《角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：綜合運(yùn)用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的兩個(gè)定理解決問(wèn)題，并學(xué)習(xí)結(jié)合之前的知識(shí)（如全等三角形等）解決更為綜合的問(wèn)題．教學(xué)重點(diǎn)：識(shí)別基本圖，分析推理，整合思路，規(guī)范書(shū)寫(xiě)，反思優(yōu)化．教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)分析進(jìn)行合理的推理和優(yōu)化．教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分鐘8-10分鐘4-5分鐘6-8分鐘2-3分鐘復(fù)習(xí)定理回顧整合例題講解小結(jié)與作業(yè)復(fù)習(xí)定理1．角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．符號(hào)表示：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．2．交換題設(shè)結(jié)論（注意附加條件）：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．符號(hào)表示：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上．我們上節(jié)課還留下了一個(gè)思考問(wèn)題：為什么定理2會(huì)附加角的內(nèi)部這個(gè)條件？我們先通過(guò)研究相關(guān)的一系列問(wèn)題，來(lái)回答并幫助大家進(jìn)行近期學(xué)習(xí)內(nèi)容的復(fù)習(xí)．【問(wèn)題】1．回顧之前的課上我們研究過(guò)這樣一個(gè)書(shū)上的問(wèn)題：（教材50頁(yè)例題）如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．解題思路：過(guò)點(diǎn)P分別向三角形各邊作垂直，標(biāo)垂足．由角的平分線(xiàn)的性質(zhì)得PD=PE及PE=PF．進(jìn)而PD=PE=PF．于是問(wèn)題得證．2．追問(wèn)點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線(xiàn)有什么關(guān)系？∵PD＝PE＝PF（已證），又PD⊥AB，PF⊥AC，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上）．由此可知：三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)．我們之前用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)驗(yàn)證三角形兩條角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三邊距離相等，現(xiàn)在再通過(guò)定理2來(lái)判斷這個(gè)交點(diǎn)也在第三條角平分線(xiàn)上．3．類(lèi)比（教材50頁(yè)練習(xí)第2題）如圖，△ABC的∠ABC外角的平分線(xiàn)BD與∠ACB的外角的平分線(xiàn)CE相交于點(diǎn)P．（1）求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線(xiàn)的距離相等．思路：過(guò)點(diǎn)P分別向三角形各邊作垂直，標(biāo)垂足．由角的平分線(xiàn)的性質(zhì)得PF＝PG及PG＝PH．進(jìn)而PF＝PG＝PH．于是問(wèn)題得證．過(guò)點(diǎn)P作PF，PG，PH分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為F，G，H．∵BD為∠ABC外角的平分線(xiàn)，點(diǎn)P在BD上，∴PF＝PG．（角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）同理PG＝PH．∴PF＝PG＝PH．即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線(xiàn)的距離相等．（2）點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上嗎？這說(shuō)明三角形的相鄰兩個(gè)外角的平分線(xiàn)與第三個(gè)內(nèi)角角平分線(xiàn)有什么關(guān)系？∵PM⊥AF，PN⊥BC，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上）．由此可知：三角形的相鄰兩個(gè)外角的平分線(xiàn)與第三個(gè)角的角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)．4．應(yīng)用（教材P55復(fù)習(xí)題12第6題）如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村．要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建？我們借此抽象出這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知△ABC，在它的內(nèi)部求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．大家可以從第1個(gè)定理入手，通過(guò)角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，發(fā)現(xiàn)使點(diǎn)到三條邊距離相等的加油站，應(yīng)該在角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)上．交點(diǎn)即為建加油站的位置．也可以從定理2入手思考：先不想三邊，而是考慮其中兩邊，再進(jìn)行同理．角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在哪兒呢？在角平分線(xiàn)上．那就應(yīng)該作三角形的兩條角平分線(xiàn)，這樣就找到符合要求的交點(diǎn)了．作圖：分別作∠BAC和∠ABC的平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)O，即為所求位置．提醒：如果題目要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，請(qǐng)仿照我們?cè)诮堑钠椒志€(xiàn)的性質(zhì)第1節(jié)課講過(guò)的尺規(guī)作圖步驟，逐條作出需要的角平分線(xiàn)．如果沒(méi)有要求，那么只要說(shuō)明作的是角平分線(xiàn)就行了，它是初中階段的基本作圖之一，可以直接使用．5．發(fā)展（對(duì)于定理2“在角的內(nèi)部”這個(gè)限制條件的思考）如果我們?nèi)サ粼谌切蝺?nèi)部這個(gè)條件，結(jié)論會(huì)怎樣？已知△ABC，求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．解：如圖所示：（1）作出△ABC兩內(nèi)角的平分線(xiàn)，其交點(diǎn)為O1；（2）分別作出△ABC兩外角平分線(xiàn)，其交點(diǎn)分別為O2，O3，O4．故滿(mǎn)足條件的修建點(diǎn)有四處，即O1，O2，O3，O4．回答之前的思考問(wèn)題：如果沒(méi)有“角的內(nèi)部”這個(gè)限制條件，那么三角形的外角平分線(xiàn)的點(diǎn)也應(yīng)該符合要求．也就是說(shuō)，如果不加限制，定理2是不對(duì)的，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi)角的平分線(xiàn)或者在外角的平分線(xiàn)上．思考問(wèn)題要全面．例1．（改編教材51頁(yè)習(xí)題12．3第4題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，點(diǎn)D到PE和PF的距離相等．求證：點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．分析：標(biāo)圖題目出現(xiàn)了兩次“點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，1．“點(diǎn)到角兩邊的距離相等”當(dāng)已知，想定理2；當(dāng)求證，想定理12．平行線(xiàn)用以轉(zhuǎn)換角的位置整理思路：處理這個(gè)問(wèn)題分3步走：先用定理2證等角；再用平行關(guān)系換角的位置；最后用定理1再證距離相等．證明：∵點(diǎn)D到PE和PF的距離相等，∴PD是∠EPF的平分線(xiàn)（定理2）．∴∠1＝∠2．∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．∴△ABC中，AD平分∠BAC．∴點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，大家可以先通過(guò)分析結(jié)論，找到證明中使用到的的板塊，再展開(kāi)書(shū)寫(xiě)．我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)題使用了這部分內(nèi)容學(xué)到的兩個(gè)定理，解題的關(guān)鍵就是熟記和鑒別這兩個(gè)定理．為了避免敘述角時(shí)發(fā)生混亂，可以引入序號(hào)編角，敘述距離時(shí)如果不是必須，可以省略作出垂直的圖形？例2．（教材51頁(yè)習(xí)題12．3第5題）如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF＝EF．分析：已知可推？“角分雙垂推相等”根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得PD＝PE，進(jìn)而可能推出△ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF．求證何來(lái)？可能來(lái)自全等．△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF．證明：法1分三步，先由角的平分線(xiàn)的性質(zhì)由PD＝PE；再結(jié)合OP＝OP證出Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出OD＝OE；最后結(jié)合∠DOF＝∠EOF，OF＝OF可證出△ODF≌△OEF（SAS），再利用全等三角形的性質(zhì)即可證出DF＝EF．∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，∴∠DOP＝∠EOP．又PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．在Rt△ODP≌Rt△OEP中∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）．∴OD＝OE．在△ODF和△OEF中，∴△ODF≌△OEF（SAS）．∴DF＝EF．法2調(diào)整一下，既然由PD＝PE，可能推出△PDF≌△PEF，求證DF＝EF也可能來(lái)自△PDF≌△PEF，有沒(méi)有可能只證明這一次全等呢？這就需要中間證明∠DPF＝∠EPF了，可以看到它們作為Rt△POD與Rt△POE的外角是可以推證相等的．也分三步，還是先由角的平分線(xiàn)的性質(zhì)由PD＝PE；再推出作為Rt△POD和Rt△POE的外角，∠OPD＝∠OPE；最后證出△PDF≌△PEF（SAS），再利用全等三角形的性質(zhì)即可證出DF＝EF．∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP＝∠OEP＝90°．又點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，∴∠DOP＝∠EOP，PD＝PE．∵∠DPF=∠ODP+∠DOP，∠EPF=∠OEP+∠EOP，∴∠DPF=∠EPF．在△PDF≌△PEF中∴△PDF≌△PEF（SAS）．∴DF＝EF．點(diǎn)評(píng)：決定題目的復(fù)雜性的，不僅僅是使用定理的多少，還有就是采用不同的定理可能會(huì)產(chǎn)生不同的證明步驟，有時(shí)候這種步驟的差別是很大的，會(huì)體現(xiàn)在書(shū)寫(xiě)耗時(shí)，便捷程度等各個(gè)方面．大家在處理問(wèn)題的時(shí)候，最好能夠在會(huì)做的基礎(chǔ)上要求自己做對(duì)，在做對(duì)的基礎(chǔ)上，還可以要求更高，要做得好．小結(jié)1．我們?cè)谶@階段學(xué)習(xí)了兩個(gè)定理，需注意區(qū)分它們的條件和結(jié)論，以免發(fā)生混淆．2．有些幾何問(wèn)題的解決需要添加輔助線(xiàn)，目前常見(jiàn)的輔助線(xiàn)以補(bǔ)全基本圖為主．3．一般的分析方法：已知可推什么？求證從哪里來(lái)？找常見(jiàn)基本圖與基本說(shuō)法等．可以先思考核心步驟再展開(kāi)寫(xiě)以免干擾思路．4．有時(shí)候解決問(wèn)題的方法不止一種，步驟難度可能差不多也可能有優(yōu)劣．希望大家多嘗試，多比較，多思考，多積累，逐步做到會(huì)-對(duì)-好．課后作業(yè)1．如圖，△ABC的角平分線(xiàn)AP和外角平分線(xiàn)BP相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P也在∠BCD的平分線(xiàn)上．分析：作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和判定定理證明即可．證明：作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H，∵BP是∠EBC的平分線(xiàn)，PF⊥AB，PG⊥BC，∴PF＝PG，∵AP是∠BAC的平分線(xiàn)，PH⊥AC，PF⊥AB，∴PH＝PF，∴PG＝PH，PG⊥BC，PH⊥AC，∴點(diǎn)P在∠BCD的平分線(xiàn)上．2．如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF交AD于點(diǎn)G，AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論．分析：已知可推？除得到等角和直角外，還由角的平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DE＝DF．求證何來(lái)？可證AD與EF相交所成的四個(gè)角中，任意一個(gè)為直角．兩者如何聯(lián)系？可證△DEG≌△DFG（SAS）．解：AD垂直EF．理由如下：∵AD為△ABC的角平分線(xiàn)，①∴∠1＝∠2．∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，②∴∠AED＝∠AFD＝90°．∴Rt△AED與Rt△AFD中，∠3＝∠4．由①②，得DE＝DF．在△DEG與△DFG中，∴△DEG≌△DFG（SAS）．∴∠DGE＝∠DGF＝90°．∴AD垂直EF．知能演練提升一、能力提升1.如圖,點(diǎn)D在BC上,若DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,則對(duì)于∠1和∠2的大小關(guān)系,下列說(shuō)法正確的是()A.一定相等 B.一定不相等C.當(dāng)BD=CD時(shí)相等 D.當(dāng)DE=DF時(shí)相等2.一塊三角形草坪如圖所示,現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息,要使涼亭到草坪三條邊的距離相等,涼亭的位置應(yīng)選在()A.△ABC的三條中線(xiàn)的交點(diǎn)處B.邊BC的中點(diǎn)處C.△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)處D.△ABC三條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)處3.如圖,三條公路兩兩相交,交點(diǎn)分別為A,B,C.現(xiàn)計(jì)劃修一個(gè)油庫(kù),要求到這三條公路的距離相等,可供選擇的地址有()A.一處 B.兩處 C.三處 D.四處4.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,點(diǎn)O是△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn),OD⊥BC于點(diǎn)D,OE⊥AC于點(diǎn)E,OF⊥AB于點(diǎn)F,則點(diǎn)O到三邊AB,AC,BC的距離分別是()A.2cm,2cm,2cm B.4cm,4cm,4cmC.5cm,5cm,5cm D.2cm,3cm,5cm5.如圖,AB∥CD,點(diǎn)P到AB,BC,CD的距離相等,則∠P=.

6.如圖,在△ABC中,BP,CP分別是△ABC的外角的平分線(xiàn).求證:點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上.二、創(chuàng)新應(yīng)用★7.小明發(fā)現(xiàn)了一種畫(huà)角的平分線(xiàn)的方法:如圖,在∠AOB的兩邊OA,OB上分別取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于點(diǎn)C.小明過(guò)點(diǎn)O,C畫(huà)射線(xiàn)OC,就得到OC是∠AOB的平分線(xiàn).請(qǐng)你證明這一結(jié)論的正確性.知能演練·提升一、能力提升1.D2.C3.D△ABC的兩個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn),以及三個(gè)外角兩兩平分線(xiàn)的交點(diǎn)都滿(mǎn)足要求.4.A如圖,連接OA,OB,OC,則S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA.而S△ABC=12×6×S△OAB=12×10·OF,S△OBC=12×8·OD,S△OCA=12×6因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn),所以O(shè)D=OE=OF.設(shè)OD=xcm,則10x+6x+8x=48,解得x=2.5.90°由題意可知點(diǎn)P是∠ABC和∠BCD的平分線(xiàn)的交點(diǎn).又因?yàn)锳B∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°.所以∠PBC+∠PCB=90°,即∠P=90°.6.證明如圖,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E,PF⊥AC于點(diǎn)F,PD⊥BC于點(diǎn)D.∵點(diǎn)P在∠EBC的平分線(xiàn)上,PE⊥AB,PD⊥BC,∴PE=PD.同理PD=PF,∴P