《因式分解——提公因式法》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.了解因式分解的概念，理解因式分解和整式乘法之間的互逆關(guān)系；2.掌握提公因式法因式分解；3.經(jīng)歷探索提公因式法分解因式的過程，學(xué)會逆向思維，滲透化歸的思想方法．教學(xué)重點(diǎn)：提公因式法分解因式.教學(xué)難點(diǎn)：公因式的確定及靈活運(yùn)用提公因式法分解因式.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動2min10min10min1min0.5min1min0.5min復(fù)習(xí)引入探究新知例題講解歸納總結(jié)課后作業(yè)拓展提升課后作業(yè)一．復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)舊知：請計(jì)算下列各式：x(x+1)=；(x+1)(x–1)=．思考：420能被哪些數(shù)整除？你是怎么得到的？（在小學(xué)我們知道，要解決這個(gè)問題需要把630分解成質(zhì)數(shù)乘積的形式：420=22×3×5×7，所以420能被2、3、5、7整除）類似的，在式子的變形中，有時(shí)也需要將它們寫成幾個(gè)整式的乘積的形式。二．探究新知問題：把下列多項(xiàng)式寫成兩個(gè)整式的乘積的形式：＝______________；（2）＝___________．（1）＝x(1＋x)；（2）＝(x－1)(x＋1)．像這樣，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的變形叫做因式分解，也叫做分解因式．問題：因式分解和我們學(xué)過的整式乘法有什么關(guān)系呢？因式分解因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為了幾個(gè)整式乘積的形式；而整式乘法是把幾個(gè)整式乘積的形式化為多項(xiàng)式，所以因式分解與整式乘法是相反的變形．因式分解整式乘法即：整式乘法練習(xí)：下列變形中，屬于因式分解的是_________(填序號）問題:pa＋pb＋pc這個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)嗎？．（一共有三項(xiàng)，各項(xiàng)都有公共的因式p）若各項(xiàng)都有公共的因式p，我們把因式p叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式.練習(xí)：說出下列多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式：（1）ma+mb；（公因式：m）（2）-4x－8y；（公因式：-4）（3）5y3+20y2；（公因式：5y2）（4）a2b－2ab2+ab．（公因式：ab）找公因式的方法：（1）系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；（2）相同字母的最低次數(shù)作為公因式中的字母次數(shù)部分．問題：你能將這個(gè)多項(xiàng)式因式分解嗎？分解的依據(jù)是什么？（由，可得：，這樣就把原式分解成兩個(gè)因式的乘積，分解的中逆用了分配律.）問題：分解后的各因式與原多項(xiàng)式有什么關(guān)系？（其中一個(gè)因式是各項(xiàng)公因式p，另一個(gè)因式是a+b+c，是pa＋pb＋pc除以p所得的商.一般地，如果多項(xiàng)式中的各項(xiàng)有公因式，可以把公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解的方法叫做提公因式法.三．例題講解例把下列各式分解因式分解因式:分析：（1）中這個(gè)多項(xiàng)式為兩項(xiàng)，分別是，先找出公因式再提取公因式。先從系數(shù)入手，系數(shù)分別為8和12，它們的最大公因數(shù)為4；兩項(xiàng)字母部分都含有字母a,b，其中a最低次數(shù)為1，b最低次數(shù)為2，因此我們選定4ab2作為要提出的公因式。提出4ab2，也就是每項(xiàng)都除以4ab2，剩余2a2+3bc就不再有公因式了.（2）中共有三項(xiàng)，同樣先從系數(shù)入手，我們發(fā)現(xiàn)首項(xiàng)系數(shù)為-6，-10和-2.當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，我們通常要提出一個(gè)負(fù)號，注意提出負(fù)號后里面各項(xiàng)負(fù)號都改變，這里我們提取的系數(shù)為-2，對于字母，這三項(xiàng)均有a，且最低次數(shù)為1，所以公因式為-2a，提出-2a后，另一個(gè)因式3a2+5a+1就不再有公因式了，注意這里的+1不要丟掉.解：練習(xí)：分析：(1)中相同字母為a，相同字母的最小指數(shù)為2，所以公因式為a2，提取公因式即用原式除以公因式，得到剩余因式為a-b，故分解結(jié)果為a2(a-b)；(2)中首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，可以先提取一個(gè)負(fù)號，再提取括號內(nèi)的公因式為6b，得到分解因式的結(jié)果為，當(dāng)然也可以直接提取公因式；(3)中有三項(xiàng)，其中數(shù)字最大公因數(shù)為5，相同字母為x，y且最低次數(shù)均為1，所以公因式為5xy，提出公因式后得；(4)中公因式為ab，提出公因式后得，提取公因式后，最后一項(xiàng)+1不要忘記寫.解：例2:把下列各式分解因式分析：（1）中我們先來觀察數(shù)字系數(shù)和字母，顯然這里沒有公因式。然而我們發(fā)現(xiàn)這兩項(xiàng)中均有(b+c)，那么(b+c)可以看成一個(gè)整體，即為兩項(xiàng)中的公因式，可以直接提出.同樣，（2）中有兩項(xiàng)，數(shù)字和字母都沒有公因式，而我們觀察到這兩項(xiàng)中都含有多項(xiàng)式，其中b-3a和3a-b是互為相反數(shù)的關(guān)系。這二者有特殊的關(guān)系，我們可以將其中一者稍加變形，即可提出公因式。不妨我們可以調(diào)整第一項(xiàng)，我們知道若兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則他們的平方是相等的。所以我們把(b-3a)2替換成(3a-b)2，這樣原始就變?yōu)?3a-b)2-2(3a-b)，即可提出公因式3a-b，另一個(gè)因式為3a-b-2.當(dāng)然，將第二項(xiàng)變形也可以，可將-2(3a-b)提出一個(gè)負(fù)號，變?yōu)?(b-3a)，這樣即可提出公因式b-3a，另一個(gè)因式為b-3a+2.解：小結(jié)：1.提公因式方法：一找，找公因式，即依次找系數(shù)的最大公約數(shù)、相同字母及相同字母最小指數(shù)；二提，提出公因式，用原式除以公因式得剩余因式，分解后得公因式和剩余因式相乘.2.提公因式需注意：（1）首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，要提出“-”號（2）某一項(xiàng)被整體提出后，剩余的項(xiàng)為1（3）各項(xiàng)有互為相反數(shù)的多項(xiàng)式，可把原式適當(dāng)變形后提出公因式練習(xí)：下列因式分解正確的是（C）分析：A選項(xiàng)中的公因式為a-b，提出公因式后應(yīng)剩下m+n，結(jié)果應(yīng)為(a+b)(m+n)，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)中的x-y和y-x是互為相反數(shù)，可將原式的第二項(xiàng)-n(y-x)提出一個(gè)負(fù)號，轉(zhuǎn)化成n(x-y)，則原式可提出公因式x-y，結(jié)果應(yīng)為(x-y)(m+n)故B錯(cuò)；C選項(xiàng)中的公因式為mn，提出后結(jié)果應(yīng)為mn(x+y+1)，故C正確；D選項(xiàng)中的公因式為x-y，注意第一項(xiàng)提出x-y后，剩下3(x-y)所以提出后結(jié)果應(yīng)為(x-y)[3(x-y)+2]，化簡為(x-y)(3x-3y+2).例3:用簡便方法計(jì)算分析：利用提取公因式的想法，可提出次數(shù)最低的28，后剩余的因式為22-21-20，這項(xiàng)可以算出，從而得到結(jié)果.解：練習(xí)：分解因式分析：多項(xiàng)式中共有三項(xiàng)，字母次數(shù)最低的為an作為公因式，提走an后，第一項(xiàng)剩余1，第二項(xiàng)根據(jù)冪的乘方運(yùn)算，提走an相當(dāng)于除以an，剩余的是-a2n；第三項(xiàng)根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算，剩余的是a2，故分解因式為an(1-a2n+a2).解：四．歸納總結(jié)1.因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.注：因式分解與整式乘法是方向相反的變形.2.公因式：多項(xiàng)式中各項(xiàng)都有的公共因式，叫做多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.3.因式分解的方法--提公因式法如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)中有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式和另外一個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.五．拓展提升計(jì)算：解：六．課后作業(yè)1.把下列各式分解因式：2.先分解因式，再求值3.計(jì)算知能演練提升一、能力提升1.把多項(xiàng)式-8a2b3c+16a2b2c2-24a3bc3分解因式,應(yīng)提的公因式是()A.-8a2bc B.2a2b2c3C.-4abc D.24a3b3c32.多項(xiàng)式(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)·(z-x-y)的公因式可以是()A.x+y-z B.x-y+zC.y+z-x D.不存在3.下列因式分解正確的是()A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)·(n+1)B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1)C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y)4.如圖,長為a,寬為b的長方形的周長為16,面積為15,則a2b+ab2的值為()A.100 B.120 C.48 D.1405.若a,b互為相反數(shù),則a(x-2y)-b(2y-x)的值為.

6.若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,則x2+y2=.

7.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式為(3x+a)(x+b),其中a,b均為整數(shù),則a+3b的值是.

8.分解因式:(1)3x2-6xy+x;(2)x(x-y)2-2x2(y-x).9.利用因式分解計(jì)算:(1)(-3)201+(-3)200+6×3199;(2)-2122-21222+21232.10.利用因式分解說明3200-4×3199+10×3198能被7整除.11.不解方程組2x+y=3,5x-3y=-2,二、創(chuàng)新應(yīng)用12.已知(1+a)+a(1+a)=(1+a)2,(1+a)+a(1+a)+a(1+a)2=(1+a)3.分解因式:(1+a)+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,直接寫出多項(xiàng)式(1+a)+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n分解因式的結(jié)果(n為正整數(shù)).★13.觀察下列因式分解的過程:①x2+9x+8=(x2+8x)+(x+8)=x(x+8)+(x+8)=(x+1)(x+8);②x2-3x-4=(x2-4x)+(x-4)=x(x-4)+(x-4)=(x-4)(x+1);③x2-5x+6=x2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3);……根據(jù)上述因式分解的方法,嘗試將下列各式進(jìn)行因式分解:(1)x2-2x-3;(2)t2-8t+7.知能演練·提升一、能力提升1.A2.A3.A4.B由題意知,ab=15,2(a+b)=16.∴a+b=8,∴a2b+ab2=ab(a+b)=15×8=120.故選B.5.06.6(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=(x2+y2)2-6(x2+y2)+(x2+y2)-6=(x2+y2)[(x2+y2)-6]+(x2+y2)-6=(x2+y2-6)(x2+y2+1)=0.∵x2+y2+1>0,∴x2+y2-6=0,∴x2+y2=6.7.-31∵(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)=(3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8),又由題意知,這個(gè)多項(xiàng)式可分解因式為(3x+a)(x+b),∴(3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+b).∴a=-7,b=-8.∴a+3b=-7+3×(-8)=-7-24=-31.8.解(1)原式=x(3x-6y+1).(2)原式=x(x-y)2+2x2(x-y)=x(x-y)[(x-y)+2x]=x(x-y)(3x-y).9.解(1)(-3)201+(-3)200+6×3199=(-3)199×[(-3)2-3-6]=(-3)199×0=0.(2)-2122-21222+21232=-2122×(1+2122)+21232=-2122×2123+21232=2123×(-2122+2123)=2123.10.分析要說明能被7整除,需將式子分解為含7的倍數(shù)的式子.解3200-4×3199+10×3198=3198×(32-4×3+10)=3198×7,故原式能被7整除.11.解因?yàn)?2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)=(2x+y)(2x-3y+3x)=(2x+y)(5x-3y),且2x+y=3,5x-3y=-2,所以原式=3×(-2)=-6.二、創(chuàng)新