§3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及幾何意義

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：掌握復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及意義

過(guò)程與方法：理解并掌握實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律，了解復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的

幾何意義

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛

數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部）理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念；畫圖得到的結(jié)論，

不能代替論證，然而通過(guò)對(duì)圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的運(yùn)算率，復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義。

教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀C

教學(xué)設(shè)想：復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)

點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。復(fù)數(shù)斤m?加’（以方仁心與有序?qū)崝?shù)對(duì)（d份是

---對(duì)應(yīng)關(guān)系這是因?yàn)閷?duì)于任何一個(gè)復(fù)數(shù)冷卻■加（日、人￡R）,由復(fù)數(shù)相等的定義

可知，可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a,b）惟一確定.

教學(xué)過(guò)程；

學(xué)生探究過(guò)程:

1.虛數(shù)單位i:（D它的平方等于-1,即12=-\;（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四

則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立

2.i與一1的關(guān)系：i就是一1的一個(gè)平方根，即方程/二一1的一個(gè)根，方

程步二一1的另一個(gè)根是一，

3.i的周期性：產(chǎn)―，/^2=-1,/三T,產(chǎn)口

4.復(fù)數(shù)的定義：開(kāi)鄉(xiāng)如。+〃（。力￡尺）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，。叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，〃叫復(fù)數(shù)

的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*

3.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+4（a,〃eR）,把復(fù)數(shù)

表示成》的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

4.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及。的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)〃+〃?(〃/￡R),當(dāng)且

僅當(dāng)少0時(shí)，復(fù)數(shù)a+b/(a、beR)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)。壬。時(shí)，復(fù)數(shù)■歷'叫做虛數(shù);

當(dāng)序：()且8W0時(shí)，毛加,叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)房0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.

5.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NWZ&QWR式.

6.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們

就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a,b、。，d￡R,那么才。了-b-d

一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都

是實(shí)數(shù)，就可以比較大小只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

7.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：y＞

一_.Z(a,b)

點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)b-----------------

z=?(a、6￡R)可用點(diǎn)Z(a,。)表示，這個(gè)建立

了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也

叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸0，aX

實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)

對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0),它所

確定的復(fù)數(shù)是^0+0/=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即

復(fù)數(shù)z=a+6＜，儂?＞復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(〃M|

這是因?yàn)?，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面

內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).

這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法

8.若A(x,y),0(0,0),則。4=",)，)

9.若。=區(qū),凹)，b=(x2,y2),則=(2+%)，

a-h=(xl_々，弘一)’2)

兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差

10.若4(%,弘),B(x2,y2),則48=(工2-4丁2-凹)

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)

即AB=OB-OA=(x2,y2)-(xby))=(x2-xby2-y)

講解新課：

一.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算

1.復(fù)數(shù)?與a的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c^d>)=(a+c)+(加中上

2.復(fù)數(shù)％與0的差的定義：z「zM/bi)Y>di)=(a~。+(b~d)i.

3.夏數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律：?十Z2-Z2十冬.

證明：設(shè)3二句+仇，，z2=a2+&7(<ai,b\,a>,bQR).

?+z2=(d+6。+la+bf)=(&+&)+(力+b)i.

Z2+Z尸(d2+力，)+(句+"i)=(及+a)+(從+b)L

又.?4+及=比+句，力i+力=

，Zl+Z2=Z2+Z1.即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律.

4.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律：(Z1+Z2)+Z3=?+(Z2+Z3)

證明：設(shè)z尸4+6]上勿9+力了，Z3=&rWJ(句，改,a，b\,&&R).

V(Zi+z2)+z3=[(句+以了)+(4+&/)]+(&+&/)

=[(句+&)+(6+&)+(a+&)，

=[(句+&)+a]+[("+&)+&]i

-(臼+全+日3)+(bi+bz+A)上

為+(為+勿)=(@+6/)+[(8+67)+(&+&/)]

=(a+匕]i)+[(包+&)+(&+兒)i~\

■[句+(a+為)]+"+(&+&)]i

=(國(guó)+&-a)+(仇+&+A)i

:(團(tuán)+/)+&W+(a+&)，(占+m+&二仇+必+&).

，(Zl+Z2)+Z3=?+(&+㈤.即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律

講解范例：

例1計(jì)算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-lli

例2計(jì)算：(1-27)+(-2+37)+(3-4/)+(-4+5/)+…+(一

2002+20037)+(2003-20047)

解法一：原式=(1-2+3—4+----2002+2003)+(-2+3-4+5+…+2003—

20047)=(2003-1001)-(1001-2004)7=1002-1003i.

解法二:V(1-2/)+(-2+3/)=-1+7,

(3—4/)+(—4+5，)=一1+7,

(2001-20027)+(-2002+2003)4一1+上

相加得(共有1001個(gè)式子)：

原式二1001(—1+。+(2003-2004/)

=(2003-1001)+(1001-2004)1=1002-10037

二.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義

復(fù)數(shù)的加(減)法3bi)±(c+di)=(a±c)+(b±cDi.

與多項(xiàng)式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相

加(減).

1.復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a/)一^~＞平面向量OZ

2.復(fù)數(shù)z=〃+b"刈"一平面向量OZ

3.復(fù)數(shù)加法的幾何意義：

設(shè)復(fù)數(shù)Zi=a+bi,砥8di,在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量為\7

鬲、返，即該、運(yùn)的坐標(biāo)形式為該=(小力)，返二(c,

中以該、。口為鄰邊作平行四邊形OZ,ZZz,則近角線“對(duì)應(yīng)?

的向量是應(yīng)，

OZ=OZ,+OZ2=(atb)+(c,d)-(a+c,=(a+c)+i

4.復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)z=(〃一C)十(〃一Si,

所以Z—ZLZ2,Z2+Z尸z,由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以02為一條對(duì)角線，西為一

條邊畫平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的另一邊礪所表示的向量返就與復(fù)

數(shù)Z—?的差(d—c)+3一中，對(duì)應(yīng)由于OZ2=Z1Z,所以，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差Z—?

與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).

例3已知復(fù)數(shù)?=2+，，々=1+2/在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為/、B,求A8對(duì)

應(yīng)的復(fù)數(shù)z,z在平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？

解：Zi=(l+2/)—(2+7)=—1+J,

???z的實(shí)部小一1V0,虛部/產(chǎn)1>0,

?,?復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi).

點(diǎn)評(píng)：任何向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，總是這個(gè)向量的終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù):數(shù)減去始點(diǎn)

所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差.即AB所表示的復(fù)數(shù)是為一區(qū),ifijBA所表示的復(fù)數(shù)

是Z.LZA，故切不可把被減數(shù)與減數(shù)搞錯(cuò)盡管向量而的位置可以不同，只要它

們的終點(diǎn)與始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同，那么向量而所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一的,

因此我們將復(fù)平面上的向量稱之自由向量，即它只與其方向和長(zhǎng)度有關(guān)，而與位

置無(wú)關(guān)

例4復(fù)數(shù)辦=1+2工z2=—2+7,z3=-1—27,它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一

個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

分析一：利用標(biāo)二前，求點(diǎn)〃的對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù).

解法一：設(shè)復(fù)數(shù)％、Z2、Z3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為力、B、C,正方

故點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2一/.

分析二：利用原點(diǎn)。正好是正方形力皿的中心來(lái)解.

解法二：因?yàn)辄c(diǎn)力與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以原點(diǎn)。為正方形的中心，于是

(-2+7)+

(戶”)=0,/.A=2,y=—1.

故點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2—工

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意畫圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過(guò)對(duì)圖形的觀察，

往往能起到啟迪解題思路的作用

鞏固練習(xí)：

1.己知復(fù)數(shù)?=2+f,22=1+27,則復(fù)數(shù)￡Z2一?在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.在復(fù)平面上復(fù)數(shù)一3一2工-4+5/,2+，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是/、B、3則平行

四邊形力即?的對(duì)角線協(xié)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

A.5-97B.-5-3；C.7-11；D.-7+11；

3.已知復(fù)平面上△力仍的頂點(diǎn)力所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2/,其重心G所對(duì)應(yīng)的復(fù)

數(shù)為1+7.，則以〃力、力為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)為

A.3A/2B.2V2C.2D.y[5

4.復(fù)平面上三點(diǎn)/、B、。分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2j,5+2,則由力、B、C所構(gòu)成的

三角形是

A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形

5.一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)虛數(shù)的差()

A.不可能是純虛數(shù)B.可能是實(shí)數(shù)

C.不可能是實(shí)數(shù)D.無(wú)法確定是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)

6.i+M(-V2+V3/)4-(V3-V2z)-[(V3-V2)+(V3+V2)/]=.

7.計(jì)算：(2戶3y￡,—(3x—2yi)+(y—2xi)—3xi=(x、R).

8.計(jì)算(1-27)-(2-37)+(3-47)-(2002—20031).

9.已知復(fù)數(shù)z產(chǎn)-—3+(a+5)iyz^a—l+(a+2a—1)f(a￡R)分別對(duì)應(yīng)向量

厲、OZ[(。為原點(diǎn))，若向量在對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求a的值.

解：Z?2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3一z”則

2

z2—Zi=5—l+(a+25—1)i-［，-3+(a+5)=(a--+2)+(#+^—6)/

是純虛數(shù)

。一〃2+2=0

,解得才一1.

+a-6Ho

10.已知復(fù)平面上正方形的三個(gè)頂點(diǎn)是A(1,2)、B(—2,1)、C(—L

-2),求它的第四個(gè)頂點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

解：設(shè)〃(x,則

AD=OD-OA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(盧門')-(l+27)-U-l)+(y-2)7

前=無(wú)一方對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：(一1一2。一［一2+力=1一3了

9：AD=BC：.(^-l)+(y-2)7=1-3/

一一解得Ix=