正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像

知識梳理

一、正弦函數(shù)的性質(zhì)

1、定義域與值域

），=5由工的定義域為/?,值域為

當(dāng)且僅當(dāng)x=]+2Z）,ZEZ時，函數(shù)y=sinx的最大值為），max=1；

當(dāng)且僅當(dāng)工=半+22萬，AEZ時，函數(shù)y=sinx的最大值為人=-1；

2、奇偶性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱。

3、周期性

（1）定義：對于函數(shù)y=fM,定義域為I,當(dāng)x￡/時，都有f（x+7）=fM，其中T是一

個非零的常數(shù)，則），=/。）是周期函數(shù)，T是它的一個周期；

（2）最小正周期：對于一個周期函數(shù)/（X）,如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那

么這個最小整數(shù)就稱為了。）的最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期；

（3）函數(shù)y=sinx的最小正局期為24.

4、單調(diào)性：在[-1+251+2攵如上單調(diào)遞增，在號+2版?3+2向上單調(diào)遞減（keZ）

5、正弦函數(shù)的零點：正弦函數(shù)〉=$由工的零點是版■（正Z）

二、正弦函數(shù)的圖像

1、圖像

3、五個關(guān)鍵點：（0,0）,弓,1）,（不0）,吟,-1）,（24,0）

4、注意事項：（1）作正弦函數(shù)圖像時,函數(shù)自變量要用弧度制，以保證自變量與函數(shù)值都為

實數(shù)；

(2)在精確度要求不高的情況下，“五點法”是一種實用、高效的作圖方法，需要注意這五個

點要用平滑的曲線連接，而不能用線段連接；

(3)五個關(guān)鍵點是利用五點法作圖的關(guān)鍵，要熟記并區(qū)分正弦函數(shù)圖像中的五個關(guān)鍵點。

三、“五點法”作函數(shù)y=^sinx+〃的圖像

(1)列表：以正弦函數(shù)的五點為基礎(chǔ)，列出函數(shù)y=asinx+〃的五點；

(2)描點：將函數(shù))，=asinx+b的五點在坐標(biāo)系中描出來；

(3)連線：利用平滑的曲線將點連接起來，注意不能用折線連接。

四、求最小正周期常用的方法

1、定義法：即觀察出周期，再用定義來驗證；也可由函數(shù)所具有的某些性質(zhì)推出使

/慎+7)=穴幻成立的??；

2、圖像法：即作出)，=/(幻的圖像，觀察圖像可求出T,如產(chǎn)卜in；

3、結(jié)論法：一般地,函數(shù)y=Asin(?x+0)(其中A。4為常數(shù)，Aw0,?>O,xeR)的周期為

T=—

co

五、用三角函數(shù)圖像解三角不等式的步驟

1、作出相應(yīng)正弦函數(shù)在02兀］上的圖象；

2、寫出適合不等式在區(qū)間［0,2利上的解集；

3、根據(jù)公式一寫出不等式的解集.

常考題型

題型精析

題型一五點作圖法畫正弦函數(shù)圖像

【例11用“五點法”作產(chǎn)2sin2x的圖象，首先描出的五個點的橫坐標(biāo)是（）

A不B.。，￡，[，學(xué)，]C.0“2凡3肛4乃D.峙冬/4

224246323

【答案】B

【解析】由“五點法”作圖知：令2x=0,，兀，全，2乙

解得x=0,"%,兀，即為五個關(guān)鍵點的橫坐標(biāo)，故選：B.

【變式皿】函數(shù)＞=2-sinx,X《0,2句的簡圖是（）

【答案】A

【解析】列表：

兀3冗

X07C2乃

22

sinx010-10

y=2-sinx21232

觀察各圖象發(fā)現(xiàn)A項符合.故選：A.

【變式1-2]用五點描點法作下列函數(shù)的圖像：

（1）y=l-sinx,xe[0,2^-]；（2）y=1+sinx,xw[-4

【答案】（1）圖象見解析；（2）圖象見解析.

【解析】（1）由題意，利用五點法作出函數(shù)尸一血"€[0,2m的簡圖：

列表：

7131

X兀2萬

0~2T

（2）由函數(shù)），=1+疝X/€[-乃,乃],

【變式1?3】作出函數(shù)），=而|\|/￡[-24,2乃]的大致圖像.

【答案】圖象見解析

【解析】列表

7T34

X0幾24

2~2

y=sin|x|010-10

作圖：先作出（。，2句的圖像，又原函數(shù)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于歹軸對稱,

即可作出卜2肛0）的圖像.

題型二與正弦函數(shù)有關(guān)的零點問題

【例2】函數(shù)ksinx,.問0,2可的圖像與直線），=1的交點的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

2

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，先畫函數(shù)），=sinx,x?0,2可的圖像，再畫直線＞=,

可知所求交點的個數(shù)為2.故選：C.

【變式2-1］已知函數(shù)危尸閨［sinx,則、危）在區(qū)間［0,2初上的零點個數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】令/（%）=4）—sinx=0,貝!J（g）'=sinx,

在同一坐標(biāo)系中，作出「二（；）；Xsinx,如下圖所示：

由圖知，/2在區(qū)間［0,2乃］上的零點個數(shù)為2個.故選：B.

【變式2-2】設(shè)。為常數(shù)，且滿足。=42+1目問飛用的t的值只有一個，則實數(shù)〃的值為（）

A.0B.1C.2D.?；?

【答案】D

【解析】因為片sinx+l,列表：

7171

X0n-it

2-2

y12101

描點、連線，函數(shù)圖象如下圖所示：

因為a=sinx+l,且“目-?？傻膞的值只有一個.

所以。與丁=sinx+1在x?-兀,兀］上只有1個交點，

結(jié)合圖象可知。=0或。=2.故選：D

【變式2-3】函數(shù)/“)=sig+3|sinx|,x€［O,24］的圖象與直線,，=A有且僅有兩個不同的交點，則

k的取值范圍是()

A.f-2,21B.(-l,0)J(0,3)C.(2,4)D.(1,4)

【答案】C

［解析］當(dāng)xw［0,加時,/(%)=sinx+3|sinx|=4sinx,

當(dāng)xe(/r,2句時，f(x\=sinx+3|sinx\=-2sinx,

所以函數(shù)/(X)的圖像如圖所示，

所以函數(shù)f(x)的圖象與直線y=A有且僅有兩個不同的交點時，丘(2,4).故選：c

【變式2-4】已知關(guān)于A的方程cos2x-sinx+2a=0在［%］內(nèi)有解那么實數(shù)。的取值范圍()

A.°B.—￡。工()C.—-D.—V〃40

82222

【答案】C

Z-

【解析】方程cos2x-sinx+2a=0在。，'內(nèi)有解，

即24=-852%+$出%=$汨。+$m1-1在［。”內(nèi)有解，

令/=sinx,,貝（］y=sin2x+sinx-l=f2+f_l=（/+g）--^e（-lj］,

所以-lv2〃G,解得.故選：C.

【變式2-5］已知函數(shù)/（x）=sinx,則方程/（/⑼弓在臼°二2］的解的個數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】由/（73））="則八X）=2H+2或兼；T+當(dāng)且建Z,而/（幻引-1,1］,

2oO

所以/S）=sinA?,在（。㈤上有2個解,（凡2刀）上無解，

所以一（X）在（。，6乃）U［0,22］上有6個解，則（6凡7幻u［0,22］有2個解，

所以共有8個解，故選：C

題型三利用正弦函數(shù)圖像解不等式

【例3】不等式sinX...，,xe（0,2%）的解集為（）

A,匕句B.匕，了」C.白，二

【答案】B

【解析】sinx.q,xw（0,2乃）

y=sinx函數(shù)圖象如下所示：

???不等式的解集為：仁岑］.故選：4.

【變式3-1］在［0,2句內(nèi)，不等式sin…當(dāng)?shù)慕饧牵ǎ?/p>

Am、口（乃3叫「5黨（51

A.（0,兀）B,仁小C.6,JD.月期

【答案】C

【解析】畫出片sinx,工目0,2句的草圖如下.

x?0,2句內(nèi)，令sinx=-4，解得a號或A號，

乙J）J

結(jié)合圖象可知不等式sinx<-等的解集為（竽，手）.故選：C.

【變式3-2】函數(shù)y二四標(biāo)的定義域是________.

［答案］｛.寸2左乃vx<2&萬+乃，攵eZ｝

【解析】由%—盟知，（—，

由正弦函數(shù)圖象特征知，2k冗<x<2k冗+乃,AeZ.

故定義域為｛x|2女4<犬v2Z;r+7r,ZeZ｝.

故答案為：｛x\2k7r<x<2k;r+7r,keZ］.

【變式3-3】函數(shù)/（"=1+/九:一的定義域為__________.

vzsinK-I

【答案】尋21*2可仕eZ）

【解析】由題意，2sinx—l>（）=sinx>T=xc［^+2&乃考+2&乃（AeZ）.

故答案為：（畀2%樣+2我乃卜叼.

題型四正弦函數(shù)的周期性

【例4】函數(shù)/'（x）=3sinx”K的最小正周期是（）

A.|B.乃C.2%D.4/r

【答案】C

【解析】由題意，函數(shù)"x）=3sinx,xtR

可得函數(shù)“X）的最小正周期為丁=答2萬.故選：C.

【變式4-1］下列函數(shù)的最小正周期為"的是（）

A.y=VsinxB.y=sin|x|C.>'=|sinx|D.y=^—

sinx

【答案】C

【解析】對于A,y=而定義域為［2〃肛20十句次eZ，所以最小正周期為2乃.

對于B,y=sinH不是周期函數(shù)，所以B錯誤.

對于C,y=卜間是將V=sinv的圖像在x軸以下的部分翻折到工軸上方，

所以），=忖間的最小正周期為

對于D,由），=siar的圖像與性質(zhì)可知），=」-的最小正周期為2乃.

siriAT

綜上可知,最小正周期為2萬的是C,故選:C

【變式4-2］下列函數(shù)中為周期是乃的偶函數(shù)是（）

A.y=|sin.Y|B.y=sin|x|Cy=-sinxD.y=sinx+1

【答案】A

【解析】對于A,廣酬1為偶函數(shù)，且最小正周期為巴所以A正確：

對于B,y=sin|X為偶函數(shù)，但不具有周期性，所以B錯誤；

對于C,），=-sinx為奇函數(shù)，所以C錯誤；

對于D,），=sinx+l為非奇非偶函數(shù)，所以D錯誤.

綜上可知，正確的為A故選:A

【變式4-3]下列函數(shù)不是周期函數(shù)的是()

2

A./(jr)=|sinx|B./(x)=sinx+sin2xC./(x)=sin(x)D,F

【答案】C

【解析】畫出〃幻=頒M的圖象如下：

故/")=卜后乂的最小正周期為兀，是周期函數(shù)；

假設(shè)/(x)=sinx+sin2x的一個周期為/(//。)，貝[]/(工+/)=/(刈，

gpsin(x+r)+sin(2x4-2z)=sinx+sin2x,

則/=2板〃wZ滿足題意,故/(x)=sinx+sin2K周期函數(shù)；

假設(shè)/3=sin(d)的一個周期為""0),貝！]/(1+〃。=/(同，

即sin[(%+〃?)[=sin(./)，

由于=/+2〃式+〃?2,正弦函數(shù)的周期為2E(keZ),

所以2"Lr+〃?2=2E(keZ),顯然，〃(〃?工。)不是一個常量,

故、f(x)=sin(巧不是周期函數(shù)

假設(shè)/(?=--的一個周期是〃，則/(x+〃)=/(x),

sinx

即sin'+〃廣熹/故sin(x+〃)=sinx：顯然，當(dāng)〃=2履(ZwZ)滿足要求，

故-J-是周期函數(shù)；故選：C

題型五正弦函數(shù)的奇偶性

【例5】函數(shù)y=xsinx的奇偶性是(奇函數(shù)、偶函數(shù))

【答案】偶函數(shù)

【解析】函數(shù)尸口內(nèi)的定義域為(f+oo),

因為(T)?sin(T)=T(-sinx)=%.sinx,所以函數(shù)＞=xsinx是偶函數(shù).

【變式5-1】函數(shù)的奇偶性為()

1-sinA

A.奇函數(shù)B.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)C.偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

【答案】D

【解析】由題意知，當(dāng)1-sinxwO,即sinx"時，函數(shù)有意義，

所以函數(shù)的定義域為卜卜2氏+*臼，由于定義域不關(guān)于原點對稱，

所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)故選：D

［變式5-2】函數(shù)/(x)=x/1-sinx-x/l+sinx的奇偶性為

【答案】奇函數(shù)

【解析】函數(shù)的定義域為xeR關(guān)于原點對稱

/(-x)=Vl+sinx-71-sinA-=-/(A),所以此函數(shù)為奇函數(shù).

【變式5-3】判斷函數(shù)/(x)=lg(sinx+而高)的奇偶性.

【答案】奇函數(shù)

【解析】當(dāng)xER時，均有sinx+而彳40,

,**/(-x)=lg[sin(—x)+Jl+sin2(-x)]=lg(Jl+sin2x-sinx)=lg，：sm?sin'

vl+sinx+sinx

=lg(sinv+Vl-sin2x)-,=-lg(sinx+Vl+sin2x)=一八幻.

???加)是奇函數(shù).

【變式5-4】已知函數(shù)/*)=/+陽2+￡-2。22(a,b，。為實數(shù))，且八2022)=1，貝|J/(—2022)=

:)

A.-1B.1C.-4045D,4045

【答案】c

【解析】設(shè)g(x)=/(x)+2022=ad+〃sinx+￡,工工0,

.1

貝!Jg(一幻=4(一x)3+bsin(_x)+￡=-aP_bsinx_￡=_g(x),是奇函數(shù)，

一XX

g(2022)=.(2022)+2022=2023,

所以《2022)=/(-2022)+2022=-g(2022)=-2023,

.”-2022)=4)45.故選：C.

題型六利用單調(diào)性比較大小

【例6】sinl,sin2,sin3按從小到大排列的順序為()

A.sin3<sin2<sinlB.sin3<sinl<sin2C.sinl<sin2<sin3.sin2<sinl<sin3

【答案】B

【解析】sin2=sin(n-2),sin3=sin(n-3)/

因為0<江-3<1<兀-2<］,)，=sinx在卜吟)上為增函數(shù)，

^)YL^sin(7t-3)<sinl<sin(7c-2)f

所以sin3vsinl<sin2,故選：B

【變式6-1】已知"=sin與,b=sin￡,c=sin竽，貝」(I)

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD,c<a<b

【答案】C

F,if-37r/2/r、2乃,,2/r、LTC

［解析］p=sin—=sin(4---)=sin——c=sin(4乃----)=-sin—

555f55f

r，八2/r3/rzr.27r八.27r.37r

而0<—<—<—,HI-sin—<0<sin—<sin—<1,

“u572，人」557

所以ov/xa.故選：C

【變式6-2］（多選）下列不等式成立的是（）

B.sin3<sin2D.sin2<cos1

【答案】AB

【解析】?,?一/一合一春〈。，，sin(q)<sin(-擊，所以A正確.

Zo1Uo1U

g<2<3<兀sin2>sin3,所以B正確.

sin胃=sin(7r+會=_sin目=sin(-馬,所以C錯誤.

JJJJ

cos1=sin(l<2<1+-^<7T,/.sin2>sin(l+^)=cos1,pJrLMD:AB

【變式6-3]已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足(-小乂嗚)，且當(dāng)工?°，小時J(x"nx,

貝U()

A./(cos120°)>/(sin(-20°))>/(sin190°)B./(cos1200)>/(sin1900)>/(sin(-20°))

C./(sin1900)>/(cos1200)>/(sin(-20°))D./(sin1900)>/(sin(-20°))>/(cos1200)

【答案】A

【解析】因為小-9=小+9,所以小)的周期為萬.

當(dāng)xe[0,句時，"x)=sinx,

則/(工)在已“上單調(diào)遞減，所以/(X)在卜別上單調(diào)遞減.

因為T<sin210。<sin200°<sin190°<0,且sin210c=cos1200,sin2000=sin(-20°)

所以一1<cos120°<sin(-20°)<sin190°<0.

故〃cos120。)〉/(sin(-20。))〉〃sin1900).故選：A.

題型七正弦函數(shù)的值域與最值問題

【例7】函數(shù)/（6=-2sinx+l的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因為xeR,所以sin*e[-U],

所以/（x）=-2sinx+l的最大值為（-2?（一1）+1=3故選：C

【變式7-1】函數(shù)），=85。+5皿％-1的