浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)4.5相似三角形的性質(zhì)與應(yīng)用同步練習(xí)（培優(yōu)版）

夯實(shí)基礎(chǔ)7黑發(fā)不知勤學(xué)早，白首方悔讀書(shū)遲。

一、選擇題

1.一個(gè)三角形框架模型的三邊長(zhǎng)分別為20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根長(zhǎng)為60厘米的木條

為一邊，做一個(gè)與模型三角形相似的三角形，那么另兩條邊的木條長(zhǎng)度不符合條件的是（）

A.30厘米、45厘米;B.40厘米、80厘米;

C.80厘米、120厘米:D.90厘米、120厘米

2.如圖，小紅利用小孔成像原理制作了一個(gè)成像裝置，他在距離紙筒50cm處準(zhǔn)備了一支蠟燭，蠟燭長(zhǎng)

為15cm,紙筒的長(zhǎng)度為10cm,則這支蠟燭所成像的高度為（）

A.2.5cmB.3cmC.3.75cmD.5cm

3.如圖是一個(gè)由A、B、C三種相似的直角三角形紙片拼成的矩形，A、B、C的紙片的面積分別為8、

S2、S3,（Si與S2,S2與S3的相似比相同），相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)縫隙，若S>S2>S,則這個(gè)矩形

A.4S.B.6S?C.4S?+3SBD.3SI+4S5

4.如圖，在矩形ABCD中，E,F分別為BC,CD的中點(diǎn)，線段AE,AF與對(duì)角線BD分

別爻于點(diǎn)G.設(shè)矩形ABCD的面積為S,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AG：GE=2：1B.BG：GH：HD=1：1：1

C.Si+S2+S3=；SD?S2/S4,：S（f=1；3；4

5.如圖，。是△ABC的重心，遼。的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△A8C的頂點(diǎn)重合）,

S四邊膨BCHG,S“GH分別表示四邊形8CHG和△4GH的面積，則法卷續(xù)”的最大值是（）

SAAGH

A

32

-

c.2D.3-

6.如圖，H是AABC的重心，延長(zhǎng)AH交BC于D,延長(zhǎng)BH交AC于M,E是DC上一點(diǎn)，且DE：EC=

5：2,連結(jié)AE交BM于G,貝"BH：HG：GM等于（）

A.7：5：2B.13：5：2C.5：3：1D.26：10：3

7.如圖，E,F,G,〃分別是矩形48C0四條邊上的點(diǎn)，連接A”，GH相交于點(diǎn)/,JLG77||ADfEF||

AB,矩形BFIG?矩形EIHD,連接4c交GH,EF于點(diǎn)P,Q,下列一定能求出△DPQ面積的條件是

A.矩形BF/G和矩形的面積之差

B.矩形48co與矩形BF/G的面積之差

C.矩形。f7G和矩形尸C"/的面積之差

D.矩形8//G和矩形E/G力的面積之差

8.-如圖，在矩形A8C0中，過(guò)點(diǎn)4作對(duì)南線80的垂線并延長(zhǎng)，與。C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,與8c交于點(diǎn)產(chǎn)，

垂足為點(diǎn)G,連接CG,且C0=C凡則下列結(jié)論正確的有()個(gè)：①CE=40;②乙DGC=^BFG:

@CF2=BF?BC;@BG=GE-&CG

A.1B.2C.3D.4

9.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BCJ一點(diǎn)，且4B=38E.過(guò)點(diǎn)B作2尸_L4E,交邊CD于點(diǎn)

F.以C為圓心，CF長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交邊BC于點(diǎn)G,連接DG,交BF于點(diǎn)H.則OH：HG=()

A.10:3B.3:1C.8:3D.5:3

10,由四個(gè)全等的直角三?角形和一個(gè)小正方形組成的大正方后ABCD如圖所7F.點(diǎn)P,Q分別為AB,GH的

中點(diǎn)，若PQ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,則器的值為（）

C.V13D.4

鞏固積厚7寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來(lái)。

二、填空題

11.如圖，。。是aABC的外接圓，已知AD平分NBAC交。。于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,若BD=6,AE=5,

AB=7,則AC二

12.如圖，在AABC中，AC=BC=5,=6,點(diǎn)。為4C上一點(diǎn)，作DE//AB交8c于點(diǎn)E,

點(diǎn)C關(guān)于，￡的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)0,以力為半徑作。0恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,并交直線?！暧邳c(diǎn)K/V則椒的值

為

13.如圖，RtZkABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），若過(guò)點(diǎn)D的

直線截得的三角形與aABC相似，并且平分4ABC的周長(zhǎng)，則AD的長(zhǎng)為

14.如圖，E、F為AABC的BC邊上的點(diǎn)、且BE：EF：FC=1：2；3,中線BD被AE.AF極

得的三線段為x,y,z,則x：y：z=

15.如圖，面積為4的正方形力BCD中，EFGH分別是各邊的中點(diǎn)，將一邊兩端點(diǎn)分別和對(duì)邊中點(diǎn)連結(jié),

所得陰影部分為各邊相等的八邊形，則八邊形每條邊的長(zhǎng)度是.

16.某戶外遮陽(yáng)棚如困1,其截面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示.支撐柱AB上地面，AB=120遍cm,P是支撐

柱AB上一動(dòng)點(diǎn)，傘桿CP可繞著中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，CD=CP=40715cm,斜拉桿AE可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AE=1

CP.若NAPE=30°,則BP=cm；傘展開(kāi)長(zhǎng)PD==300cm,苫A,C,D在同一條直線上，某時(shí)太陽(yáng)

光線恰好與地面垂直，則PD落到地面的陰影長(zhǎng)為cm.

優(yōu)義拔高聯(lián)，書(shū)山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)涯苦作舟。

三、解答題

17.如圖1,長(zhǎng)、寬均為3cm,高為8cm的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為

6cm,繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，將M個(gè)情景轉(zhuǎn)化成

幾何圖形，如圖3所示.

圖1圖2圖3

(1)利用圖1、圖2所示水的體積相等，求0E的長(zhǎng);

(2)求水面高度CF.

18.學(xué)習(xí)了相似三角形相關(guān)知識(shí)后，小明和同學(xué)們想利用“標(biāo)桿”測(cè)量大樓的高度.如圖，小明站立在

地面點(diǎn)F處，他的同學(xué)在點(diǎn)B處豎上“標(biāo)桿”4片,使得小明的頭頂點(diǎn)E、桿頂點(diǎn)A、樓頂點(diǎn)C在一條直

線上(點(diǎn)F、B、D也在一條直線上).已知小明的身高EF=1.5米，“標(biāo)桿”43=2.5米，又B。=23

米，F(xiàn)B=2米.

c

口

□

□

□

FBD

備用圖

(1)求大樓的高度CD為多少米(CO垂直地面BD)?

(2)小明站在原來(lái)的位置，同學(xué)們通過(guò)移動(dòng)標(biāo)桿，可以用同樣的方法測(cè)得樓上點(diǎn)G的高度GD=

11.5米，那么相對(duì)于第一次測(cè)量，標(biāo)桿48應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)米.

19.如圖為幸福小區(qū)入口處安裝的汽車出入道間示意圖.如圖1,道間關(guān)閉時(shí)，四邊形ABC。是矩形.如

圖2,在道間打開(kāi)的過(guò)程中，邊40固定，401直線I,連桿48、CO分別繞點(diǎn)A、D轉(zhuǎn)動(dòng)，且邊BC始終與

邊.40平行，P為CO上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合)，過(guò)點(diǎn)P作PE_L直線I,PF1MN,垂足分別為E,F,

即四邊形PENF是矩形，過(guò)點(diǎn)D作。QLPE,垂足為Q,延長(zhǎng)8C與PF相交于點(diǎn)R.

PR

(1)APOQ與△CPR相似嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.

(2)若道間長(zhǎng)力B=4米，寬力0=1米，點(diǎn)D距地面0.2米，PE=1.16米，RF=0.8米，CR=1.44

①求點(diǎn)B到地，面I的距離；

②求PF的長(zhǎng).

20.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(4,0)、8(1,0)^C(0,一2)三點(diǎn).

(2)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMlx軸，垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以4、P、M為頂點(diǎn)

的三角形與△04C相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在直線4C上方的拋物線是有一點(diǎn)。，使得△0C4的面積最大，求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

21.我們定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三南形，這

條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”.

(1)概念理解：

如圖1,在aABC中，AC=6,DC=3,ZACB=30°,試判斷AABC是否是“等高底”三角形.

(填“是”或“否”)

(2)問(wèn)題探究：

如圖2,ZkABC是“等高底”三角彩，BC是“等底”，作AABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形得到

△A'BC,連接AA'交直線BC于點(diǎn)D.若點(diǎn)B是AAA'C的重心，求益的值.

(3)應(yīng)用拓展：

如圖3,已知li〃Mli與I2之間的距離為2,“等高底”AABC的“等底”BC在直線li上，點(diǎn)A在直

線I?上，有一邊的長(zhǎng)是BC的V2倍.將AABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B'C,A'C所在直

線交I?于點(diǎn)D,直接寫(xiě)出CD的值.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，拋物線y=Q/+bx經(jīng)過(guò)4(10,0),8點(diǎn)，6)兩點(diǎn)，直

線y=2%—4與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P為直線y=2%—4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接P4

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,44PC的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析

式(不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍);

(3)如圖2,在(2)的條件下，點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且OE=OD,連接CE,當(dāng)支線B尸交x軸正

半軸于點(diǎn)L,交y軸于點(diǎn)V時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作尸G〃CE交x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作y軸的平行線交線段以于點(diǎn)

F,連接CF,過(guò)點(diǎn)G作GQ〃CF支線段VL于點(diǎn)Q,4CFG的平分線交x軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作歷〃〃C戶交尸G于

點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)H作”R1CF于點(diǎn)R,若FR+M”=GQ,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

23.如圖：

(1)［基礎(chǔ)雙固］如圖1,在四邊形48CD中，對(duì)角線8。干分/48C,Z-ADB=^DCB,求證：BD

BA-BC;

(2)［嘗試應(yīng)用］如圖2,四邊形48co為平行四邊形，F(xiàn)，￡4。邊上，48=力?，點(diǎn)E在84延長(zhǎng)線上,

連接EF、BF、CF,^z.EFB=LDFC,BE=4,BF=5,求BC的長(zhǎng)；

(3)［拓展提高］如圖3,E是△48C內(nèi)部一點(diǎn)，F(xiàn)為4c邊上一點(diǎn)，連接川九BE,CE,EF,已知

乙FEC=4JBE,乙BEC=￡AEF,BE=18,EF=7,雋二|，求霄的值.

24.如圖

(1)［基礎(chǔ)鞏固］如圖①，在RtaABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)D,求證：AC2=AD-AB.

(2)［嘗試應(yīng)用］如圖②，在矩形ABCD中，AD=2,點(diǎn)F在AB上，F(xiàn)B=2AF,DFJ_AC于點(diǎn)E,求AE的

長(zhǎng).

(3)［拓展提曲］如圖③，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，NDCE與NDFE關(guān)于直線DE對(duì)稱，點(diǎn)C的

對(duì)稱點(diǎn)F在邊AB上，G為AD中點(diǎn)，連結(jié)GC交DF于點(diǎn)M,GC〃FE,若AD=2,求GM的長(zhǎng).

25.

(1)【基礎(chǔ)鞏固】如圖1,在△A8C中，E是力8上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作8c的平行線交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)D是8c

上任意一點(diǎn)，連結(jié)力。交EF于點(diǎn)G,求證：器=器；

(2)【嘗試應(yīng)用】

如圖2,在(1)的條件下，連結(jié)BF,DF,若47=30。，F(xiàn)E、FB恰好將乙AFD三等分,求需的值;

(3)【拓展延伸】

如圖3,在等邊△48C中，BD=4DC,連結(jié)40,點(diǎn)E在40上，若/8EC=120。，求假的值.

DC

圖3

答案與解析7

1.【答案】C

【解析】【解答】當(dāng)60cm的木條與20cm是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，那么另兩條邊的木條長(zhǎng)度分別為90cm與120cm：

當(dāng)60cm的木條與30cm是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，那么另兩條邊的木條長(zhǎng)度分別為40cm與80cm：

當(dāng)60cm的木條與40cm是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，那么另兩條邊的木條長(zhǎng)度分別為30cm與45cm；

所以A、B、D選項(xiàng)不符合題意，C選項(xiàng)符合題意，

故答案為：C.

【分析】討論：若20厘米、30厘米、40厘米的對(duì)應(yīng)邊分別為60厘米、x厘米、y厘米；

若20厘米、30厘米、40厘米的對(duì)應(yīng)邊分別為x厘米、60厘米、y厘米，；

若20厘米、30厘米、40厘米的對(duì)應(yīng)邊分別為x厘米、y厘關(guān)、60厘米，然后利用比例的性質(zhì)分別計(jì)算

出各組對(duì)應(yīng)值即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)0作OF_LDC,F。的延長(zhǎng)線交48于點(diǎn)E,

9：AB||CD,EF1CD,

EF1AB,△OABs*ODC,

.CD_OF

??南一嘮

AB=15cm,OF=10cm,OE=50cm,

.10

,,15-SO1

解得：CD=3cm.

答：這支蠟燭所成像的高度為3cm.

故答案為：B.

【分析】過(guò)點(diǎn)0作。F1DC,F0的延長(zhǎng)線交48于點(diǎn)E,先證明△。48?△00C,可得空二空，再將數(shù)

ADUb

據(jù)代入可得黑二黑，最后求出CD=3sn即可。

3.【答案】A

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，A、B、C三個(gè)直角三角形相似，A與B,B與C的相似比相同，且SAS?

>S3,

，如圖，設(shè)相似比為k,EF=m,則MK=GH=mk,FH=mk\

???EH=EF+FH=m(1+k2),

??.FM=空=磔1+/),FK二kEH=km(1+k2),

Kk

2

由FK+MK=FM得：km(1+k2)+mk=-Q+k),

k

???/+k2-1=0,

解得：嚴(yán)二二1挖或/二二1三匹(舍去),

22

???s尸kS,=二匹Si,SFkS:=k'S產(chǎn)3嚕,

?**S2+S3=Si,

???矩形面積等于2(Si+S2+S3)=2(S1+S1)=4sl.

故答案為；A.

【分析】對(duì)圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注，設(shè)相似比為k,比二m,則MK二GH二mk,HH=mk2,tH=m(1+k2),

2

2222

FM=m(l+k).FK=km(1+k),根據(jù)FK+MK=FM可求出k,根據(jù)S?=kSf,S3=kS2=kS分別表示出S?、

k

S3,據(jù)此解答.

4.【答案】D

【解析】【解答】①四邊形ABCD是矩形

-.AD=BC,AD//BC

?:點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

11

:.BE=28c=-^AD

vAD//BE

.AG_AD_2

?.GE~BE~1

A不符合題意；

AD//BE

BGBE_1

"DG=AD=2

1

*'*BG=交BD

同理得：DH二BD

BG=GH=HD

???BG：GH：HD=1：1/1

B不符合題意

07AD//BE

BEGDAG

...Si_1

S3+S44

???BG=GH=HD

?*,S5=S3=S4

設(shè)Si=x則S5=S3=S4=2x

S=12x

同理可得：S2=x

1

???Si+$2+S3=x+x+2x=4x=TjS

C不符合題意；

④由③可知：S6=6x-x-x=4x

???S2/S,：S6=1.-2：4

D符合題意；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和面積公式進(jìn)行計(jì)算求解即可。

5.【答案】A

【解析】【解答】解：過(guò)0作MN〃BC交AB于N,交AC于M,過(guò)M作ME/7AB交GH于E

A

二。是4ABC的重心，

???綜=2,D是BC中點(diǎn)

???BD二CD,瑞哥

VMN//BC

.?.△AMN?△ACB

.NO_M0_A0_2S*MN_,絲、2_4

9-

'BD~~CD~AD~yS^ABC~9

,'MO=NO

VME/7AB

：.LMOH=乙NOG

=ANOG(AAS)

SAMOE=—NOG

設(shè)S.MEH=x,S“BC=9y

:'AMN=4y?S四邊形BCMN=5〃

:?S四邊形BCHG=S冏邊形BCMN-S/JHOM+SANOG

=S四邊形BCMN-0MOE+S/ME")+^ANOG

=5y-x

S/MHG=^AAMN一^ANOG+^AHOM

=S.AMN-S/NOG+(^AMOE+&ME”)

=4y4-x

J四邊形BCHG_5x-y

SNGH=鈦+y

Vx為定值

S

當(dāng)y越小附四邊形BC1W=在？值越大

SLAGH4%+y

S

，當(dāng)y=0時(shí)四邊形BCHG;5箭大此時(shí)GH〃BC

S^AGH4

故答案為：A.

【分析】過(guò)0作MN〃BC交AN于N,交AC于M,過(guò)M作ME//AB交GH于E,根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得

BD=CD,瑞=多證A/1MN?A/ICB得把黑=(奈心=*利用AAS證4M0E三/NOG,根據(jù)全等三角

形性質(zhì)得S/MOE=SANOG，設(shè)S^MEH=x,S&ABC=9y可得S^MN=4y,S兩切形"CMN=5y，故S期.施

S.,

S四邊形BCMN—SZJHOM+S.NOG==5y-x,SAAHc=S/AMN一SANOG+SAHOM=4y+x,即得P型/BCHG_

、△AGH

箝言，由于x為定值，當(dāng)y越小時(shí)比值越大，可得當(dāng)y=0時(shí)比值越大.

r*人?y

6.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)C作CF〃BM,交AE的延長(zhǎng)線于F,

A

VH是ZkABC的重心，

???M是AC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，

???G是AF的中點(diǎn)，

/.GM=1CF,

乙

設(shè)CF=a,則GM=/a,

VCF/7BG,DE：EC=5：2,D是BC的中點(diǎn)，

.CF_CE_2_1

??阮一麗-5+5+2一寸

ABG=6CF=6a,

VH是4ABC的重心，

.??BH=|BM得a,

AHG=BG-BH=6a-苧a=|a,

ABH：HG：GM=^a:1a：la=26：10：3.

故備案為：D.

【分析】過(guò)C作CF〃BM,交AE的延長(zhǎng)線于F,根據(jù)平行線分線段成比例得出G是AF的中點(diǎn)，設(shè)CF=a,

則GM=la,由CF〃BG,DE：EC=5：3,D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)求出BG=6a,再

根據(jù)H是AABC的重心，得到BH=|BM二竽a,根據(jù)線段的和差關(guān)系表示出HG,則可得到BH：HG：GM的

值，即可作答.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：連接BP、BQ,

根據(jù)矩形的性質(zhì)點(diǎn)B、D到AC的距離相等,

又〈PC=PC,

:.S&DPQ=S&BPQ

設(shè)BF=Q,BG=b,AG=kb,

*：GP||BC,乙AGP=乙ABC=90°,

/.△AGPABC,

.AG_GP_k

**AB=BC=k+l,

kk

???GP=m-BC=申.(k+l)a=ka,

同理，△尸QC?△ABC,

?FQ_FC_k

,,近一品TFT'

bb

■:S^BPQ=ShABC-ShABp-S^BQC

111

=5(k+l)a-(k+1)6—5(k+l)b-ka—y(k+l)a-kb

乙乙乙

=la/?(l-k)2,

乙

,:S矩形BGIF=ab，S矩形EIHD=/曲

■1

,，SABPQ-2?矩形BGIF~S矩形E!HG,

.1

??SADPQ=S&BPQ=2嚇矩形BGIF-S矩形ETH)

故答案為：A.

【分析】連接BP、BQ,根據(jù)矩丹的性質(zhì)點(diǎn)B、D到AC的距離相等，根據(jù)同底等高的三角形面積相等得

AG_GP_

S/MPFSABPO.設(shè)Bia,BG二b,AG=kb,判斷出△AGPs/\ABC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得AB=BC=

推出GP二ka,同理△FQCs/iABC,得第=蓋=占，推出FQ二kb,根據(jù)割補(bǔ)法得S.廿SxS△旃

Sziioc=2Q>(l—々/，進(jìn)而根據(jù)矩形面積計(jì)算方法得S?S&BGIF二ab,Stt?EiHo=k2ab,則S^BPQ=±(S勉乃產(chǎn)—

S矩形瓊面,據(jù)此就可得出結(jié)論了.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：①由題意可得：CD=CF=AB,4G180,乙CFE="FB,乙ECF=cDAB=

UBC=90°,

：.LABD+乙GBF=乙GBF+乙AFB=90°,

：.LABD=乙AFB=zCFE,

：.LCEF^LADB^ASA),

：.CE=ADf①符合題意：

②由題意可得：乙BFG=Z.CFE=Z-ABD=乙CDB,乙CFE<90°

C.LCFG>90°>乙CGF,

：.CG>CF,即CG>CD.

J.LCDG>Z.CGD,即4BFG>￡OGC,②不符合題意；

③由題意可得：Z-AFB=^CDB,Z.DCB=^ABF=90°

/.△ABFBCD,

...器=需，^AB-CD=BCBF

又?.?48=CD=CF,

：.CF2=BF?BC,③符合題意：

④過(guò)點(diǎn)C作CHICG,交80延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,如下圖:

由題意可得：Z-HCG=乙DCB=90°,乙CFE=乙CDB,CD=CF

:?乙HDC=乙GFC,Z-HCD=&CF,

：.△CDH=△CFG(ASA)t

：.CH=CG,

由勾股定理可得：HG=VCH2+CG2=V2CG,

?:乙HCG=乙ECB=90°,

C.LHCB=乙ECG,

乂，：CH=CG,CE=AD=BC：

/.△CBH卦CEG(SAS),

:?BH=EG,

義，：BH=BG+GH=BG+&CG,

:?EG=BG+&CG,即8G=GE-&CG,④符合題意；

正確的個(gè)數(shù)為3,

故答案為：C

【分析】利用全等三角形的判定方法和性質(zhì)，相似三角形的判定方法和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。

9.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖所示，連接AH,CH,設(shè)AE與BF交于M,

D

\,.叫"

-GC

VBF±AE,

AZAMB=90°,

/.ZBAM+ZABM=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

.\AB=BC=CD=AD,ZABE=ZBCF=90°,

.-.ZABM+ZCBF=90°,

AZBAE=ZCBF,

AAABE^ABCF(ASA),

ABE=CF,

ABF=DF,

VCG=CF,NDCG=NBCF,DC=BC,

.,.△BCF^ADCG(SAS),

.,.ZCBF=ZCDG,

又。ZBHG=ZDHF,

AABHG^ADHF(AAS),

AHG=HF,

又THC二HC,CG=CF,

.,.△HCG^AHCF(SSS),

/.ZHCG=ZHCF=45°,

；?A、H、C三點(diǎn)共線,

V.4D||CG,

AAADH^ACGH,

.PH_AD_AD_AB

*，HG=CG='BE=BE

故答案為：B.

【分析】連接AH,CH,設(shè)AE與BF交于點(diǎn)M,先證得A、H、C三點(diǎn)共線，由AD〃BC,可得

△ADHs△CGH,利用相似三角杉對(duì)應(yīng)邊成比例即得結(jié)論.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM_LBE于點(diǎn)M,

設(shè)BE=a,GH二b,

VAAHD^ABEA,

???AH二BE二a,

???四邊形EFGH是正方形,

AFG=GH=EH=EF=b,

VZAEB=ZPMB=90°,

APM/7AE,

ABP：AP=BM：ME,

???點(diǎn)P是AB6勺中點(diǎn),

，AP二BP,

.\BM=EM=la,

乙

APM是AABE的中位線，

APM=lAE=i(a-b),

又???點(diǎn)Q是GH的中點(diǎn)，

AGQ=lGH=lb,

VZPMF=ZBFC=90°,

.,.ZMPF=ZGFQ,

VZPMF=ZFGQ=90°,

AAPMF^AFGQ,

APM：FG=MF:GQ,

APMXGQ=FGXMF,

VMF=EM-EF=1a-b,

A1(a-b)xlb=b(ia-b),

整理得3b2-ab=0,即b(3b-a)=0,

Vb=^0,

/.3b-a=0,

Aa=3b,

AAE=AH-EH=a-b=2b,

?MB=7AE2+BE2=V(2d)24-(3b)2=713b,

AAB：EF=V13.

故答案為；C.

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PMJ_Btz于點(diǎn)M,設(shè)B&a,GH=b,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AH二B4a,根據(jù)正方形的性

質(zhì)得FG二GH二EH二EF二b,易得PM是4ABE的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得BM二EM^a,PM=1AE=1(a-

乙乙乙

b),根據(jù)中點(diǎn)的定義得GQ與H=；b,易得△PM〃FC,然后判斷出△PMFsZ\FGQ,根據(jù)相似三甫形對(duì)應(yīng)邊

成比例得PMXGQ二FGXMF,代入并整理得3b之一ab=0,即b(3b-a)=0,由于b于0,故可得a=3b,用勾股

定理表示出AB,據(jù)此就可求出答案了.

11.【答案】竽

【解析】【解答】解：:NDBC和NDAC所對(duì)的弧都是CD弧，

AZDAC=ZDBC,

丁AD平分NBAG即ZBAD=NDAC,

AZDBC=ZBAD,

VZBDE=ZADB,

AAABD^ABDE,

ABD：DE=AD：BD,即6:DE=(5+DE):6,

解得DE二4,DE=-9(舍)，

AAD=AE+DE=4+5=9,

VZACE和ND所對(duì)的弧都是AE弧，

,NACE=ND,

VZDBC=ZCAD,

AAAEC^AABD,

AAB：AE=AD：AC,即7：5=9:AC,

JAC二竽，

故答案為：竽.

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，結(jié)合角平分線的定義，證明△ABDs/XBDJ則用相似三角形的性

質(zhì)定理求出DE的長(zhǎng)，同理證明△AECsZJ\BD,在利用相似三角形的性質(zhì)定理即可求出AC的長(zhǎng).

12.【答案】韋與

【解析】【解答】解：如圖，連接0C,延長(zhǎng)CO交AB于H,交圓于F,連接BF,再連接OC、OM,0C交MN

于K,

VAACB為等腰三角形,

ACHXAB,

^BC2-BH2=y/52-32=^，

VZFBC=ZBHC=90°,ZBCH=ZBCF,

ABC:CH二CF：BC,

2

???5"A學(xué)25

???0M二等

???點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)0,

A0K=KC=j|,

,…。M2-OK2=J管）2_g|j=警,

，MN=2MK』5'§

8

故答案為：2^3

8

【分析】連接0C,延長(zhǎng)CO交AB于H,交圓于F,連接BF,再連接OC、OM,0C交MN于K,根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)，先求出CH的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)求出CF的長(zhǎng)，則知圓的半徑的長(zhǎng)，再由對(duì)稱的性

質(zhì)得出0K的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可求出MK的長(zhǎng)，則知MN的長(zhǎng).

13.【答案】§、學(xué)、*

【解析】【解答】解：設(shè)過(guò)點(diǎn)D的直線與aABC的另一個(gè)交點(diǎn)為E,

VAC=4,BC=3,Z.AB=732+42=5

設(shè)AD=x,BD=5-x,

[DE平分aABC周長(zhǎng),???周長(zhǎng)的一半為(3+4+5)4-2=6,

分四種情況討論：

①△BEDs/\BCA,如圖1,BE=1+x

,MEBD405一無(wú)1+x

*-BC=AB'即：丁二'’

②ABDEs/iBCA,如圖2,BE=1+x

?BDBE口05—x1+x

-BC=AB'即：—=—'

解得：x=導(dǎo),

BE=孕＞BC,不符合題意.

S2

③△ADtzs^ABG,如圖3,At=6-x

?△BDE^ABCA,如圖4,AE=6-x

綜上：AD的長(zhǎng)為g、學(xué)、|.

【分析】根據(jù)直線平分三角形周長(zhǎng)得出線段的和差關(guān)系，再通過(guò)四種情形下的相似三角形的性質(zhì)計(jì)算線

段的長(zhǎng).

14.【答案】6/8/7

【解析】【解答】解：:BE：EF：FC=1；2：3

：-BF：FC=3：3=1

???F是BC的中點(diǎn)

VBD是三角形ABC的中線：

，點(diǎn)N為三角形ABC的重心,

；?FN：AN=1：2fDN：BN=1；2

設(shè)FN=k,則AN=2k,AF=3k

過(guò)點(diǎn)B作BG//AF交AE的延長(zhǎng)線于G,

/.△BGE^AFAE,

:?BG：AF=BE：EF=1：2

???BG=1.5k,

VBG//AF

AABGM^ANAM,

MN=BG：AN=1.5k：2k=3：4

?:DN：BN=1：2

MN：DN=3：4：3.5

MN：DN=6：8：7

:.x：ytz-6r8/7

故答案為：6；8：7.

【分析】由BE：EF:FC=1:2:3可得BF:FC=1,即F是BC的中點(diǎn)，推出點(diǎn)N為AABC的重心，得到

FN：AN=1:2,DN:BN=1:2,設(shè)FN=k,則AN=2k,AF=3k,過(guò)點(diǎn)B作BG//AF交AE的延長(zhǎng)淺于G,證明

△BGE^AFAE,ABGM^ANAM,由相似三角形的性質(zhì)可得BG,BM：MN=3:4,根據(jù)DN:BN=1:2可得

BM：MN:DN=3:4：3.5,據(jù)此求解.

15.【答案】:

6

【解析】【解答】解：如圖:

???正方形ABCD的面積為4

???正方形的邊長(zhǎng)為2,

?:懸E、F、G分別是48、1CD的中點(diǎn),

，DG=CG=CF=1,

(力?=CD

在A4DG與△OCF中/4DG=￡DCF=90°,

(D；=CF

:?&ADG"DCF(SAS),

：.LDAG=Z.CDF,

*：LDAG+ADGA=90°,

：.^GDH+Z.DGH=90°t

:.乙DMG=90°,

〈AG=+所2=通,

ADDG_2_275

.'DM=

AGyfS5

?'-GM可'

由題意可得：AGIICE

：.△DCKDGM

.DG_GM_1

^GC~~CK~2

.”2套

??CK=丁

同理可得：ABCG三2CBE

:.乙ECB=乙GBC

:?B0=0G=OC=^BG=卓

752/5/5

OK=OC-CK=^-^=^

\*AG||CE

△OKLGML

后

一五二

??比一而一75■一2

F

,0L_1

??布=4

??0L=《GM=第

故答案為：圾

6

【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積可得邊長(zhǎng)為2,利用SAS證明△ADG04DCF,得到NDAG二NCDF,結(jié)合

NDAG+NDGA=90°可得NDMG二90°,利用勾股定理可得AG,由等面積法可得DM,然后求出GM,證明

△DCK^ADGM,根據(jù)相似三角步的性質(zhì)可得CK,同理可得△BCGg^CBE,得到NECB二NGBC,易得BO、

OG、OC、OK的值，證明△OKLs^GML,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

16.【答案】60V5;75A

【解析】【解答】解：(1)如圖，連接AC,

VE為PC中點(diǎn)，AE=1CP,

???△PAC為直角三角形,

VZAPt=30",PC=40V15,

，AC=20代

AAP=60X/15.

(2)如圖，連結(jié)AC,作DF_LBF,

VA,C,D在同一條直線上，

AAD±AB,

.\ZCAP=ZPAD=90°

設(shè)AC=a,

在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得:PA2=PC-AC2=PD-AD2,

.??（40/15）-a-300-（a+40V15）2,

整理，解得：a=35a5,

???AD=AC+CD=35X<15+40A<15=75V15,

APD落到地面的陰影長(zhǎng)BF二AD=756cm.

故答案為：60V5:75V15.

【分析】（1）連接AC,E為PC中點(diǎn)，AE二;CP,利用斜邊中線等于斜邊的一半逆定理可推出ZkPAC為

直角三角形，在根據(jù)30°角所對(duì)直角邊為斜邊的一半求出AP,進(jìn)而可求出BP長(zhǎng)；

（2）連接AC,A,C,D在同一條直線上得AD_LAB,在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得

PA:=PC2-AC2=PD-AD2,求出AC,進(jìn)而求出AD,由BF等于AD可得影長(zhǎng)值.

17,【答案】（1）解：如圖所示,

E

D

G

設(shè)DE二xcm,則AD=(8—x)cm.

根據(jù)題意得：1(8-x+8)X3X3=3X3X6,解得：x=4,

，DE二4(cm)

(2)解：VZE=90°,DE=4,CE=3,

.'CD=5,

VZBCE=ZDCF=90°,

???NDCE+NDCB=ZBCF+NDCB,

AZDCE=ZBCF

VZDEC=ZBFC=90°,

.,.△CDE^ACBF,

?CE_CDpn3_5

??喬=兩'耳汴=守

.?.CF咚("

答：CF的高是Fem

J

【解析】【分析】(1)設(shè)DE=xcm,則AD=(8-x)cm,根據(jù)“圖1、圖2所示水的體積相等”列出方

程并解之即可;

(2)由勾股定理求出CD的長(zhǎng)，再班△CDEs￡kCBF,可得棄=空，據(jù)此即可求解.

CrLb

18.【答案】(1)解：作EM1CD于M,交48于N,

可得，=BN=OM=1.5米，MN=BD=23米，EN=FB=2禮

：.ME=25米，AN=1米,

?:AN||CD,

：.△AEN*CEM,

.ANEN12

一"兩'^Pr)CM=25

ACM=12.5米，

CD=CM+DM=14米，

答：大樓的高度CD為14米.

(2)0.5

【解析】【解答】(2)類似(1)可得AAEN-AGEM,

?AN_EN

??領(lǐng)=兩’

;GO=11.5米，OM=1.5米，4N=1米，ME=25米，

:,GM=10米，

.1_EN

,?10=25,

：.EN=25米,

相對(duì)于第一次測(cè)量，標(biāo)桿力B應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)2.5—2=0.5(米),

答：相對(duì)于第一次測(cè)量，標(biāo)桿4B應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)0.5米.

【分析】(1)作EM1CO于M,交AB于N,證出△AENsZiCEM,得出CM=12.5米，代人求解即可;

(2)類似(1)可得AAENSAGEM,得出第=需，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可。

19.【答案】(1)解：△PDQCPRf理由如下，

???DQ1PE,

...LDPQ+乙PDQ=90°,

?.?四邊形PENF是矩形,

:.LEPF=90°,PF||EN,

???LDPQ4-乙CPR=90°,

LPDQ=乙CPR,

vAD1/,AD||BC,

???BR1PR,

:.LCRP=90°,

:.LPQD=乙CRP=90°,

???△PDQCPR：

(2)解：①如圖，延長(zhǎng)8R交直線.I于點(diǎn)G,可知RG=PE=1.16米，BC=40=1米,

:.BG=BC+CR+RG=1+1.44+1.16=3.6米；

②設(shè)PR=x米，

???DQ+PF=AB=4米，PF=PR+RF=(x+0.8)米,

DQ=4-PF=4-x-0.8=