第六章參數(shù)估計

6.1點(diǎn)估計問題概述

習(xí)題1

總體X在區(qū)間［0,0］上均勻分布，XI,X2,-,Xn是它的樣本，則下列估計量?？谑?的

一致估計是().

(A)0D=Xn；(B)0D=2Xn；

(C)0□=X'=lnLi=lnXi;(D)0C=Max{Xl,X2,Xn}。

解答：

應(yīng)選(D).

由一致估計的定義，對任意￡>(),

P(|Max{XI,X2,Xn}—0|<￡)

=P(-e+0(Max{XI,X2,Xn}<8+0)

=F(e+0)—F(-e+0).

因為

FX(x)={0,x<0x0,OWxW0i,x>0,及F(x)=FMax{Xl,X2,1,Xn}(x)=FXl(x)FX2(x)-FXn

(x),

所以

F(￡+8)=1,F(-e+0)=P(Max{XI,X2,Xn}<—￡+0)=(1—x9)n,

故

P(IMax{Xl,X2,-Xn)-0I(e)=l-(l-xO)n-l(l+8).

習(xí)題2

設(shè)。是總體X的標(biāo)準(zhǔn)差，XI,X2,?Xn是它的樣本，則樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是總體標(biāo)準(zhǔn)差。的

Oo

(A)矩估計量；(B)最大似然估計量；(C)無偏估計量；(D)相合估計量。

解答：

應(yīng)選(D).

因為，總體標(biāo)準(zhǔn)差。的矩估計量和最大似然估計量都是未修正的樣本標(biāo)準(zhǔn)差；樣本方差是

總體方差的無偏估計，但是樣本標(biāo)準(zhǔn)差不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計.可見,樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是總

體標(biāo)準(zhǔn)差。的相合估計量.

習(xí)題3

設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為hXI,X2,Xn是來自X的樣本，al,a2,-,an是任意常數(shù)，驗

證(Ei=lnaiXi)/￡i=lnai(￡i=lnaiW0)是U的無偏估計量。

解答：

E(X)=u,

E(Li=lnaiXiEi=lnai)=1Zi=lnai-Ei=lnaiE(Xi)(E(Xi)=E(X)=p)

=口Ei=lnaiEi=ln=u,

綜上所證，可知Ei=lnaiXiEi=lnai是u的無偏估計量。

習(xí)題4

設(shè)0匚是參數(shù)0的無偏估計，且有D(0□)〉0,試證?？?=(32])2不是02的無偏估

計.

解答：

因為D(0口)=E(92)-[E(0□)]2,所以

E(0a2)=D(G□)+[E(0口)]2=。2+D(。匚))。2,

故(0口)2不是。2的無偏估計。

習(xí)題5

設(shè)XI,X2,…,Xn是來自參數(shù)為X的泊松分布的簡單隨機(jī)樣本，試求入2的無偏估計量。

解答：

因X服從參數(shù)為X的泊松分布，故

D(X)=入，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=入+入2=E(X)+入2,

于是E(X2)—E(X)=X2,即E(X2—X)八2.

用樣本矩A2=lnEi=lnXi2,Al=X一代替相應(yīng)的總體矩E(X2),E(X),便得入2的無偏估計

量

XC2=A2—Al=lnLi=lnXi2—X.

習(xí)題6

設(shè)XLX2,…，Xn為來自參數(shù)為n,p的二項分布總體，試求p2的無偏估計量。

解答：

因總體X~b(n,p),故

E(X)=np,

E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(l-p)+n2p2

=np+n(n—l)p2=E(X)+n(n-l)p2,

E(X2)-E(X)n(—1)=E[ln(n-l)(X2—X)]=p2,

于是，用樣本矩A2,A1分別代替相應(yīng)的總體矩E(X2),E(X),便得p2的無偏估計量

pD2=A2—Aln(n—l)=ln2(n—1)Ei=ln(Xi2-Xi)。

習(xí)題7

設(shè)總體X服從均值為0的指數(shù)分布,其概率密度為

f(x;0)=(10e-x0,x>00,xWO,

其中參數(shù)"0未知。又設(shè)XLX2,Xn是來自該總體的樣本，試證：X一和n(min(Xl,X2,

…,Xn))都是0的無偏估計量，并比較哪個更有效.

解答：

因為E(X)=。，而E(X1=E(X),所以E(X-)=0,是。的無偏估計量.設(shè)

Z=min(XI,X2,Xn),

因為

FX(x)={0,x^Ol—e—x0,x>0,

FZ(x)=l—[1—FX(x)]n={1—e—nxO,x>00,xWO,

所以fZ(x)={n0e-nx。，x>OO,xCO,這是參數(shù)為n0的指數(shù)分布，故知E(Z)=0n,而

E(nZ)=E[n(min(Xl,X2,Xn)]=0,

所以nZ也是0的無偏估計.現(xiàn)比較它們的方差大小.

由于D(X)=e2,故D(X-)=02n.

又由于D(Z)=(On)2,故有

D(nZ)=n2D(Z)=n2-02n2=02.

當(dāng)n〉1時,D(nZ)〉D(X"),故X一較nZ有效.

習(xí)題8

設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(m,l),X1,X2是總體X的子樣，試驗證

ml=23X1+13X2,m2=14X1+34X2,m3=12X1+12X2,

都是m的無偏估計量;并問哪一個估計量的方差最小？

解答：

因為X服從N(m,1),有

E(Xi)=m,D(Xi)=l(i=l,2),

得

E(ml)-3(23X1+13X2)-23E(X1)+13E(X2)-23m+13m-m,

D(ml)=D(23X1+13X2)=491)(XI)-19D(X2)=49+19=59,

同理可得：E(m2)=m,D(m2)=58,E(m3)=m,I)(m3)=12.

所以，ml,m2,m3都是m的無偏估計量，并且在irl,m2,m3中，以m3的方差

為最小.

習(xí)題9

設(shè)有k臺儀器。已知用笫i臺儀器測量時，測定值總體的標(biāo)準(zhǔn)差為。i(i=l,2,…,k),用

這些儀器獨(dú)立地對某一物理量0各觀察一次，分別得到XLX2,…，Xko設(shè)儀器都沒有系

統(tǒng)以差，即E(Xi)-。(i-l：2,…，k),問al,a2,…，ak應(yīng)取何值，方能使用0-Ei-lkaiXi

估計0時，。是無偏的，并且D(8)最??？

解答：

因為E(Xi)=0(i=l,2,,k),故

E(0)=E(Li=lkaiXi)=Ei=lkaiE(Xi)=0Li=lkai,

欲使E(。)=0,則要Ei=lkai=L

因此，當(dāng)Zi=lkai=l時，0=Ei=lkaiXi為。的無偏估計，D(0)=Li=lkai2oi2,要

在￡i=lkai=l的條件下D(0)最小，采用拉格朗日乘數(shù)法。

令

L(al,a2,“，ak)=D(€)+入(1-Ei=lkai)=Li=lkai2oi2+入(1—Ei=lkai),

{ddii=0,i=l,2,-,kEi=lkai=l,

即2aioi2-入=0,ai=X2i2；

又因Ei=lkai=l,所以\￡i=lkl2。i2=l,記￡i=lkl。i2=l。02,所以

入=2。02,于是

ai=o02o12(i=l,2,k),

故當(dāng)ai=c02ci2(i=l,2,?1?,k)時，0=￡i=lkaiXi是0的無偏估計，且方差最小.

dlnL(0)d0=lpLi=lnxi—11-pLi=ln(m—xi)=0,

解方程得p=lmnEi=lnxi,故參數(shù)的最大似然估計量為

p=lmnLi=lnXi=lmX-.

習(xí)題2

設(shè)總體X服從均勻分布U[0,0]，它的密度函數(shù)為

f(x；。)={18,0WxW00,其它，

(1)求未知參數(shù)0的矩估計量；

(2)當(dāng)樣本觀察值為0。3,0o8,0o27,0。35,0.62,0。55時，求。的矩估計值。

解答：

(1)因為

E(X)=1-8+8xf(x;0)dx=l0；00xdx=02,

令E(X)=lnEi=lnXi,即02=X",所以0=2X-o

(2)由所給樣本的觀察值算得

x-=16￡i=16xi=16(0o3+0。8+0。27+0。35+0。62+0。55)=0?4817,

所以0=2x-=0.9634.

習(xí)題3

設(shè)總體X以等概率1。取值1,2,…，0,求未知參數(shù)0的矩估計量。

解答：

由

E(X)=1X10+2X10+-+0xi0=l+02=lnEi=lnXi=X~

得()的矩估計為0=2X-—1.

習(xí)題4

?批產(chǎn)品中含有廢品，從中隨機(jī)地抽取60件，發(fā)現(xiàn)廢品4件,試用矩估計法估計這批產(chǎn)品的

廢品率.

解答：

設(shè)P為抽得廢品的概率，1-P為抽得正品的概率(放回抽取)。為了估計P,引入隨機(jī)變量

Xi={l,第i次抽取到的是廢品0,第i次抽取到的是正品，

于是P{Xi=l)=p,P{Xi=0}:1—p=q,其中i=l,2,…，60,且E(Xi)=p,故對于樣本

XI,X2,X60的一個觀測值xl,x2，…,x60,由矩估計法得p的估計值為

p=160Zi=160xi=460=115,

即這批產(chǎn)品的廢品率為115。

習(xí)題5

設(shè)總體X具有分布律

X123

Pi0220(1-0)(1—0)2

其中0為未知參數(shù)。已知取得了樣本值xl=l,x2=2,x3=l,試求0的矩估計

值和最大似然估計值.

解答，

E(X)=1X02+2X20(1—0)+3X(1-0)2=3-20,

x-=l/3X(1+2+1)=4/3.

因為E(X)=X，所以0=(3-xD/2=5/6為矩估計值，

L(0)=ni=13P{Xi=xi}=P{Xl=l}P{X2=2}P{X3=l}

=04-20.(1—0)=205(1—0),

InL(0)=ln2+51n0+ln(1—0),

對0求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零

dlnLd0=50-11-0=0,

得0L=56o

習(xí)題6

(1)設(shè)XLX2,…，Xn來自總體X的一個樣本，且X~n(X),求P{X=0}的最大似然估計。

(2)某鐵路局證實一個扳道員五年內(nèi)所引起的嚴(yán)重事故的次數(shù)服從泊松分布，求一個扳道

員在五年內(nèi)未引起嚴(yán)重事故的概率p的最大似然估計，使用下面122個觀察值統(tǒng)計情況。

下表中，r表示一扳道員某五年中引起嚴(yán)重事故的次數(shù)，s表示觀察到的扳道員人數(shù)。

r012345

sr444221942

解答：

(1)已知，人的最大似然估計為入L=X-.因此

-P{X=0}=e-XL=e—X~

(2)設(shè)X為一個扳道員在五年內(nèi)引起的嚴(yán)重事故的次數(shù)，X服從參數(shù)為X的泊松分底：樣

本容量n=122a

算得樣本均值為

x-=1122XLr=05r-r=1122X(0X44+1X42+2X21+3X9+4X4+5X2)

一L123,

因此

P{X=0}=e—x"=e—1.123=^0.3253.

習(xí)題6.3置信區(qū)間

習(xí)題1

對參數(shù)的一種區(qū)間估計及一組觀察值(xl,x2,…,xn)來說，下列結(jié)論中正確的是0。

(A)皆信度越大，對參數(shù)取侑范圍估計越準(zhǔn)確：

(B)置信度越大，置信區(qū)同越長；

(C)置信度越大，置信區(qū)旬越短；

(D)置信度大小與置信區(qū)訶有長度無關(guān)。

解答：

應(yīng)選(B).

置信度越大，置信區(qū)間包含真值的概率就越大，置信區(qū)間的長度就越大，對未知參數(shù)的估計

精度越低.

反之，對參數(shù)的估計精度越高，置信區(qū)間的長度越小，它包含真值的概率就越低，置信度就越

小。

習(xí)題2

設(shè)(01,。2)是參數(shù)0的置信度為1-a的區(qū)間估計，則以下結(jié)論正確的是().

(A)參數(shù)。落在區(qū)間(。1,。2)之內(nèi)的概率為1-a；

(B)參數(shù)0落在區(qū)間(01,02)之外的概率為a;

(C)區(qū)間(01,。2)包含參數(shù)0的概率為1-a；

(D)對不同的樣本觀察值:區(qū)間1,02)的長度相同.

解答：

應(yīng)先(C)。

由于01,02都是統(tǒng)計量:即(()1,02)是隨機(jī)區(qū)間，而0是一個客觀存在的未知常數(shù)，故

(A),(B)不正確.

習(xí)題3

設(shè)總體的期望U和方差。2均存在，如何求u的置信度為1-a的置信區(qū)間？

解答：

先從總體中抽取一容量為n的樣本XI,X2,Xn.根據(jù)中心極限定理，知

U=X--uo/n-*N(0,1)(n-0°).

(1)當(dāng)。2已知時，則近似得到U的置信度為1-a的置信區(qū)間為

(X--ua/2on,X_+ua/2。n)。

(2)當(dāng)。2未知時,用。2的無偏估計S2代替。2,這里仍有

X--uS/n-N(0,1)(l辦

于是得到M的1—a的置信區(qū)間為

(X--ua/2Sn,X-+ua/2Sn),

一般要求n230才能使用上述公式，稱為大樣本區(qū)間估計。

習(xí)題4

某總體的標(biāo)準(zhǔn)差。=3cm,從中抽取40個個體,其樣本平均數(shù)x-=642cm,試給出總體期望

值P的95%的置信上、下限(即置信區(qū)間的上、下限)。

解答：

因為n=40屬于大樣本情形，所以X―近似服從

N(u,o2n)

的正態(tài)分布，于是U的25%的置信區(qū)間近似為

(X一土。nua/2),

這里x~=642,。=3,n=40七6.32,ua/2=1.96,從而

(x~±onua/2)=(642±340X1.96).(642±0o93),

故U的95%的置信上限為642。93,下限為641.07.

習(xí)題5

某商店為了了解居民對某種商品的需要，調(diào)查了100家住戶，得出每戶每月平均需求量為

10kg,方差為9,如果這個商店供應(yīng)10000戶，試就居民對該種商品的平均需求量進(jìn)行區(qū)

間估計(a=0.01),并依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以0o99的概率滿足需求?

解答：

因為『100屬于大樣本問題，所以、一近似服從N(P,□2/n),于是P的99%的置信區(qū)間

近似為(X一土Snua/2),而

x-=10,s=3,n=100,ua/2=2.58,

所以

(x~±snua/2)=(10±3100X2o58)=(10±0.774)=(9。226,10。774).

由此可知最少要準(zhǔn)備10.774X10000=107740(kg)這種商品，才能以0.99的概率滿足需求。

習(xí)題6

觀測了100棵“豫農(nóng)一號”玉米穗位，經(jīng)整理后得下表(組限不包括上限)：

分組編號12345

組限

組中值70-8080-9090-100100-110110-12075859510511539131626

頻數(shù)

分組編號6789

組限

組中值120-130130-140140-150150-16012513514515520742

頻數(shù)

試以95%的置信度.求出該品種玉米平均穗位的置信區(qū)間.

解答：

因為n=100屬于大樣本情形，所以P的置信度為95%的置信區(qū)間上、卜.限近似為

X-±snua/2,這里n=lC0,ua/2=1。96,還需計算出和s。

取a=115,c=10,令zi=(xi—a)/c=(xi—115)/10,用簡單算公式，

(1)x-=a+cz-;(2)sx2=c2sz2.?

編號123456789

758595105115125135145155

組中值xi

zi=xi-l1510-4-3—2—101234

組頻率mi

mizi3913162620742

zi2-12-27-26-1602014128

mizi216941014916

123456789

z=1100Li=19mizi=l1OOX(-27)=—0.27,

x-=10X(—27)+115=112.3,

sz2=199Ei=19mizi2=199X313^3o161616,

sx2=102X3.161616=316O1616,SX^17.78。

于是

(x~±snua)^(112.3±17.7810X1。96)一(112。3±3.485)

=(108.815,115.785)°

習(xí)題7

某城鎮(zhèn)抽樣調(diào)查的500名應(yīng)就業(yè)的人中，有13名待業(yè)者,試求該城鎮(zhèn)的待業(yè)率p的置信度為

0o95置信區(qū)間。

解答：

這是(0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計問題。待業(yè)率p的0.95置信區(qū)間為

(pl,p2)=(—b-b2—4ac2a,—b-b2—4ac2a)?

其中

a=n+ua/22,b=-2nX~—(ua/2)2,c=nX-2,

n=500,x-=13500,ua/2=1o96.

則(pl,p2)=(0o015,0o044)o

習(xí)題8

設(shè)XI,X2,…，Xn為來自正態(tài)總體N(U,。2)的一個樣本，求u的置信度為1一。的單側(cè)置

信限.

解答：

這是一個正態(tài)總體在方差未知的條件下，對U的區(qū)間估計問題，應(yīng)選取統(tǒng)計量：

T=X~—uS/n-1(n—1)。

因為只需作單邊估計,注意到t分布的對稱性，故令

P{T<ta(n-1))=l-a和P{T>ta(n-l)}=l-a.

由給定的置信度1-a,查自由度為n-1的t分布表可得單側(cè)臨界值ta(n-l)。將不等

式T〈ta(n-1)和T>ta(n—1),即

X—uS/n<ta(n-1)和X-yS/r)ta(n—1)

分別變形，求出P即得U的1—a的置信下限為

X_ta(n-1)Sn.

U的1-a的置信上限為

X-+ta(n—1)Sn,

U的l-Q的雙側(cè)置信限

(X—ta/2(n—1)Sn,X+ta/2(n—1)Sn).

習(xí)題6.4正態(tài)總體的置信區(qū)間

習(xí)題1

已知燈泡壽命的標(biāo)準(zhǔn)差。二50小時，抽出25個燈泡檢驗，得平均壽命x-=500小時，試以

95%的可靠性對燈泡的平均壽命進(jìn)行區(qū)間估計(假設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布).

解答：

由于X-N(n,502),所以y的置信度為95%的置信區(qū)間為

(X—±ua/2on),

這里x-=500,n=25,o=5C,ua/2=l。96,所以燈泡的平均壽命的置信區(qū)間為

(x~±ua/2on)=(500+5025X1.96)=(500+19.6)=(480.4,519.6)。

習(xí)題2

?個隨機(jī)樣本來自正態(tài)總體X,總體標(biāo)準(zhǔn)差。=1。5,抽樣前希望有95%的置信水平使得

P的估計的置信區(qū)間長度為L=l.7,試問應(yīng)抽取多大的一個樣本？

解答：

因方差已知，P的置信區(qū)間長度為

L=2ua/2-on,

于是n=(2oLua/2)2.

由題設(shè)知,1—a=0.95,a=0.05,a2=0.025.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得

uOo025=1o96,o=l。5,L=l,>7,

所以，樣本容量

n=(2Xlo5X1.961。7)2旬1。96.

向上取整數(shù)得n=l2,于是欲使估計的區(qū)間長度為lo7的置信水平為95%,所以需樣本容

量為n=12.

習(xí)題3

設(shè)某種電子管的使用壽命服從正態(tài)分布.從中隨機(jī)抽取15個進(jìn)行檢驗,得平均使用壽命為

1950小時，標(biāo)準(zhǔn)差s為300小時，以95%的可靠性估計整批電子管平均使用壽命的置信上、

下限。

解答：

由X?N(u,02),知U的95%的置信區(qū)間為

(X-±Snta/2(n—1)),

這里x~=1950,s=300,n=15,ta/2(14)=2。145,于是

(x-±snta/2(n-l))=(1950±30015X2?145)

^(1950±166.151)=(1783.85,

2116o15).

即整批電子管平均使用壽命的置信上限為2116。15,下限為1783。85o

習(xí)題4

人的身高服從正態(tài)分布，從初一女生中隨機(jī)抽取6名，測其身高如下(單位：cm)：

149158.5152o5165157142

求初一女生平均身高的置信區(qū)間(a=0.05).

解答：

X~N(u,o2),u的置信度為95%的置信區(qū)間為

(X-±Snta/2(n-l)),

這里乂一=154,s=8.01￡7,tO.025(5)=2.571,于是

(x-±snta/2(n-l))=(154±8.01876X2.571)

七(154±8.416)2(145。58,162。

42).

習(xí)題5

某大學(xué)數(shù)學(xué)測驗,抽得20個學(xué)生的分?jǐn)?shù)平均數(shù)x—=72,樣本方差s2=16,假設(shè)分?jǐn)?shù)服從正

態(tài)分布，求。2的置信度為98%的置信區(qū)間.

解答：

先取x2分布變量，構(gòu)造出的。2的置信區(qū)間為

((n-l)S2xa/22(n-1),(n—1)S2xl-a/22(n-1)).

已知1—a=0.98,a=0.C2,a2=0.01,n=20,S2=16°

查x2分布表得

xG.012(19)=36o191,x0.992(19)=7.633,

于是得。2的98%的置信區(qū)間為(19X1636。191,19X167。633),即(8.400,39。827).

習(xí)題6

隨機(jī)地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=ll(m/s)。設(shè)炮口速度服從正

態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)港差。的置信度為0.95的置信區(qū)間。

解答：

已知n=9,s=l1(m/s),1—a=0。95.查表得

x0.0252(8)=17。535,xO..9752(8)=2。180,

。的0.95的置信區(qū)間為

(8sx0o0252(8),8sx0.9752(8)),即(7.4,21。1)。

習(xí)題7

設(shè)來自總體N(u］，16)的一容量為15的樣本，其樣本均值x「二14。6；來自總體N(P2,

9)的?容量為20的樣本，其樣本均值x2~=13o2;并且兩樣本是相互獨(dú)立的，試求P1-P2

的90%的置信區(qū)間。

解答：

l-a=0o9,a=0.1,由中(ua/2)=1-02=0.95,查表，得

ua/2=1.645,

再由nl=15,n2=20,得

o12nl+a22n2=1615+920=9160=1.232,

ua/2o12nl+o22n2=lo645X1.232^2.03,

x-l-x-2=14o6—13.2=1o4,

所以，u1—u2的90%的置信區(qū)間為

(lo4-2003,1.4+2.03)=(—0.63,3。43).

習(xí)題8

物理系學(xué)生可選擇一學(xué)期3學(xué)分沒有實驗課,也可選一學(xué)期4學(xué)分有實驗的課.期未考試每

一章節(jié)都考得一樣，若有上實驗課的12個學(xué)生平均考分為84,標(biāo)準(zhǔn)差為4,沒上實驗課的

18個學(xué)生平均考分為77,標(biāo)準(zhǔn)差為6,假設(shè)總體均為正態(tài)分布且其方差相等,求兩種課程平

均分?jǐn)?shù)差的置信度為99%的置信區(qū)間.

解答：

設(shè)有實驗課的考分總體X1~N(in,。2),無實驗課的考分總體X2~N(口2,。2)。兩

方差相等但均未知，求ul—U2的99%的置信區(qū)間，應(yīng)選t分布變量，

T=X1~—X2"—(y1—u2)SWlnl+ln2-t(nl+n2-2),

其中SW二(nl—1)S12+(n2-l)S22nl+n2-2.

U1-U2的l—a的置信區(qū)間為

(Xr-X2-±ta/2(nl+n2—2)SWlnl+ln2)<>

由已知，x「一x2-=84—77=7,且

sW=(12-l)X42+(18—1)X6212+18-2=5。305,

112+118*0。373,1-<i=0.99,a2=0.005,

查t分布表得tO.005(28)=2.763o

于是，U1-22的0.99的置信區(qū)間為(7±2.763X5.305X0.373),即(7±5。

467),亦即(lo53,12o47)o

習(xí)題9

隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根，又從B批導(dǎo)線中抽取5根，測得電阻(歐)為

A批導(dǎo)線0o1430o1420o1430o137

B批導(dǎo)線0o1400。1420o1360o1380。140

設(shè)測定數(shù)據(jù)分別來自分布N(ul,o2),N(u2,。2),且兩樣本相互獨(dú)立，又ul,U2,。2

均為未知，試求口1一口2的置信水平為0。95的置信區(qū)間.

解答：

對于1-。=0。95,查表得tO.025(7)=2.3646,算得

x-=0.141,y-=0o139；sl2=8.25X10-6,sl^O.0029.

s22=5。2X10—6,s2=0.0023,sW^O.0026,15+14=0。6708,

故得U1-U2的0.95置信區(qū)間為

(0.141—0o139±2.3646X0o0026X().6708),HP(—0.002,0.006)。

習(xí)題10

設(shè)兩位化驗員A,B獨(dú)立地對某種聚合物含氯量用相同的方法各作10次測定，其測定值的樣

本方差依次為sA2=0o5419,sB2=0o6065。設(shè)。A2,。B2分別為A,B所測定的測定值的總

體方差，又設(shè)總體均為正態(tài)的，兩樣本獨(dú)立，求方差比。A2/OB2的置信水平為0.95的置

信區(qū)間。

解答：

選用隨機(jī)變量

F=SA2oA2/SB2oB2-F(nl-l,n2-l),

依題意，已知sA2=0。541S,sB2=0o6065,nl=n2=10.

對于1-a=0.95,查F分布表得F0.025(9,9)=1FO。025(9,9)=14,03,于是得oA2

oB2的0。95的置信區(qū)間為

(sA2sB21Fa/2(9,9),sA2sB2Fa/2(9,9))一(0.222,3。601).

總習(xí)題解答

習(xí)題1

設(shè)總體X服從參數(shù)為入。>0)的指數(shù)分布,XLX2,???,Xn為一隨機(jī)樣本,令Y=min{Xl,X2,

…,Xn),問常數(shù)c為何值時，才能使cY是X的無偏估計量。

解答：

關(guān)鍵是求出E(Y).為此要求Y的密度fY(y).

因Xi的密度函數(shù)為fX(x)={Ae-Ax,x>00,x<0；

Xi的分布函數(shù)為FX(x)={1-e-Xx,x)00,xWO,于是

FY(y)=l-[l—FX(y)]n={1—e—nA.y,y>00,yWO.

兩邊對y求導(dǎo)得fY(y)=ddyFY(y)={n入e-n入y>y>00,y<0,即Y服從參數(shù)為n入的指

數(shù)分布，故

E(Y)=nX.

為使cY成為人的無偏估計量，需且只需E(cY)=入，即cn、=入，故c=ln。

習(xí)題2

設(shè)XI,X2,…，Xn是來自總體X的一個樣本，已知E個)=u,D(X)=o2.

(1)確定常數(shù)c,使cEi=ln—l(Xi+l-Xi)2為。2的無偏估計;

(2)確定常數(shù)c,使(X")2-cS2是口2的無偏估計(X，S2分別是樣本均值和樣本方差).

解答：

(1)E(cLi=ln—1(Xi+1—Xi)2)

=cEi=ln—IE(Xi+12-2KiXi+l+Xi2)

=cEi=ln—1{D(Xi+1)+[E(Xi+1)]2—2E(Xi)E(Xi+1)+D(Xi)+[E(Xi)+[E(Xi)]2}

=c(n—1)(o2+y2-2y2+o2+y2)=2(n—1)o2c.

令2(nT)。2c=o2,所以

c=12(n-l)o

(2)E[(X-)2-cS2]=E(X-2)-cE(S2)=D(X-)+[E(X-)]2—co2

=o2n+ii2—co2。

令o2n+U2—co2=[12,則得c=ln。

習(xí)題3

設(shè)XI,X2,X3,X4是來自均值為。的指數(shù)分布總體的樣本，其中。未知.設(shè)有估計量

Tl=16(X1+X2)+13(X3+X4),

T2=X1+2X2+3X3+4X45,

T3=Xl+X2+X3+X44o

(1)指出Tl,T2,T3中哪幾個是。的無偏估計量;

(2)在上述0的無偏估計中指出一個較為有效的.

解答：

(1)0=E(X),E(Xi)=E(X)=0,D(X)=02=D(Xi),i=l,2,3,4.

E(T1)=E(16(Xl+X2)+13(X3+X4))=(26+23)6=0,

E(T2)=15E(X1+2X2+3X3+4X4)=15(1+2+3+4)0=20,

E(T3)=14E(X1+X2+X3+K4)=0,

因此，Tl,T3是。的無偏估計量.

(2)D(T1)=23602+2902=103602,0(T3)=116-402=1402=93602,

所以D(T3)<D(T1),作為。的無偏估計量,T3更為有效.

習(xí)題4

設(shè)從均值為口，方差為。2(。>0)的總體中，分別抽取容量為nl,n2的兩獨(dú)立樣本，燈一和

X2一分別是兩樣本的均值，試證：對于任意常數(shù)a,b(a+b=l),Y=aX「+bX2一都是u的無偏估

計;并確定常數(shù)a,b,使D(Y)達(dá)到最小。

解答：____

E(Y)=E(aXl-+bX2")=aE(Xl-)+bE(X2-)=(a+b)u.

因為a+b=l,所以E(Y)=u.

因此,對于常數(shù)a,b(a4b=l),Y都是u的無偏估計,

D(Y)=a2D(Xl-)+b2D(X2")=a2o2nl+b2o2n2.

因a+b=l,所以D(Y)=o2[a2nl+ln2(l-a)2],令dD(Y)da=O,即2。2(anl-l-an2)=0,解

得

a=nlnl+n2,b=n2nl+n2

是惟一駐點(diǎn).

又因為d2D(Y)da2=2o2(lnl+ln2)>0,故取此a,b二值時,D(Y)達(dá)到最小。

習(xí)題5

設(shè)有一批產(chǎn)品，為估計其廢品率p,隨機(jī)取一樣木XI,X2,…，Xn,其中

Xi={l,取得廢品0,取得合格品，i=L2,n,

證明：p=X—=lnEi=lnXi是p的一致無偏估計量.

解答?

由題標(biāo)條件

E(Xi)=p-1+(1-p)0=p.

D(Xi)=E(Xi2)—[E(Xi)]2=p-12+(1—p)02—p2=p(1-p),

E(p)=E(X")=E(lnEi=lnE(Xi))=lnEi=lnE(Xi)=lnEi=lnp=p<,

由定義，P是p的無偏估計量，又

D(p)=D(X")=D(lnEi=lnXi)=ln2Ei=lnD(Xi)

=ln2Ei=lnp(l-p)=ln2np(1-p)=pqn.

由切比雪夫不等式，任給￡》()

P{Ip-pI2s}=P{IX-—p|沁}W1E2D(X-)=le2p(1—p)n-0,n-*°°

所以limn-*8p{|p-p|2￡}=0,故p=X1是廢品率p的一致無偏估計量。

習(xí)題6

設(shè)總體X~b(k,p),k是正整數(shù)，0<p<l,k,p都未知，XI,X2,…,Xn是一樣本，試求k和p

的矩估計.

解答：

因總體X服從二項分布b(k,p),故

{al=E(X)=kpa2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=kp(1—p)+(kp)2,

解此方程組得p=al+al2-a2al,k=al2al+al2-a2o

用Al=lnEi=lnXi=X，A2=ln￡i=lnXi2分別代替al,a2,即得p,k的矩估計為

p=X--S2X",k=[X_2X-—S2],

其中S2=lnEi=ln(Xi—X-)2,[x]表示x的最大整數(shù)部分.

習(xí)題7

求泊松分布中參數(shù)X的最大似然估計。

解答：

總體的概率函數(shù)為

P{X=k}=Xkk!e—X,k=0,1,2,….

設(shè)xl,x2,…，xn為從總體中抽取的容量為n的樣本，則似然函數(shù)為

L(xl,x2,xn;入)=ni=lnf(xi；入)=11i=lnXxixi!e-X=X￡i=lnxiIIi=lnxi!e-nX,

lnL=(Ei=lnxi)InX-nX-￡i=lnlnxi!,

令dlnLdX=1XLi=lnxi-n=O,得卜的最大是然估計為

入=lnLi=lnxi=x-,

即x-=lnEi=lnxi就是參數(shù)、的最大似然估計。

習(xí)題8

已知總體X的概率分布

P{X=k)=C2k(1—0)k02—k,k=0,1,2,

求參數(shù)的矩估計。

解答：

總體X為離散型分布，且只含一個未知參數(shù)0,因此,只要先求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期

望E(X),然后解出o并用樣本均值X一代替E(X)即可得o的矩估計0.

由E(X)=Ek=02kC2k(1-9)k02-k=lX2(1—0)0+2(1-9)2=2-20,即有

o=l-E(X)2。

用樣本均值X-代替上式的E(X),得矩估計為0=1-X-2.

習(xí)題9

設(shè)總體X的概率密度為

f(x)={(e+l)x0,O<x<lO,其它,

其中0〉-1是未知參數(shù)，XI,X2,Xn為一個樣本,試求參數(shù)0的矩估計和最大似然估計量。

解答：_

0E(X)=/O1(0+1)x0+ldx=0+l0+2.令E(X)=ln￡i=lnXi=X,得0+1。+2=X)解

得0的矩估計量為

0=2X--11-X"

設(shè)xl,x2,…,xn是樣本XI,X2,…,Xn的觀察值，則似然函數(shù)

L(xl,x2,xn,0)=lli=ln(0+1)xi0

=(0+l)n(xlx2-xn)0(0(xi<1,i=l,2,1,1,n),

取對數(shù)得InLnin(0+1)+0Ei=lnlnxi,從而得對數(shù)似然方程

dlnLd0=n0+1+Ei=lnlnxi=0,

解出0,得0的最大似然估計量為

。=-nEi=lnlnXio

由此可知，。的矩估計和最大似然估計是不相同的。

習(xí)題10

設(shè)X具有分布密度

f(x,o)={oxe—Ox!,x=0,1,2,-0,其它，0<e<+co,

XI,X2,Xn是X的一個樣本,求0的最大似然估計量.

解答：

似然函數(shù)

L(0)=ni=ln0xie-0xi!=e-n0ni=ln?xixi!,

lnL(0)=-n0+Li=lnxiln0-Li=lnln(xi!),

dd0(lnL(。))=—n+10￡i=lnxi,

令ddO(lnL(O))=0,即

-n+10￡i=lnxi=0=>0=ln52i=lnxi,

故0最大似然估計量為

o=X-=lnEi=lnXio

習(xí)題11

設(shè)使用了某種儀器對同一量進(jìn)行了12次獨(dú)立的測量，其數(shù)據(jù)(單位：亳米)如下：

232o50232.4823245232。30

232o48232.05232.45232.60232。47232.30

試用矩估計法估計測量值的均值與方差(設(shè)儀器無系統(tǒng)誤差).

解答：

設(shè)測量值的均俏與方差分別為P與。2,因為儀器無系統(tǒng)誤差，所以

e=p=X-=lnEi=lnXi=232+112Ei=ln(Xi—232)

=232+1/12X4.76t232。3967.

用樣本二階中心矩B2估計方差。2,有

。2=lnEi=ln(Xi—X-)2=lnEi=ln(Xi-a)2-(X--a)2

=112Zi=112(Xi-232)2-(232.3967—232)2

=0.1819—0o1574=0.0245.

習(xí)題12

設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布

P{X=k}=Cnkpk(1-p)n—k,k=0,1,2,n,

XI為其一個樣本，試求p2的無偏估計量.

解答：

\becauseX'b(n,p),

???E(X)=np,D(X)=np(l—p)=E(X)-np2

=>p2=ln[E(X)—D(X)]=ln[E(X)—E(X2)+(EX)2]

=>p2=ln[E(X(1-X))]+lnn2p2=lnE(X(l-X))]+np2

=>p2=E[X(X-D]n(n—1),由于E[X(XT)]=E[X1(X1—1)],

故

p2=X1(X1—1)n(n-l)o

習(xí)題13

設(shè)XI,X2,…,Xn是來自總體X的隨機(jī)樣本，試證估計量

X-lnZi=lnXi和Y=Ei=lnCiXi(Ci20為常數(shù)，Ei=lnCi=l)

都是總體期望E(X)的無偏估計，但X一比Y有效。

解答：

依題設(shè)可得

E(X-)=lnEi=lnE(Xi)=lnXnE(X)=E(X),

E(Y)=Ei=lnCiE(Xi)=E(X)Ei=lnCi=E(X).

從而X，Y均為E(X)的無偏估計量，由于

D(X-)=ln2Ei=lnD(Xi)=lnD(X),

D(Y)=D(Ei=lnCiXi)=Ei=lnCi2D(Xi)=D(X)Li=lnCi2..

應(yīng)用柯西-施瓦茨不等式可知

1=(Ei=lnCi)2W(￡i=lnCi2)((i=lnl2)=nEi=lnCi2,0InW￡i=lnCi2,

所以D(Y)>D(X~),故X一比Y有效.

習(xí)題14

設(shè)XI,X2,…，Xn是總體X?U(0,0)的一個樣本，證明：01=2X一和。2=n+lnX(n)是0

的一致估計.

解答：

因E(01)=0,D(01)=023n;E(02)=0,D(02)=0n(n+2),X(n)=max{Xi}.

依切比雪夫不等式，對任給的￡>0,當(dāng)n-8時，有

P{I01—0|?￡}WD(01)E2=023ns2-0,(n-8)

P{I02一。|2ZD(02)E2=G2n(n+l)￡2-0,(n-8)

所以，。1和。2都是。的一致估計量.

習(xí)題15

某面粉廠接到許多顧客的訂貨，廠內(nèi)采用自動流水線灌裝面粉，按每袋25千克出售。現(xiàn)從

中隨機(jī)地抽取50袋，其結(jié)果如下：

25.8,24.7,25oD,24。9,25o1,25。0,25.2,

24.8,25。4,25.3,23.1,25.4,24.9,25.0,

24o6,25?0.25.1,25.3,24.9,24.8,24.6,

21。1,25.4,24.9,24。8,25o3,25.0,25.1,

24.7,25.0,24o7,25o3,25.2,24.8,25o1,

25O1,24。7,25.0,25o3,24.9,25o0,25。3,

25o0,25.1,24,7,25o3,25。1,24.9,25.2,

25o1,

試求該廠自動流水線灌裝袋重總體X的期望的點(diǎn)估計值和期望的置信區(qū)間(置信度為0。95)。

解答：

設(shè)X為袋重總體，則E(X)的點(diǎn)估計為

E(X)=X-=150(25.8+24.Z+-+25.1)=24.92kg.

因為樣本容量n=50,可作為大樣本處理，由樣本值算得x-24.92,s2po.4376,s=0o6615,

則E(X)的置信度為0.95的置信區(qū)間近似為

(X--ua/2Sn,X-+ua/2Sn),

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得ua/2=u0.025=1.96,故所求之置信區(qū)間為

(24。92—1.96X0.661550,24.92+1.96X0.661550)=(24。737,25.103),

印有95%的把握，保證該廠生產(chǎn)的面粉平均每袋重量在24。737千克至25。103千克之間.

習(xí)題16

在一批貨物的容量為100的樣本中，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)有16只次品,試求這批貨物次品率的置信度

為0。95的置信區(qū)間。

解答：

這是(0—1)分布參數(shù)區(qū)間的估計問題。

這批貨物次品率P的1-a的置信區(qū)間為

(pl,P2)=(12a(—b-b2-4ac),12a(-b+b2-4ac))。

其中a=n+ua/22,b=—(2r.X-+ua/22),c=nX-2o

由題意，x-=1610()=0o16;n=l()0,1—a=0.95,u()o025=1.96.算得

a=100+lo962=103.842,

b=-(2X100X0。16+1。962)=—35.842,

c=100X0.162=2.56.

p的0。95的置信區(qū)間為(pl,p2)=(12a(-b±b2-4ac)),即

(12X103.842(35.8416±22U2823)),

亦即(0。101,0o244).

習(xí)題17

在某校的一個班體檢記錄中，隨意抄錄25名男生的身高數(shù)據(jù)，測得平均身高為170厘米，

標(biāo)準(zhǔn)差為12厘米，試求該班男生的平均身高U和身高的標(biāo)準(zhǔn)差。的置信度為0。95的置信

區(qū)間(假設(shè)測身高近似服從正態(tài)分布)。

解答：_

由題設(shè)身高X~N(u,o2),n=25,x~=170,s=12,a=0。05.

(1)先求□置信區(qū)間(。2未知)，取

U=X"—MS/n-t(n-1),ta/2(n-l)=t0.025(24)=2o06。

故H的0。95的置信區(qū)間為

(170-1225X2,06,170+1225X2.06)

=(170-4o94,170+4.94)=(165。06,174,94).

⑵。2的置信區(qū)間(u未知)，取

U=(n—1)S2a2-x2(n-l),

xa/22(n-l)=x0o0252(24)=39。364,x1-a/22