第三章地震波動方程

現(xiàn)在，我們用前一章提出的應力和應變理論來建立和解在均勻

全空間里彈性波傳播的地震波動方程。這章涉與矢量運算和復數(shù)，附

錄2對一些數(shù)學問題進行了復習。

3.1運動方程(EquationofMotion)

前一章考慮了在靜力平衡和不隨時間變化情況下的應力、應變和

位移場。然而，因為地震波動是速度和加速度隨時間變化的現(xiàn)象，因

此，我們必須考慮動力學效應，為此，我們把牛頓定律()用于連

續(xù)介質(zhì)。

3.1.1一維空間之振動方程式

質(zhì)點面上由于應力差的存在而使質(zhì)點產(chǎn)生振動。如圖「3所示,

考慮一薄棒向x軸延伸，其位移量為u:

dxds

:7(x)a(x-dx)

u

Fig3-1

則其作用力為“應力”X”其所在的質(zhì)點面積”，所以其兩邊的

作用力差為

ds((r(x+tZr)-(T(X))=^(-dxds

dx

慣量(inertia)為

,,d2U

pdxds不

所以得出

............................................................................(3-1)

其中P為密度(density),。為應力(stress)=。

3-1式表示，物體因介質(zhì)中的應力梯度(stressgradient)而

得到加速度。如果P與E為常數(shù)，則3-1式可寫為

d2u1d2u

/一》市

(3-2)

其中c=f

運用分離變量法求解(3-2)式,設u=F(x)T(量，(3-2)式可以變?yōu)?/p>

XT=4-XF

c~

、小c2XffV

lx-------=—=-co

XT

則可得:

考慮歐拉公式:

/—(x+<?r)(x+er)(x-cz)-i-(x-rz)

ii=Aee+Bee+Cec+Dec(3-3)

其中A,B,C,I)為根據(jù)初始條件和邊界條件確定的常數(shù).

考慮到可正可負，方程式的解具有的形式，其中f與g為

波的函數(shù)，以c的波行速度向+x與-x方向傳遞。

我們可以采用如下程序模擬地震波的傳播。平面波在均勻介質(zhì)里沿

方向傳播，剪切波的齊次微分方程可表達為：

d2u介，d2u

這里是位移。對100公里的波長和假定的情況，我們寫出用有限

差分法解這方程的計算機程序。用長度間距，時間間距秒。假定

在(50公里)震源時間函數(shù)的形式為：

2

w50(r)=sin(^r/5)0ViV5秒

用(0公里)的應力自由邊界條件和(100公里)的固定邊界條

件。用有限差分圖解來近似二次導數(shù)：

?2.=%+|-2〃,+〃?]

以4秒的間隔畫出1-33秒的圖。

M=moviein(101);

dx=l;dt=0.l;tlen=3;beta=4;%初始化變量，tlen為震源持續(xù)時間，

beta為波傳播的速度

ul=zeros(101,1);u2=ul;u3=ul;

%ul為前一個時刻的各點的位移，u2為當前時刻的位移，u3為下一個

時刻的位移值，開始均假定為零

t=0;

jj=o；

while(t<=33)%模擬的最長時間為33秒

forii=2:100

rhs=beta"2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-l))/dx"2;%方

程的解

u3(ii)=dt2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii);%對時間求導數(shù)

end

%左邊為自由邊界條件，右邊為固定邊界條件

u3(1)=u3⑵；％左邊為自由邊界條件

u3(101)=0.0;%右邊為固定邊界條件

%左右兩邊為自由邊界條件

%u3(l)=u3⑵；％左邊為自由邊界條件

%u3(101)=u3(100：i;%右邊為自由邊界條件

%左右兩邊為固定邊界條件

%u3(l)=0.0;%左邊為固定邊界條件

%u3(101)=0.0;%右邊為固定邊界條件

if(t<=tlen)

u3(51)=(sin(pi*t/tlen))."21%地震震源時間函數(shù)

end

forii=l:101

ul(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii);%時刻的更新

end

plot(u2);%繪制目前的波形圖

ylim([-1.21.2]);

M(:,jj+D=getframe;%獲得當前的圖像

t=t+dt;%時間延長

end

movie(M)%演示波形傳播

3.L2三維空間之振動方程式

推導三維空間之振動方程式的過程，與上節(jié)中所采用的一維空

間討論方式類似，如圖3-2所表示，先探討在x方向之位移量u:

Fig3-2

在y-z面上的作用力差為：

在x-z面上的作用力差為：

在x-y面上的作用力差為：

慣量為：

pdxdydz^-

得出

............................（3-4）

其中oxx、oyx與ozx分別為stresstensor在xx（x面方向、x

力方向），yx（y面方向、x力方向）與zx（z面方向、x力方向）

方向的分量。注意，在本講義中有關stresstensor的兩個下標

（indexes）之定義，依序為面的方向與力的方向。

將oxx、。yx與。zx與其對應的應變之關系代入3-4式可推導

得出三維空間之振動方程式如下：

............................（3-5a）

其中人與口為常數(shù)，而為Laplacianoperator,代表。

以相同的方法，可以得出在y與z方向的振動方程式，若其位

移量分別為v與w,則其相對應之振動方程式可分別表示如下：

c2v(\d0Er

p-T=U+^)—+AVV+/............................

oroyV

(3-5b)

...............??????........(3-5c)

若以向量形式來統(tǒng)一表示3-5a、b、c式，可改寫如下：

...............(3-6)

其中為位移向量，在X、y與Z方向的位移分量分別為11、V與W。

其中為體力，只有在研究震源時，才考慮該體力。這是構成

許多地震學理論基礎的基本方程，稱之為連續(xù)介質(zhì)方程或運動方程。

體力通常包括重力項和震源項。在正常模型地震學中，重力項

是頻率很低時的一個直要因子，但對所觀測到的典型波長范圍，即

在體波和面波的計算中，通?？杀缓雎浴Ｔ谶@本書后面我們將考慮震

源項。在沒有體力的情況下，有齊次運動方程：

p=(A+f.i)grad(divw)+//V2w(3-7)

在場論中考慮到：

VxVxu=VVu-V2u(3.8)

將其變?yōu)楦Ｓ玫男问剑矗?/p>

V2u=VVu-VxVxu(3.8)

將這個式子代入(3.12)得到：

p-7=(A+/.irot(rotu)

/ii=（2+2//）Wu-//VxVxu

上式?jīng)Q定了在震源區(qū)以外，地震波的傳播。解真實地球模型的上述

方程是地震學的重要部分，這樣的解給出了離震源某一距離的特

定地點預期的地面運動，通常稱為合成地震圖。

3.1.3體波（縱波與橫波）之振動方程式

首先，我們考慮由介質(zhì)伸縮所衍生的質(zhì)點體積應變之振動方程

式。從上節(jié)所描述的單一方向（x、y、z）上之位移量（u、v、w）

所導出的振動方程式，可以進一步地推求體積應變所引發(fā)的振

動方程式，由的基本定義可以很自然的聯(lián)想到分別將3-4a、3-4b

以與3-4c三式分別對x、y與z微分之后再相加，忽略體力，即可

得到下式：

J+2外力6.....................................

dt2p

（3-7）

另外，考慮剪切應變可能產(chǎn)生的振動方程式。若將3-5c式對y

微分、3-5b式對z微分，然后相減，忽略體力可得到下式：

................（3-7）

其中括弧內(nèi)的孚-2項就是質(zhì)點運動繞X軸的扭轉(zhuǎn)角度。

dydz

V

Fig3-3

參考圖3-3,一個質(zhì)點P（y、z）向逆時針方向扭轉(zhuǎn)到P'（y、

z）,扭轉(zhuǎn)角度為3x,若其扭轉(zhuǎn)半徑為r,根據(jù)幾何關系可得到：

y=rcosa,z=rsin（z

其位移形變?yōu)?/p>

v=-rcoxsin。=-zcox

w=rcoxcosa=ycox

將其分別對y與z微分且相加，得出

1（dw

叱=5顯一法J

同理得到和，所以質(zhì)點扭轉(zhuǎn)的運動方程式可寫為：

立￥=巴寸5

etP

-^r=—^2（°y

ap

^^=巴/陽..........................................

說p

（3-8）

3-6式與3-8式可用通式描述如下：

..................................（3-9）

其為典型之波動方程式。根據(jù)

對3-8式而言，，可得出.........（3-10）

對3-6式而言，，可得出.............（3T1）

3-10可視為縱波（亦稱為P波），因其質(zhì)點運動方向與波的傳播

方向相同（如圖3-4）o

Particlemotion

?Ray

質(zhì)點運動方向波傳方向

Fig3-4

1-24視為橫波（亦稱為S波），因3為扭轉(zhuǎn)應變，其質(zhì)點的轉(zhuǎn)動

方向與波的傳播方向成正交。S波依其質(zhì)點振動方向的不同可分為

SV與SH,如圖3-5所示。

SHwave

牛〃SVwave

波傳方向

Fig3-5

綜合以上所得，在完全彈性介質(zhì)中，當其受外力作用時，產(chǎn)生

兩種波相：縱波與橫波。由前節(jié)所述之各彈性系數(shù)的關系，我們可

將3-10式以與3-11式寫為：

—）

其他彈性系數(shù)與速度的關系如下:

.(3-12)

(3-13)

..........................

(3-14)

JLI=/E___=p\/^......................................................................................

,2(1+<T)產(chǎn)2

(3-15)

其中3T3式可化為

..(3-16)

在地函內(nèi)部，大部分的泊松比。接近于1/4。

若。=1/4,則

而且

E=5p^=5￡^

-62

我「52葉_52或

93

〃=嚓二04

若。=1/2,即介質(zhì)為純液體，則

〃、E與均皆為零

2=A*=pVy

地震所產(chǎn)生之彈性波，穿過地球內(nèi)部，藉由彈性波傳播所產(chǎn)生

的速度變化，參考彈性理論以與彈性系數(shù)關系，我們可以探索地球

內(nèi)部的情況。

3.1.4地震波的勢

位移往往可以根據(jù)P波的標量勢和S波的矢

量：

u=V^9+Vx^,▽.0=0(3.25)

那么有:

Vu=S72(p=G(3.

26)

將其代入，得到:

廣。-善。

\7xu=Vx(V^+Vx^)=VxVx^

=W-^-VV(根據(jù)3.13)

=-VV(因為▽?0=0)(3.27)

.dw。八八.cu施、八,dv八

=(--------)x+(-------------)y+(----------)z

dydzdzdxdxdy

將(3.27)代入嗎=

dtp

需=鏟電可得：

▽2%祟=0(3.29)

3.3P波的解由的標量波動方程給出，S波的解由的矢量波

動方程給出。

3.4平面波

式(3.28)和(3.29)具有相同的形式,它們在直角坐標

系可以表示為:

2M包+包+包1

dr-1蘇/2擊2,

我們用分離變量法來尋找形式的解。每個因子是僅僅一個變

量的函數(shù)。由上式可得:

c2d2Xc2d2Yc2d2Z1(FT

---T----T----T=---r

Xdx2Ydy-Zdz2Tdr

這意味著是常數(shù)，令其為可得：

烏+。27=0,Ta/”

dr

同理，對于某常數(shù)，有

駕+k；X=O,XW

dx-

R+《y=o,yoc*“

dy2

空十^Z=0,Zoce±^z

dz~

應注意，，因此解可由三個量，而不是四個量來表示。類

似于一維形式的推導。該方程可以有如下形式的通解：

卜…?+錚卜小+%??+吧、

其中，，令

下面我們看看兒一……%z］的物理意義。令

IcJ

nx+ny+n.z

t——;x-----;-v-----=const=a

c

當t=tl時;

當t=t2時，

由平面解析幾何知識可知第一式為離原點距離為的平面,

第二式為離原點距離為的平面，并且兩平面的法線方向都為。因

此兩平面之間的距離為，為波從tl時刻傳播到t2時刻所傳播的距

離，傳播的速度恰為3這也是為什么我們在波動方程中將其稱之為

速度的原因。

類似地，表示以速度c向-n方向傳播的平面波。

任意函數(shù)都可以寫成簡諧平面波疊加的形式

根據(jù)Fourier疊加原理，可以把屋里上實際存在的平面波動，

以數(shù)學形式分解成抽象的、覆蓋整個頻率范圍的平面波的積分來表

示：

(叫=黑臉也

%J-8(f>

實際問題不考慮-口。

因此通常取為方程的基本解。而為波傳播的方向，由于C

為波的傳播速度，通常稱為慢度矢量。對不同的做Fourior疊加

即可得到任意函數(shù)形式的平面波。

引進平面波的概念很有幫助。平面波是一個位移只在波

的傳播方向上變化，在與波傳播方向相互垂直的方向上，位移為常

數(shù)的波動方程的解。例如，沿軸傳播的波，位移可表達為：

u(xj)=f(r±%)(3.30)

這里是波的速度，是任意函數(shù)(矢量函數(shù)需表達

出波的偏振)，這波沿方向傳播。位移不隨變化。在方向上，

波無限擴展。如果是離散的脈沖，那么假定有以平面波陣面?zhèn)鞑?/p>

的位移脈沖形式。更普遍地說，在位置矢量處，平面波在單位矢量

方向傳播的位移可表達為：

u(x,r)=f(r-sx/c)(3.31)

=f(z-sx)(3.32)

這里是慢度矢量，它的值是速度的倒數(shù)。

由于地震能量通常由局部的震源輻射出來，地震波陣

面總有某種程度的彎曲。然而，在離震源足夠大的距離，波陣面平坦

到足以使平面波的近似在局部上是正確的。因此，許多解地震波動方

程的方法總是把整個解表達為不同傳播角度的平面波的和。往往通過

變換到頻率域，從方程中去掉與時間的依賴關系。在這種情況下，

可以把特定角頻率的位移表達為：

u(x,r)=A?)/dix)(3.33)

=A3)/—(3.34)

這里叫做波數(shù)矢量。在這本書中，我們將用復數(shù)來表示諧波。其詳

細情況在附錄2中作了復習。把諧波稱為單色的平面波，有時也把它

叫做調(diào)和的或穩(wěn)態(tài)平面波解。用來描述這樣的波的其他參數(shù)是波數(shù)

,頻率

,周期和波長。波數(shù)為單位長度內(nèi)波的震動次數(shù)。

在波的傳播過程中，某一振動狀態(tài)(周相)在單位時間內(nèi)傳播

的距離為波速3因此波速又叫做相速。應注意介質(zhì)中各質(zhì)點的振動

速度和波的傳播速度c是兩個完全不同的概念。振動速度由震源確定,

它是周期性變化的，而波速的大小只與介質(zhì)性質(zhì)有關。

將不同的諧波參數(shù)歸納于表3.1。

表3.1諧波參數(shù)

角頻率(0co=2疔==ck

CD\C

頻率f/c=----=-=—

2萬7人

丁124八

周期T

f(OC

八,0

速度CC=—=fA=—

Tk

c12乃

波長AA=—=cT=——

fk

波數(shù)kk=2再也

CAC

3.4〃波和S波的偏振

考慮沿方向傳播的P波，根據(jù)(3.28)式有:

2

adxx(p=d?(p(3.35)

可以把(3.35)式的解寫成:

°=供)(，士力)(3.36)

這里減號相應于沿方向傳播，加號相應于沿方向傳播。因為，

故有：

勾=3"

uy=0(3.37)

u.=0

注意對沿方向傳播的平面波，在和方向沒有變化，所以空間

導數(shù)和為零。對P波僅在沿軸波的傳播方向上有位移。這樣的

波叫做縱波。而且因為，運動是不旋轉(zhuǎn)的，或“無旋”的。由于P

波使介質(zhì)體積發(fā)生變化，所以P波也叫“壓縮”波或“膨脹”波。然

而，要注意的是P波包括剪切和壓縮，這是為什么P波速度對體積

模量和剪切模量反應都靈敏的原因。實際的P波諧振運動可以用圖

3.2來說明。

圖3.2沿頁面水平傳播的諧振平面〃波（上面）和S波（下面）的

位移。

S波純剪切,沒有體積變化。而P波包括材料體積的變化和剪切

（形狀變化）。相對于地球?qū)嶋H的應變，這里應變被放大。

現(xiàn)在考慮沿正方向傳播的S波，矢量勢為:

“=疥+疥+也疥(3.38)

位移為：

Ux=(Vxip)v=d.i//y-dyi//z=0

Uy=(VXip)v=-d:y/x=(3.39)

%=(▽xip)；=「。必=一?%

這里我們再用，即給出：

1|=〃匕，一3r匕W（3.40）

運動在和方向，垂直于傳播方向。S波的實際運動往往可以

分成兩個分量：在含傳播矢量的垂直面里的運動（波）和取向與這

個面垂直的水平運動（SH波）。因為，運動是純剪切的，沒有任何

的體積變化（因此叫做剪切波）。在垂直方向偏振的剪切諧波（波）

的質(zhì)點運動如圖3.2所示。

3.5球面波

如果我們假定球?qū)ΨQ，P波勢中的標量波動方程（3.28）就可能有另

外的解。在球坐標系里，拉普拉斯方程為：

=（3.41）

r~cr\_or

因為球?qū)ΨQ，這里去掉角的偏導數(shù)，由表達式（3.28）,即得到：

Jar2￡^1_1￡^=0（3.42）

廠打[_dr]a~dt-

在點以外，方程的解可表達為：

如（3.43）

r

注意到除了因子外，這與平面波方程（3.30）是相同的。分別用+

和-號表不向

內(nèi)和向外傳播的波。因為這個表達式通常用來模擬從點源輻射的波,

所以在正常情況下，項表示波的振幅隨距離衰減的幾何擴散因子,

在第6章將進一步的探

討。

在時，（3.43）不是方程（3.42）的正確的解。然而，這表明（例

如Aki和Richards,4.1節(jié)），（3.43）可能是以下非齊次方程的解:

祟Z昉⑺加）(3.44)

這里函數(shù)在以外的任何地方都為零，它的體積積分為1。因子

表示在震源時間函數(shù)。在第9章討論震源理論時，我們將回到這個方

程上來。

平面波的反射和折射

地殼與地球內(nèi)部是成層結構，內(nèi)部有不少分界面。地表也可

看作一個界面，震源在各向同性的均勻介質(zhì)中產(chǎn)生的地震波波陣面

是成球形的一層一層向外傳播，稱為球面波。因此，嚴格來講，我們

應該討論球面波遇到分界面時的情況。但當距離震源足夠遠時，也就

是說震源到接收點的距離比波長大得多時，作為一種近似，可討論

平面波在分界面上的行為。同時當（為分界面的曲率半徑），也

可以將分界面看作平面，這樣可使討論大大簡化而不影響對許多現(xiàn)

象本質(zhì)的揭示。同時，球面波在理論上可以看作是許多不同方向的均

勻或不均勻的平面波的疊加，因而先弄清了平面波在分界面上的行

為，也比較容易討論球面波在分界面的行為。

P波、SV波

設平面波（指均勻的平面波）的傳播方向在xz平面內(nèi)，傳播方

向就是波陣面的法線方向，波的位移場可以表示為：

U=up++VX（|）（1）

其中滿足壓縮波的波動方程，滿足剪切波的波動方程.

由于均勻平面波波陣面上的為常數(shù)，而這里平面波傳播方向

在XZ平面內(nèi)，因此垂直于XZ平面的直線上的各點必在同一波陣面內(nèi),

也就是：。

P波產(chǎn)生的位移為:

P波產(chǎn)生的應力為

-Aw.(d2(pd2(p\/d2(p

（。二）,=尤。+2〃6口=4羨+—+2〃一=Z—r+—r+2;/—V

dz)dzIdx1dz"J3z~

2

以）,，=2?端+豹0d(p

dxdz

（%）=2“小錯+朗dv

=Lt——=0

dz

SV波的位移

%

%=—西—17=一下

z

-（〃）=等一尊二0

OZOX

%=（〃）=空—蚣=空

，J'dxdydx

SV波產(chǎn)生的應力為：

〃么

D=M+2?==2嗖:=29/z——

dxdz

/\_/aOUocw、(e2凈如、

（。）=2-愕+用

ldz2dx2)

/\、（dv3卬1dv

QJ=2［把_、.=〃—+—n

\"4l.、尸（dzdy）dz

將上面兩式代入（1）式得:

d(p訥

u=u+u=----------

dxdz

初d(/f.

v=v?+v=————

/'dzdx

d(p

卬=W+=——+--

pnsdzdx

分析界面條件，界面應力為:

..=20+2心心+當+2心=2VV+2

\dxdzd二z一

(du(d2(p+a*6M.

一+一=〃

(Hzdx)dxdzdx2dz2

c(dvdwdv

12侔小〃后+利

界面條件為界面兩邊應力相等，位移連續(xù)，即:

M=?',V=V*,M'=W

分析位移場在y方向的分量，也就是v全部為橫波場的分量。

再由界面應力條件看，v只出現(xiàn)的表達式中，而u,w只出現(xiàn)在的

表達式中。因此，SH波和P-SV波產(chǎn)生的波場是分離的。

地球表面是一個特殊的分界面，它將無限介質(zhì)劃分為兩個半空

間，地面以上空氣介質(zhì)，其密度與地面以下的巖石或海平面以下的

海水層相比可以忽略。地球表面可以看成是一個彈性半空間表面，表

面下面視為理想彈性介質(zhì)，表面上面為空氣，這種界面稱為自由界

面，自由界面上的應力作用為零。本節(jié)中將介紹彈性波在自由表面上

的反射。

P波在自由界面的反射

如圖所示，取xoy平面為自由表面，設有一P波自下部介質(zhì)入射

到自由表面上，由于自由表面以上不存在介質(zhì)，所以當波遇到自由

表面時，只可能折回到原來的介質(zhì)，而不會透過它，即只存在反射

被而不存在透射波。當P波入射到自由表面上時，為滿足自由表面處

的邊界條件，反射波中會同時產(chǎn)生P波和SV波兩種成分，此時，SV

波稱為轉(zhuǎn)換波。但是，由于SH波的振動方向與P被和SV波的振動方

向是相互獨立的，所以反射波中不會產(chǎn)生SH波。

設入射P波為平面簡諧波，入射面為xOz平面，法線為z軸，入

射P波的入射角為，反射SV波的反射角為，由圖中各波的傳播方

向與坐標軸方向的關系，它們的波函數(shù)可以寫為：

這里只考慮分量，這是由于只有產(chǎn)生xoz平面的振動。

h="sin=^sin￡sinz；

式中，°°P

；(o?(1)

K,=—CGSId，k.=—COSJ,k.=——cos人

-aap

由邊界條件可知，在z=0處，方程為的線性組合(其中由于

z=0,指數(shù)因子中的z因子全為零)。所以必有，因此必有：

sinidsinidsini；

aap

這就是Snell定律，回憶一下兒何光學，可見上式與幾何光學中

的折射定律和反射定律完全一致，這是由于它們在本質(zhì)上(波動性)

有相同之處。而折射反射定律正是反映了物質(zhì)的波動相關的一種規(guī)

律。在光學中是從光學實驗或惠更斯原理得到了折射反射定律，而這

里我們從波動方程和邊界條件出發(fā)也得到了它。

我們在以后的推導中令上式為常數(shù)Po

則波函數(shù)可以寫為：

價=4?Ia)9…Ia?=Be(夕)

則：P波產(chǎn)生的位移為：

xdx

%?)="

p'p/：dz

P波產(chǎn)生的應力為

①)=(署+署］+2〃?=(療”2_療-2"絲J(P

p(drdz)oz~IaJa

，fYsin2i.cos2i.y_cos2/,|cos2/.

=-co~(AA-1+—d+2/Z-1=-co-cp—+24-f

(a-a-)a-\4-J

222

24+2//cosid4-2//sin(z-2/zsinid

“①a1

=-(cr(p"+=-dr(pp-2〃s—=-co2(pp(\-2/72/92)

—ccLva一

(CF.J=2侔"=//(—+—1=2〃=-2/ji(op—=-Ip^icop—

SV波的位移

SV波產(chǎn)生的應力為:

(%)"=柏+2侔==2^—=2〃—=-Ipiicoj)=-2PBw—21

dzcxozozdz

2

(\9(6〃3叫(6203Ml2Jcos/；jjp-V

=療P(3-S#-絲'),=蘇P(1-242P2/、.

IPPP)

根據(jù)邊界條件，可得:

對于正應力：

%Lo=(q),+(%)“.=-P(I-2儼p2好&+心-2。儼而PU=U

dz

對于剪應力：

外Lo=(%),+0^)皿=一2〃%勿(詈+詈)+夕(1一2夕/么二°

將入射波反射波的勢的表達式代入可得：

p(l-2U〃為A+4)+2〃2p等A=0

232P￡2^/(A-A2I+P(1-262P2)8=0

a

由第二個式子可得：，代入第一式得到折射系數(shù)：

443回空M-2夕p?)2

4_________________

X4"/但'區(qū)入伍2夕”丫

反射系數(shù)為：

B-4"〃警（「2夕/）

由于、，代入上面的式子可得到:

A

p2sin2isin21-a2cos22i

Ads

P~sin2isin2（+a2cos22/

8dv

2sin，cos2Z

--Ip2i/v

A2

-2sin2idsin2is+a2cos2is

位移位的振幅并不表示質(zhì)點的振幅，不具有實際物理意義，下

面討論作為位移振幅比的反射系數(shù)。

對于穩(wěn)態(tài)傳播的P波，位移振幅為：；對于穩(wěn)態(tài)傳播的S波振

幅為：。我們可以舉例說明上面的式子成立，如對于上面所表示的

入射波:

〃產(chǎn)g嗯=5

),=。

J\===T.①—cos'上、6

oza

其合成振幅為:

對于上面提到的SV波:

3玄.cosi

嚕嘿——=-ico-----

dzp外

即V池地..

%=(")=—;----------3=『=一"也

dxdydx

其合成振幅為:

由此可知，入射P波在做自由界面上的反射P波位移反射系數(shù)與

勢反射系數(shù)相同，而反射SV波的反射系數(shù)為勢反射系數(shù)的倍，即

122

a2_psin2idsin2ix-acos2(

222

4psin2i(lsin2is+tzcos2zv

b__2a/7sin2/zcos2z5

222

4psin2idsin2is+acos2/v

假定SV波入射到自由表面上，其勢振幅為A,入射角為，反射

SV波的勢振幅為B,由反射定律可知其反射角為，反射P波的勢振

幅為C,反射角為，則根據(jù)前面P波和SV波產(chǎn)生的勢的定義式和

表面應力條件可得：

-2p儼+夕(1—2"憂》f回+心=0

=一夕(1一2夕2"2W(P-2P優(yōu)i(D[[?+=0

I6zoz)

從而得到：

p^-2p2p2\A+B)-2p/32p^C=0

2〃/貴(A-8)”(1-2夕p?上=0

由第一個式子可得：，代入第二式得到折射系數(shù):

將其帶入上面的式子得

由于、，代入上面的式子可得到:

22

Bsin2ipsin2(-acos2is

122

Apsin2ipsin2/v+acos2Zv

C_2a2sin2idcos2/v

122

Apsin2ipsin2is+tzcos2/v

考慮勢振幅和位移振幅之間的關系，可得

122

psin2ipsin2/^-acos2zv

22

ftsinsin2i、+a?cos2zv

2rz/?sincos2/5

22

夕2sin2sin2/v+(2cos2]

SH波在自由界面上的反射

設入射SH波的位移為：

/^（xsinii-zcasi,y-iaN

S=Hep

反射SH波位移分別表示為：

i\4-zcos/\

S'=H'efi

邊條件為：

,a（5+s1）

產(chǎn)a=°n

dz

將其簡化為：，即在自由表面SH波的反射系數(shù)為1.

從前面的討論可以看出，當一列P波入射到自由表面時，會產(chǎn)生

一列反射P波和一列反射SV波；同樣，如果一列SV波向自由表面入

射，會產(chǎn)生一列反射SV波和一列反射P波。或者說，在一般反射問

題中半空間內(nèi)至少存在三列簡諧平面波（純SH波僅反射SH波）。如

果我們令式中的分子為零，則轉(zhuǎn)換波的振幅為零，半空間中只存

在一列反射波。即P波入射只反射SV波，SV波只反射P波，這種現(xiàn)

象稱為偏振交換。

自由界面上的位移，視出射角

地面測量得到的是地面的實際位移，也就是自由表面的位移。入

射波射到自由表面后由于產(chǎn)生了反射波，因而自由表面上的位移并

不等于入射波的位移，這是十分重要的。對于P波我們稱自由表面位

移向量與界面法線的夾角為視入射角。稱自由表面上的位移向量與

地面之間的夾角為視出射角。當P波入射時，有

將P波入射反射為P波和SV波的勢函數(shù)，并采用反射系數(shù)可得

因此，由地震記錄可得到P波入射到地而后地而位移的北南、東西與垂直分量，求

北南、東西分量的平方利再開方得到地面的水平分量，而水平分量和垂直分量的比值就是

的一半即為SV波的反射角，根據(jù)折射定律即可求得，即真入射角：

或.

a9(T+5

cose,,=—cos---------

''p2

當SV波入射到自由表面時，其真入射角為，仿效這個式

子，我們定義這種情況下的視入射角為，則

B)、+cosiC

-iccxpHAaA.

tan6=上=叫+%+%=

li必i+3〃「[cos]2c

-icixp

akAJ

2夕sin2i,sin，cost.

2

asin/vs2co%

2a2