24.6正多邊形與圓滬科版初中數(shù)學(xué)九年級下冊同步練習(xí)

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共12小題，共36分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.周長相等的正方形與正六邊形的面積分別為Si，S2,則工和S2的關(guān)系為（）

A』=S2B'S2=3/3:16

C.J1：52=<3：3D.5X:52=<3:2

2.10個大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內(nèi)，4、B、C、D、E、。均是正六邊形的

頂點，則點。是下列哪個三角形的外心.（）

B

E

A.△AEDB.△ABDC.△BCDD.△ACD

3.如圖，設(shè)邊長為a的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為九、r、R,則下列結(jié)論不正確

5.如圖，已知正五邊形A8CDE內(nèi)接于O。，連結(jié)BD,貝吐48。的度數(shù)為（）

C.72°D.144°

6.半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為Q,b,C,則Q,b,C的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

7.如圖，點。是邊長為4的正六邊形4BCDEF的中心，對角線CE,Dr相交于點G,

則AGE尸的面積為（）

A.2/3

B.3/3

C.

10/5

3

8.蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊

形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點P,Q,M均為正六邊形的頂點.若點P,Q的坐標(biāo)分別

為（一2門,3），（0,—3）,則點M的坐標(biāo)為（）

A.(3/3,-2)B.(3/3,2)C.(2,-3/3)D.(-2,-3/3)

9.正六邊形4BCDEF內(nèi)接于O。，正六邊形的周長是12,則O。的半徑是（）

A.-/3B.2C.2/2D.2/3

10.如圖，點0為正五邊形力BCDE外接圓的圓心，正五邊形4BCDE的對角線分別相交于點P,Q,R,M,

M若頂角等于36。的等腰三角形叫做黃金三角形，那么圖中黃金三角形的個數(shù)為（）

C.15D.20

11.如圖，正六邊形49COE戶內(nèi)接于O。，點M在公上

A.36°

B.45°

C.60°

D.75°

12.如圖，五邊形ABODE是。。的內(nèi)接正五邊形，過點A作。。的切線交以的延長線

于點G,交CE的延長線「點尸.則下列結(jié)論中正確的是（）

A.EC=2AB

B.LBCD=118°

C.LF=36°

D.LG=70。

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共4小題，共12分）

13.如圖，在正八邊形中，若四邊形BCFG的面積是12cm2,則正八邊形的面積為1

14.如圖，正方形4BCD內(nèi)接于00,其邊長為2,則0。的內(nèi)接正三角形EFG的邊長為

15.如圖，在止六邊形ABCDE"中.連接力C,CF,則4ACF=度.

16.如圖，AC是。。的內(nèi)接正六邊形的一邊，點B在品上，且BC是。。的內(nèi)接正十邊形的一邊，若A8是。

。的內(nèi)接正九邊形的?邊，則九=

三、解答題（本大題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題8分）

在一個正多邊形中，一個內(nèi)角是與它相鄰的一個外角的3倍.

（1）求這個多邊形的邊數(shù)；

（2）求這個多邊形的每一個外角的發(fā)數(shù).

18.(本小題8分)

自古以來，人類對于蜜蜂的勤勞以及蜂巢的巧妙精準(zhǔn)無不贊揚有加.從生物學(xué)鼻祖亞里士多德，到數(shù)學(xué)家

帕普斯，以及近代的生物學(xué)家達(dá)爾文都曾留下了贊美的詩句.工蜂分泌蜂蠟筑成蜂窩，作為蜂王產(chǎn)卵、工

蜂育幼以及存放蜂蜜、花粉的貯藏室.從正面來看，蜂巢是由許多正六邊形連結(jié)而成，正六邊形是能夠不

重疊地鋪滿一個平面的三種正多邊形之一，另外兩種分別是正方形和正三角形.

(1)一根長12cm的鐵絲分別圍成正三角形，正方形，正六邊形，請同學(xué)們直接寫出圍成圖形的面積：

S正三角形=------，S正方形=---------,S正六邊形=------：

(2)在(1)的條件下，比較圍成圖形面積的大小;

(3)通過以上計算，當(dāng)面積一定時，耗材最少的圖形是_____(填：正三角形、正方形、正六邊形).

19.(木小題8分)

如圖，在網(wǎng)格紙中，。、人都是格點，以。為圓心，。4為半徑作圓.用無刻度的直尺完成以下畫圖：(不寫

畫法)

“

皿

w二mM

?M

?

iXMM

??M?

M3?

E七XME

m

皿

-二MMl

???8

皿

M“

/lahl

i"~M

Z-

⑴在圖①中畫O。的一個內(nèi)接正六邊形4BCDEE

(2)在圖②中畫O。的一個內(nèi)接正八邊形/BCDE/GH.

20.(本小題8分)

浦江桃形李是地方名果，是浦江縣的特產(chǎn)之?.請你運用數(shù)學(xué)知識，根據(jù)素材，幫果農(nóng)解決問題.

信息及素材

索在專業(yè)種植技術(shù)人員的正確韋導(dǎo)下，果農(nóng)對桃形李的種植技術(shù)進(jìn)行了研究與改進(jìn)，使產(chǎn)量得到

材了增長，根據(jù)果農(nóng)們的記錄，2020年桃形李平均每株產(chǎn)量是35千克，2022年達(dá)至IJ/50.4千克,

一每年的增長率是相同的.

索

材一般采用的是長方體包裝盒.

索

材果農(nóng)們通過問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，顧客也很愿意購買美觀漂亮的其它設(shè)沖的包裝紙盒.

任務(wù)1：求桃形李產(chǎn)量的年平均增長率;

任務(wù)2：現(xiàn)有長80cm,寬75cm的長方形紙板，將四角各裁掉一個正方形（如圖1）,折成無蓋長方體紙盒（如

圖2）.為了放下適當(dāng)數(shù)量的桃形李，需要設(shè)計底面枳為3300c〃J的紙盒，計算此時紙盒的高；

任務(wù)3：為了增加包裝盒的種類，打算將任務(wù)2中的紙板通過圖3的方式裁剪，得到底面為正六邊形的無蓋

紙盒（如圖4）,求出此時紙盒的高.（圖中實線表示剪切線，虛線表示折痕.紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不

計）

21.（本小題8分）

門環(huán)，在中國綿延了數(shù)千多年的，集實用、裝飾和門第等級為一體的一種古建筑構(gòu)件，也成為中國古建

“門文化”中的一部分，現(xiàn)有一個門環(huán)的示意圖如圖所示，點。為正六邊形/8C0E尸的中心：

(1)請用無刻度直尺與圓規(guī)，過點0作一個。尸，使OP與直線和直線4B同時相切；(請保留作圖痕跡)

(2)若正六邊形A8CDE尸的邊長為18cm,試求(1)中。戶的半徑。(結(jié)果保留根號)

22.(本小題8分)

己知：如圖，。是。0的內(nèi)接等腰三角形，頂角48力。=36。，弦8。、CE分別平分Z.ACB.

求證：五邊形4EBC。是正五邊形.

23.(本小題8分)

如圖，A,P,B,C是。。上的四個點，AAPC=LCPB=60°.

(1)求證：△/WC是等邊三角形.

(2)若。。的半徑為2,求等邊△ABC的邊心距.

B

24.（本小題8分）

如圖，在正五邊形4BCDE中，4B."為垂足.求證：AF=BF.

25.（本小題8分）

如圖，己知等邊△48C,請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）:

⑴作△48。的外心0;

（2）設(shè)。是48邊上一點，在圖中作出一個正六邊形。EFGH/,使點尸、點，分別在邊8C和4c上.

答案和解析

1.【答案】D

【解析［設(shè)正方形的邊長為3a,則正六邊形的邊長為2a,.?.S】=(3a)2=9a2....正六邊形的邊長為2a,二

把正六邊形分成六個全等的小正三角形，其高為J(2Q)2—Q2=扃0,S2=6x|x2ax/3a=

222

6\/~3arAS2=9a:6V3a=2>故選D

2.【答案】D

【解析】本題考查了三角形外心的性質(zhì)，即到三角形三個頂點的距離相等，依次判斷即可.

因為三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，由正六邊形性質(zhì)可知，點:。到A、B、C、D、E的距離

中，只有。=0C=0D,

所以點。是△力C。的外心.故選D

3.【答案】C

【解析】如圖，???△A8C是等邊三角形，

.??△48C的內(nèi)切圓和外接圓是同心圓，圓心為0.

設(shè)D,E為切點、,連接0E,0D,0A,易得點4,0,。共線，則0E=。。=r,AO=R,AD=h,

h=R+r,故A正確.

AD1.BC,

:.￡DAC=\LBAC=jx60°=30°.

在中，OA=2OE,即R=2r,故8正確.

AB=AC=BC=a,OE1AC?

11

???AE==2a

(7a)2+r2=(2r)2,(1a)2+(I/?)2=R2

…冷,R==a，故C錯誤，。正確.

63

故選C.

4.【答案】C

【解析】解：正六邊形力8CDEF邊長為2,中心與原點0重合，AB〃x軸，

-.AP=1,AO=2.Z.0PA=90°,

：OP-=>/AO2-AP2=73.

第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點人的坐標(biāo)為（C,-1）;

第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點力的坐標(biāo)為（_1,一門）；

第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時,，點4的坐標(biāo)為

第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點4的坐標(biāo)為（1.O,

4次一個循環(huán)，

.??2023+4=505…3.

第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點｛的坐標(biāo)為

故選：C.

首先確定點力的坐標(biāo)，再根據(jù)4次一個循環(huán)，推出經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)后，點的坐標(biāo)即可.

本題考查正多邊形的性質(zhì)，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方

法，屬于中考?？碱}型.

5.【答案】C

U針斤】略

6.【答案】4

【解析】【分析】

此題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，得到用半徑表示的邊心距；注

意：正多邊形的計算一般要轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來解決.

根據(jù)三角函數(shù)即可求解.

【解答】

解：設(shè)圓的半徑為R，

則正三角形的邊心距為Q=Rxcos60°=|/?.

正方形的邊心距為b=/?xcos45c=苧R，

正六邊形的邊心距為c=RxCOS30。=亨旦

號R〈等，

a<b<c,

故選：A.

7.【答案】C

【解析】解：???六邊形力BCDE尸是邊長為4的正六邊形，

CD=DE=EF,乙CDE=乙DEF=120°,

:.Z.CED=LECD=乙EDF=乙EFD=30°,

:.乙FEG=90°,

vEF—4,

“V34/3

???EG=—EclFet=

???△GEF的面積=1xEF-GF=1x4x^=學(xué).

故選：C.

根據(jù)六邊形48CDEF是邊長為4的正六邊形，可得CO=OE=EF,Z.CDE=Z.DEF=120°,根據(jù)三角形內(nèi)

角和定理可得乙CED=NECD=4EDF=乙9尸。=30。，所以NFEG=90。，然后利用含30度角的直角三角

形可得EG的長，進(jìn)而可以解決問題.

本題考查了正多邊形和三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的性質(zhì).

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)中間正六邊形的中心為。，連接。8.

?:點P，Q的坐標(biāo)分別為(一2，$3)，(0,-3),圖中是7個全等的正六邊形,

：.AB=BC=2，1，OQ=3,

:.OA=OB=V_3>

AOC=3/3,

???CQ=DB=20D,

OD=1,QD=DB=CM=2,

:.-2），

故選：A.

設(shè)中間正六邊形的中心為0,連接。8.判斷出。C,CM的長，可.得結(jié)論.

本題考查正多邊形與圓，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

9.【答案】B

【解析】解：連接OB,0C,

???多邊形"C?！笔钦呅?，

4B0C=60°,

???OB=0C,

.??△0BC是等邊三角形，

???OB=BC?

???正六邊形的周長是12,

BC—2,

.??。0的半徑是2,

故選B.

連接。力，0B,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得。。的半徑，進(jìn)而可得出結(jié)論.

本題考查正多邊形和圓的關(guān)系.

10.【答案】D

【解析】根據(jù)題意，得圖中的黃金三角形有△EMR,^ARQ,ABQP,△CNP,ADMN,△OER,△

EAQ,△ABP,△BCN,△CDM,△DAB,△EBC,△ECA,△ACD,△BDE,△ABR,△BQC,△CDP,

ADEN,LEAM,共20個.故選。.

11.【答案】C

【解析】解：如圖：連接。C，。0，0E,

???多邊形力8CDEF是正六邊形，

乙COD=乙DOE=孥=60°,

O

乙COE=2乙COD=120°,

.??"ME=2。￡=60。.

故選：C.

連接OC,OD,OE,由止六邊形的性質(zhì)得出/COE=120。，由惻周角定理即nJ求解.

本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由圓周角定理求出4。0￡=120。是

解決問題的關(guān)鍵.

12.【答案】C

【解析】解:連接。力，OB,

???五邊形力BCDE是0。的內(nèi)接正五邊形，

NA08=嗒=72°,/-ABC=/.BCD=ZD=108°,AB=DE=CD,故4錯誤;

???LDCE=36°,

乙FCB=72°,

?：CEVDE+CD,

/.CE<2AB,故A錯誤;

vGA=OB,

：.Z.OAB=乙OBA=54°,

:?乙GBO=180°-乙OBC=126°,

??,FG是OO的切線，

???LOAG=90%

:.LG=360°-Z-OAG-LAOB-LOBG=72°,故。錯誤;

zF=1800-Z-G-Z,FCG=36°,故C正確：

故選:c.

連接。力，OB,根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到N/10B=嗒=72°,匕ABC=乙BCD=ZD=108°,AB=DE=

CD,故4錯誤；求得NDCE=36。，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到CEV248,故A錯誤；根據(jù)切線的性質(zhì)得

至IJ,04G=90。，求得乙G=360。一々OAG—4AOB—N08G=72。，故。錯誤；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理

得到乙/=180°-zG-/FCG=36。，故C正確.

本題考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】24

【解析】如圖,連接力0、HE,

在正八邊形48CDCrGH中，可得HE18G于點M,力。18G于點N.

???正八邊形每個內(nèi)角為(8-2)：180°=135。，

8

???Z.HGM=45°,

:.MH=MG.

設(shè)MH=MG=x,

則HG=AH=AB=GF=y[2x^

:.BG-GF=2(/2+1)無2=12,

S四邊形ABGH=2('，+BG)?HM=(>/~2+l)x2=6.???S正八邊形=6x2+12=24(cm2).

14.【答案】/6

【解析】如圖，連接AC、OE.OF,作。MJLEF于點M.?.?四邊形力BCD是正方形，

AB=BC=2,乙43c=90。，

"是直徑，AC=2/2?AOE=OF=/2.

v0M1EF,AEM=MF.

???△E/G是等邊三角形，二乙GEF=60°,

在RtAOMEqn,vOE=/-GEM=^Z.GEF=30°,

A0M=WEM=COM=學(xué)，???EF=yj~6.

E

15.【答案】30

【解析】設(shè)正六邊形的邊長為1，正六邊形的每個內(nèi)角=(6-2)x180。+6=120。，???A8=BC,LABC=

120°,ALBAC=Z.BCA=jx(180°-120°)=30°,?:乙BAF=120°,???乙CAF=乙BAF-ABAC=120°-

30c=90。，如圖，過點8作BMJ.力C于點M,則AM=CM,vLBMA=90°,/.BAM=30°,：.BM=

I,。1

2A3=2

AM=VAB2—BM2=Jl2—0=苧'

212

,AC=2AM=G，：CF=AC+/IF,ACF=2,

???CF=2AF,??.乙4CF=30。，故答案為30.

16.【答案】15

【解析】【試題解析】

【分析】

本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正十邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)中心角的度數(shù)=360。+邊數(shù),列式計算分別求出乙408,KBOC的度數(shù),則440c=60。,則邊數(shù)n=

360。個中心角.

【解答】

解：連接80,

o

BC

???4?是O。內(nèi)接正六邊形的一邊，

:.Z.AOC=36004-6=60°,

BC是0。內(nèi)接正卜邊形的一邊，

???/8。。=360。+10=36。，

Z.AOB=Z.AOC-乙BOC=60°-36°=24°,

???n=360。+24。=15；

故答案為：15.

17.【答案】解：(1)設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為

???一個正多邊形中，一個內(nèi)角是與它相鄰的一個外角的3倍，

.?.正多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，

(n-2)-180°=360°x3,

解得幾=8,

答：這個多邊形的邊數(shù)是8；

(2)360°+8=45。，

答：這個多邊形的每一個外角的度數(shù)為45。.

【脩析】(1)設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為九，一個正多邊形中，一個內(nèi)角是與它相鄰的一個外角的3倍，則正多

邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，據(jù)此列方程即可求解；

(2)根據(jù)正多邊形的外角都相等進(jìn)行求解即可.

此題考查了正多邊形的外角與內(nèi)角問題，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：(l)4V3cni2;9cm2:6-/3cm2:

(2)???4/3<9<6/3，

'S正三角形<S正方形<S正六邊形;

(3)正六邊形.

【解析】解：①正三角形時，邊長=12-3=4(cm),底邊的高為：—42-22=2/3(cm)

S正三角形=1x4x2/3=4/3(c?n2)；

②正方形時，邊長=12+4=3(cm),

S正方形=3?=9cm2.

③正六邊形時，邊長=12+6=2(sn),

S正六邊形=6x1x2xx<3=6V3(cm2)；

故答案為：(1)、4V3C7712;9cm2：6V~3c7n2;

(2)v4/3<9<6/3;

's正三角形<S正方形<S正六邊形

(3)當(dāng)面積一定時，耗材最少的圖形是正六邊形，

故答案為：正六邊形.

(1)根據(jù)周長的定義求出各圖形的邊長：①為正三角形時，根據(jù)正三角形的性質(zhì)求出高，再利用三角形的

面積公式列式計算即可得解：②根據(jù)正方形的面積公式列式計莫即可■得解：③根據(jù)正六動形的面積等干6

個全等的等邊三角形的面積的和列式計算即可得解；

(2)根據(jù)(1)的數(shù)據(jù)比較即可；

(3)根據(jù)(1)中的計算結(jié)果即可得到結(jié)論.

本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正多邊形，主要利用了等邊三角形和正方形的面積的求

解.

19.【答案】解：如圖所示,

G

圖①C圖②

(1)如圖①，正六邊形48。?！凹礊樗?；

(2)如圖②，正八邊形4BCDEFGH即為所求.

【解析】【分析】

此題考查的是格點作圖，掌握圓的內(nèi)接正六邊形和內(nèi)接正八邊形的性質(zhì)和中心角的求法是解決此題的關(guān)

鍵.

(1)設(shè)A。的延長線與圓交于點D,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，點。即為正六邊形的一個頂點，且正六邊形的邊長

等于圓的半徑，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可確定其它頂點；

(2)先求出圓內(nèi)接八邊形的中心角，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可找到各個頂點.

【解答】

解：(1)設(shè)4。的延長線與圓交于點。，

根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，點。即為正六邊形的一個頂點，且正六邊形的邊長等于圓的半徑，即。8=

AB,故在圖中找到4。的中垂線與圓的交點即為正六邊形的頂點B和F；同理：在圖中找到。D的中垂線與

圓的交點即為正六邊形的頂點C和E,連接48、BC、CD、DE.EF、FA,如圖①，正六邊形力8CDE尸即為

所求.

(2)圓的內(nèi)接八邊形的中心角為360。+8=45°,而正方形的對角線與邊的夾角也為45°

在如②圖所示的正方形OMNP中，連接對角線ON并延長，交圓于點8,此時乙4ON=45。；?:乙NOP=

45)

二OP的延長線與圓的交點即為點C.

同理，即可確定點D、E、尸、G、H的位置，順次連接，

如圖②，正八邊形4BCDEFGH即為所求.

2().【答案】解：任務(wù)1：設(shè)桃形李產(chǎn)量的年平均增長率為，

由題意得：

35(1+x)2=50.4,

解得：%i=0.2,x2=一2.2(不符合題意，舍去)，

答：桃形李產(chǎn)量的年平均增長率為20%；

任務(wù)2：設(shè)裁掉正方形的邊長為7展cm),由題意得:

(75-2m)x(80-2m)=3300,

化簡得，4m2-310m4-2700=0,

整理得，(m-10)(4m-270)=0,

解得：巾1=10,巾2=竽(不符合題意舍去)，

答：此時紙盒的高為10cm；

任務(wù)3：如圖，設(shè)底面正六邊形為A8CDEF,連接AC、FD、BE,力C和BE交于點G,FD和BE交于點H,BE

所在直線交長方形紙板的邊于點M、N,

設(shè)底面正六邊形的邊長為a(cm),紙盒的高為b(cm),

???正六邊形的每條邊相等，每個內(nèi)角都為120。，

???△49C為等腰三角形，Z.ABC=120°,

:.Z.BAC=Z.BCA=30°,

由正六邊形的性質(zhì)可得BE平分4A8C,

/.Z.ABE=60°,

:.Z.AGB=90°,

.?.直角三角形力BG中，BG=：a,AG=苧a，

同理可得直角三角形FHE中，HE=\a,

vCG=AG=芋a，力+力。+GC+b=75,

:.2b+V_3a=75①，

???左側(cè)小三角形頂點8的角度=360°-120°-90°-90°=60°,

.??左側(cè)小三角形為邊長b的等邊三角形，

根據(jù)圖形的上下對稱可得MN與長方形紙板的左右兩邊垂直，

??.BM為等邊三角形的高,

...BM=苧b，

同理可得，EN=BM=^b

叩邊形AG，/為矩形,

???GH=AF=a,

vMN=MB+BG+GH+HE+EN=80,

:.2a+/3b=80②，

聯(lián)立①②式可得b=150-8/3，

答：紙盒的高為(150-8C)cm;

【解析】任務(wù)1：設(shè)桃形李產(chǎn)量的年平均增長率為，則2022年的產(chǎn)量為35(1+乃2千克，由2022年的產(chǎn)量

解方程即可；

任務(wù)2：由圖1可得裁掉正方形的邊長即為圖2長方體盒子的高，設(shè)裁掉正方形的邊長為7n(cm),根據(jù)長方

體紙盒的底面積列方程求解即可；

任務(wù)3：設(shè)底面正六邊形為力8CDEF,連接AC、FD、BE,AC和8E交于點G,FD和BE交于點H,BE所在直

線交長方形紙板的邊于點M、N,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求得△AEG為含30。角的直角三角形，可得其兩直角

邊的長度；結(jié)合等邊三角形的判定和性質(zhì)再求得左右兩側(cè)小三角形的高，然后根據(jù)長方形紙板的長和寬建

立方程求解即可.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，30。角的直角三角形的邊

長關(guān)系，對稱的性質(zhì)；掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

21.【答案】解:(1)如圖OP即為所求.

(2)若正六邊形48CD"邊長為18cm,

連接。兒

???點。為六邊形4BCDE尸中心,

:.0A=OF,

又，0”=60°,

力"為等邊三角形，

即04=AF=18cm,

設(shè)0P半徑為r,

則OP=r,AP=OA-r=18-r,

PK=r

RtAHPK中，￡P(guān)AK=60°,

A/.APK=30°,

則=

由勾股定理得：AP2=AK2+PKZ,

(18-r)2=(9-^)2+r2,

???V3(9-^)=±r,

即"斗=9口r>0,

:.r=(36A/3-54)cm.

【解析】本題考查切線的判定與性質(zhì)和正多邊形的計算關(guān)系，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

(1)第1步：分別以點E、F為圓心，大于寺EF長為半徑畫圓弧，兩弧分別交于M,N兩點，連接MN并延長與

A8延長線交于點Q.(此作

圖方法作出EF中垂線，由正六邊形對稱性可知，MN必過正六邊形48。。“中心點0)

第2步：以點Q為圓心，任意長度為半徑畫圓弧，分別交MN『點G,交48廣點H;再分別以點G、〃為圓心.

大于3GH長為半徑畫

圓弧，兩弧交于點7,作射線QT,(即QT平分乙GQH),

第3步：連接4D(由對稱性可知，經(jīng)過中心。)與射線QT與04交于點P