段AB長的最小值為4 D．△ABO面積的最大值為210．如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體EABCDF，且該八面體的各棱長均相等，則（）A．平面ABF//平面CDEB．平面ADE⊥平面EBCC．直線AE與平面BDE所成角的正弦值是3D．平面ABE與平面ADE夾角的余弦值是111．設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點，且與圓(x?5)2+yA．當y0=1時，直線B．當y0=2時，線段C．當r=5時，符合條件的直線l有兩條D．當r=3時，符合條件的直線l有四條12．生態(tài)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：當種群數(shù)量較少時，種群近似呈指數(shù)增長，而當種群增加到一定數(shù)量后，增長率就會隨種群數(shù)量的增加而逐漸減小，為了刻畫這種現(xiàn)象，生態(tài)學(xué)上提出了著名的邏輯斯諦模型：N(t)=KN0N0+K?A．如果N0=B．如果0<N0C．如果0<N0<K，那么存在D．如果0<N0<K2，那么N(t)三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）13．已知直線l1:x+y+1=0和l2:2x+my+1=0，若l14．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2+15．已知圓臺O1O2的上底面圓O1的半徑為2，下底面圓O2的半徑為6，圓臺的體積為16．已知三棱錐P?ABC的體積為15,M是空間中一點，PM=?115PA+17．已知曲線C1:y=ex和C2:y2=4x，點P,Q18．如圖，8個半徑為1的圓擺在坐標平面的第一象限（每個圓與相鄰的圓外切或與坐標軸相切），若斜率為3的直線l將8個圓分成面積相等的兩部分，則直線l的方程是.四、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19．已知圓M經(jīng)過點A(1,0)，B(3,0)，C(0,1).（1）求圓M的方程；（2）過點P?1,1作直線l與圓M相切，求直線l20．已知函數(shù)f(x)=axln（1）求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；（2）若函數(shù)f(x)有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍.21．已知Sn為正項數(shù)列an的前n項和，a1（1）求數(shù)列an（2）若bn=4an22．如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD,PA=22，AB=23,（1）求平面MPC與平面APC夾角的余弦值；（2）設(shè)點N在直線CD上，若△NPB的面積是5，求NCCD23．已知雙曲線C:x22?y2=1（1）若△MAB的重心在直線x?2y=0上，求k的值；（2）若直線l過雙曲線C的右焦點F，且直線MA,?MB的斜率之積是?1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由等比數(shù)列求和公式得S6故答案為：D.【分析】利用已知條件和等比數(shù)列求和公式，從而得出S62．【答案】B【解析】【解答】解：因為a=(2,1,0),則a+所以|a故答案為：B.【分析】利用向量加法的坐標表示求出向量a+b的坐標，再根據(jù)向量模的坐標表示，從而得出3．【答案】A【解析】【解答】∵f(x)=(根據(jù)單調(diào)性與不等式的關(guān)系可得f'(x)=所以函數(shù)f(x)=(故答案為：A.【分析】對函數(shù)f(x)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)f4．【答案】B【解析】【解答】解：直線x+a2+1由于0>?1a2則0≤α<π，?1≤所以3π故答案為：B.

【分析】利用直線方程得到直線的斜率，再由直線斜率和直線的傾斜角的關(guān)系式，再根據(jù)直線的傾斜角的取值范圍，從而得出直線x+a5．【答案】D【解析】【解答】解：A、若α⊥β,l//β，則l//α或l與B、若l⊥α，則需要直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直，只有l(wèi)⊥m,m?α得不到l⊥α，故B錯誤；C、若m?α,l//β,l//m，則α//β或α與β相交，故C錯誤；D、若m⊥α,l//β,l//m，根據(jù)面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正確.故答案為：D.【分析】由題意，根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項分析判斷即可．6．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為r，高h，其軸截面的面積為2rh，新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，即2rh=10，所以圓柱的側(cè)面積為2π故答案為：A.【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h分析，可得新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，由此可得2rh=10，再由圓柱的側(cè)面積公式，從而計算得出圓柱的側(cè)面積.7．【答案】D【解析】【解答】解：易知橢圓C1:x2m+y22設(shè)f(m)=m+16m，m∈(2,8)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：函數(shù)f(m)在(2,4)上單調(diào)遞減，在(4,8)上單調(diào)遞增，且f(m)∈[8，10)，則e1e2故答案為：D．【分析】由題意根據(jù)橢圓的離心率公式可得e1e28．【答案】D【解析】【解答】解：根據(jù)題意將數(shù)列分組，第一組為第一項是20第二組為為第二項和第三項是20，2依次類推，第n組為20，21，22第n組含有n項，所以第n組的和為：1?2前n組內(nèi)一共含有的項數(shù)為：nn+1所以前n組內(nèi)的項數(shù)和為：Sn若該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.，只需將?2?n消去即可；若1+2+?2?n=0，則n不滿足N>50；若1+2+4+?2?n=0，則n不滿足N>50；若1+2+4+8+?2?n=0，則n滿足N>50；故滿足如條件的最小整數(shù)N為95.故答案為：D.【分析】根據(jù)題意進行分組，再結(jié)合類比推理的方法和分類討論的方法，再結(jié)合分組求和的方法和等差數(shù)列求和公式、等比數(shù)列求和公式，從而得出滿足如條件的最小整數(shù)N的值.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：如圖所示：

由直線l:mx+y?m?2=0(m∈R)得出直線l:m(x?1)+y?2=0聯(lián)立x?1=0y?2=0，解得x=1，y=2，所以直線l過定點(1,2)當直線l過圓O圓心時，線段AB最長，為圓的直徑，等于6，故B正確；當直線AB與過原點O和點1,2的直線垂直時，弦長AB最短，因為原點C到點1,2的距離為5，此時AB=2因為AO=BO=3，所以△ABO此時S△ABO故答案為：ABC.【分析】由直線系方程求得直線恒過定點，則判斷選項A；當直線l過圓O圓心時，線段AB最長，則得出線段AB長的最大值，從而判斷選項B；當直線AB與過原點O和點1,2的直線垂直時，弦長AB最短，則得出線段AB長的最小值，從而判斷選項C；利用三角形△ABO的面積取得最大值時，則AO⊥BO，AB=32，再結(jié)合三角形的面積公式得出三角形10．【答案】A,D【解析】【解答】解：連接AC交BD于點O，

則點O為正方形ABCD的中心，由對稱性可知OE=OF，OA=OC，

所以四邊形AFCE為平行四邊形，所以AF∥CE，又AF?平面CDE，CE?平面CDE，

所以AF//平面CDE，同理BF∥平面CDE，

又因為AF∩BF=F，AF，BF?平面ABF所以平面ABF∥平面CDE取BC中點M，連接EM、FM，則EM⊥BC、FM⊥BC，所以∠EMF為二面角E?BC?F的平面角，設(shè)該八面體的棱長為a，則EM=FM=3所以cos∠EMF=所以二面角E?BC?F不是直二面角，則平面EBC與平面FBC不垂直，又因為平面ADE//平面FBC，所以平面ADE與平面EBC同理，取BC中點N，連接BN、DN，∠BND為二面角B?AE?D的平面角，cos∠BND=?13，所以平面ABE與平面ADE由AE=AF，OE=OF，得AO⊥EF，

在正方形ABCD中，AO⊥BD，EF?平面BEDF，BD?平面BEDF，

又因為BD∩EF=O，所以AO⊥平面BEDF，所以∠AEO即為直線AE與平面BDE所成的角，設(shè)該八面體的棱長為2，則AO=1所以EO=AE2故答案為：AD.【分析】利用已知條件和正方形的結(jié)構(gòu)特征和對稱性，從而得出四邊形AFCE為平行四邊形，則得出線線平行，利用線線平行證出直線AF//平面CDE和直線BF∥平面CDE，再由線面平行證出面面平行，則判斷出選項A；取BC中點M，所以∠EMF為二面角E?BC?F的平面角，再利用勾股定理和余弦定理，從而求出此二面角不是直二面角，則可判斷平面ADE與平面EBC也不垂直，進而判斷出選項B；取BC中點N，連接BN、DN，∠BND為二面角B?AE?D的平面角，同理∠BND為二面角B?AE?D的平面角，從而得出平面ABE與平面ADE夾角的余弦值，則可判斷出選項D；利用已知條件和正方形的結(jié)構(gòu)特征得出線線垂直，再由線線垂直證出線面垂直，從而得出∠AEO為直線AE與平面BDE所成的角，再根據(jù)勾股定理和中點的性質(zhì)，從而得出∠AEO的值，則得出直線AE與平面BDE所成的角，即得出平面ABE與平面ADE11．【答案】B,D【解析】【解答】解：對于A，如圖所示，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2當AB的斜率k存在時，x1≠x又因為y1+y當y0=1時，對于B，由CM⊥AB，得k?y即y0k=5?x0，因此2=5?x當y0=2時，k=1，點M3,2，直線AB的方程為y=x?1故AB=對于C，將x=3代入y2=4x，得y2=12，

由因為點M在圓上，所以x0當r=5時，3?52+y02此時AB的斜率為k的直線不存在，如圖所示：當AB的斜率k不存在時，符合條件的直線只有一條，為x=10，故C錯誤；對于D，當r=3時，3?52+y02此時AB的斜率為k的直線有兩條，為y=552x?1當AB的斜率k不存在時，符合條件的直線也有兩條，為x=8和x=2，故D正確.故答案為：BD.【分析】由已知條件和點差法以及兩點求斜率公式，再結(jié)合中點的坐標公式，從而得出y0k=2，進而得出當y0=1時的直線AB的斜率，由此判斷選項A；利用兩直線垂直斜率之積等于-1，從而由兩點求斜率公式和點與直線的位置關(guān)系，從而由焦點弦的求解方法和拋物線的定義，從而得出當y0=2時的線段AB的長，則判斷出選項B；當AB的斜率k不存在時判斷是否符合要求，當AB的斜率k存在時，由直線與圓切于M得M必在直線x=3上，根據(jù)給定的12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由N(t)=K當N0=K令K1+2e?rt因為r為種群的內(nèi)秉增長率，r>0，所以t=2N(t)?K=K因為0<N0<K，t≥0故對任意的t≥0，N(t)<K，所以B正確；N'因為0<N0<K，那么任意的t>0，N(t)令f(t)=N則f'因為0<N令f'(t)>0得：(K?N令f'(t)<0得：(K?N所以f(t)在0<t<1rln那么N(t)的導(dǎo)函數(shù)N'(t)在故答案為：ABD．【分析】由N(t)=KN0N0+K?13．【答案】2【解析】【解答】解：因為直線l1:x+y+1=0的斜率為?1，

直線l2:2x+my+1=0的斜率為-2m，

又因為經(jīng)檢驗，m=2滿足題意.故答案為：2.【分析】根據(jù)兩直線平行，則兩直線斜率相等，從而得到?214．【答案】28【解析】【解答】解：S7故答案為：28.【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列前n項和公式，從而計算得出S715．【答案】17【解析】【解答】解：設(shè)圓臺的高為h，．依題意可得，V=134π+36π+12πh=104π，解得故OO故答案為：17.【分析】由已知條件和圓臺的體積公式，從而求出圓臺的高，再利用球的內(nèi)接的圓臺，從而構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理，從而建立方程，進而求出O1O的長，則求出16．【答案】10【解析】【解答】解：如圖所示：因為PM=?115即15PM即10PM=?MA因為?15+25使得MD=?15所以PM=12MD，即又因為三棱錐P?ABC的體積為15，則VA?MBC故答案為：10.【分析】根據(jù)題意，由空間向量的運算可得2PM=?15MA+25MB+417．【答案】2【解析】【解答】解：設(shè)點P坐標為x0,ex0點Q到C2準線距離為xQ+1則|PQ|+x又因為|PF|設(shè)fx則f'x=2e2x+2x?2，

令gx=2e又因為f'所以，當x>0時，f'x>0當x<0時，f'x<0所以f(x)≥f(0)=2，故|PF|=fx0即|PQ|+xQ的最小值是故答案為：2?1【分析】設(shè)點P坐標為x0,ex0，由拋物線定義可得|PQ|+xQ18．【答案】3x?y?5=0【解析】【解答】解：當過A2,1的直線將圓1與圓2區(qū)域平分，

過B3,4的直線將圓3與圓

直線l將8個圓劃分為面積相等的兩個區(qū)域且kAB=∴直線AB的方程為：y?1=3x?2，即直線l:3x?y?5=0故答案為：3x?y?5=0.【分析】過A2,1、B3,4的直線平分四個圓，可實現(xiàn)兩個區(qū)域面積相等，由此可確定直線AB的方程，即求出直線19．【答案】（1）解：線段AC的垂直平分線的方程為y=x，線段AB的垂直平分線的方程為x=2由x=2y=x，解得M(2,2)∴圓的半徑r=AM=(2?1)∴圓的方程為(x?2)2（2）解：由題易得直線l的斜率存在，

設(shè)過點P的直線為y?1=k(x+1)，即kx?y+k+1=0，則圓心到直線的距離d=|3k?1|1+k2=直線方程為2x?y+3=0或x+2y?1=0.【解析】【分析】（1）利用垂直平分線的性質(zhì)和聯(lián)立方程的方法，從而計算可得點M的坐標，再利用兩點間距離公式計算可得半徑長，從而得出圓的標準方程.（2）由題易得直線l的斜率存在，再利用點斜式設(shè)出切線方程，再結(jié)合切線定義和點到直線的距離公式，從而得出直線的斜率，進而得出直線l的方程.（1）線段AC的垂直平分線的方程為y=x，線段AB的垂直平分線的方程為x=2，由x=2y=x，解得M(2,2)∴圓的半徑r=AM=(2?1)∴圓的方程為(x?2)2（2）由題易得直線l的斜率存在，設(shè)過點P的直線為y?1=k(x+1)，即kx?y+k+1=0，圓心到直線的距離d=|3k?1|1+k2=直線方程為2x?y+3=0或x+2y?1=0.20．【答案】（1）解：因為f'(x)=aln(x+1)+xx+1+2x+1，

所以y=f(x)的切線方程為y=x.（2）解：因為f(x)=axln故x=0是函數(shù)f(x)的一個零點，由題意可知，方程aln顯然a=0不合題意，令t=x+1>0，則?1設(shè)g(t)=lntt當t∈(0,e)時，g'當t∈e,+∞時，g故g(t)又因為t→0時，g(t)<0；t→+∞時，g(t)→0故0<?1a<【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，由代入法得出切點坐標，再結(jié)合點斜式得出曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程.（2）由題意可得x=0是函數(shù)f(x)的一個零點，故方程aln(x+1)+x+1=0有兩個不同的非零實數(shù)根，顯然a=0不合題意，令t=x+1>0，則可轉(zhuǎn)化為求g(t)=ln（1）f'(x)=aln(x+1)+x所以y=f(x)的切線方程為y=x；（2）f(x)=axln故x=0是函數(shù)f(x)的一個零點，由題意可知，方程aln顯然a=0不合題意，令t=x+1>0，則?1設(shè)g(t)=lntt當t∈(0,e)時，g'當t∈e,+∞時，g故g(t)又t→0時，g(t)<0，t→+∞時，g(t)→0故0<?1a<21．【答案】（1）解：由題意知：Sn+S兩式相減，可得an∵an>0又∵a1=1，當n=1時，S解得a2=2或a2從而an+1?an=1(n≥1)所以數(shù)列an的通項公式為a???????（2）解：由an可得b=4所以T【解析】【分析】（1）利用an=Sn?（2）利用（1）中數(shù)列an的通項公式得出數(shù)列bn的通項公式，再利用裂項相消法，從而求出數(shù)列bn（1）由題意知：Sn+S兩式相減，可得an∵an>0又∵a1=1，當n=1時，S解得a2=2或a2從而an+1?a所以數(shù)列an的通項公式為a（2）由an可得b=4所以Tn22．【答案】（1）解：由已知得出，在△ABC中，∵cos∴AC=2，又因為四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=AD=2，取CD中點H，則AH⊥CD，∵AB∥CD，∴AH⊥AB，∴AB,AH,AP兩兩垂直，以AB,AH,AP為x,y,z軸建立直角坐標系A(chǔ)?x則B(23,0,0),?所以AH=A∴C(3因為M為AD中點，∴M?∴PC設(shè)平面APC的法向量為m=∴m∴3x1設(shè)平面MPC的法向量為n=∴n?PC=0,?∴∴平面MPC與平面APC夾角余弦值為5118（2）解：設(shè)N(m,1,0)，則BN=(m?2BN?∵S△PBN=則S=12|PB|d=∵BN?BP∴m=23另解：∵S△PBN=則S=12?PB?d=延長DC至E，使得CE=3，則EB⊥AB且EB=1又∵EB⊥PA,∴PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB，所以EB⊥平面PAB，因為PB?平面PAB，∴EB⊥PB，

所以E點即為N點，則NCCD【解析】【分析】（1）利用已知條件和余弦定理得出AC的長，由平行四邊形的結(jié)構(gòu)特征和等腰三角形三線合一得出線線垂直，再利用AB∥CD得出AH⊥AB，從而得出AB,AH,AP兩兩垂直，則以AB,AH,AP為x,y,z軸建立直角坐標系A(chǔ)?xyz，從而由勾股定理得出點的坐標和向量的坐標，再由兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標表示，從而得出平面APC的法向量和平面MPC的法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式得出平面（2）利用兩種方法求解.解法一：設(shè)N(m,1,0)，再結(jié)合向量的坐標表示和數(shù)量積的坐標表示以及三角形的面積公式，再結(jié)合已知條件得出點N到直線PB的距離，再由數(shù)量積和勾股定理得出m的值，從而得出NCCD的值.解法二：先根據(jù)三角形的面積公式，從二求出點N到直線PB的距離，延長DC至E，使得C