6.2指數(shù)函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的

通過(guò)指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的理解與應(yīng)用，提升概念.

直觀想象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).（2）掌握指數(shù)函數(shù)的圖象及簡(jiǎn)單性質(zhì).

（3）會(huì)用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問(wèn)題.

思維導(dǎo)圖

指數(shù)困數(shù)的概念一函數(shù)?/=屐（。>0,。#1）叫作指數(shù)函數(shù)

。>10<41<1

指數(shù)函數(shù)，平

用W

定義蟆定義域?yàn)镽

仇域低域?yàn)椋?,1~）,即對(duì)任何坎數(shù)，部“爐>0

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

過(guò)定點(diǎn)過(guò)定義（0,1）.圖敢住.、軸上方

n%*>0時(shí)，/>1；堂*>0時(shí)，”尸1；

函數(shù)值的變化

Am,o<><i^x<0時(shí)，y>l

單通竹在RI在R1是M角數(shù)

/=?*與的圖歆矢）y軸稱

對(duì)稱性F=C）

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01指數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)），=優(yōu)（4>0且4H1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，。為常數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)镠.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

（1）形式上的嚴(yán)格性：只有形如），="（。>0且。工1）的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù).像），=2?3"），=21

），=3、+1等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù).

（2）為什么規(guī)定底數(shù)“大于零且不等于1：

第1頁(yè)共43頁(yè)

]x>0時(shí)，"恒等于0,

①如果a=0,則[》《0時(shí),〃,無(wú)意義.

②如果a<0,則對(duì)于一些函數(shù)，比如），=（-4）;當(dāng)x=L,x=J■，…時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在.

2

③如果a=1?則y=1*=1是個(gè)常量，就沒(méi)研究的必要了.

【即學(xué)即練1】（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）若函數(shù)），=1/-〃是指數(shù)函數(shù)，則加等于（）

A.-1或2B.1

C.2D-

【答案】C

nr-m-1=1

【解析】由題意可得,〃?>。，解得〃?=2.

ni*1

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)02指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

y=ax

0<"1時(shí)圖象a>l時(shí)圖象

圖象\r

…

15|-------15

①定義域值域（0,內(nèi)）

②a。=1,即X=0時(shí)，y=l,圖象都經(jīng)過(guò)（0,1）點(diǎn)

性質(zhì)

③a，=a,即x=l時(shí)，y等于底數(shù)a

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤xv0時(shí)，ax>1⑤x<0時(shí)，Ova'vl

x>OM,0<av<lx>0時(shí)，ax>\

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分和“Ovavl”兩種情形討論.

（2）當(dāng)0<〃<1時(shí)，xf+8,y->0；當(dāng)時(shí)x->-oo,y0.

當(dāng)。>1時(shí)，〃的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快.

當(dāng)Ovavl時(shí)，4的值越小，圖象越靠近y軸，遞減的速度越快.

第2頁(yè)共43頁(yè)

(3)指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)與y=j的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱.

【即學(xué)即練2](2023?浙江金華?高一艾青中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)丁=/("是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)

2

工>()時(shí)，y-

⑴求函數(shù)/(x)在R上的解析式：

(2)判斷函數(shù)/(x)在RI?的單調(diào)件并用定義證明：

(3)解關(guān)于機(jī)的不等式〃，")+/(/—2)>0

7\-?x

【解析】(1)任取X<0,則T>0,〃T)=1———=4

八72一+12r+l

因?yàn)閥=/(x)是定義在R上的奇函數(shù),

所以小)=-〃-)=-言=|^!，

22X

又因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/(x)=l-

2V+12J+1

又因?yàn)?(0)=0符合上式,

故小)的解析式為：小)=|^,，wR.

(2)/(x)在R上單調(diào)遞增.

證明：任取再,々eR且玉<勺，

(、(.2^-12"-12(2*-2,2-2^(2^-1)

因?yàn)闉?lt;%，則內(nèi)一々<°，所以2M>0,<],乂2%+1>0,2*+1>0,

所以/(內(nèi))一/(電)<0，所以/(內(nèi))</(與)，

所以/")在R上單調(diào)遞增.

(3)因?yàn)?)>0,〃力是奇函數(shù),

所以原不等式可化為-2),則f[m)>,

又因?yàn)?(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)，則〃?>2-小，即1+〃一2>0，

所以〃?<-2或勿>1.

知識(shí)點(diǎn)03指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律

(1)

第3頁(yè)共43頁(yè)

①y=q',②y=b',③y=c',?y=d',則：0<b<a<\<d<c

乂即：xe(O,4<o)時(shí),b'<aK<(r<cl(底大幕大)

xG(—8,0)時(shí)，bx>ax>dx>rv

(2)特殊函數(shù)

(b、x

【即學(xué)即練3](2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知指數(shù)函數(shù)y="的圖象如圖所示，則一次函數(shù)丁=以+〃的

第4頁(yè)共43頁(yè)

【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：0<3<1，

若均為正數(shù)，則a>b>0,根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得此時(shí)函數(shù)）仁人圖象過(guò)一、二、三象限,

即C正確：

若〃力均為負(fù)數(shù)，則。<匕<0,此時(shí)函數(shù)y=or+。過(guò)二、三、四象限,

由選項(xiàng)A、D可知。力異號(hào)，不符合題意排除，選項(xiàng)B可知圖象過(guò)原點(diǎn)則〃=0也不符合題意，排除.

故選：C

題型精講

題型歸納

題型一：指數(shù)函數(shù)定義的判斷

例1.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)）=（/-3〃+3）優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則有（）

A.〃=1或。=2B.a=1C.。=2D.a>1,且〃工2

【答案】C

【脩析】由指數(shù)函數(shù)的概念得/-3〃+3=1，解得〃=1或a=2.

當(dāng)〃=1時(shí)，底數(shù)是1,不符合題意，舍去；當(dāng)。=2時(shí)，符合題意.

第5頁(yè)共43頁(yè)

故選：c.

例2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列函數(shù)：①y=2x3Z②），=3口③），=/；?y=x\其中為指數(shù)函

數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】指數(shù)函數(shù)解析式為y=且4，1）,

對(duì)于①②④，y=2x3\y=和），=（不符合指數(shù)函數(shù)解析式特征，①②④錯(cuò)誤：

對(duì)于③，），=/符合指數(shù)函數(shù)解析式特征，③正確.

故選:B.

例3.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=-4vB.y=（-4）AC.y=nrD.y=4'

【答案】C

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義）="（。>0，〃工1）知，

可得函數(shù)y=-4"不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)y=（-4）”不是指數(shù)函數(shù)；

函數(shù)1y=/是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)），=獷不是指數(shù)函數(shù).

故選：C.

變式1.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）給出下列函數(shù)：①尸）；②尸（-3）、；③產(chǎn)-3，；④），=（兀-3）1其中

指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】對(duì)于①，函數(shù)y=j的自變量1在底數(shù)位置，不在指數(shù)位置，故不是指數(shù)函數(shù)；

對(duì)于②，函數(shù)尸（-3）、的底數(shù)-3<0,故不是指數(shù)函數(shù)；

對(duì)「③，函數(shù)y=-3、中的指數(shù)式3、的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；

對(duì)于④，函數(shù)尸（兀-3）”的底數(shù)滿足0<兀-3<1,符合指數(shù)函數(shù)的定義，是指數(shù)函數(shù).

故選：A.

變式2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（）

A._v=x4B.y=3?‘C.），=?！疍.y=（-4）*

【答案】C

【解析】對(duì)于A,y=/是幕函數(shù)，

第6頁(yè)共43頁(yè)

對(duì)于B,y=3x2x系數(shù)不為1,不是指數(shù)函數(shù)，

對(duì)于C,y=/是底數(shù)為兀的指數(shù)函數(shù)，

對(duì)于D,y=(T)'底數(shù)不滿足大于0且不為1,故不是指數(shù)函數(shù)，

故選:C

【方法技巧與總結(jié)】

一般地，函數(shù))="(〃>0且叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R,。是指數(shù)函數(shù)

的底數(shù).

題型二：利用指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)

例4.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))若函數(shù)尸"-2帆-2)?〃/是指數(shù)函數(shù)，則加等于()

A.-I或3B.-IC.3D.-

3

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù))，=(>-2/〃-2)?"是指數(shù)函數(shù)，

m2-2m-2=1

所以<陽(yáng)>0=>tn=3.

m*1

故透:C

例5.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=(/+2a-2)(〃+4)、為指數(shù)函數(shù)，則()

A.。=1或a=-3B.。>0且

C.a=\D.a=-3

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=S+2a—2)(々+4)、為指數(shù)函數(shù)，

/+2”2=1

則《八，且a+4=1,解得a=l,

a+4>0

故選：C

例6.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))如果函數(shù)/(6=勿3和g(x)=2i⑹都是指數(shù)函數(shù)，則/=()

A.-B.IC.9D.8

8

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可得2。=1=〃="一("3)=0=6=-3,則仕丫=8.

故選：D

變式3.(2023?高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)y=(〃-2產(chǎn)屋是指數(shù)函數(shù)，則()

第7頁(yè)共43頁(yè)

A.a=l或a=3B.a=1C.a=3D.4>0且

【答案】C

【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知(，-2)2=1,同時(shí)。>(),且所以解得“=3.

故選:C

【方法技巧與總結(jié)】

y=一系數(shù)為1.

題型三：求指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式

例7.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))若指數(shù)函數(shù)〃力的圖象過(guò)點(diǎn)(3,8),則“X)的解析式為()

A.小)=/B./(力=，C./(x)=f|TD.”力=2、

【答案】D

【解析】設(shè)/(耳=優(yōu)(〃>0且。工1),則/=8,

解得〃=2,故〃x)=2,.

故選:D

例8.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))若函數(shù)/(#=優(yōu)(4>0且。01)的圖象經(jīng)過(guò)(3,27),則/(-2)=()

A.—B.-C.3D.9

39

【答案】B

[解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=a\a>0且aw1)的圖象經(jīng)過(guò)(3,27),

所以〃=27,解得〃=3,

所以/(幻=31

則f(-2)=3y,

故選:B

例9.(2023?高一單元測(cè)試)下列函數(shù)中，滿足/(x+l)=g/(x)的是()

A./(x)=4*B./(x)=4-r

C.f[x)=TD.f(x)=2-x

【答案】D

【解析】對(duì)于A,/(x+l)=4r+,=4-4r=4/(x),A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,/(x+l)=4-(r+,)=l-4-=l/(x),B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,〃X+1)=2卬=22=2/("，C錯(cuò)誤;

第8頁(yè)共43頁(yè)

對(duì)于D,/（x+l）=2-（t+,）=l-2^=l/（A）,D正確.

故選：D.

變式4.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）若函數(shù)/（"是指數(shù)函數(shù)，且/（-2）=；,則（）

A./（x）=3vB./（x）=（x/3）'

C,，㈤鳴］］■，（加停）

【答案】B

【解析】:/（X）為指數(shù)函數(shù)，.??可設(shè)且〃目），

-2）=42=*=g,解得：4=6，.,./（?￥）=（G）*.

故選：B.

變式5.（2023?河北滄州高一滄縣中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)”X）是奇函數(shù)，且當(dāng)X〉。時(shí),

/（x）=10x+x+l,那么當(dāng)x<0時(shí)，“X）的解析式是（）

A.--+X-1B.---------HX-1

10,101

C.———x+1D.—--——x+1

10v10r

【答案】B

【解析】當(dāng)XV。時(shí)，則T>0,所以/（-X）=1（T，X+1,

又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以-〃T）=/（X），

所以當(dāng)XV0時(shí)/（x）=T0T+x—l=—*+x—l.

故迄B

變式6.（2023.高一單元測(cè)試）指數(shù)函數(shù)丁="的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)卜$｝則。的值是（）

A.-B.JC.2D.4

42

【答案】B

【解析】因?yàn)閥="的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,：］,

所以"=:，解得

o2

故選：B.

第9頁(yè)共43頁(yè)

【方法技巧與總結(jié)】

待定系數(shù)法

題型四：指數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

例10.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)丁=/1-2（〃>0且4=1）,無(wú)論〃取何值，函數(shù)圖像恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn),

則定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（卜1）

【解析】????！?1,「"=3，>=4°-2=1-2=-1,則定點(diǎn)坐標(biāo)為（；,一1）.

故答案為：1.

例11.（2023?天津?yàn)I海新?高一天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考期中）不論。3>0且〃工1）為何值，函數(shù)

f（.x）=axi-\的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)兒則點(diǎn)〃的坐標(biāo)為.

【答案】（3,0）

【解析】由題意可知，當(dāng)工-3=0時(shí)，不論〃為何值時(shí)優(yōu)-=1,

此時(shí)函數(shù)/。）=優(yōu)7-1=（）,

所以/"）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3,0）.

故答案為：（3,0）

例12.（2023?福建泉州?高一?？计谥校┖瘮?shù)（〃>0且"1）的圖像一定過(guò)點(diǎn).

【答案】（0.0）

【解析】函數(shù)）=優(yōu)一1（。>0且G/1）,令x=0可得y=a0-1=0,

即函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)（0,0）.

故答案為：（。,0）

變式7.（2023?海南?？?高一?？谝恢行？计谥校┖瘮?shù)丁=。1+2（〃>0且。工1）的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn).

【答案】（2,3）

【解析】因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=3,

所以函數(shù)y=“g+23>0且〃*1）的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）,

故答案為：（2,3）

變式8.（2023?山東泰安?高一泰安一中校考期中）函數(shù)〃力=241-3（。>0且。工1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)

是.

【答案】（卜1）

第10頁(yè)共43頁(yè)

【解析】當(dāng)工一1=（），即x=l時(shí)，為定值，此時(shí)/（1）=加°-3=-1,

故/（力=2々1-3（。>0且〃.1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1,-1）.

故答案為：（1,-1）

【方法技巧與總結(jié)】

令指數(shù)為。求解

題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題

例13.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)/（幻=優(yōu)-'的圖象如圖所示，其中.，。為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.a>l,Z?<0B.?>l,Z?>0

C.0<?<l,/?>0D.0<?<l,Z?<0

【答案】D

【解析】由圖象可知，函數(shù)/（X）為減函數(shù)，

從而有0<〃<1:

法一：由/（%）=""圖象，函數(shù)與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)yw（0,l）,

令x=0,得y=7",

由05vl,即0VL<4°,解得b<0.

法二：函數(shù)f（X）圖象可看作是由y="（0<〃<1）向左平移得到的，

則鄉(xiāng)>0,即〃<0.

故選:D.

例14.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）指數(shù)函數(shù)>="與），=/，'的圖象如圖所示，則（）

A.67>1,（）</?<1B.a>1力>1

C.0<<1,/?>1D.0<?<1,0</?<1

【答案】C

第11頁(yè)共43頁(yè)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)），=爐的圖象是下降的，所以

又因?yàn)楹瘮?shù)>=/>'的圖象是上升的，所以〃>1.

故選：C.

Y72**

例15.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)八力=瓦（。>1）的大致圖象是

【解析】因?yàn)閥=告=，a；

兇［-ax,x<0

又”>1，

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，、>0時(shí)，函數(shù)y="x為增函數(shù)，排除R、D：

x<0時(shí)，函數(shù)），=-"為減函數(shù)，排除A.

故選:C.

變式9.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）己知函數(shù)），=+8的圖象過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線丁=2但不與該

直線相交，則（）

A.?=—2,b=2B.a=2fb=2

C.a=~\?b=2D.a=2,b=\

【答案】A

【解析】由題意得0=a（gJ+b,即a+b=0,

XT+CO時(shí)，（g、70，故”（J+brb,

故b=2,解得a=-2.

第12頁(yè)共43頁(yè)

故選：A

變式10.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）指數(shù)函數(shù)y=的圖象如圖所示，則二次函數(shù)），=al—法的圖象可

能是（）

5L

b|x

一,仆“八

【答案】B

【解析】由指數(shù)函數(shù)），=（2丫的圖象可知：0<2<i.

b

令以2+力x=0,解得再=0,x2=---,

則一1<%2V。，

對(duì)應(yīng)只有B選項(xiàng)符合題意.

故選:B

變式11.（2023?云南大理?高一校考階段練習(xí)）如圖所示，函數(shù)），=|2'-2的圖象是（）

21Z：.zfzj.

第13頁(yè)共43頁(yè)

【解析】???y=|2f=

，x=1時(shí)，y=0,

當(dāng)H>1時(shí)，函數(shù)y=2'-2為（1,位）上的單調(diào)遞增函數(shù)，同y>0,

當(dāng)工<1時(shí)，函數(shù)），=2-2.為（-8,1）上的單調(diào)遞減函數(shù)，且），>0,

故選:B

【方法技巧與總結(jié)】

利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問(wèn)題，同時(shí)還可以解決有關(guān)不

同底的基的大小比較的問(wèn)題，因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡(jiǎn)單地記作：在），軸的右邊“底

大圖高“，在），軸的左邊“底大圖低”.

題型六：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域

例16.（2023?廣東東莞?高一校聯(lián)考期中）函數(shù)/J-2的定義域?yàn)?

【答案】（一8，-1]

【脩析】要使原式有意義需滿足（3'-22（），即（$，之（；尸，解得1,

故函數(shù)/（%）的定義域?yàn)椋?8,7].

故答案為：（f0，一1】

例17.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=j2'-a的定義域?yàn)閇2,田）,則。=.

【答案】4

【解析】由題意可知，不等式的解集為[2,+8）,則2?-。=0,解得〃=4,

當(dāng)〃=4時(shí)，由2'-420，可得2-4=22,解得天之2,合乎題意.

故答案為：4.

例18.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）（1）函數(shù)產(chǎn)圖’的定義域是,值域是.

（2）函數(shù)）,=21的定義域是，值域是.

【答案】R（0,I]（F-D5T+8）（0,2）2（2,+OO）

第14頁(yè)共43頁(yè)

【解析】(1)函數(shù))，=[0的定義域?yàn)镽,由|x+l|之0,得出,即0<)，力，故值域?yàn)?0川

(2)要使得函數(shù)有意義，只需％+1工0,即工工一1,故定義域?yàn)?f-l)5-l,x)

?.,口=1-二且湍>()，即函數(shù)的值域?yàn)?2)52,+oo)

A+lX+lN

故答案為:(1)R;(0,1](2)(―-1)5-1，田)；(0⑵52,+00)

變式12.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))函數(shù)〃x)=2'+x,x?-l』的值域?yàn)?

【答案】弓，3

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(工)在卜15上是增函數(shù)，

所以“x)min=/(T)=2一=，

/⑴a=/(I)=智+1=3，

故函數(shù)值域?yàn)椋?；，3,

故答案為：一/3.

4'Y<1

變式13.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知函數(shù))，=?的值域?yàn)?Y\4],則實(shí)數(shù)加的取值范圍

-3A-+777,X>1

是.

【答案】(3,7]

【解析】當(dāng)X41時(shí)，)=4%(0,4]；

當(dāng)4>1時(shí)，y=m-3x2G(-OO,/?;-3).

因?yàn)樵瘮?shù)的值域?yàn)?t,4],即(3,m-3)J(0,4]=(f,4],

則0<〃?一344,解得3v/〃W7.

故答案為：(3,7].

變式14.(2023?山西晉城?高一晉城市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí))函數(shù)f(x)=4K-2m+,〃.若/'(x)之0恒成

立，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是.

【答案】"+8)

【解析】函數(shù)/("=4'-2卬+，〃.令2、=/〉0，

若f(x)N0恒成立，則對(duì)任意的/w(0.+oo),r-2r+m>0恒成立，

即對(duì)任意的，￡(0,-Ko),m>+2.恒成立，

V—V+2/=—(/—1)~+1/e(0,-Ko),

第15頁(yè)共43頁(yè)

，當(dāng)f=l時(shí)，-產(chǎn)+2，取最大值I,

???即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為［1,中）。）.

故答案為：U，T8）.

變式15.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=9-4x3'+9的值域?yàn)?

【答案】［5,不動(dòng)

【解析】設(shè)f=3*>0,則〃］）=（3*）2-4?3*+9,

換元得8（，）=。）2—44+9=（，—2）2+5,，>0,

顯然當(dāng)1=2時(shí),函數(shù)g⑺取到最小值鼠。=5,

所以函數(shù)/a）=9-4x3'+9的值域?yàn)椋?,小）.

故答案為：［5,包）.

變式16.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/工=1的值域?yàn)镽，則〃的取值范圍

已-―］4］

是.

【答案】一；，2）

【解析】當(dāng)X21時(shí)，/（幻=2八22一1，而函數(shù)r=f+2x—2在U，”）上單調(diào)遞增，

乂y=2,是增函數(shù)，

因此函數(shù)/CO在口,內(nèi)）上單調(diào)遞增，

〃/）2/⑴=1,即函數(shù)/（*）在”,*□）上的值域?yàn)閚,*o）,

當(dāng)H<1時(shí)，函數(shù)/（X）的值域?yàn)锳,而函數(shù)/*）的值域?yàn)镽,

因此（一?/）￡A,

而當(dāng)xvl時(shí)，/（力=（2-a）x+3a.

2—<7>01

必有ca、一解得-六。<2，

2-?4-3a>12

-1、

所以”的取值范圍是一弓,2.

故答案為：_別.

變式17.（2023?高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2kT_i在區(qū)間［0,〃“上的值域?yàn)椋?,3］,則實(shí)數(shù)〃?的取

值范圍為.

【答案】12,4］

,T2X'2-Ir>2

【解析】/。）=少7—1=；則/（X）在（-8,2）上遞減，在［2,+8）上遞增，

2—I,工<2

第16頁(yè)共43頁(yè)

所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值0,

由少T_1=3，得X=O或X=4,

所以函數(shù)/(x)=-1在區(qū)間［0,間上的值域?yàn)椋?),3］時(shí)，me［2,4］,

故答案為：⑵4］

2",x<m

變式18.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知函數(shù))，=42,8的值域?yàn)?F2。則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

一一廠+一,x>m

33

圍是-

【答案】［1,2)

【解析】當(dāng)工4加時(shí),廣〃］=2"在(』向上單調(diào)遞增，

所以xW〃?時(shí)，)，=/(x)e(0,2”］；

當(dāng)工>〃?時(shí)，y=^(x)=--x2+-,

①若〃?<0,則g(x)在(〃虱))上單調(diào)遞增，在(U,+8)上單調(diào)遞減,

則時(shí)，g(x)Wg(O)=§,即〃?<()時(shí)，y=g(x)e1-oo,3,

乂〃?<0時(shí)，2OT<2°=1<-,

3

2\x<mz

此時(shí)，函數(shù)y=2,8的值域?yàn)?8，彳，不滿足題意，舍去；

---XH—9X>Ut\3.

33

2A?x<0/

②當(dāng)〃?=0時(shí)，函數(shù))，=2,8此時(shí)值域?yàn)?，不滿足題意，舍去;

——x+-,x>0k3」

33

③當(dāng)〃?>0時(shí)，g("在(〃?,欣)上單調(diào)遞減,

9g/228)

則〃時(shí),g(x)vg(〃2)=—一加+一,即〃7>0時(shí)，y=g(")qYO,——nr+—,

33、33)

2',x<m

因?yàn)楹瘮?shù)y=d2、8的值域?yàn)?/p>

--X"H—，X>111

33

又xK〃?時(shí)，y=/(x)e(0,2"［；

OQOQ

則〃?>0時(shí)，--m2+2>0且一土?W2盟，

m>0

不等式，228八解得：0</〃<2,

一一nr+->0

第17頁(yè)共43頁(yè)

028

不等式《22等價(jià)于〃?>0時(shí)，2朗+3加一靠0,

--〃？+—W233

33

9Q

設(shè)人（〃?）=2"'+匕/—2（,?>0）,

33

7

因?yàn)椋?=2,在（0,+“）上單調(diào)遞增，y=在（0,+的上是增函數(shù)，

所以人（加）在（0,+勿）上單調(diào)遞增,又MD=o,

所以〃?>0時(shí)，妝〃?）20等價(jià)于2〃）2例1）,即/“之八

in>0

則不等式《228仙解得：m>l,

33

1228八

——m+—>0

所以〃?>0時(shí)，::的解集為1,2）,

--m2+-<2m

33

綜上：實(shí)數(shù)小的取值范圍是［1,2）,

故答案為：［1,2）.

變式19.（2023?河北石家莊?高一?？计谥校┘褐瘮?shù)/（"="（。>0,。工1）在區(qū)間［。，2］上的最大值比最小

值大，，則a=__________

4

【答案】或或立

22

【解析】當(dāng)時(shí)，/（耳="在［0,2］上的最大值為最小值為〃。=1,

故1=；解得"正或一且（舍去）；

422

當(dāng)0“<1時(shí)，/（x）="在［0,2］上的最大值為°。=1,最小值為二,

故1-/=；解得a=@或-堂（舍去），

422

綜上”=更或走.

22

故答案為：立或立

22

變式20.（2023?全國(guó)?高一假期作業(yè)）函數(shù)y=22,+22-l在區(qū)間［-1,1］上的最大值為.

【答案】7

第18頁(yè)共43頁(yè)

【解析】令f=2',xe卜1,1],則飛g,2.

所以），=22，+2?2,-1即為y=J+2/-ljw；,2.

因?yàn)閷?duì)稱軸為/=-1，所以y=『+2，-1在.feg,2上單調(diào)遞增?

所以當(dāng)f=2時(shí)，y=22+2x2—l=7為最大值.

故答案為：7

變式21.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域:

⑴y=V?萬(wàn)"；

f-2x-3

【解析】（1）要使函數(shù)式有意義，則1-3'20，即3、W1=3°.

因?yàn)楹瘮?shù)y=3'在R上是增函數(shù)，所以x<（）.

故函數(shù)），=忘彳的定義域?yàn)椋ā?（）],

因?yàn)閤KO,所以0<3”1，所以041-3,<1，

所以JT手40,1）,即函數(shù)y=JT7的值域?yàn)閇0,1）:

（2）定義域?yàn)镽,

因?yàn)閄2-2X-3=（X-1）2-42T,

r-2x-3

F-2K-3

的值域?yàn)椋?」6].

變式22.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域與值域.

（3）y—J]—2"?

【解析】（1）因?yàn)閥=2+，所以XW3,故定義域?yàn)榇未喂?}.

設(shè),=」二，因?yàn)閤=3,所以“C.

因?yàn)椋?=），”0,所以）>0且k1,故值域?yàn)閧y|?0且），。1}.

第19頁(yè)共43頁(yè)

（2）函數(shù)），=《J,xeR,所以定義域?yàn)镽.

設(shè)U再0,因?yàn)閥斗合0,所以0<W，故值域?yàn)閧），|0</1}.

13,

（3）因?yàn)椋?=J1一2、,所以1—2收0,解得xWO,故定義域?yàn)閧x|xWO}.

因?yàn)?<2、=1,所以O(shè)KI-2*VI,即o?JT才<1，故值域?yàn)閧yiowy〈1}.

【方法技巧與總結(jié)】

求值域時(shí)有時(shí)要用到函數(shù)單調(diào)性，求定義域使表達(dá)式有意義.

題型七：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

例19.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知奇函數(shù)=■在R上為增函數(shù)，則。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】因?yàn)?（X）在R上為奇函數(shù)，則/（（））=。，即〃」=0,解得〃=1或。=-1.

a

。=1時(shí)，〃x）=e-e，函數(shù)定義域?yàn)镽,

e

由函數(shù)尸e'和），=-4都在R上為增函數(shù)，所以/（外在R上為增函數(shù)，

e

且"T）=eT—'？=4—eX=—/（x）,滿足函數(shù)為奇函數(shù)；

ee

〃=-1時(shí)，/（x）=-e*+p,在R上為減函數(shù)，不合題意.

所以a=l.

故選:A.

例20.（2023?河北唐山?高一唐山市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,母）上單調(diào)遞減的是（）

A./（A）=--B./（x）=|x|

X

CD./（x）=HT

【答案】C

【解析】A：由家函數(shù)性質(zhì)知：/（力=-！在（。,+8）上單調(diào)遞增，不符合；

B：由“工人國(guó)，—“：：。，在（0,田）上單調(diào)遞增，不符合；

人,人—

c：由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知：/（x）q在（0收）上單調(diào)遞減，符合；

第20頁(yè)共43頁(yè)

D：由/(x)=》T=?在（。,+8）卜.不單調(diào)，不符合:

故選：c

例21.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=〃E（a>0且awl）在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增，則〃的

取值范圍為()

(II

A.0,—B.(l,+co)

Iz

【答案】C

【解析】由4>0且4W1，得），為單調(diào)遞減函數(shù),

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得ae（0,l）,

1-3?>0解得ae（（）g

1-2?>0

故選:C.

變式23.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃X）=2#Y）在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減，則〃的取值范圍是（）

A.[4,-KO）B.[-4,0）C.（0,4]D.（-00,-4]

【答案】A

【解析】設(shè)/==f一奴，對(duì)稱軸為工='|，

???7=2'是口上的增函數(shù)，

，要使f（%）在區(qū)間（0,2）單調(diào)遞減,

則/=Y-依在區(qū)間（0,2）單調(diào)遞減，

嗚22.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[4,田）.

故選：A.

/]、?y+>+2

變式24.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

【答案】C

【解析】函數(shù)y=是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù),

第21頁(yè)共43頁(yè)

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=-V+x+2的開(kāi)z|向下，對(duì)稱軸為x=；,

所以二次函數(shù)y+2在卜0,9時(shí)單調(diào)遞增，在6T時(shí)單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)），=（￡]'+/2的單調(diào)遞增區(qū)間是（最+8）,

故選：C

變式25.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)/"）=2中0的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.S，2]B.[1,2]

C.[2,3]D.[2,+oo）

【答案】B

【解析】令一丁+4%-320，解得1。03,

所以函數(shù)/⑴=2匚F的定義域?yàn)閇1,3],

4c

因?yàn)?=—f+4x—3開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為工=一五而=2,

可知f=-/+以_3在/，2]上單調(diào)遞增，在（2,3]上單調(diào)遞減，

且〃=/在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以〃=J—V+4x—3在囚2]上單調(diào)遞增,在（2,3]上單調(diào)遞減，

又因?yàn)椋?2"在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/（幻=2°、'川7在。，2]上單調(diào)遞增,在（2,3]上單調(diào)遞減，

即函數(shù)/（幻的單調(diào)遞增區(qū)間為[1.2].

故選：B.

變式26.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃x）=26"）在區(qū)間（-1,0）單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.（YO,-2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,+oo）

【答案】A

【解析】函數(shù)y=2'在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/（力=2?3在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞增，

則有函數(shù)y=x（…）=。-'-9在區(qū)間（―L0）上單調(diào)遞增，因此了-1,解得。4一2,

所以。的取值范圍是（3,-2].

故迄A

【方法技巧與總結(jié)】

第22頁(yè)共43頁(yè)

研究y/⑺型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性用復(fù)合法，比用定義法要簡(jiǎn)便些，一般地有：即當(dāng)〃>1時(shí),

），二。""的單調(diào)性與y=/（x）的單調(diào)性相同；當(dāng)0<々<1時(shí)，y=的單調(diào)與》=/（好的單調(diào)性相反.

題型八：比較指數(shù)塞的大小

例22.（2023?江蘇南通?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)=則（

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.b>a>c

【答案】C

【解析】由a=y(兀一3)3=兀一3<1，-=J(3:)2=去>狂c=(3-7t)°=l,

所以〃>C>4.

故選：C.

/1V9

例23.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知4=312力=1.2°,C=-J，則，加c的大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

<1Y0-9

【解析】因?yàn)?=1.2°=l,c==3°%

又因?yàn)閥=3'在R上單調(diào)遞增，1.2>。.9>0,

所以"2>3。，>3°=1，^a>c>b.

故選：D.

例24.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知，?=255,人=3