《概率統(tǒng)計(jì)——專題復(fù)習(xí)》課堂實(shí)錄

一、導(dǎo)入

師：統(tǒng)計(jì)與概率是高中課標(biāo)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。由于它和實(shí)際生活聯(lián)系緊密，同

時(shí)又是大學(xué)概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，因此起到了承上啟下的作用；課標(biāo)課程強(qiáng)調(diào)數(shù)

學(xué)的基礎(chǔ)性、現(xiàn)實(shí)性，重視素質(zhì)教育與高考的兼容性，統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容又恰好是

一個(gè)很好的載體，從高考大綱以及歷年的高考題分析概率統(tǒng)計(jì)是高考的一大熱點(diǎn)，

含分值高。

二、教學(xué)過程：

師：在上一節(jié)課我們已經(jīng)探討了在新課標(biāo)模式下，統(tǒng)計(jì)和概率結(jié)合的問題的常見考

察方式，其問題難度一般不大，但是，如果想穩(wěn)穩(wěn)把這部分分?jǐn)?shù)拿到手，還需要我

們進(jìn)一步進(jìn)行研究，這節(jié)課，我們就一同來探討概率統(tǒng)計(jì)中的難點(diǎn)和應(yīng)對(duì)方法。

（打出本課標(biāo)題）

下面，我們先來看一個(gè)高考真題。

（投影展示問題）

例1.（湖南省十三校聯(lián)考二模）編號(hào)分別為4,力2,…，A|6的16名校籃球運(yùn)動(dòng)員

在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下：

運(yùn)動(dòng)員編號(hào)442AA,444A

得分1535212825361834

運(yùn)動(dòng)員編號(hào)4力/〃AnA12力”力

得分1726253322123138

（1）將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格:

[10,20)[

區(qū)間[20,3C)[30,40]

來源

人數(shù)

（2）從得分在區(qū)間［20,30）內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，①用運(yùn)動(dòng)員編號(hào)列出所有

可能的抽取結(jié)果；②求這2人得分之和大于50的概率.

（給出時(shí)間由學(xué)生完成，學(xué)生1上臺(tái)進(jìn)行板演。一段時(shí)間后，學(xué)生1寫完了第一問

和第二問中的用運(yùn)動(dòng)員編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果，但出現(xiàn)了明顯的錯(cuò)誤，其解

答如下）

解：⑴4,6,6；

（2）西分在區(qū)間［20,30）內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為人,AoA*AsA”,A”從中隨機(jī)抽

取2人,所有可能的抽取結(jié)果有：{A3,Aj,{A3,A5},{A3,A10},{A3,An},{A3,

A13},{A.pA5},{ApAio），{A.”An},{A|,AJ3）rA，A10}，{A5,An）,{As，A13}...

（臺(tái)下學(xué)生已經(jīng)完成了整個(gè)問題。）

師：我們來看一下學(xué)生1的解答是否正確。

生：第一問正確，第二問中列出的所有結(jié)果，漏解。

師：我們請(qǐng)一位同學(xué)來說明一下錯(cuò)誤。

學(xué)生2：所有結(jié)果還包括{力必,{A10,,{Au,與3},。

師：我們請(qǐng)第一位同學(xué)，你自己來分析一下自己的錯(cuò)誤。

學(xué)生1：沒有考慮晚所有的情況。

師：所以在列舉所有情況時(shí)要注意“不重不漏”，正確的結(jié)果應(yīng)為（請(qǐng)同學(xué)們參考）

（在投影上放出完整答案）

1.解：（1）4,6,6；

（2）①得分在區(qū)間［20,30）內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為兒，兒，兒，4°,Au,A13O從中隨機(jī)抽

取2人，所有可能的抽取結(jié)果有:{兒，浦，{出力J，{?心},{4，/〃}，{4，

4J，{4〃力$}，{AtfAN},{AAn},{A/fA1si,{A"4。}，{4，力〃}，{4s,力J，{A/or

A//}f{力Aisif{A/ff［以},

共15種；

②“從得分在區(qū)間［20,30）內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，這2人得分之和大于

50”（記為事件事的所有可能結(jié)果有:{兒，甩,{4”及},{4，{〃},{4,五},

51

{力Ajj}f共5種；所以0（8=/=鼻.

師：我們?cè)賮矸此家幌卤绢}，本題中都考到了哪些概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)？

生：古典概型，相互獨(dú)立，可以與莖葉圖相關(guān)聯(lián)。

師：求古典概型的標(biāo)準(zhǔn)步驟是什么？哪個(gè)環(huán)節(jié)最關(guān)鍵？

生：求概率的環(huán)節(jié)，要注意基本事件總數(shù)以及所要求滿足事件的次數(shù)。

師：你認(rèn)為，本題的難點(diǎn)在哪里？

某生a：我覺得是列舉基本事件事件的時(shí)候。

師：對(duì)于列舉總數(shù)是，我們只要細(xì)心耐心就容易克服，所以本題的難點(diǎn)還是在于列

舉基本事件和概率的求解。

師；好，接著我們?cè)賮砜聪乱坏李}

(投影展示問題)

例2.(湖南懷化市第二次?？?在中學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中，分“優(yōu)

秀、合格、尚待改進(jìn)”三個(gè)等級(jí)進(jìn)行學(xué)生互評(píng).某校高一年級(jí)有男生500人，女生

400人，為了了解性別對(duì)該維度測(cè)評(píng)結(jié)果的影響，采用分層抽樣方法從高一年級(jí)抽

取了45名學(xué)生的測(cè)評(píng)結(jié)果，并作出頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表如下：

表1：男生表2：女生

等級(jí)優(yōu)秀合格尚待改進(jìn)等級(jí)優(yōu)秀合格尚待改進(jìn)

頻數(shù)15X5頻數(shù)153y

(I)從表2的非優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)選取2人交談，求

男生女生總計(jì)

所選2人中恰有1人測(cè)評(píng)等級(jí)為合格的概率；傳壽

(II)由表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫右邊2x2列聯(lián)表，并判斷非優(yōu)秀

總計(jì)

是否有90%的把握認(rèn)為“測(cè)評(píng)結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

n[ad-bc^

參考數(shù)據(jù)與公式：K2=,其中〃=a+〃+c+d

(a+/?)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2>k.)0.100.050.01

%2.7063.8416.635

(學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)短的思考以及討論后，老師給出了思路和答案)

2.解：(I)設(shè)從高一年級(jí)男生中抽出〃2人，則」上=—-—，相=25,

50()500+40()

.?.x=25-20=5,y=20-18=2

表2中非優(yōu)秀學(xué)生共5人，記測(cè)評(píng)等級(jí)為合格的3人為尚待改進(jìn)的2人

為則從這5人中任選2人的所有可能結(jié)果為：(心切，(〃,c),(〃,c),(4或，

(a,A),(b,A),(b,B),(c,A),(c,3)共10種

設(shè)事件C表示“從表二的非優(yōu)秀學(xué)生5人中隨機(jī)選取2人，恰有1人測(cè)評(píng)等級(jí)為合

格“，則。的結(jié)果為：共6種

男生女生總計(jì)

Ap(c)=-=-f故所求概率為3優(yōu)秀151530

1055

非優(yōu)秀10515

(Ji)v1-0.9=0.1,P(/C2>2.706)=0.10

總計(jì)252045

公焉m

所以沒有90%的把握認(rèn)為“測(cè)評(píng)結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”

師：同學(xué)們，做完木題后，談一談你們對(duì)木題的看法？

某生k：我覺得要加強(qiáng)計(jì)算，要認(rèn)真審清楚題，理解對(duì)題意。

某生1：我覺得要首先分析清隨機(jī)變量是怎么構(gòu)成的，并且用分類思想把每個(gè)取值

的情況都分析全面，還要選好概率的類型，是古典概型還是相互獨(dú)立。還應(yīng)注意正

難則反的思想。

師：同學(xué)們說的都很有道理.，那么每個(gè)同學(xué)對(duì)于那么答好概率統(tǒng)計(jì)題，都應(yīng)該有自

己的想法，那么今天我們就留下一個(gè)課后作業(yè)，請(qǐng)每位同學(xué)都以書面形式來寫一下,

你認(rèn)為怎么答好概率統(tǒng)計(jì)題。

某生c：要理解好本題中的2x2列聯(lián)表的含義，恃別是給出參考公式中的概率為拒

絕的概率，有把握的概率應(yīng)為其反面。

師：好，接著我們?cè)賮砜聪乱坏李}

（投影展示問題）

例3.（山東省沖刺模擬二）已知函數(shù)/（x）=ox+2.（I）從區(qū)間（-2,2）內(nèi)任取

一個(gè)實(shí)數(shù)。，設(shè)事件A=｛函數(shù)y=/（x）-2在區(qū)間（0,+oo）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)｝,

求事件A發(fā)生的概率；

（II）若連續(xù)擲兩次骰子（骰子六個(gè)面上標(biāo)注的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6）得到的

點(diǎn)數(shù)分別為。和口記事件8=｛/*）＞〃在工￡（0,+8）恒成立｝,求事件8發(fā)生的概

率.

（學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)短的思考以及討論后，老師給出了思路和答案）

3.解：（I）?.?函數(shù)y=/（x）-2在區(qū)間（0,+8）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

/./（%）-2=0,即ax'-2工+4=0有兩個(gè)不同的正根玉和看

"0

21

X+工2=—>0

=>0<67<—…4分P(A)=1=_L

44416

xxx2=—>0

A=4-1>0

(II)由已知：a>0,x>0,所以/(x)>2Jax--gpf(x)>4^

?//（1）>在X€（（）,+oo）恒成立:.4八>b2....（*）

當(dāng)。=1時(shí)，％=]適合⑴；當(dāng)。=2,3,4,5時(shí)，方=1,2均適合（*）；

當(dāng)〃=6時(shí)，/?=1,2,3均適合（*）；滿足（*）的基本事件個(gè)數(shù)為1+8+3=12.

n_\_

而基本事件總數(shù)為6x6=36,P(B)

36~3

師：此題最明顯的特點(diǎn)就是和函數(shù)相結(jié)合，考查的知識(shí)點(diǎn)非常廣，但理解了其實(shí)還

是要用到我們的基礎(chǔ)知識(shí)，希望同學(xué)們理解題意，打好基礎(chǔ)。

（打出下頁投影，展示練習(xí)題）

例4.（江西省師大附中三模）某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成

績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第

一組[13,14）,第二組[14,15）,…，第五組[17,18].右圖是按上述分

組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）若成績(jī)大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，求該班在這

次百米測(cè)，試中成績(jī)良好的人數(shù)：

（2）設(shè)機(jī)，〃表示該班某炳位同學(xué)的百米測(cè)試成績(jī)，且已知

孫〃c[13J4）U[17J8],求事件的概率.

例5、（大慶鐵人中學(xué)模擬）2014年春晚過后，為了研究演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度的關(guān)系，某

站對(duì)其中一位經(jīng)常上春晚的演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：

上春晚次數(shù)X（單位：次）246810

粉絲數(shù)量y（單位：萬人）1()204080100

（I）若該演員的粉絲數(shù)量y與上春晚次數(shù)x滿足線性回歸方程，試求回歸方程（=7工+0,

并就此分析，該演員上春晚12次時(shí)的粉絲數(shù)；

（II）若用=2,3,45）表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)粉絲的“即時(shí)均值”（精確到整數(shù)）

Xi

（1）