ECEL求解線性規(guī)劃和靈敏度分析

目錄

ECEL求解線性規(guī)劃和靈敏度分析（1）..........................4

1.內(nèi)容概括.................................................4

1.1線性規(guī)劃概述.............................................4

1.2靈敏度分析簡介...........................................5

2.ECEL求解線性規(guī)劃.......................................6

2.1ECEL軟件簡介.............................................7

2.2ECEL求解線性規(guī)劃的基本步驟...............................8

2.2.1建立模型...............................................9

2.2.2輸入數(shù)據(jù)..............................................10

3.靈敏度分析...............................................12

3.1靈敏度分析的重要性......................................13

3.2靈敏度分析的基本方法..................................13

3.2.1單變量靈敏度分析......................................15

3.2.2多變量靈敏度分析....................................16

3.3ECEL進(jìn)行靈敏度分析....................................17

3.3.1設(shè)置靈敏度分析參數(shù)....................................18

3.3.2進(jìn)行靈敏度分析........................................19

3.3.3分析靈敏度結(jié)果........................................20

4.案例分析................................................22

4.1案例背景...............................................23

4.2案例求解...............................................24

4.2.1建立模型...........................................26

4.2.2輸入數(shù)據(jù)...........................................27

4.3案例靈敏度分析........................................28

4.3.1設(shè)置靈敏度分析參數(shù)..................................29

4.3.2進(jìn)行靈敏度分析......................................30

4.3.3分析靈敏度結(jié)果..................................31

ECEL求解線性規(guī)劃和靈敏度分析（2）.........................32

1.內(nèi)容概覽...............................................32

1.1線性規(guī)劃概述..........................................33

1.2靈敏度分析簡介........................................34

1.3ECEL求解線性規(guī)劃與靈敏度分析的意義...................34

2.線性規(guī)劃基礎(chǔ)..........................................35

2.1線性規(guī)劃問題定義......................................37

2.2線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型....................................38

2.3線性規(guī)劃的幾何解釋....................................39

3.ECEL求解線性規(guī)劃.......................................40

3.1ECEL軟件簡介..........................................41

3.2ECEL線性規(guī)劃模型建立..................................41

3.3ECEL求解線性規(guī)劃步驟..................................42

3.3.1數(shù)據(jù)輸入..............................................43

3.3.2模型設(shè)置..............................................44

3.3.3求解與結(jié)果分析........................................46

4.靈敏度分析...............................................47

4.1靈敏度分析概念..........................................48

4.2靈敏度分析類型..........................................48

4.2.1參數(shù)靈敏度分析........................................49

4.2.2目標(biāo)函數(shù)靈敏度分析....................................50

4.2.3約束條件靈敏度分析....................................52

5.ECEL靈敏度分析...........................................54

5.1ECEL靈敏度分析功能介紹..................................55

5.2ECEL靈敏度分析步驟......................................56

5.2.1設(shè)置靈敏度分析參數(shù)....................................56

5.2.2運(yùn)行靈敏度分析........................................58

5.2.3分析靈敏度分析結(jié)果....................................59

6.實(shí)例分析.................................................60

6.1線性規(guī)劃實(shí)例............................................61

6.2靈敏度分析實(shí)例..........................................63

6.2.1參數(shù)靈敏度分析實(shí)例....................................64

6.2.2目標(biāo)函數(shù)靈敏度分析實(shí)例................................66

6.2.3約束條件靈敏度分析實(shí)例................................67

ECEL求解線性規(guī)劃和靈敏度分析（1）

1.內(nèi)容概括

本文旨在詳細(xì)介紹使用ECEL求解線性規(guī)劃問題并進(jìn)行靈敏度分析的方法。首先，

我們將簡要介紹線性規(guī)劃的基本概念和ECEL軟件在解決此類問題中的應(yīng)用優(yōu)勢。隨后,

文章將逐步闡述如何利用ECEL構(gòu)建線性規(guī)劃模型，包括目標(biāo)函數(shù)的設(shè)定、約束條件的

輸入以及模型的優(yōu)化。接著，我們將深入探討如何通過ECEL進(jìn)行靈敏度分析，包括對(duì)

模型參數(shù)、約束和目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解的影響進(jìn)行評(píng)估。本文將結(jié)合實(shí)際案例,

展示如何在實(shí)際問題中應(yīng)用ECEL求解線性規(guī)劃并進(jìn)行靈敏度分析，以期為讀者提供理

論與實(shí)踐相結(jié)合的參考。

1.1線性規(guī)劃概述

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，它研究如何在給定約束條件下，最大化或最小化一

個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)（即等式或不等式的線性組合）。線性規(guī)劃問題通常以方程組的形式表

示，并且這些方程必須滿足一定的限制條件。

線性規(guī)劃的主要目的是找到一組變量的最佳值，使得某個(gè)特定的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大

值或最小值，同時(shí)滿足一系列的約束條件。這些約束條件可以包括資源可用性的限制、

成本預(yù)算的限制以及生產(chǎn)量的限制等。

線性規(guī)劃廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，如工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理、金融投資、供應(yīng)鏈優(yōu)化等。

通過解決線性規(guī)劃問題，我們可以有效地利用有限的資源來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的決策。常見的線

性規(guī)劃方法包括單純形法、對(duì)偶理論、內(nèi)點(diǎn)算法等，每種方法都有其適用的情境和特點(diǎn)。

了解線性規(guī)劃的基本概念及其應(yīng)用，對(duì)于理解和解決更復(fù)雜的問題具有重要意義。

在實(shí)際操作中，線性規(guī)劃不僅可以幫助我們做出最優(yōu)決策，還可以作為其他更高級(jí)數(shù)學(xué)

模型的基礎(chǔ)，進(jìn)一步擴(kuò)展到非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃等領(lǐng)域。

1.2靈敏度分析簡介

靈敏度分析是研究線性規(guī)劃模型中變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件影響程度的一種方

法。在線性規(guī)劃問題中，當(dāng)模型中的參數(shù)或變量發(fā)生變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的值也會(huì)相應(yīng)地

發(fā)生變化。通過分析這些變化，我們可以了解模型中各個(gè)因素對(duì)最終決策的影響程度，

從而為模型的優(yōu)化和改進(jìn)提供依據(jù)。

在靈敏度分析中，我們通常關(guān)注以下幾個(gè)方面的變化：

1.目標(biāo)函數(shù)的變化：分析目標(biāo)函數(shù)值隨參數(shù)或變量變化的情況，以確定哪些因素對(duì)

目標(biāo)函數(shù)的影響最大。

2.約束條件的變化：研究約束條件發(fā)生改變時(shí)，模型解的變化范圍，以及最優(yōu)解的

存在性和唯一性。

3.變量的敏感性：評(píng)估單個(gè)變量變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的影響，以確定關(guān)鍵變

量和次要變量。

4.參數(shù)的敏感性：分析參數(shù)變化對(duì)模型整體性能的影響，以便合理調(diào)整參數(shù)以提高

模型的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

靈敏度分析可以通過多種方法實(shí)現(xiàn)，如數(shù)值分析、敏感性指數(shù)法、回歸分析法等。

在實(shí)際應(yīng)用中，靈敏度分析可以幫助決策者更好地理解模型行為，評(píng)估不同策略的效果,

并為模型的優(yōu)化提供有價(jià)值的建議。

2.ECEL求解線性規(guī)劃

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)重要分支，它主要研究在一系列線性不等式或等式約束

條件下，如何使線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大或最小。ECEL(Excel)作為一個(gè)功能強(qiáng)大的電

子表格軟件，提供了求解線性規(guī)劃問題的工具，使得非專業(yè)人士也能輕松地進(jìn)行線性規(guī)

劃分析。

在ECEL中，求解線性規(guī)劃問題通常通過以下步驟進(jìn)行:

1.問題建模：首先，需要將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為ECEL可以識(shí)別的形式。這包括定

義決策變量、目標(biāo)函數(shù)以及約束條件。

2.數(shù)據(jù)輸入：在ECEL工作表中，創(chuàng)建相應(yīng)的單元格來表示決策變量、目標(biāo)函數(shù)系

數(shù)和約束條件。例如，如果有一個(gè)線性規(guī)劃問題，目標(biāo)函數(shù)是最大化（Z=3x+4y）,

約束條件是（x+2yS8和（2x+y<切，以及（x/、。，則可以在Excel中設(shè)

置如下：

?決策變量（x）和（刃分別位于單元格A1和B1。

?目標(biāo)函數(shù)系數(shù)（①和（4分別位于單元格A2和B2。

?約束條件系數(shù)和右端值分別位于單元格A3、B3、A4、B4,以及單元格A5和A6

（用于非負(fù)約束）。

3.使用Solver工具：ECEL內(nèi)置了Server工具，可以通過它來求解線性規(guī)劃問題。

首先，選擇“數(shù)據(jù)”菜單中的“求解”（Solver）命令，然后按照以下步驟操作：

?在“目標(biāo)單元格”框中輸入目標(biāo)函數(shù)的單元格引用，例如“=A2B1”。

?在“可變單元格”框中輸入決策變量的單元格引用，例如

?在“約束”框中輸入約束條件的單元格引用和約束類型，例如“二A3C8”,

“=A4<=10"，"二Al>=0"，"=Bl>=0"o

?點(diǎn)擊“選項(xiàng)”按鈕，設(shè)置求解參數(shù)，如求解方法、精度等。

?點(diǎn)擊“求解”按鈕，Solver將開始計(jì)算最優(yōu)解。

4.結(jié)果分析：求解完成后，Solver會(huì)返回最優(yōu)解以及對(duì)應(yīng)的約束條件滿足情況。

在ECEL工作表中，可以直接查看這些結(jié)果。

5.靈敏度分析：求解完成后，可以通過Solver的“選項(xiàng)”功能進(jìn)行靈敏度分析，

了解目標(biāo)函數(shù)系數(shù)或約束條件的變化對(duì)最優(yōu)解的影響。

通過以上步驟，ECEL可以有效地求解線性規(guī)劃問題，并輔助進(jìn)行靈敏度分析，為

決策者提供重要的數(shù)據(jù)支奪。

2.1ECEL軟件簡介

Excel,全稱為“電子表格處理程序”(ElectronicSpreadsheet),是Microsoft

公司推出的一款功能強(qiáng)大的電子表格軟件。它誕生于1985年，最初由微軟與SAS公司

合作開發(fā)，旨在為用戶提供一個(gè)簡單易用的工具來管理、計(jì)算和分析數(shù)據(jù)。

ECEL軟件以其直觀的操作界面和強(qiáng)大的數(shù)據(jù)分析能力而著稱。用戶可以輕松地創(chuàng)

建和編輯工作表，插入公式和函數(shù)以進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，同時(shí)還能通過圖表和圖形功

能快速展示數(shù)據(jù)趨勢和模式。此外，ECEL還提供了豐富的內(nèi)置函數(shù)庫，涵蓋了金融、

統(tǒng)計(jì)、工程等多個(gè)領(lǐng)域的常用算法和模型。

在解決線性規(guī)劃問題時(shí)，ECEL提供了一種高效旦直觀的方法。用戶可以通過定義

目標(biāo)函數(shù)和約束條件，利用其內(nèi)置的優(yōu)化模塊自動(dòng)求解線性規(guī)劃問題。這一過程包括設(shè)

置初始值、調(diào)整參數(shù)、監(jiān)控迭代結(jié)果等步驟，確保了整個(gè)過程的自動(dòng)化和準(zhǔn)確性。

對(duì)于線性規(guī)劃問題的靈敏度分析，ECEL同樣提供了便捷的功能。通過改變系數(shù)矩

陣或常數(shù)項(xiàng)，用戶可以直接觀察到對(duì)最優(yōu)解的影響，從而評(píng)估不同變量變化而最終結(jié)果

可能產(chǎn)生的影響。這種分析有助于決策者更好地理解模型的敏感性和穩(wěn)定性，并據(jù)此做

出更加明智的決策。

2.2ECEL求解線性規(guī)劃的基本步驟

在Excel中求解線性規(guī)劃問題，通常需要遵循以下基本步驟：

1.定義問題

?明確線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)，例如最大化或最小化某個(gè)線性組合。

?確定決策變量的范圍和約束條件，這些通常來自于實(shí)際問題的背景和限制。

2.準(zhǔn)備數(shù)據(jù)

?收集與線性規(guī)劃問題相關(guān)的數(shù)據(jù)，如成本、銷售量、價(jià)格等。

?在Excel中創(chuàng)建工作表，將數(shù)據(jù)整理成適合線性規(guī)劃模型的格式。

3.建立數(shù)學(xué)模型

?使用Excel的公式和函數(shù)來表示線性規(guī)劃問題中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件.

?例如，使用二MAX/亞N（表達(dá)式）來表示最大化或最小化目標(biāo)函數(shù)，使用二IF（條件，

表達(dá)式1,表達(dá)式2）來表示分段函數(shù)作為約束條件。

4.選擇求解方法

?在Excel中，有多種求解線性規(guī)劃問題的方法，如“規(guī)劃求解”功能。

?根據(jù)問題的特點(diǎn)和數(shù)據(jù)情況，選擇合適的求解方法。

5.應(yīng)用求解器

?在Excel的“數(shù)據(jù)”選項(xiàng)卡中找到“規(guī)劃求解”功能。

?按照提示設(shè)置求解參數(shù)，如目標(biāo)單元格、可變單元格、約束條件等。

?點(diǎn)擊“求解”按鈕，Excel將嘗試找到滿足所有約束條件的最優(yōu)解。

6.分析結(jié)果

?求解完成后，Excel會(huì)顯示最優(yōu)解以及目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。

?根據(jù)需要，可以將求解結(jié)果導(dǎo)出到其他軟件進(jìn)行分析或報(bào)告。

2.2.1建立模型

在利用ECEL（電子表格軟件Excel）求解線性規(guī)劃問題時(shí)，首先需要建立一個(gè)清晰

的數(shù)學(xué)模型。這一步驟是整個(gè)求解過程的基礎(chǔ)，它涉及到以下關(guān)鍵要素：

1.決策變量：定義問題中需要確定的變量，這些變量通常用字母表示，如xl,x2,,

xno決策變量的取值范圍由問題的實(shí)際背景和約束條件決定。

2.目標(biāo)函數(shù)：描述了需要優(yōu)化（最大化或最小化）的量。在ECEL中，目標(biāo)函數(shù)通

常以單元格的形式表示，可以通過公式進(jìn)行計(jì)算。

3.約束條件：規(guī)定了決策變量在求解過程中必須滿足的限制。約束條件可以是線性

不等式或等式，它們通常以“W”、“2"、“二”等形式表示。在ECEL中，約

束條件同樣可以通過公式和單元格引用來實(shí)現(xiàn)。

以下是一個(gè)簡單的線性規(guī)劃模型示例：

?決策變量：假設(shè)我們要決定生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B,變量x表示生產(chǎn)A的數(shù)量，變

量y表示生產(chǎn)B的數(shù)量。

?目標(biāo)函數(shù)：我們的目標(biāo)是最大化利潤，設(shè)生產(chǎn)A的利潤為每單位10元，生產(chǎn)B

的利潤為每單位15元，則目標(biāo)函數(shù)為：MaxinizeZ=10x+15y。

?約束條件：

?資源限制：生產(chǎn)A和B需要消耗原材料和勞動(dòng)力。假設(shè)生產(chǎn)A需要1單位原材料

和2單位勞動(dòng)力，生產(chǎn)B需要1.5單位原材料和1單位勞動(dòng)力，且原材料總量不

超過10單位，勞動(dòng)力總量不超過15單位。則約束條件為：

?lx+L5yW10（原材料限制）

?2x+lyW15（勞動(dòng)力限制）

?非負(fù)約束：x和y都必須大于等于0,即：

?x20

?y20

在ECEL中，這些變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件可以通過以下方式表示：

?在Excel的單元格中輸入決策變量，例如A1單元格為x,B1單元格為y。

?在Excel的單元格中輸入目標(biāo)函數(shù)，例如A2單元格為公式=1OA1+15B1,表示利

潤最大化函數(shù)。

?在Excel的單元格中輸入約束條件，例如在A3:B4區(qū)域輸入原材料和勞動(dòng)力限制

的不等式。

通過以上步驟，我們就在ECEL中建立了一個(gè)線性規(guī)劃模型，為后續(xù)的求解和靈敏

度分析奠定了基礎(chǔ)。

2.2.2輸入數(shù)據(jù)

在進(jìn)行ECEL（Excel電子表格軟件）中的線性規(guī)劃和靈敏度分析時(shí)，輸入數(shù)據(jù)是整

個(gè)過程的基礎(chǔ)。首先，您需要定義您的目標(biāo)函數(shù)，即您希望最大化或最小化的某個(gè)量。

這個(gè)目標(biāo)通常是一個(gè)由變量表示的目標(biāo)值。

接下來，您需要列出所有約束條件，這些條件決定了哪些變量可以取什么值。例如,

如果您的問題是關(guān)于生產(chǎn)某種產(chǎn)品，那么可能有原料可用、機(jī)器可用等限制條件。這些

條件會(huì)形成一個(gè)線性方程組，用于約束變量的選擇。

在ECEL中，您可以使用以下步驟來設(shè)置輸入數(shù)據(jù)：

1.設(shè)定目標(biāo)：在ECEL的頂部菜單中選擇“插入”，然后點(diǎn)擊“公式”，在彈出的窗

口中輸入您的目標(biāo)函數(shù)。這將是一個(gè)包含您所選變量的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2.添加約束條件：同樣，在“插入”菜單中，選擇“公式”，然后輸入您的約束條

件。每個(gè)約束條件都應(yīng)作為單獨(dú)的公式被輸入，并旦它們應(yīng)該能夠正確地與目標(biāo)

函數(shù)相聯(lián)系。

3.編寫代碼：在ECEL中，您可以使用編程語言（如VBA）編寫代碼來處理輸入的

數(shù)據(jù)。這對(duì)于復(fù)雜的問題尤其有用，因?yàn)槟梢栽诔绦蛑袑?shí)現(xiàn)更復(fù)雜的邏輯和功

能。

4.運(yùn)行模型：完成上述操作后，您可以通過按F9鍵來運(yùn)行您的模型。ECEL將在屏

幕上顯示結(jié)果，包活最優(yōu)解和敏感性分析的結(jié)果。

5.調(diào)整參數(shù):在執(zhí)行完一次計(jì)算后，如果您想要更改某些假設(shè)或者對(duì)問題重新建模,

只需更新相應(yīng)的公式和約束條件即可。

6.保存結(jié)果：記得保存您的工作簿以便將來參考或者與其他用戶分享。

通過遵循以上步驟，您可以有效地利用ECEL工具來進(jìn)行線性規(guī)劃和靈敏度分析，

從而幫助您做出更加明智的決策。

3.靈敏度分析

靈敏度分析是線性規(guī)劃（LP）中一個(gè)重要的工具，它幫助我們理解模型參數(shù)變化時(shí)

最優(yōu)解的影響。在ECEL求解線性規(guī)劃問題時(shí)，靈敏度分析可以幫助我們評(píng)估以下方面:

（1）目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的靈敏度分析

?目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響：通過改變目標(biāo)函數(shù)中某個(gè)系數(shù)的值，我們可

以觀察最優(yōu)解的變叱情況。這有助于我們了解哪些參數(shù)對(duì)決策結(jié)果最為關(guān)鍵。

?最優(yōu)解的穩(wěn)定性：通過靈敏度分析，我們可以判斷最優(yōu)解對(duì)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的

敏感程度，從而評(píng)估模型的穩(wěn)定性。

（2）約束條件的靈敏度分析

?約束條件變化對(duì)最優(yōu)解的影響：改變約束條件中的參數(shù)，觀察最優(yōu)解的變化，可

以幫助我們了解哪些約束條件對(duì)決策結(jié)果影響較大。

?可行域的變化：通過靈敏度分析，我們可以觀察約束條件變化對(duì)可行域的影響，

從而評(píng)估模型在不同約束條件下的適用性。

（3）變量的靈敏度分析

?變量取值變化對(duì)最憂解的影響：改變決策變量的取值，觀察最優(yōu)解的變化，有助

于我們了解哪些變量對(duì)決策結(jié)果影響較大。

?變量的影子價(jià)格：通過靈敏度分析，我們可以計(jì)算變量的影子價(jià)格，這有助于我

們了解每個(gè)變量在決策過程中的價(jià)值。

（4）靈敏度分析的方法

在ECEL中，進(jìn)行靈敏度分析通常有以下幾種方法：

?單因素靈敏度分析：分別改變一個(gè)參數(shù)的值，觀察最優(yōu)解的變化。

?多因素靈敏度分析：同時(shí)改變多個(gè)參數(shù)的值，觀察最優(yōu)解的變化。

?參數(shù)范圍分析：設(shè)定參數(shù)的變化范圍，觀察最優(yōu)解在該范圍內(nèi)的變化情況。

通過上述靈敏度分析，我們可以更好地理解線性規(guī)劃模型，為實(shí)際決策提供有力支

持。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)具體情況選擇合適的靈敏度分析方法，以確保分析垢果的準(zhǔn)

確性和可靠性。

3.1靈敏度分析的重要性

敏感度分析通常涉及以下幾種情況：

1.系數(shù)變化：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束條件中的某個(gè)系數(shù)發(fā)生改變時(shí)，敏感度分析可以幫

助確定這些變化是否會(huì)影響最優(yōu)解，并量化這種影響的程度。

2.數(shù)據(jù)誤差：即使在初始設(shè)定中，數(shù)據(jù)本身也可能存在一定的誤差或不準(zhǔn)確性。敏

感度分析可以用來浜別哪些數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化最有可能導(dǎo)致最優(yōu)解發(fā)生變化，以及這

種變化對(duì)最終結(jié)果的影響范圍。

3.參數(shù)估計(jì)的不確定性：在實(shí)際應(yīng)用中，我們往往只能根據(jù)有限的數(shù)據(jù)來估計(jì)某些

關(guān)鍵參數(shù)值。敏感度分析則能揭示這些估計(jì)值之間的關(guān)系及其對(duì)最優(yōu)解的影響。

通過執(zhí)行敏感度分析，我們可以更好地理解模型在不同情況下表現(xiàn)出來的魯棒性和

穩(wěn)定性。這不僅有助于提高模型的可靠性和實(shí)用性，還能為決策提供更全面的信息支持。

因此，在進(jìn)行線性規(guī)劃問題時(shí)，實(shí)施適當(dāng)?shù)拿舾卸确治鍪欠浅１匾摹?/p>

3.2靈敏度分析的基本方法

靈敏度分析是線性規(guī)劃中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，它旨在研究模型參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影

響程度。通過靈敏度分析,我們可以了解模型中各個(gè)參數(shù)的敏感性和穩(wěn)定性，從而為實(shí)

際決策提供依據(jù)。以下介紹幾種基本的靈敏度分析方法：

1.單參數(shù)靈敏度分析

單參數(shù)靈敏度分析是指固定其他參數(shù)不變，單獨(dú)改變一個(gè)參數(shù)的值，觀察最優(yōu)解的

變化情況。這種方法簡單直觀，適用于分析單個(gè)參數(shù)對(duì)最優(yōu)解的影響。在進(jìn)行單參數(shù)靈

敏度分析時(shí)，通常需要繪制參數(shù)變化曲線，以直觀展示最優(yōu)解的變化趨勢。

2.雙參數(shù)靈敏度分析

雙參數(shù)靈敏度分析是在單參數(shù)靈敏度分析的基礎(chǔ)上，同時(shí)改變兩個(gè)參數(shù)的值，研究

這兩個(gè)參數(shù)對(duì)最優(yōu)解的聯(lián)合影響。這種方法可以揭示多個(gè)參數(shù)之間可能存在的相互作用,

幫助我們更全面地了解模型參數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解的影響。

3.多參數(shù)靈敏度分析

多參數(shù)靈敏度分析是對(duì)模型中多個(gè)參數(shù)同時(shí)進(jìn)行靈敏度分析，這種方法可以全面了

解模型中各個(gè)參數(shù)對(duì)最優(yōu)解的影響程度，但計(jì)算量較大,通常需要借助計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行。

4.敏感性測試

敏感性測試是一種常用的靈敏度分析方法，它通過設(shè)定參數(shù)變化的范圍，觀察最優(yōu)

解是否保持穩(wěn)定。如果最優(yōu)解在參數(shù)變化范圍內(nèi)保持不變，則認(rèn)為模型具有較強(qiáng)的穩(wěn)定

性；反之，則認(rèn)為模型對(duì)參數(shù)變化較為敏感。

5.敏感性指標(biāo)

為了量化參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響程度，可以引入敏感性指標(biāo)。常見的敏感性指標(biāo)

有相對(duì)變化率、靈敏度系數(shù)等。通過計(jì)算這些指標(biāo)，可以更直觀地了解參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)

解的影響程度。

靈敏度分析是線性規(guī)劃研究中不可或缺的一部分，通過掌握基本方法，我們可以更

好地理解模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)解的影響，為實(shí)際決策提供有力支持。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)

具體情況選擇合適的靈敏度分析方法，以達(dá)到最佳分析效果。

3.2.1單變量靈敏度分析

在單變量靈敏度分析中，我們關(guān)注于一個(gè)決策變量的變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響。具體

來說，我們研究當(dāng)某個(gè)約束條件或參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，該決策變量最優(yōu)值如何變化。

假設(shè)我們的優(yōu)化問題為：

其中（/I）是系數(shù)矩陣，（。）是右側(cè)向量，（。）是目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量，（x）是決策變量向

量。

進(jìn)行單變量靈敏度分析時(shí)，我們可以考慮以下幾種情況：

1.改變某一個(gè)約束條件：例如，如果我們改變（力%=3中的一個(gè)元素，即增加或減

少一個(gè)不等式中的常數(shù)項(xiàng)（6），那么最優(yōu)解（/將會(huì)發(fā)生變化。

2.改變目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)：如果目標(biāo)函數(shù)變?yōu)樾碌男问?，如（o'x）,我們需要重新計(jì)

算最優(yōu)解（/）,并與原最優(yōu)解（?進(jìn)行比較，以評(píng)估新目標(biāo)函數(shù)下最優(yōu)解的變化。

3.改變參數(shù)：在一些情況下，某些參數(shù)可能隨著外部因素的變化而變化。例如，在

生產(chǎn)計(jì)劃問題中，原材料價(jià)格可能會(huì)發(fā)生變化，這時(shí)就需要根據(jù)這些變化來更新

模型并重新求解。

通過以上方法，我們可以全面了解單變量靈敏度分析在實(shí)際應(yīng)用中的重要怛和有效

性。這種分析有助于我們在面對(duì)不確定性和動(dòng)態(tài)環(huán)境時(shí)做出更準(zhǔn)確、更有利的決策。

3.2.2多變量靈敏度分析

多變量靈敏度分析是線性規(guī)劃中一個(gè)重要的分析工具，它用于評(píng)估模型中多個(gè)參數(shù)

變化對(duì)模型解的影響。在ECEL求解線性規(guī)劃問題時(shí)，進(jìn)行多變量靈敏度分析可以幫助

我們理解模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)解的敏感性，從而為決策提供重要依據(jù)。

在進(jìn)行多變量靈敏度分析時(shí)，通常關(guān)注以下兩個(gè)方面：

1.參數(shù)變動(dòng)對(duì)最優(yōu)解的影響：通過改變模型中的某些參數(shù)（如目標(biāo)函數(shù)系數(shù)、約束

條件系數(shù)等），觀察最優(yōu)解（如最優(yōu)值、最優(yōu)解向量）如何隨參數(shù)的變化而變化。

這種分析有助于識(shí)別哪些參數(shù)對(duì)模型的決策結(jié)果最為關(guān)鍵。

2.參數(shù)范圍對(duì)解的穩(wěn)定性：確定模型中每個(gè)參數(shù)的合理變動(dòng)范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)，

模型的解仍然保持穩(wěn)定。這有助于在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)參數(shù)的可能變動(dòng)情況，預(yù)

測模型解的變化趨勢。

在ECEL中進(jìn)行多變量靈敏度分析的具體步驟如下：

（1）設(shè)置參數(shù)變動(dòng)范圍：首先，需要確定要分析的多變量參數(shù)及其合理的變動(dòng)范

圍。

（2）求解原始模型：在ECEL中輸入原始的線性規(guī)劃模型，求解得到初始的最優(yōu)解。

（3）逐個(gè)調(diào)整參數(shù)：按照設(shè)定的參數(shù)變動(dòng)范圍，逐?調(diào)整模型中的參數(shù)，重新求

解線性規(guī)劃問題。

（4）分析結(jié)果：對(duì)比不同參數(shù)取值下的最優(yōu)解，分析參數(shù)變化對(duì)模型解的影響，

總結(jié)出參數(shù)對(duì)解的敏感性。

（5）繪制敏感性圖表：利用ECEL的數(shù)據(jù)分析功能，將參數(shù)變化與最優(yōu)解之間的關(guān)

系以圖表形式呈現(xiàn)，便于直觀理解。

通過多變量靈敏度分析，我們可以更全面地了解線性規(guī)劃模型中各個(gè)參數(shù)的重要性,

為決策者提供有價(jià)值的參考。同時(shí)，這也有助于優(yōu)化模型，提高模型的魯棒性和實(shí)用性。

3.3ECEL進(jìn)行靈敏度分析

1.設(shè)定初始模型：首先，在Excel中設(shè)置你的線性規(guī)劃問題。這包括定義決策變量、

目標(biāo)函數(shù)、約束條件以及任何已知的成本或收益系數(shù)。

2.運(yùn)行求解器：利用Excel內(nèi)置的求解器功能來求解這個(gè)線性規(guī)劃問題。確保在求

解器選項(xiàng)中選擇適當(dāng)?shù)那蠼夥椒ǎㄈ鐔渭冃畏ǎ?，并輸入初始的可行解?/p>

3.記錄結(jié)果：一旦得到求解的結(jié)果，記錄下優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值、最優(yōu)解以及所有約

束是否被滿足的情況。這些信息對(duì)于后續(xù)的敏感性分析至關(guān)重要。

4.添加擾動(dòng)量：為了進(jìn)行敏感性分析，你需要對(duì)模型中的某些參數(shù)施加小幅度的擾

動(dòng)，并觀察其對(duì)最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響。例如，可以將某個(gè)成本系數(shù)增加0.5%

或減少0.5哈然后重新求解以評(píng)估變化的敏感性。

5.計(jì)算靈敏度：通過比較不同擾動(dòng)下的最優(yōu)值與原最優(yōu)值之間的差異，可以估算出

參數(shù)變動(dòng)的相對(duì)敏感度。通常，如果兩個(gè)數(shù)值之比很大，則說明該參數(shù)對(duì)該問題

有較大的影響。

6.繪制圖表：根據(jù)你的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，你可以創(chuàng)建圖形，比如柱狀圖或者散點(diǎn)圖，來直

觀地展示參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響。

7.基于上述分析，你可以得出關(guān)于哪些參數(shù)是最重要的，以及在實(shí)際應(yīng)用中需要特

別注意的領(lǐng)域。這些結(jié)論可以幫助你在未來的次策過程中做出更加明智的選擇。

3.3.1設(shè)置靈敏度分析參數(shù)

在進(jìn)行ECEL求解線性規(guī)劃問題時(shí)，靈敏度分析是評(píng)估模型參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解影響

的重要工具。為了進(jìn)行有效的靈敏度分析，需要正確設(shè)置以下參數(shù):

1.靈敏度分析類型：首先，需要確定進(jìn)行的是哪種類型的靈敏度分析。常見的類型

包括：

?單變量靈敏度分析：分析單個(gè)決策變量或參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響。

?多變量靈敏度分析：同時(shí)分析多個(gè)變量或參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響。

2.參數(shù)變化范圍：設(shè)定分析中參數(shù)允許變化的范圍。這包括確定變化的方向（增加

或減少）和變化的嗝度。參數(shù)變化范圍的選擇應(yīng)基于實(shí)際問題的需求和預(yù)期。

3.變化步長：定義參數(shù)變化的步長，即每次分析中參數(shù)變化的量。合適的步長可以

確保靈敏度分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和效率。

4.靈敏度分析方向：確定靈敏度分析的方向，即參數(shù)增加或減少時(shí)，如何觀察和記

錄最優(yōu)解的變化。這可以是正向分析（參數(shù)增加）或反向分析（參數(shù)減少）。

5.目標(biāo)函數(shù)和約束條件：明確在靈敏度分析中需要關(guān)注的特定目標(biāo)函數(shù)和約束條件。

這有助于集中分析特定參數(shù)變化對(duì)模型性能的影響。

6.迭代次數(shù)：設(shè)定靈敏度分析中的迭代次數(shù)，以確定在參數(shù)變化過程中，模型將進(jìn)

行多少次求解。過多的迭代可能導(dǎo)致II算時(shí)間過長，而過少的迭代可能無法捕捉

到所有的變化趨勢。

7.結(jié)果輸出：配置靈敏度分析的結(jié)果輸出格式，包括是否需要輸出表格、圖形或其

他形式的可視化結(jié)果，以便于分析和解釋。

通過合理設(shè)置上述參數(shù)，可以確保ECEL進(jìn)行有效的靈敏度分析，從而為決策者提

供關(guān)于模型穩(wěn)定性和風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測的重要信息、。在實(shí)際操作中，可能需要根據(jù)分析目的和模

型特點(diǎn)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行多次調(diào)整以獲得最佳分析效果。

3.3.2進(jìn)行靈敏度分析

在進(jìn)行靈敏度分析時(shí)，我們需要關(guān)注變量系數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解的影響。通過調(diào)整系

數(shù)，我們可以觀察到最優(yōu)解如何隨這些參數(shù)的變化而變化。這種分析對(duì)于優(yōu)化問題的敏

感性和穩(wěn)定性至關(guān)重要。

首先，我們定義一個(gè)線性規(guī)劃模型，其中包含一些決策變量、目標(biāo)函數(shù)以及約束條

件。在這個(gè)模型中，每個(gè)變量的系數(shù)都是已知且固定的。接下來，我們將逐步改變這些

系數(shù)，并計(jì)算新的最優(yōu)解。通過比較原始最優(yōu)解與新解之間的差異，我們可以評(píng)估這些

系數(shù)變化對(duì)結(jié)果的影響程度。

為了具體展示這個(gè)過程，假設(shè)我們有一個(gè)簡單的線性規(guī)劃問題如下：

[Maximize/^SubjecttoAx-b

其中（用是一個(gè)給定的矩陣，（6）是一個(gè)給定向量，（c）是目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)向量，（x）

是決策變量向量。現(xiàn)在，我們要進(jìn)行靈敏度分析，這意味著我們將改變系數(shù)矩陣（4）的

某些元素，例如某個(gè)元素的值從1改為20

?首先，保持其他系數(shù)不變，只改變（力〃）。

?然后，重復(fù)上述步驟，嘗試不同的系數(shù)變化情況。

?對(duì)于每種變化，計(jì)算新的最優(yōu)解并記錄下來。

通過這種方式，我們可以得到一系列的最優(yōu)解，這有助于理解不同系數(shù)變化對(duì)最終

解的影響。此外，還可以使用圖形方法（如單純形法）來直觀地表示這些變化，從而更

清晰地看到哪些系數(shù)變化最顯著地影響了最優(yōu)解。

將所有可能的系數(shù)變叱及其對(duì)應(yīng)的結(jié)果整理成表格或圖示，以便于理解和總結(jié)。這

樣，我們就完成了對(duì)線性規(guī)劃問題的靈敏度分析。

3.3.3分析靈敏度結(jié)果

在完成ECEL求解線性規(guī)劃模型并得到優(yōu)化解之后，對(duì)靈敏度結(jié)果的分析是理解模

型對(duì)參數(shù)變化敏感程度的關(guān)鍵步驟。靈敏度分析可以幫助我們評(píng)估以下方面:

1.參數(shù)變化對(duì)解的影響：通過分析模型中關(guān)鍵參數(shù)（如目標(biāo)函數(shù)系數(shù)、約束右端項(xiàng)、

變量上下界等）的變化對(duì)最優(yōu)解的影響，我們可以了解模型對(duì)特定參數(shù)變化的敏

感程度。

2.最優(yōu)解的穩(wěn)定性：靈敏度分析有助于評(píng)估最優(yōu)解的穩(wěn)定性，即當(dāng)模型參數(shù)發(fā)生微

小變化時(shí)，最優(yōu)解是否會(huì)保持不變或發(fā)生顯著變化。

3.決策的可靠性:通過對(duì)靈敏度結(jié)果的分析，可以評(píng)估基于當(dāng)前模型決策的可靠性,

為實(shí)際決策提供依據(jù)。

具體分析靈敏度結(jié)果的方法包括：

?單因素靈敏度分析：單獨(dú)改變模型中的一個(gè)參數(shù)，觀察最優(yōu)解和最優(yōu)值的變動(dòng)情

況。這種方法可以直觀地了解單個(gè)參數(shù)對(duì)模型結(jié)果的影響。

?多因素靈敏度分析：同時(shí)改變多個(gè)參數(shù)，觀察最優(yōu)解和最優(yōu)值的綜合變動(dòng)情況。

這種方法可以幫助我們理解多個(gè)參數(shù)之間的相互作用。

?靈敏度曲線：繪制參數(shù)變化與最優(yōu)解或最優(yōu)值之間的關(guān)系曲線，以便于直觀地觀

察參數(shù)變化對(duì)模型結(jié)果的影響。

在進(jìn)行靈敏度分析時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：

?參數(shù)范圍的確定：選擇合適的參數(shù)范圍進(jìn)行靈敏度分析，確保分析的全面性和有

效性。

?參數(shù)變化的步長：參數(shù)變化的步長應(yīng)適中，過小可能導(dǎo)致結(jié)果過于敏感，過大則

可能無法捕捉到細(xì)微的變化。

?結(jié)果的可信度：對(duì)靈敏度分析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，確保結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。

通過深入分析靈敏度結(jié)果，我們可以更好地理解線性規(guī)劃模型的特性，為實(shí)際問題

的決策提供科學(xué)依據(jù)。

4.案例分析

線性規(guī)劃案例分析步驟：

（一）問題定義：首先，確定線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。例如，企業(yè)面

臨的目標(biāo)可能是最大化利潤或最小化成本，同時(shí)受到原材料供應(yīng)、勞動(dòng)力成本、生產(chǎn)時(shí)

間等限制條件的影響。收集必要的數(shù)據(jù)和變量信息。

（二）數(shù)據(jù)輸入：在ECEL軟件中建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，輸入線性規(guī)劃模型中的所有變

量（決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件）以及具體數(shù)值參數(shù)（如成本系數(shù)、資源限制等）。

確保數(shù)據(jù)準(zhǔn)確無誤。

（三）求解線性規(guī)劃問題：使用ECEL軟件中的線性規(guī)劃求解工具，運(yùn)行模型進(jìn)行

計(jì)算并尋找最優(yōu)解。求解結(jié)果應(yīng)提供決策變量的最優(yōu)組合和對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，根據(jù)分

析結(jié)果解釋解的含義，比如生產(chǎn)量的分配方案、最優(yōu)成本等。

靈敏度分析步驟：

（一）參數(shù)變化設(shè)定：在己求解的線性規(guī)劃模型基礎(chǔ)上，對(duì)關(guān)鍵的參數(shù)進(jìn)行變化設(shè)

定，比如原材料價(jià)格、生產(chǎn)成本或市場需求等的變化情況。設(shè)定不同的變化場景進(jìn)行分

析。

（二）重新計(jì)算與分析：在ECEL軟件中調(diào)整參數(shù)后重新運(yùn)行模型進(jìn)行求解，觀察

目標(biāo)函數(shù)和決策變量如何隨著參數(shù)的變化而變化。記錄關(guān)鍵指標(biāo)的變動(dòng)趨勢和幅度，例

如，原材料成本上升后如何影響生產(chǎn)量和利潤等。進(jìn)行定性和定量分析以判斷影響程度

和方向，若環(huán)境變化對(duì)企業(yè)的最優(yōu)方案影響顯著，需要做出相應(yīng)的決策調(diào)整來適應(yīng)這些

變化。通過這種方式進(jìn)行的靈敏度分析有助于企業(yè)決策者理解不確定環(huán)境下決策方案的

穩(wěn)健性。通過比較不同參數(shù)變化對(duì)結(jié)果的影響程度，可以進(jìn)一步判斷哪些因素對(duì)最終結(jié)

果的影響最為顯著。這不僅能幫助企業(yè)在實(shí)際工作中預(yù)測和控制風(fēng)險(xiǎn)因素，也有助于更

好地進(jìn)行資源的分配和管理策略的改進(jìn)與制定。利用ECEL軟件求解線性規(guī)劃和進(jìn)行靈

敏度分析是一個(gè)高效且實(shí)用的工具，特別是在決策分析和風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域的應(yīng)用中發(fā)揮著

重要作用。

4.1案例背景

在工業(yè)生產(chǎn)、資源分配和工程優(yōu)化等領(lǐng)域，線性規(guī)劃是解決復(fù)雜問題的重要工具之

-O本案例旨在通過實(shí)際應(yīng)用，展示如何使用Excel進(jìn)行線性規(guī)劃模型的構(gòu)建與求解，

并進(jìn)一步探討線性規(guī)劃的敏感性分析技術(shù)。具體而言，我們將以一個(gè)簡單的生產(chǎn)線調(diào)度

問題為例，來說明如何利用Excel中的運(yùn)籌學(xué)功能來解決這類問題，并對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)

行敏感性分析。

假設(shè)我們有一家小型制造企業(yè)，該企業(yè)在一天內(nèi)有三個(gè)主要工作時(shí)間段：上午8:00

至12:00,下午13:00至17:00,以及晚上18:00至次日6:00。每個(gè)時(shí)間段都有固定的

生產(chǎn)任務(wù)需要完成，為了最大化利潤，我們需要合理安排每小時(shí)的工作時(shí)間，使得每天

生產(chǎn)的總價(jià)值最大化。然而，由于設(shè)備限制和人力資源因素，我們只能選擇其中一?段時(shí)

間段進(jìn)行生產(chǎn)。

在這種情況下，我們可以將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性規(guī)劃問題：

?設(shè)變量（肛）為上午時(shí)間段的產(chǎn)量，（心）為下午時(shí)間段的產(chǎn)量，（心）為晚上的產(chǎn)量。

?目標(biāo)函數(shù)：最大化總利潤X1+V-X2+U'X3,其中⑺,（力，和（u）分

別代表上午、下午和晚上的單位利潤。

?約束條件：

?上午時(shí)間段的生產(chǎn)能力限制：（肛W4）（A1為上午時(shí)間段的最大生產(chǎn)能力）

?下午時(shí)間段的生產(chǎn)能力限制：（&W&）（A2為下午時(shí)間段的最大生產(chǎn)能力）

?晚上時(shí)間段的生產(chǎn)能力限制：（為忘力③）（A3為晚上時(shí)間段的最大生產(chǎn)能力）

?總時(shí)間限制：（巧+電+打《D（T為一天的時(shí)間長度）

在這個(gè)例子中，我們可以通過Excel的運(yùn)籌學(xué)工具來建立上述模型，并使用Excel

Solver來進(jìn)行線性規(guī)劃求解。同時(shí)，對(duì)于線性規(guī)劃的敏感性分析，我們可以考慮不同

參數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解的影響，例如改變單位利潤（必,“），或（u）的值，觀察對(duì)最優(yōu)解的

影響程度，從而?更好地理解模型的穩(wěn)定性。

4.2案例求解

為了更好地理解本章所介紹的理論和方法在實(shí)際中的應(yīng)用，我們選取了一個(gè)典型的

線性規(guī)劃問題作為案例進(jìn)行求解和靈敏度分析。

案例背景：

某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B,生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品需要消耗兩種不同的原材料。已知

生產(chǎn)過程中存在一些約束條件，以及產(chǎn)品的市場需求和生產(chǎn)成本等信息。目標(biāo)是在滿足

所有約束條件的情況下，最大化公司利潤。

模型描述：

該問題可以表示為一個(gè)線性規(guī)劃模型，包括決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三部分。

1.決策變量：

-（匐）：產(chǎn)品A的生產(chǎn)量

初）：產(chǎn)品B的生產(chǎn)量

2.目標(biāo)函數(shù)；

利潤=30（%）+40（初）（單位:萬元）

3.約束條件：

?原材料約束：（為+3初W100）（單位：噸）

?生產(chǎn)能力約束：（為+物W5。（單位：臺(tái)/月）

?市場需求約束：｛30xA+20xB600）（單位：臺(tái)/月）

?非負(fù)約束：（為2。,切2。

求解過程：

使用Excel的求解功能，我們可以快速找到該線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。通過輸入

目標(biāo)函數(shù)、約束條件以及決策變量，Excel將自動(dòng)計(jì)算出最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃和最大利潤。

靈敏度分析：

為了研究各因素對(duì)決策結(jié)果的影響程度，我們對(duì)模型進(jìn)行了靈敏度分析。具體步驟

如下：

1.固定其他變量，改變某一變量的值：例如，保持（明）不變，逐漸增加（葡）的值，

觀察日標(biāo)函數(shù)值的變化情況。

2.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值的變化，判斷各因素的敏感程度：如果目標(biāo)函數(shù)值隨著（弱）的增

加而顯著增加，則說明（題）是一個(gè)較為敏感的因素；反之，則說明其不敏感。

通過上述靈敏度分析,我們可以更深入地了解各因素對(duì)模型結(jié)果的影響程度，從而

為公司制定更加合理的生產(chǎn)”劃和決策提供依據(jù)。

4.2.1建立模型

1.確定決策變量：根據(jù)問題背景和目標(biāo)，定義決策變量，這些變量將表示線性規(guī)劃

問題的解。例如，在資源分配問題中，決策變量可能代表分配給不同活動(dòng)的資源

量。

2.明確目標(biāo)函數(shù)：根據(jù)決策問題，確定需要最大化的目標(biāo)或需要最小化的成本。目

標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的核心，它應(yīng)該用決策變量的線性組合來表示。

3.列出約束條件：根據(jù)實(shí)際情況，列出所有影響決策的約束條件。這些約束條件可

以是資源限制、生產(chǎn)能力、市場需求等。約束條件通常用不等式或等式來表示。

4.定義決策變量的取值范圍：對(duì)于每個(gè)決策變量，需要確定其可接受的取值范圍，

這通常是通過設(shè)定上下界來實(shí)現(xiàn)的。

以下是一個(gè)簡單的線性規(guī)劃模型示例：

目標(biāo)函數(shù)：最大化利潤［MaximizeZ=5x/+4x1

約束條件：

{3x}+2X2W詞［x/+2X2W/0*22D

決策變量的取值范圍：

［xhx2W［ft+°°）］

在這個(gè)模型中，（七）和（寇）是決策變量，表示生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的數(shù)量。目標(biāo)函數(shù)是最

大化總利潤，約束條件限制了兩產(chǎn)品的生產(chǎn)量，同時(shí)確保了非負(fù)產(chǎn)量。

在建立模型時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：

?模型的結(jié)構(gòu)應(yīng)清晰、合理，能夠準(zhǔn)確反映問題的本質(zhì)。

?模型中的變量、參數(shù)和約束條件應(yīng)具有實(shí)際意義。

?模型應(yīng)盡可能簡單，避免不必要的復(fù)雜性，以便于求解和分析。

完成模型建立后，即可利用ECEL軟件進(jìn)行線性規(guī)劃的求解和靈敏度分析。

4.2.2輸入數(shù)據(jù)

線性規(guī)劃問題通常由以下步驟輸入數(shù)據(jù)：

1.目標(biāo)函數(shù)：定義要優(yōu)化的目標(biāo)，例如最大化利潤或最小化成本。目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)

形式為：

f（x）=c"Tx+b~Ts

其中，c是決策變量向量x的系數(shù)，b是非決策變量向量s的系數(shù)，T表示轉(zhuǎn)置，

c"lhT分別表示矩陣c和b的轉(zhuǎn)置。

2.約束條件：線性規(guī)劃問題的約束條件描述了決策變量必須滿足的限制條件。約束

條件的數(shù)學(xué)形式一般為：

Ax<=b

其中，A是決策變量向量x的系數(shù)矩陣，b是非決策變量向量s的系數(shù)。

3.非負(fù)性約束：如果線性規(guī)劃問題中存在非負(fù)性約束(如資源限制、時(shí)間窗口等),

則這些約束需要被明確地添加到模型中。非負(fù)性約束的形式為：

g(x)>=0

其中，g(x)是非決策變量向量x的系數(shù)，g(x)〉二0表示非負(fù)性約束。

4.靈敏度分析：在解決線性規(guī)劃問題時(shí)，可能需要對(duì)某些參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析、以

評(píng)估它們對(duì)最優(yōu)解的影響。靈敏度分析可以通過改變特定參數(shù)的值來觀察目標(biāo)函

數(shù)值的變化來進(jìn)行。例如，可以計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)某個(gè)參數(shù)變化的導(dǎo)數(shù)，以確定該

參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響程度。

4.3案例靈敏度分析

靈敏度分析，也被稱為后優(yōu)化分析，是線性規(guī)劃中一個(gè)至關(guān)重要的環(huán)節(jié)。它允許我

們評(píng)估當(dāng)模型參數(shù)(如目標(biāo)函數(shù)系數(shù)、約束條件的右側(cè)值等)發(fā)生變化時(shí)，對(duì)最優(yōu)解及

其價(jià)值產(chǎn)生的影響。在Excel中執(zhí)行靈敏度分析，不僅能夠幫助我們更好地理解問題，

還能為決策提供更廣闊的數(shù)據(jù)支持。

考慮一個(gè)制造公司需要次定兩種產(chǎn)品A和B的生產(chǎn)量以最大化利潤的問題。已知每

單位產(chǎn)品A帶來的利潤為50元，每單位產(chǎn)品B帶來的利潤為80元；同時(shí)，生產(chǎn)這兩種

產(chǎn)品需要消耗有限的資源如工時(shí)和原材料。通過使用Excel的Solver插件，我們可以

找到使總利潤最大化的最佳生產(chǎn)方案。

進(jìn)行靈敏度分析時(shí)，首先需確保Solver設(shè)置正確，包括定義目標(biāo)單元格、變量單

元格以及約束條件。接著，在Solver對(duì)話框中選擇“選項(xiàng)”，勾選“假定線性模型”和

“顯示迭代結(jié)果:然后，點(diǎn)擊“求解”，并在彈出的“Solver結(jié)果”對(duì)話框中選擇“保

存模型”以便后續(xù)分析。完成上述步驟后，再次調(diào)用Solver,這次選擇“敏感性報(bào)告”

并點(diǎn)擊“確定”。

敏感性報(bào)告將提供兩部分內(nèi)容：一是關(guān)于目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許增加量和減少量，二

是關(guān)于右端項(xiàng)的陰影價(jià)格及其允許增加量和減少量。前者有助于我們了解目標(biāo)函數(shù)系數(shù)

變動(dòng)時(shí)最優(yōu)解的穩(wěn)定性，而后者則揭示了資源邊際價(jià)值的變化情況，即增加一單位資源

可以帶來的額外收益。

通過對(duì)案例的詳細(xì)分析，我們不僅能識(shí)別哪些參數(shù)變化可能影響最終決策，還能量

化這些影響的具體程度。這種洞察對(duì)于企業(yè)制定靈活應(yīng)對(duì)市場變化的戰(zhàn)略至關(guān)重要，同

時(shí)也增強(qiáng)了模型的實(shí)用性和可靠性。

4.3.1設(shè)置靈敏度分析參數(shù)

靈敏度分析是線性規(guī)劃求解過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，用干分析模型中各參數(shù)（如目

標(biāo)函數(shù)的系數(shù)、約束條件中的參數(shù)等）變化對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響程度。在ECEL中進(jìn)行線

性規(guī)劃和靈敏度分析時(shí)，設(shè)置靈敏度分析參數(shù)是必不可少的一步。

1.目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動(dòng)分析參數(shù)設(shè)置：

在ECEL中，首先需要設(shè)置目標(biāo)函數(shù)中各系數(shù)變叱的靈敏度分析參數(shù)。這些參數(shù)包

括目標(biāo)函數(shù)中各個(gè)變量的系數(shù)，它們的變化范圍以及變化步長。通過設(shè)置這些參數(shù)，可

以模擬不同系數(shù)變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的影響。

2.約束條件參數(shù)變動(dòng)分析設(shè)置：

除了目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變動(dòng)分析，還需要設(shè)置約束條件中參數(shù)的變動(dòng)分析參數(shù)。這包

括各個(gè)約束條件的右側(cè)常數(shù)項(xiàng)（即約束條件的界限值）的變化范圍及步長。這些參數(shù)的

變化可能會(huì)改變可行解區(qū)域，進(jìn)而影響最優(yōu)解的求解。

3.變量界限變動(dòng)分析參數(shù)設(shè)置：

在某些情況下，決策變量的取值范圍也可能存在不確定性，需要進(jìn)行變動(dòng)分析。在

ECEL中，可以設(shè)置變量界限的變動(dòng)分析參數(shù)，包括變量的上下界變化范圍及步長，以

分析變量界限變化對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。

4.分析類型選擇：

在進(jìn)行靈敏度分析時(shí)，可以選擇不同類型的分析，如單因素變動(dòng)分析、多因素聯(lián)動(dòng)

分析等。在ECEL中設(shè)置這些分析類型的相關(guān)參數(shù)，可以根據(jù)實(shí)際需求選擇適當(dāng)?shù)姆治?/p>

方式。

5.結(jié)果輸出設(shè)置：

需要設(shè)置靈敏度分析的結(jié)果輸出參數(shù)，這包括要輸出的分析結(jié)果的形式（如表格、

圖表等）以及結(jié)果的詳細(xì)程度（如只輸出最優(yōu)解的變化，還是同時(shí)輸出變量取值的變化

等）。

通過以上步驟，可以在ECEL中完成靈敏度分析參數(shù)的設(shè)置，為后續(xù)的線性規(guī)劃和

靈敏度分析做好準(zhǔn)備。這些參數(shù)的設(shè)置將直接影響到分析的準(zhǔn)確性和全面性，因此需要

仔細(xì)考慮和設(shè)置。

4.3.2進(jìn)行靈敏度分析

在進(jìn)行靈敏度分析時(shí)，我們首先需要定義一個(gè)敏感變量，該變量的變化將對(duì)原問題

的最優(yōu)解產(chǎn)生顯著影響。通常，選擇的目標(biāo)函數(shù)中的某個(gè)系數(shù)項(xiàng)作為敏感變量。然后，

通過改變這個(gè)敏感變量的值，觀察原問題最優(yōu)解的變化情況，以此來評(píng)估該系數(shù)項(xiàng)對(duì)優(yōu)

化目標(biāo)的影響。

L確定敏感變量：根據(jù)實(shí)際需求和問題特性，選取一個(gè)或多個(gè)可能引起優(yōu)化目標(biāo)變

化的關(guān)鍵因素作為敏感變量。

2.設(shè)定變化范圍：對(duì)于選定的敏感變量，需要確定其取值范圍。這一步驟包括明確

敏感變量如何影響優(yōu)化目標(biāo)，并決定在這個(gè)范圍內(nèi)如何變化。

3.計(jì)算敏感度矩陣：基于敏感變量的變化范圍，構(gòu)建敏感度矩陣。此矩陣用于表示

當(dāng)敏感變量從初始值變化到任意可能值時(shí)，而優(yōu)化目標(biāo)的影響程度。

4.繪制圖形展示：利用圖表工具（如Excel、MATLAB等），繪制出敏感度矩陣與原

始問題最優(yōu)解之間的關(guān)系圖。這種圖形可以幫助直觀地理解不同參數(shù)變化對(duì)最終

結(jié)果的影響。

5.解釋分析結(jié)果：根據(jù)圖形分析的結(jié)果，對(duì)敏感變量及其變化范圍給出合理的解釋。

同時(shí)，結(jié)合實(shí)際情況和專業(yè)知識(shí)，判斷哪些敏感變量的變動(dòng)可能導(dǎo)致顯著的優(yōu)化

效果改進(jìn)或惡化。

6.制定調(diào)整策略：基于上述分析結(jié)果，提出相應(yīng)的調(diào)整建議。例如，在某些情況下,

可以通過調(diào)整敏感變量的值來改善優(yōu)化效果；而在其他情況下，則需考慮是否繼

續(xù)維持當(dāng)前方案不變。

通過以上步驟，可以有效地進(jìn)行靈敏度分析，為線性規(guī)劃模型的優(yōu)化提供有價(jià)值的

決策支持。

4.3.3分析靈敏度結(jié)果

在“4.3.3分析靈敏度結(jié)果”這一部分，我們將深入探討線性規(guī)劃模型的靈敏度分

析結(jié)果。首先，我們會(huì)展示不同變量（如價(jià)格、銷量、成本等）變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)（如利

潤、成本最小化等）的影響程度。通過圖表和數(shù)值計(jì)算，我們可以直觀地看到這些變化

如何影響模型的關(guān)鍵指標(biāo)。

接下來，我們將分析各個(gè)變量之間的相互作用對(duì)模型結(jié)果的影響。這包括分析一個(gè)

變量的變化如何影響其他變量，以及這些相互關(guān)系如何共同決定模型的最優(yōu)解。例如，

我們可能會(huì)發(fā)現(xiàn)某個(gè)產(chǎn)品的價(jià)格上漲會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)產(chǎn)品銷量的下降，從而影響整體的利

潤水平。

此外，我們還將評(píng)估約束條件的敏感性。約束條件是限制模型可行域的重要因素，

分析這些條件的變化如何影響模型的解。例如，生產(chǎn)能力的限制可能會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解的變

化，或者在資源有限的情況下，資源的稀缺性可能會(huì)成為限制因素。

我們將總結(jié)靈敏度分析的主要發(fā)現(xiàn)，并討論這些發(fā)現(xiàn)對(duì)模型應(yīng)用和決策制定的意義。

通過理解模型的靈敏度，我們可以更好地預(yù)測和應(yīng)對(duì)市場變化，優(yōu)化資源配置，提高決

策的準(zhǔn)確性和可靠性。

ECEL求解線性規(guī)劃和靈敏度分析(2)

1.內(nèi)容概覽

本文檔旨在詳細(xì)介紹ECEL(Excel)在求解線性規(guī)劃問題中的應(yīng)用及其靈敏度分析

過程。首先，我們將簡要介紹線性規(guī)劃的基本概念和ECEL在解決此類問題中的優(yōu)勢。

隨后，文章將逐步引導(dǎo)讀者通過ECEL軟件建立線性規(guī)劃模型，包括目標(biāo)函數(shù)和約束條

件的設(shè)置。接著，我們將深入探討如何使用ECEL求解器找到最優(yōu)解，并對(duì)解的敏感度

進(jìn)行詳細(xì)分析，包括參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響、約束松弛度的分析以及目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的

靈敏度。本文還將提供實(shí)際案例，幫助讀者更好地理解和應(yīng)用ECEL進(jìn)行線性規(guī)劃求解

和靈敏度分析。

1.1線性規(guī)劃概述

線性規(guī)劃，也稱為單純形法，是一種優(yōu)化技術(shù)，用于解決多目標(biāo)或單目標(biāo)的最優(yōu)化

問題。在數(shù)學(xué)上，線性規(guī)劃問題可以表示為一個(gè)線性不等式或等式的集合，這些不等式

和等式描述了變量之間的關(guān)系。線性規(guī)劃的目標(biāo)是找到一組解，使得這些關(guān)系得到滿足。

線性規(guī)劃的基本原理是利用線性代數(shù)的方法來求解最優(yōu)化問題。具體來說，它使用

一種算法，即單純形法，來尋找最優(yōu)解。這個(gè)算法基于以下兩個(gè)關(guān)鍵概念：

?可行域：這是由所有可能的解構(gòu)成的區(qū)域。對(duì)于線性規(guī)劃問題，可行域是一個(gè)由

所有滿足約束條件的變量值所定義的平面區(qū)域。

?基變量：在可行域中，那些不依賴于其他變量的變量被稱為基變量。在單純形法

中，基變量的值在整個(gè)迭代過程中保持不變。

在實(shí)際應(yīng)用中，線性規(guī)劃通常涉及多個(gè)目標(biāo)函數(shù)，每個(gè)目標(biāo)函數(shù)都與一組決策變量

相關(guān)。例如，一個(gè)工廠的生產(chǎn)問題可能包括生產(chǎn)數(shù)量、生產(chǎn)成本和交貨時(shí)間等多個(gè)目標(biāo)。

通過線性規(guī)劃，我們可以確定如何分配資源以滿足所有目標(biāo)的要求，同時(shí)確保最大化利

潤或最小化成本。

線性規(guī)劃的應(yīng)用非常廣泛，包括但不限于經(jīng)濟(jì)管理、工程優(yōu)化、運(yùn)輸問題、資源分

配等領(lǐng)域。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，線性規(guī)劃的計(jì)算效率得到了顯著提高，這使得它在

解決實(shí)際問題時(shí)變得更加實(shí)用和有效。

1.2靈敏度分析簡介

靈敏度分析，作為線性規(guī)劃中的一個(gè)重要組成部分，主要用于探討線性規(guī)劃模型中

參數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解的影響。這種分析方法不僅可以幫助我們理解優(yōu)化結(jié)果的穩(wěn)定性，

還能指導(dǎo)次策者在面對(duì)不確定性時(shí)做出更加穩(wěn)健的決定。在線性規(guī)劃中，系數(shù)〔如目標(biāo)

函數(shù)系數(shù)、約束條件系數(shù)〕的小幅變動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解發(fā)生變化，而靈敏度分析正是

為了量化這些變化并確定它們對(duì)最優(yōu)解的具體影響。

具體來說，靈敏度分析可以回答如下幾類問題：如果目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生改變，當(dāng)

前的最優(yōu)解會(huì)如何變化？約束條件的右端項(xiàng)值增加或減少，對(duì)最優(yōu)解有何影響？哪些約

束是緊約束（即起作用的約束），它們的變動(dòng)對(duì)最優(yōu)解的影響程度乂是怎樣？通過解答

這些問題，靈敏度分析為模型的進(jìn)一步優(yōu)化提供了依據(jù)，并且有助于提高決策過程的透

明度和可靠性。

1.3ECEL求解線性規(guī)劃與靈敏度分析的意義

在決策過程中，線性規(guī)劃和靈敏度分析是極其重要的工具。ECEL作為一種強(qiáng)大的

電子計(jì)算工具，在求解線性規(guī)劃和靈敏度分析方面的應(yīng)用顯得尤為關(guān)鍵。其主要意義體

現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先，通過ECEL求解線性規(guī)劃問題，可以大大提高決策效率和準(zhǔn)確性。線性規(guī)劃

作為一種數(shù)學(xué)優(yōu)化方法，旨在尋找一組變量的最優(yōu)值（最大或最?。@些變量受到一

組線性約束的限制。在現(xiàn)實(shí)世界中的許多問題，如資源分配、生產(chǎn)規(guī)劃等，都可以通過

線性規(guī)劃來建模和解決。ECEL能夠幫助我們快速準(zhǔn)確地解決這些問題，為決策者提供

可靠的參考依據(jù)。

其次，靈敏度分析是評(píng)估模型參數(shù)變化對(duì)優(yōu)化結(jié)果影響程度的重要工具。通過ECEL

進(jìn)行靈敏度分析，我們可以了解哪些參數(shù)對(duì)結(jié)果影響較大，哪些參數(shù)對(duì)結(jié)果影響較小。

這對(duì)于決策者來說非常有價(jià)值，因?yàn)樗麄兛梢愿鶕?jù)這些信息來確定哪些因素需要重點(diǎn)關(guān)

注和精確控制，以及如何調(diào)整模型以更好地適應(yīng)實(shí)際情況。

此外，ECEL的求解功能和靈敏度分析功能還可以幫助我們進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析和預(yù)測。

通過模擬不同參數(shù)組合下的結(jié)果，我們可以預(yù)測可能出現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)情況，從而制定相應(yīng)的

應(yīng)對(duì)策略。這對(duì)于企業(yè)的戰(zhàn)略規(guī)劃、風(fēng)險(xiǎn)管理以及決策優(yōu)化都具有重要意義。

ECEL求解線性規(guī)劃和靈敏度分析不僅提高了決黃效率和準(zhǔn)確性，還幫助我們更好

地理解模型參數(shù)與結(jié)果之間的關(guān)系，進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析和預(yù)測。因此，掌握和運(yùn)用ECEL在

求解線性規(guī)劃和靈敏度分析方面的功能，對(duì)于決策者來說是一項(xiàng)重要的技能和能力。

2.線性規(guī)劃基礎(chǔ)

在深入探討如何使用Excel進(jìn)行線性規(guī)劃（LinearProgramming,簡稱LP）問題

時(shí)，首先需要了解一些基本概念。線性規(guī)劃是一種優(yōu)化方法，旨在找到一組變量的最大

值或最小值，使得這些變量滿足一系列線性約束條件，并且目標(biāo)函數(shù)也必須是線性的。

（1）約束條件與目標(biāo)函數(shù)

線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)通常表示為：

[Maximize/MinimizccTx\

其中（。）是一個(gè)向量，是決策變量向量，而（cG）表示目標(biāo)函數(shù)的值，它是一個(gè)線

性組合。

線性規(guī)劃的問題可以被描述為尋找最優(yōu)解，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值，同時(shí)

滿足一系列的線性不等式或等式約束條件：

[AxW[Ax=6\[x。

這里，Gl）是系數(shù)矩陣，S）是右側(cè)的常數(shù)向量，（X）是決策變量向量，且所有變量都

非負(fù)。

（2）對(duì)偶問題

為了確保線性規(guī)劃模型的對(duì)稱性和可解析性，可以引入對(duì)偶問題。對(duì)偶問題是原始

問題的一個(gè)輔助問題，其目標(biāo)函數(shù)與原始問題的目標(biāo)函數(shù)相反，但其他部分保持不變。

如果原問題存在可行解，則對(duì)偶問題也有可行解；反之亦然。通過求解對(duì)偶問題，我們

可以在一定程度上驗(yàn)證原始問題的可行性。

（3）運(yùn)算工具

在實(shí)際操作中，利用Excel中的內(nèi)置功能來解決線性規(guī)劃問題非常方便。以下是一

些常用的功能及其步驟:

?單元格輸入：將決策變量、系數(shù)矩陣、目標(biāo)函數(shù)以及約束條件輸入到相應(yīng)的單元

格中。

?公式應(yīng)用：使用Excel提供的SUMPRODUCT函數(shù)來計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，或者使用

MIN/MAX函數(shù)來確定最大化或最小化的目標(biāo)。

?求解器：利用Excel的Solver工具來進(jìn)行線性規(guī)劃問題的求解。選擇適當(dāng)?shù)慕?/p>

法類型（如“標(biāo)準(zhǔn)型”、“松弛型”），并設(shè)置目標(biāo)和約束條件后，點(diǎn)擊“求解二

通過上述步驟，您可以有效地利用Excel來進(jìn)行線性規(guī)劃問題的求解及敏感性分析。

敏感性分析是指考察不同參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響程度，這對(duì)于理解模型的穩(wěn)定性至關(guān)

重要。通過調(diào)整系數(shù)或邊界條件，觀察最優(yōu)解的變化，可以幫助識(shí)別哪些因素對(duì)結(jié)果有

顯著影響，從而指導(dǎo)決策制定。

2.1線性規(guī)劃問題定義

線性規(guī)劃（LinearProgramming,簡稱LP）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化方法，用于在給定一

組線性約束條件下，尋找目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。線性規(guī)劃問題通?？梢员硎緸橐?/p>

下形式：

目標(biāo)函數(shù)：最大化（或最小化）Z=clxl+c2x2+.+cnxn

其中，Z是目標(biāo)函數(shù)，cl、c2、cn是系數(shù)向量，xl、x2、xn是決策變量向量。

約束條件：allxl+al2x2+.+alnxnWbl

a21xl+a22x2+.-a2nxnWb2

amlxl+am2x2+.-amnxnWbn

其中，aij是系數(shù)矩陣的元素，bi是常數(shù)向量，xi是決策變量向量。

線性規(guī)劃問題可以進(jìn)一步分為