第1章隨機(jī)事件及其概率

P：=—^―從m個人中挑出n個人進(jìn)行排列的可能數(shù)。

(1)排列

組合公式

C：n=一"二從m個人中挑出n個人進(jìn)行組合的可能數(shù)。

iv\m-n)l

加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n

某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由

(2)加法

n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。

和乘法原

乘法原理(兩個步驟分別不能完成這件事)：mxn

理

某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由

n種方法本成，則這件事可由mxn種方法來完成。

重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序)

(3)一些

對立事件(至少有一個)

常見排列

順序問題

如果一個試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，

(4)隨機(jī)

但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果,則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試

試驗(yàn)和隨

驗(yàn)。

機(jī)事件

試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。

在一個試驗(yàn)下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有

(5)基本

如下性質(zhì)：

事件、樣本

①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；

空間和事

②便可事件，都是由這一組中的部分事件組成的。

件

這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用①來表示。

基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用。表示。

一個事件就是由C中的部分點(diǎn)(基本事件①)組成的集合。通常用大寫字母

力，8,?！硎臼录?，它們是Q的子集。

。為必然事件，0為不可能事件。

不可能事件(0)的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件(。)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。

①關(guān)系：

如果事件A的組成部分也是事件8的組成部分//發(fā)生必有事件8發(fā)生)：

如果同時有AuB,BnA，則稱事件/與事件8等價，或稱/等于8:

A-B。

48中至少有一個發(fā)生的事件：/U&或者力+8。

屬于力而不屬于8的部分所構(gòu)成的事件，稱為/與8的差，記為48,也

(6)事件可表示為/乂8或者A萬，它表示2發(fā)生而8不發(fā)生的事件。

的關(guān)系與48同時發(fā)生：8,或者B=0,則表示A與B不可能同時發(fā)

運(yùn)算生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Q-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為..它表示A不發(fā)

生的事件，互斥未必對立。

②運(yùn)算：

結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)

008

P]A=|JA______________

德摩根率：0i=iA(JB=AC\B,Ar\B=AUB

設(shè)。為樣本空間,A為事件,對每一個事件A都有一個實(shí)數(shù)P(A),若滿

(7)概率

足下列三個條件：

I°O<P(A)<I,

的公理化

2°P(Q)=1

定義3°對于兩兩互不相容的事件A,Az,…有

/00\8

P|JANa%)

ki=l70

常稱為可列(完全)可加性。

則稱P(A)為事件A的概率。

1°。={外,g…%},

2°P3)=PM)h??PM)=L

n

(8)古典

設(shè)任一事件A,它是由外,在…以組成的，則有

{(外)))(

概型P(A)=U(02U…U3”}=Ps)+P(g)+…+P?J

_in_4所包含的基本事件數(shù)

"〃一基本事件總數(shù)

若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻同時樣本空

間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述廁稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何

(9)幾何

概型。對任一事件A,

概型

P(A)=J詈。其中L為幾何度量(長度、面積、體積工

(10)加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

公式當(dāng)P(AB)=0時,P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)減法

當(dāng)BuA時，P(A-B)=P(A)-P(B)

公式

當(dāng)A二。時，P(萬)=1-P(B)

定義設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱嬰黑為事件A發(fā)生條件下，

(12)條件事件B發(fā)生的條件概率，記為P(3/A)=罷程。

尸(A)

瞬條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。

例如P(Q/B)=1=>P(B/A)=1-P(B/A)

AWA)=1)P(AV),川2,..幾

￡p(約)P(A/J)

y=i

此公式即為貝葉斯公式。

P田)，(i=l,2，…，n)，通常叫先驗(yàn)概率。P(Bi/A),("1,2，…，

〃)，通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了"因果"的概率規(guī)律，并作出了

"由果朔因"的推斷。

我們作了〃次試驗(yàn)，且滿足

?每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；

?〃次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣;

?每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)4發(fā)生與

否是互不影響的。

(17)伯努

這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為〃重伯努利試驗(yàn)。

利概型

用P表示每次試驗(yàn)4發(fā)生的概率,則A發(fā)生的概率為1-=4,用P?)表

示〃重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)收°工&"〃)次的概率，

P”(k)=Cppi攵=0,1,2,…,〃

/O

第二章隨機(jī)變量及其分布

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為Xk(k=12...)且取各個值的概率，即事

(1)離散

件(X二X0的概率為

=

型隨機(jī)變P(X=Xk)=Pk1kl,2,...z

則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時也用分布列的形

量的分布式給出：

X|，?一

律

P(X=XA)pi,P2,…，/力，…

O

顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：

(1),"=12…，(2)1。

設(shè)“X)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù),(X),對任意實(shí)數(shù)/，有

(2)連續(xù)

F(x)=「f(x)dx

型隨機(jī)變/

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。/'(X)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概

量的分布率密度。

密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：

密度

1。/(x)>Oo

「'"(￡&=1

2-。

(3)離散P(X=x)?P(x<X<x+dx)?,f\x)dx

與連續(xù)型積分元/(上)公在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與ax=兌)=P人在離

隨機(jī)變量散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。

的關(guān)系

(4)分布設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)

函數(shù)F(x)=P(X<x)

稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。

P(a<X<b)=F(b)-F(?)可以得到X落入?yún)^(qū)間(。,b］的概率。分布

函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-8,x］內(nèi)的概率。

分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：

1°0<F(x)<1,-oo<x<+oo;

2°F(A)是單調(diào)不減的函數(shù)，即H<X2時，有F(Xl)<F(X2);

3°F(-oo)=limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1;

4。F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續(xù)的；

5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)。

對于離散型隨機(jī)變量，/；

X口

X

對于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=Jf(x)dxo

-00

(5)八大0-1分布P(x=l)=p/P(X=O)=q

分布二項(xiàng)分布在〃重貝努里試驗(yàn)中,設(shè)事件4發(fā)生的概率為〃。事件4發(fā)生

的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X,則X可能取值為0,1,2,…

P(X=k)=P“(k)=C：pkqi,其中

(7=l-p,0</?<1,^=0,1,2,,

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為〃，p的二項(xiàng)分布。記為

x~〃)。

當(dāng)〃=1時，P(X=k)=p/，4=0.1,這就是(0-1)分

布，所以(0-1)分布是二項(xiàng)分布的特例。

泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

P(X=k)=—e~x,A>0,々=0,1,2…，

kl

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，記為X?乃(團(tuán)或

者P(4)。

泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=A,n-8\

超幾何分布ct?cr*A=0,1,2…,/

P(X=k)=3—

C；/=

隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N;M)o

幾何分布P(X=k)=qip,k=1,2,3,…,其中p>0,q=l-p0

隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。

設(shè)隨機(jī)變量的值只落在內(nèi)，其密度函數(shù)/（幻在

均勻分布X［a,b］［a,b］

上為常嬖l-T—,即

b-a

f1

fM=<b-a'

其他，

0,

則稱隨機(jī)變量X在［a,b］上服從均勻分布，記為X-U（a,b）0

分布函數(shù)為

'0,x<a,

x-a

<b-aa<x<b

F3)二「f(x)dx=

F-3C

1,x>b0

當(dāng)awxiwwb時，X落在區(qū)間（修，與）內(nèi)的概率為

P(X<Xy)=從o

-a

指數(shù)分布r2，

1.x>0

/?=

.r<0t

其中％>°,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為％的指數(shù)分布。

X的分布函數(shù)為

「1—弋

x>0t

尸(%)=<

x<0o

記住積分公式：

［xne~xdx=n^.

0

正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

f(x)=-=^e2/,-8<x<+oo,

[2兀<y

其中〃、。>°為常數(shù)廁稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為，'、o

的正態(tài)分布或高斯(GaussI分布，記為X~'(〃，。之)。

具有如下性質(zhì)：

1°/(幻的圖形是關(guān)于、=〃對稱的；

2°當(dāng)x="時，為最大值；

,、2冗(7

若、~陽個0?網(wǎng)次的分布函數(shù)為

F(x)=\edt

J2RJr

。o

參數(shù)〃二°、。=1時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為

X~N(O,D],其密度函數(shù)記為

(P(x)=~i=e2

727r,—oo<x<4-oo,

分布函數(shù)為

O(x)=—=\e2dte

...而i

①(x)是不可求積函數(shù)，其兇數(shù)值，已編制成表可供查用。

①(-x)=1-①(x)且①(0)=—。

如果X~N(4，/)，則XZZ￡~N(0,1)。

P(…沁菊^寺一?口。

(6)分位下分位表：P(X<jua)=a;

上分位表：P(X>Na戶a。

數(shù)

(7)函數(shù)離散型已知乂的￡、布列為

XXl,X2y…，X,iy…

/

分布P(X=Xi)Ph〃2,…，[%,…

y=g(x)E1勺分布列(月=以匕)互不相等)如下：

Yg(Xl),g(X2),…，g(M),…

t

"二M)

偏等應(yīng)用視播〃演加作為的概率。

若有某些制Xg(H)

連續(xù)型先利用X的概率密度fx(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)=P(g(X)<y),

再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)o

第三章二維隨機(jī)變量及其分布

(1)聯(lián)合離散型如果二維隨機(jī)向量J(X,Y)的所有可能取值為至多可列

分布個有序?qū)?x,y),則稱J為離散型隨機(jī)量。

設(shè)?=(X,Y)的所有可能取值為(為，力)(i,j=12…)，

且事件{4=5，x)}的概率為總，稱

p{(x,y)=(xQj)}=/0("=1,2,…)

為4=(X,Y)的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分

布有時也用下面的概率分布表來表示：

\???yj…

XipnP12???PU???

X2P21P22???P2j???

*??**

XiPil???Pij???

*??

?

*

這里必具有下面兩個性質(zhì):

(1)PijNO(i,j=l,2,...)；

（2）ZZPij=L

iJ

連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量g=(x,y),如果存在非負(fù)函數(shù)

f(X,)，)(一8<X<+8,-8<><+8),使對任意一個其鄰邊

分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}

有

?{(X,丫)￡0}=JJ/(x,y)dxdy,

D

則稱J為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為J=(X,Y)的分布密

度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì):

(1)f(x,y)NO;

(2)匚匚f(x，y)dxdy=1.

(2)二維^X=x,Y=y)=^X=xr\Y=y)

隨機(jī)變量

的本質(zhì)

(3)聯(lián)合設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)

分布函數(shù)F(xyy)=P{X<x,Y<y}

稱為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布

函數(shù)。

分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件

{(外,32)1eV<r(<y2)<y}的概率為函數(shù)值的一個實(shí)值函

數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì):

(1)()<F(x,y)<l；

(2)F(x,y)分別對x和y是非減的，即

當(dāng)X2>X1時，有F(X2,y)NF(xi,y);當(dāng)y2>yi時，有F(xzy2)>F(x,yi)；

(3)F(x,y)分別對x和y是右連續(xù)的,即

F(x,y)=F(x+O9y),F(x,y)=F(x,y+0);

(4)F(-co,-co)=產(chǎn)(一8,y)=F(x,-oo)=0,F(+oo,+oo)=1.

(5)對于$

F02,y2)-F(x2,M)一尸(X],)，2)+F(的，

(4)離散P(X=x,丫=y)hP(x<X<x+clx,y<Y<y+dy)?/(%,y)dxdy

型與連續(xù)

型的關(guān)系

(5)邊緣離散型X的邊緣分布為

分布P"P(X=Xj)=工p/i,j=1,2,…)；

j

Y的邊緣分布為

匕=p(y=%)=ZP*j=i2…)。

i

連續(xù)型X的邊緣分布密度為

￡(幻=匚/(占了)力；

Y的邊緣分布密度為

4(y)=y)dx.

(6)條件離散型在已知X=%的條件下,Y取值的條件分布為

分布P(y=),|X3.)上：

Pi.

在已知P二方的條件下，X取值的條件分布為

p(x=xjy=x)="

p.j

連續(xù)型在已知Y=y的條件下，x的條件分布密度為

…)二等；

在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為

fxM

(7)獨(dú)立TS型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)

性離散型P，i=Pi.P.j

有零不獨(dú)立

連續(xù)型

f(x,y)=fx(x)fY(y)

直接判斷，充要條件：

①可分離變量

②正概率密度區(qū)間為矩形

1\（2MAM工）1

二維正態(tài)分

〃.12（1-叫1<7|；?；痋^2）\

J（蒼））-1--------e，

2gQ2yli_P~

布

p=0

隨機(jī)變量的若Xi,X2,...Xm,Xm+L...Xn相互獨(dú)立,h,g為連續(xù)函數(shù),則：

函數(shù)

h(X1,X2,...Xm)和g(Xm+i,...Xn)相互獨(dú)立。

特例：若X與Y獨(dú)立，則：h(X)和g(Y)獨(dú)立。

例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。

(9)二維設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度因數(shù)為

正態(tài)分布

、12(l-p2)[(7!)IGJ

/?)')=1-----，

2gp~

其中必,"Ri>0,6>0,11K1是5個參數(shù)，則稱(X,Y)服從二維正態(tài)

分布，

記為(X,Y)~N(

由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分

布，

即X~N(四，b：),y?N(〃2.b；).

但是若X~N(?N(〃2。；)，(X,Y)未必是二維正態(tài)分布。

(10)函數(shù)Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：Fy(Z)=P(Z<Z)=P(X+Y<Z)

400

分布

對于連續(xù)型，fz⑵=Jf^z-x)dx

-30

兩個獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(從\

n個相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。

ii

Z=max,min若X1,X2…x“相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為

心()，心()工⑴，則的分布

(Xi,X2f...Xn)人1X人2X…?1?z=max,min(Xi,X2,...Xn)

函數(shù)為：

Hnax。)=4⑶?F.(%)…瑪.(X)

0M)=1-口-&(初?■一工2(動…口-F屋刈

/分布設(shè)n個隨機(jī)變量X2,…，X”相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

布，可以證明它們的平方和

1=1

的分布密度為

1%,

——-——u-e2w>0,

/（?）='2，唱）

0,〃<0.

我們稱隨機(jī)變量w服從自由度為n的/分布，記為W~

x\n）,其中

呢卜口

所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量

分布中的一個重要參數(shù)。

%?分布滿足可加性：設(shè)

匕-/⑷），

則

k

z=Z、~?2（々+%+???+&）.

；=1

t分布設(shè)X,Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且

可以證明函數(shù)

TX

T=-j=^=

yjY/n

的概率密度為

f（t）=—一/、1+—（-co</<+oo）.

我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為T~t（n）。

，-5）=一。（〃）

F分布設(shè)*~/（〃1，丫~/（〃2）,且x與Y獨(dú)立，可以證明

產(chǎn)二小巴的概率密度函數(shù)為

Y/〃2

rf%+%]色―

/（JJ；J葉川+叼2,”0

"I）一「以「（也】MJ1〃2）

0,丁<0

我們稱隨機(jī)變量F服從第一個自由度為m,第二個自莊度為

n2的F分布,記為F~f（ni,.02）.

巴力（々，〃2）二口（、

%（%，為）

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

(1)離散型連續(xù)型

-維期望設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率

隨機(jī)期望就是平均值布律為P(X=&)=pk,密度為f(x),

?KO

變量k=L2,???,n,

E(X)=jxf(x)dx

-

的數(shù)E(X)=^x,p,

hl(要求絕對收斂)

字特

(要求絕對收斂)

征

函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(x)

4C0

E(Y)=jg(x)f(x)dx

k=l-30

方差■KO

)公

O(X)=ZK—E(X)]2PAO(X)=J[x-E(X)]2/a

k-00

D(X)=E[X-E(X)p,

標(biāo)準(zhǔn)差

b(x)=gx),

矩①對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X①對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的

的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的kk次幕的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)

階原點(diǎn)矩，記為Vk,即矩，記為Vk,即

v=E(Xk)=JLxiPi?

kVk=E(Xk)=

iJ-8

k=l/2,....k=l,2,....

②對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X②對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與

與E(X)差的k次幕的數(shù)學(xué)期E(X)差的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X

望為X的k階中心矩記為4,的k階中心矩，記為/〃，即

即〃k=E(X-E(X)y

2E(X_E(XN

=Z。，—￡(X))人,

k=l,2,....

i

k=l,2,....

切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)寸，方差D(X)=。2,則對于

任意正數(shù)￡,有下列切比雪夫不等式

2

P(|X-A|>￡)<p-

切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率

P(|X_)之￡)

的一種估計(jì),它在埋論上有重要意義。

(2)(1)E(C)=C

期望(2)E(CX)=CE(X)

的性(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(力。陽)=￡&七區(qū).)

1=11=1

質(zhì)

(4)E(XY)=E(X)E(Y),充分條件：X和Y獨(dú)立；

充要條件：X和Y不相關(guān)。

(3)(1)D(C)=O;E(C)=C

方差(2)D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)

的性(3)D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b

質(zhì)(4)D(X)=E(X2)-E2(X)

(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和Y獨(dú)立；

充要條件：X和Y不相關(guān)。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],無條件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。

(4)期望方差

常見0-1分布3(1,〃)PP。一P)

分布二項(xiàng)分布p)np切(1-P)

的期泊松分布PW22

望和_1_"P

幾何分布G(p)*>

Pp~

方差

nM

超幾何分布NIN人N-J

N

a+b3一42

均勻分布um,勿

212

11

指數(shù)分布包㈤7不

正態(tài)分布N(",cr2)

/分布n2n

n,c、

t分布0--(n>2)

n-2

4^0

(5)期望E(X)」為再pj.

E(X)=jxfx[x}dx

f=l-00

二維

-HX-

刈丫)=￡),/.)

E(Y)=fyfy(y)dy

隨機(jī)

可-<e

變量函數(shù)的期望E[G(X,y)]=E[G(X,Y)]=

的數(shù)，)")〃》?-KOW

iJJjG(x,y)f(x,y)dxdy

-8—8

字特

田

方差2

D(X)=\[x-E(X)]fx(x)dX

征Q(X)=Z"-E(X)]2p,?

i-00

o(y)=Z%—E(y)]2p.j?KO

jo(y)=")，—E(y)『力,(y"

-oO

協(xié)方差對于隨機(jī)變量x與Y,稱它們的二階混合中心矩〃”為X與Y的協(xié)

方差或相關(guān)矩,記為外丫或cov(x,y),即

<Txr=pll=El(X-E(X))(Y-E(Y))l

與記號相對應(yīng)，X與Y的方差D(X)與D(Y)也可分別記為

67xx與0療。

相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,則稱