3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解

它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算

過程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類問題

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無

味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)

生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用。

教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀。

教學(xué)設(shè)想：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等

即：如果a,b,c,d￡R,那么小"幻三必＜=＞小c,Bd,只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全

是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：

1.虛數(shù)單位i：(1)它的平方等于-1,即/=—］；(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則

運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立

2.i與-1的關(guān)系：i就是一1的一個(gè)平方根，即方程產(chǎn)二一1的一個(gè)根，方程

Z=-l的另一個(gè)根是一i

3.i的周期性：i4n+2=-l,J"?—，/=i

4.復(fù)數(shù)的定義：形如〃+砥必成⑷的數(shù)叫復(fù)數(shù),。叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)

的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*

5.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即Z=4+〃(〃/￡R),把復(fù)數(shù)

表示成K加?的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

6.曳數(shù)與熨數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及。的關(guān)系：對(duì)于友數(shù)砥當(dāng)且

僅當(dāng)先0時(shí)，復(fù)數(shù)a+加（a、方GR）是實(shí)數(shù)/當(dāng)。W0時(shí)，復(fù)數(shù)萬叫做虛數(shù);

當(dāng)產(chǎn)0且AWO時(shí)，個(gè)。/叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)行/尸。時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.

7.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N呈ZWQWR式.

8.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們

就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a,b,c,deR,那么d+Z?/=c+"f<=>a二c,b=d

一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都

是實(shí)數(shù)，就可以比較大小只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

9.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：

點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a^bi（a、6￡R）可用點(diǎn)Z（a,8）表示，

這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做

實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)

對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為（0,0）,它所

確定的復(fù)數(shù)是"0+0A0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

10.復(fù)數(shù)?與Z2的和的定義：?+&二+（c+d/）=（Kc）+（加初上

11.復(fù)數(shù)?與Z2的差的定義：z[Z2=（/bi）-（c+di）=（a~c）+（b~d）L

12.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律：Z】+ZLZ2+ZI.

13.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律：（Z1+Z2）+Z：%+（Z2+Z3）

講解新課

1.乘法運(yùn)算規(guī)則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行：

設(shè)z尸步bi,z十計(jì)di（a、b、c、d￡R）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積

（9bi）3di）=（ac—b（/）+（bLad）i.

其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把『換

成一1,并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).

2.乘法運(yùn)算律：

（1）ZI（Z2Z3）=（Z1Z2）z3

證明：設(shè)z1=a+Zv',Z2=日2+&j,Z3=4+&/E，%，%,b、,b2t&RR）.

*.*Z1Z2=（4+七1）（52+&/）=（a、aib、b）+（baz+aHi,

22?二（42+&]'）（8+67）=（%&一力」”）+（&句+%力）i*

又axarb\b2=a2a-b>bi,6a2+aA=A4+4加.

??Z]Z2-22^]?

(2)Zi(z2+z3)=ziz2+ziz3

證明：設(shè)?二句+6",z2=a2+b2ifZ3=d3+&/(a”改，&，“，&,&eR).

V(Z1Z2)Z3=[(且+6>)(及+/，)](a+&】)=[(3i-—濟(jì)?+(仇

(&+&/)

二[(白a一力A)43-(仇4+2勿)&]+[(a4+&&)&+(劣@一。公)&]i

~(^iQiQ\~b\bz&i~b\Qzb~Q\b>b\)+1匕氏氏^a\bb"b、b2b)1,

同理可證：

Z](Z2Z3)=(axa2arb}kas-b}a2bra{b>61)+(6]全43+國&a+句桀△一仇i,

.*.(為4)z3=z)(%％).

(3)?(@+㈤=?&+?%.

證明：設(shè)z尸句+0/,Z2=a2+b>],Z3=&+&/(T，a，&,A,",&GR).

,:Zi(Z2+Z3)=(a「bd)[(a+&/)+(2+”")]=(囪+:1)[(&+&)+(—+-)/]

二[a(4+&)-6(&+&)]+[-(.+&)+團(tuán)(?+?)]i

=(句2+句及廠6b-b\&)+(8為+"&1句8+句&)i.

Z|Zz+Z|Z3=(a+)_/)(9+A力+(國+6力(4+”“)

二(句全一仇&)+(仇a+aAz)了+(國4-6&)+(仇&+國&)i

二(團(tuán)金一0力+臼&-，16)+(仇選+田1&-6&+句&)i

=(a[&+a】&一b\b廠b{&)+(bi%+6a3-aa、&)1

.*.Z1(8+Z3)=Z[Z2+Z】Z3.

例1"算(l—2i)(3+4i)(一2十i)

解：(l-2i)(3+4i)(-2+i)=(ll-2i)(-2+i)=-20+15i.

例2計(jì)算：

(1)(3+4i)(3-4i)；(2)(1+i)2.

解：(1)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;

(2)(1+i)2=l+2i+i2=l+2iT=2i.

3.共枕復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做

互為共規(guī)復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共瓏復(fù)數(shù)乜叫做共規(guī)虛數(shù)

通常記復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)為"

4.復(fù)數(shù)除法定義：滿足數(shù)+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y￡R)叫復(fù)數(shù)

a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)+(c+di)或者”史

c+di

5.除法運(yùn)算規(guī)則：

①設(shè)復(fù)數(shù)卅萬(外力&R),除以*R),其商為正方(x,HR),

即(小■加)4-

*/{x^yi)(c+〃f)={ex—dy)^^dx^cy)i.

/.(ex-dy)+(t/r+c力i=a^bi.

cx-dy=a,

由復(fù)數(shù)相等定義可知

dx-\-cy=b.

ac+bd

x=

解這個(gè)方程組，得＜c~+d~

be-ad

)'=

c2+d-'

-rH/,,Aac+bdbe-ad

于是枸:(濟(jì)幻)-<c^di)=——-+-i.

c-+d~c

②利用"㈤辦/于是將鬻的分母有理化得:

a-vbi_(a+bi)(c-di)_[ac+bi?(-di)]+(be-ad)i

原式二

c+di(c+di)(c—di)c2+d~

(ac+bd)+(be—ad)iac+bdbe—ad.

-------------------------------=-------------F-----------1

c2+d2c2+d2/+屋

ac+bdbe-ad.

(/bi)-T-尸+c2+J2

c2+d2

點(diǎn)評(píng)：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時(shí)，都是采用

的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)廠公與復(fù)數(shù)C—di,相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的

J5+g的對(duì)偶式百-血,它們之積為1是有理數(shù)，而力)Yc-di)4d

是正實(shí)數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法

例3計(jì)算(l+2i)+(3—4i)

解:(1+2/)4-(3-4/)=1^-

3-4/

(l+2/)(3+4z)=3-8+6i+4i=-5+10/12.

=----------7----=-1-I

(3—旬(3+旬32+422555

例4計(jì)算0旬d+i)+2+4i

3+4z

.(l-4i)(l+i)+2+4i1+4-3/+2+4Z7+i(7+z)(3-4z)

3+4，―3+4/-3+4/-32+42

21+4+3/-28/25-25/,.

=------------------------=-------------=1—1.

2525

1z-l

例5已知z是虛數(shù)，且力上是實(shí)數(shù)，求證：二」是純虛數(shù).

ZZ+1

證明：設(shè)有m'加'(a、b￡R且620),于是

1,.1,.a-biaZIb

z+—=a+bi+----r-?=a+Z?i+—：-/--1-/=a+—r---I-r+('b——7---,)-)/i.

za+bia~+b~a~+b~a~+/?'

V^--eR,:?b-=o.

za2J+h2

?.zwo,???/+戶:.

.z-l_(tz-l)+/?z_[(tz-1)4-/?/][(?4-l)-/?z]

??z+T-m+i)+/“一(a+i)2+〃

/-1+〃+[(。+1地一m一網(wǎng)0+2萬b.

。~+/?~+2。+11+2〃+1〃+1

?:件0,出力&R,???〃一，是純虛數(shù)

4+1

鞏固練習(xí)

1.設(shè)有3+工則1等于

31.

A.3+7B.3-7C.—/+—D.------1------1

10101010

2.”幺+佇以的值是

b-aib+ai

A.0B.iC.~iD.1

3.已知％=2—i,zR+3/,則復(fù)數(shù)上十三的虛部為

45

A.1B.-1C.iD.-i

4.設(shè)」-=4-+。-(x￡R,y￡R),貝ij產(chǎn)__________,y=___________?

1+i2-i1-z

7o

答案：l.D2.A3.A4.-,--

55

課后作業(yè)

課本第62頁習(xí)題3.2A組4,5

B組

教學(xué)反思

復(fù)數(shù)的乘法法則是：3。/)(c+d/)=(ac—。加+(3?財(cái)/.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相

乘，可按多項(xiàng)式類似的辦法進(jìn)行，不必去記公式.

復(fù)數(shù)的除法法則是：生號(hào)=早學(xué)+4二黑/(＞口#0).

兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡捷的方法是把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分

母都乘以分母的共枕復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡

高考題選

2

1.(2007年北京卷)-----=-i.

(l+i)2------

2.(2007年湖北卷)復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b￡R,且bXO,若z2-4bz是實(shí)數(shù),則有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)(a,b)可以是n寫出一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)即可)

【答案】：(2,1).

［分析］：z2-4/?z=(Q+bi)2-4b(a+bi)=a2-4ah-b2+2b(a-2b)i是實(shí)數(shù),

所以〃=2Z?,取(4。)=(2,1).

【高考考點(diǎn)】：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算.

【易錯(cuò)點(diǎn)】：復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式不能記錯(cuò)。

【高考備考提示】：復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算，是高考每年必考的內(nèi)容,

應(yīng)熟練掌握。

3.（2007年福建卷）復(fù)數(shù)」=等于（D）

（1+1）-

A.-B.--C.-iD.」i

2222

4.（2007年廣東卷）若復(fù)數(shù)（1+bi）（2+i）是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù)）,

則h=

（A）-2（B）-1（C）1（D）2

22

答案：B；解析：（1+bi）（2+i）=（2-b）+（2b+l）i,故2b+l=0,故選B；

5.（2007年湖南卷）復(fù)數(shù)（亙『等于（C）

A.4iB.-4iC.2iD.-2i

74.4；

6.（2007年江西卷）化簡上二的結(jié)果是（C）

（1+/）-

A.2+iB.-2+iC.2—iD.-2—i

7.（2007年全國卷I）設(shè)。是實(shí)數(shù)，且，-+匕1是實(shí)數(shù)，則（B）

1+i2

13

A.-B.1C.-D.2

22

8.（2007年全國卷H）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足上吆="Mz=（C）

z

A.-2+iB.-2-iC.2—iD.2+i

9.（2007年陜西卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)毛上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（D）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限

10.（2007年四川卷）復(fù)數(shù)上匚+『的值是（）