備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《二次函數(shù)》專項(xiàng)綜合練習(xí)及答案

一、二次函數(shù)

1.如圖，已知拋物線y=+工0）的對稱軸為直線x=-l,且拋物線與工地交

于A、B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，其中A（1,O）,C（O,3）.

（1）若直線＞'=，依+〃經(jīng)過3、C兩點(diǎn)，求直線8c和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸K=—1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)。的距離之和

最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)尸為拋物線的對稱釉工二一1上的一個動點(diǎn)，求使A8PC為直角三角形的點(diǎn)尸的

坐標(biāo).

【答案】（1）拋物線的解析式為y=—d—2x+3,直線的解析式為y=工+3.（2）

（3）p的坐標(biāo)為（一1,一2）或（一1,4）或叵）或（T,匕叵）.

22

【解析】

分析：（1）先把點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b,c的關(guān)系式，再根據(jù)

拋物線的對稱軸方程可得a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a,b,（:的

值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=mx+n,解方程組求出m和n的

值即可得到直線解析式；

（2）設(shè)直線BC與對稱軸x=-l的交點(diǎn)為M,此時MA+MC的值最小.把x=-l代入直線

y=x+3得y的值，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；

（3）設(shè)P（-1,t）,又因?yàn)锽（-3,0）,C（0,3）,所以可得BC2=18,PB2=（-1+3）

2+t2=4+t2,PC2=（-1）2+（t-3）242-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求

出點(diǎn)P的坐標(biāo).

b,

----二-]1

2a"T

詳解：（1）依題意得：（。+/?+。=0,解得：\b=-2t

c=3c=3

???拋物線的解析式為y=-/一21+3.

???對稱軸為％=-1,且拋物線經(jīng)過A（LO）,

把B（-3,0）、C（O,3）分別代入直線y=mx+n,

-3m+〃=0m=1

得，解之得:

n=3n=3

直線y=nix+〃的解析式為y=x+3.

（2）直線8C與對稱軸文=一1的交點(diǎn)為M,則此時M4+MC的值最小，把工=一1代入

直線）=尤+3得），=2,

M（—1,2）.即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時M的坐標(biāo)為（—1,2）.

（注：本題只求M坐標(biāo)沒說要求證明為何此時M4+MC的值最小，所以答案未證明

M4+MC的值最小的原因）.

（3）設(shè)尸（一1,。,又8（-3,0）,C（0,3）,

?.802=18，PB2=（-l+3）2+/2=4+/2,PC2=（-l）2+（r-3）2=/2-6/+10,

①若點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)，則即：18+4+產(chǎn)=/一6，+10解得：

/=—2>

②若點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)，KJBC2+PC2=PB2，即：18+/一6/+10=4+/解得：

1=4,

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則/^2+2。2=3。2,即：4+/+/一6/+10=18解得：

3+g3-x/T7

1222

綜上所述P的坐標(biāo)為（-1,一2）或（一1,4）或-1,三普或T三平.

點(diǎn)睛：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函

數(shù)）的解析式、利用軸對稱性質(zhì)確定線段的最小長度、難度不是很大，是一道不錯的中考

壓軸題.

2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,ZACB=90°,OC=2OB,tanZABC=2,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,

0）.拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式：

（2）點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)

/士1

E,使PE=-DE.

2

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使AABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)

M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=-x2-3x+4：(2)①P(-1,6),②存在，M(-1,3+而)或(-

13

L3-血)或(-1，-1)或(-1,一).

2

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)己知求點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(2)①先得AB的解析式為：y=-2x+2,根據(jù)PD_Lx軸，設(shè)P(x,-x2-3x+4),則E(x,-

2x+2),根據(jù)PE=^DE,列方程可得P的坐標(biāo)；

2

②先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得AB,AM,BM的長，分三種情況：△ABM為

直角三角形時，分別以A、B、M為直角頂點(diǎn)時，利用勾股定理列方程可得點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)=B(1,0),OB=1,

;OC=2OB=2,/.C(-2,0),

Rt^ABC中，tan/ABC=2,

AC-

對,—=2,/.AC=6,

3

A(-2,6),

-4-2b+c=6

把A(-2,6)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得：

-1+Z?4-C=O

h=-3

解得：

c=4

二.拋物線的解析式為：y=-x2-3x+4；

(2)①?「A(-2,6),B(1,0),

「?AB的解析式為：y=-2>:+2,

的運(yùn)用，直角三角形的判定等知識.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與分類討

論思想的應(yīng)用.

3.某市實(shí)施產(chǎn)業(yè)精準(zhǔn)扶貧，幫助貧困戶承包荒山種植某品種蜜柚.已知該蜜柚的成本價為

6元/千克，到了收獲季節(jié)投入市場銷售時，調(diào)查市場行情后，發(fā)現(xiàn)該蜜柚不會虧本，且每

天的銷售量V(千克)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(2)當(dāng)該品種密柚定價為多少時，每天銷售獲得的利澗最大？最大利潤是多少？

(3)某村農(nóng)戶今年共采摘蜜柚12000千克，若該品種蜜柚的保質(zhì)期為50天，按照(2)

的銷售方式，能否在保質(zhì)期內(nèi)全部銷售完這批蜜柚？若能，請說明理由；若不能，應(yīng)定銷

售價為多少元時，既能銷售完又能獲得最大利潤？

八y千克

°-15薪

【答案】(1)y=-2OX+5OO,(x>6)；(2)當(dāng)x=15.5時，w的最大值為1805元；

(3)當(dāng)x=13時，w=1680,此時，既能銷售完又能獲得最大利潤.

【解析】

【分析】

(1)將點(diǎn)(15,200)、(10,300)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+b即可求解；

(2)由題意得：w=y(x-6)=~20(x-25)(x-6)>>.>-20<0.故w有最大值，

即可求解；

(3)當(dāng)x=15.5時，y=190,50xl90<12000,故：按照(2)的銷售方式，不能在保憒期

內(nèi)全部銷售完;由50(500-20X)^12000,解得：x<13,當(dāng)x=13時，既能銷售完又能獲

得最大利潤.

【詳解】

解：(1)將點(diǎn)(15,200)、(10,300)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+b得:

200=15)1+/?

“300=?+〃'

解得：屋(k=-20O0，

即：函數(shù)的表達(dá)式為：y=-20x+500,(x>6)；

(2)設(shè)：該品種蜜柚定價為x元時，每天銷售獲得的利潤w最大，

則：w=y(x-6)=-20(x-25)(x-6),

?「-20V0,故w有最大值，

f勺［

當(dāng)x=-------=—=15.5時'，w的最大值為1805元；

2a2

(3)當(dāng)x=15.5時，y=190,

50xl90<12000,

故：按照(2)的銷售方式，不能在保質(zhì)期內(nèi)全部銷售完；

設(shè)：應(yīng)定銷售價為x元時.既能銷售完又能獲得最大利潤w,

由題意得：50(500-20x)>12000,解得：x<13,

w=-20(x-25)(x-6),

當(dāng)x=13時，w=1680,

此時，既能銷售完又能獲得最大利潤.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性

來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方

案.其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值(或最小值).

4.如圖，拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)B(1,-3),對稱軸是直線x=2,且拋物線與x軸的正半

軸交于點(diǎn)A.

(1)求拋物線的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)yWO時，自變量x的取值范圍；

(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P,當(dāng)PA_LBA時，求APAB的面積.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2?4x,自變量x的取值范圖是04x44；(2)4PAB的

面積=15.

【解析】

【分析】

(1)將函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)B坐標(biāo)代入的函數(shù)的解析式中，再和對稱軸方程聯(lián)。?.求出待定

系數(shù)a和b：

(2)如圖，過點(diǎn)B作BEJLx軸，垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PEJ_x軸，垂足為F,設(shè)P(x,X2-

4x),證明△PFA~△AEB,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將ZPAB的面積構(gòu)造成長方形去掉三個三角形

的面積.

【詳解】

a+b=-3

(1)由題意得，|?，

——=2

2a

a=\

解得《

b=-4

」?拋物線的解析式為y=x2-4x,

令y=0,得x2-2x=0,解得x=0或4,

結(jié)合圖象知，A的坐標(biāo)為(4,0),

根據(jù)圖象開口向上，則”0時，自變量x的取值范圍是0仝“；

(2)如圖，過點(diǎn)B作BE_Lx軸，垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PE_Lx軸，垂足為F,

設(shè)P(x,x2-4x),

?/PA±BA

ZPAF+ZBAE=90°,

,/ZPAF+ZFPA=90°,

ZFPA=ZBAE

又/PFA=ZAEB=90°

△PFA-△AEB,

PF_AFx2-4x4-x

??一9=-----9

AEBE2-13

解得，x=-1,x=4(舍去)

x2-4x=-5

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,-5),

又'B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),易得到BP直線為y=?4x+l

所以BP與x軸交點(diǎn)為(L0)

SAPAB=—x—x5+3=15

24

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，特別是利用待定系數(shù)法將兩條直

線表達(dá)式解出，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求三角形的面積是關(guān)鍵.

5.如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)O(0，0).A(8,4),與x軸交于另一點(diǎn)B,且對

稱軸是直線x=3.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)若M是08上的一點(diǎn)，作MNII48交04于N,當(dāng)ZiANM面積最大時，求M的坐

標(biāo)；

(3)P是x軸上的點(diǎn)，過P作PQ_Lx軸與拋物線父于Q.過4作4cJ_x軸于C,當(dāng)以。,

P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè),NC為頂點(diǎn)的三角形相似時，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

VA

13

2

l\y--X--X

z42(2)當(dāng)t=3時，SAAMN有最大值3,此時M點(diǎn)坐標(biāo)為

(3,0)；(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(14,0)或(-2,0)或(4,0)或(8,0).

【解析】

【分析】

(1)先利用拋物線的對稱性確定B(6,0),然后設(shè)交點(diǎn)式求拋物線解析式；

(2)設(shè)M(t,0),先其求出直線OA的解析式為J，=？木直線AB的解析式為y=2x-12,

1

y=-x42

宜.線MN的解析式為y=2x-2t,再通過解方程組＜2得N,接著利用三

y=2cx-2t33

112

角形面積公式，利用SAAMN=SAAOM-S^NOM得到S^MN-然后根據(jù)二次函數(shù)

223

的性質(zhì)解決問題；

(3)設(shè)根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)笑=上?時，

142)OCAC

])3PQpo

△PQOs△COA,則一n?一一m=2|m|；當(dāng)'=——H寸，△PQO~△CAO,貝ij

42ACOC

]3?

--|m|,然后分別解關(guān)于m的絕對值方程可得到對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)???拋物線過原點(diǎn)，對稱軸是直線x=3,

「.B點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),

設(shè)拋物線解析式為y=ax(x-6),

把A(8,4)代入得a?8?2=4,解得a=',

4

113

「?拋物線解析式為y=-x(x-6),即y=-x2-----

442

(2)設(shè)M(t,0),

易得直線OA的解析式為，/='

2

設(shè)直線的解析式為

ABy=kx+b,

6k+b=()k=2

把B(6,0),A(8,4)代入得,—解得

b=-12,

直線AB的解析式為y=2x-12,

1/MNIIAB,

設(shè)直線MN的解析式為y=2x+n,

把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=-2t,

「?直線MN的解析式為y=2x-2t,

4

1x=—t

y=-x342

解方程組2得，；，則N

y=2x-2ty=-t

3

?SAAMN-SAAOM-SANOM

=—1?4,?t---1--12,—t

223

--t2+2l

3

2

=-l(t-3)+3,

當(dāng)t=3時，SAAMN有最大值3,此時M點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)；

/],3、

⑶設(shè)m,-m2--m,

I42)

,/ZOPQ=NACO,

一PQPOIPQPO

?.當(dāng)---=----時，△PQO—△COA,即1Ir1---=----,

OCAC84

],3

PQ=2PO,叩一m?一二m=2|m|,

42

1,3

解方程一nr=2m得mi=0(舍去)，m=14,比時P點(diǎn)坐標(biāo)為(14,0)；

422

J、3

解方程*ym?-=m=-2m得mi=0(舍去)，m=-2,此時P點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,0)：

422

山PQPO,PQPO

當(dāng)---=----時，△PQO—△CAO,即ni---=----,

ACOC48

11、3=Jm|，

PQ=—PO,即一m——m

242

I3]

解方程=-m?—m=-m得mi=0（舍去），m2=8,此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（8,0）；

422

1731

解方程=-m~—m=—m得mi=0（舍去），m2=4,此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）；

422

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（14,0）或（?2,0）或（4,0）或（8,0）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性

質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；靈活運(yùn)用相似比表示線段之

間的關(guān)系；會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題.

6.如圖，直線y=-；x-3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,C,經(jīng)過點(diǎn)A,C的拋物線y=ax?+bx

-3與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)B（2,0）,點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE_Lx軸于點(diǎn)E,

連接AD,DC.設(shè)點(diǎn)D的演坐標(biāo)為m.

⑴求拋物線的解析式；

⑵當(dāng)點(diǎn)D在第三象限，設(shè)ADAC的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值

及此時點(diǎn)D的坐標(biāo);

⑶連接BC,若NEAD=NOBC,請直接寫出此時點(diǎn)D的坐標(biāo).

27

△A”的面積最大值為下此時

D（-3,-?。?；⑶滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為（-4,-3）或（8,21）.

4

【解析】

【分析】

（1）求出A坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)D的坐

標(biāo)為：（m,—m2+m-3）,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（m,-----m-3）＞根據(jù)SAADC=SAADF+SADFC求

42

出解析式，再求最值；（3）①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱時，D（-4,-3）,根據(jù)對稱

性此時NEAD=ZABC.

3

②作點(diǎn)D(-4,-3)關(guān)于，軸的對稱點(diǎn)6(-4,3),直線AD，的解析式為y=孑解方程

組求出函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)在y=-gx-3中，當(dāng)y=0時，x=-6,

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為：(?6,0),

將A(?6,0),B(2,0)代入v=ax2+bx?3得：

36"6。-3=0

14〃+26-3=()'

1

CI=-

解得：\4,

b=\

」?拋物線的解析式為：y=-x2+x-3；

4

(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m,—m2+m-3),則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m,—m-3),

42

設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.

DF=-----m-3-(—m2+m-3)=m2m,

2442

SAADC=SAADF+SADFC

11

=-DF?AE+-?DF?OE

22

1

=-DF?OA

2

=-x(-----m2------m)x6

242

—

42

3,27

=-----(m+3)2+—,

44

3

?/a=——<0,

4

一?拋物線開口向下,

27

當(dāng)m=-3時，SAADC存在最大值彳,

又?當(dāng)m=-3時，—m2+m-3=-—,

44

存在點(diǎn)D（-3,-?）,使得△ADC的面積最大，最大值為幺；

44

⑶①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱時，D（-4,-3）,根據(jù)對稱性此時NEAD=NABC.

②作點(diǎn)D（-4,-3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D「4,3）,

直線AD，的解析式為y=:x+9,

此時直線AD，與拋物線交于D（8,21）,滿足條件，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為（-4,-3）或（8,21）

【點(diǎn)睛】

本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)等知

識.解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題,學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決實(shí)際問題.屬

于中考壓軸題..

7.紅星公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為20元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來

40天內(nèi)的日銷售量（件）與時間（天）的關(guān)系如下表：

時間（天）1361036???

日銷售量（件）9490847624???

1

未來40天內(nèi)，前20天每天的價格力（元/件）與t時間（天）的函數(shù)關(guān)系式為：y!=^t+25（l<t<20

且t為整數(shù)）；后20天每天的價格丫2（原/件）與t時間（天）的函數(shù)關(guān)系式為：丫2=—

1

4+40（21Wt“0Mt為整數(shù)）.下面我們來研究這種商品的有關(guān)問題.

⑴認(rèn)真分析上表中的數(shù)量關(guān)系，利用學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定

一個滿足這些數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵請預(yù)測未來40天中那一天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？

⑶在實(shí)際銷售的前20天中該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤(aV4)給希望工程，

公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增

大，求a的取值范圍.

【答案】(1)y=-2t+96；(2)當(dāng)t=14時，利潤最大，最大利潤是578元；(3)3<a<

4.

【解析】

分析：(1)通過觀察表格中的數(shù)據(jù)日銷售量與時間t是均勻減少的，所以確定m與t是一

次函數(shù)關(guān)系，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)日銷售量、每天的價格及時間t可以列出銷售利潤W關(guān)于t的二次函數(shù)，然后

利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少；

(3)列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范

圍.

詳解：(1)設(shè)數(shù)m=kt+b,有也+心嗎解得匕=96

/.m=-2t+96,經(jīng)檢驗(yàn)，其他點(diǎn)的坐標(biāo)均適合以上

析式故所求函數(shù)的解析式為m=-2t+96.

(2)設(shè)日銷售利潤為P,

1

(-三+20)

由P=(-2t+96)z=t2-88t+192O=(t-44)2-16,

t/21<t<40且對稱軸為t=44,

.1.函數(shù)P在21<t<40上隨t的增大而減小，

.?.當(dāng)t=21時，P有最大值為(21-44)2-16=529-16=513(元)，

答；來40天中后20天，第2天的H銷售利潤最大，最大日銷售利潤是513元.

1

(-3+5-a)

(3)Pi=(-2t+96)4

1

于

=-z+(14+2a)t+480-96n,

/.對稱軸為t=14+2a,

1型20,

14+2a220得a23時，Pi隨t的增大而增大,

又a<4,

3<a<4.

點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是要分析題意根據(jù)實(shí)際意義準(zhǔn)確的求出解析式，并會根據(jù)圖示得出

所需要的信息.同時注意要根據(jù)實(shí)際意義準(zhǔn)確的找到不等關(guān)系，利用不等式組求解.

8.如圖，菱形48CD的邊長為20cm,Z4BC=120%對角線4C,8。相交于點(diǎn)。，動點(diǎn)P

從點(diǎn)八出發(fā)，以4cm/s的速度，沿4玲8的路線向點(diǎn)8運(yùn)動；過點(diǎn)P作PQII8D,與4C相

交于點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，0VtV5.

（1）設(shè)四邊形PQCB的面積為S,求S與t的關(guān)系式：

（2）若點(diǎn)Q關(guān)于。的對稱點(diǎn)為M,過點(diǎn)P且垂直于AB的直線/交菱形ABCD的邊AD

（或C。）于點(diǎn)N,當(dāng)t為何值時，點(diǎn)P、M、N在一直線上？

（3）直線PN與AC相交于H點(diǎn)，連接PM,NM,是否存在某一時刻3使得直線P/V平分

四邊形APMN的面積？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴S=-2百/+]oo指（0VtV5）；（2）亍;⑶見解析.

【解析】

【分析】

（1）如圖1,根據(jù)S=SAA4SAAPQ,代入可得S與t的關(guān)系式;

（2）設(shè)PM=x，貝ljAM=2x,可得AP=gx=4t,計算x的值，根據(jù)直角三角形30度角的性

8/

質(zhì)可得AM=2PM=^^,根據(jù)AM=AO+OM,列方程可得t的值；

（3）存在，通過畫圖可知：N在CD上時，直線PN平分四邊形APMN的面積，根據(jù)面積

相等可得MG=AP,由AM=AO+OM,列式可得t的值.

【詳解】

解：（1）如圖1,二?四邊形ABCD是菱形，

/.ZABD=ZDBC=-ZABC=60°,AC±BD,

2

ZOAB=30°,

?「AB=20,

OB=IO,AO=IOV3?

由題意得：AP=4t,

PQ=2t,AQ=2百t,

S=SAABC-SAAPQ?

=^ACOB-^PQAQ,

=-xl0x20x/3--x2/x2>^Z,

=-2V3t2+100V3(0<t<5)；

(2)如圖2,在RSAPM中，AP=4t,

...點(diǎn)Q關(guān)于。的對稱點(diǎn)為M,

/.OM=OQ,

設(shè)PM=x,則AM=2x,

/.AP=VJx=4t,

4f

小=耳’

8r

AM=2PM=-^j,

,/AM=AO+OM,

-^=1073+1075?2舊3

30

t=T;

答：當(dāng)t為二30秒時，點(diǎn)P、M、N在一直線上;

7

（3）存在，

如圖3,?.,直線PN平分四邊形APMN的面積，

SAAPN=SAPMN，

過M作MG_LPN/于G,

LpNAP=LpNMG,

22

/.MG=AP,

易得△APH"△MGH,

8

AH=HM=_百7=-t,

?「AM=AO+OM,

同理可知：OM=OQ=108-2JJt,

-^>t=10>/3=10>/3-2^t,

30

t=—.

11

30

答：當(dāng)t為■秒時，使得直線PN平分四邊形APMN的面積.

【點(diǎn)睛】

考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，三角形和四邊形的面積，二次根式的化簡

等知識點(diǎn)，計算量大，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握動點(diǎn)運(yùn)動時所構(gòu)成的三角形各邊的關(guān)系.

9.已知，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P,使%+PC的值最??？如果存在，請求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；

(3)設(shè)點(diǎn)例在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△MAC是直角三角形時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-x2+2x4-3；(2)當(dāng)％+尸。的值最小時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,2)；

(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,2)、1,g或"―

【解析】

【分析】

(1)由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

(2)連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P,此時PA+PC取最小值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐

標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，

利用配方法可求出拋物線的對稱軸，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為則CM=J(1-0)2+(m-3)2,

2222

AC=7l0-(-l)]+(3-0)=710,AM=A/[l-(-l)]+(m-0),分

NAMC=90、/ACM=90和/CAM=90三種情況，利用勾股定理可得出關(guān)于m

的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，進(jìn)而即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】

解：⑴將A（-1,O）、。（0,3）代入曠=-工2+法+0中，

-l-b+c=Ofb=2

{C=3,解得：c=3,

?-.拋物線的解析式為y=-f+21+3.

（2）連接8c交拋物線對稱軸干點(diǎn)P,此時%+PC取最小值，如圖1所示.

圖1

當(dāng)》=0時，有一方2+2工+3=0，

解得：巧=T,。=3,

.??點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）.

拋物線的解析式為y=-x2+2x+3=-（x-l）2+4,

???拋物線的對稱軸為直線x=l.

設(shè)直線8c的解析式為y="+d（左w0）,

將8（3,0）、。（0,3）代入丁=履+”中，

3jl+rf=0(h-l

得：d=3,解得：d=3,

「?直線8c的解析式為y=-x+3.

?「當(dāng)x=l時，y=-x+3=2,

???當(dāng)B4+PC的值最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).

(3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，

則CM=J(1—O1+(〃z—3了?AC=^[0—(—1)]4■+(3-0)2=VlO?

分三種情況考慮：

①當(dāng)4A7C=90時，有AC?=AA/2+CM2,lip10=1+(/w-3)2+4+w2,

解得："7]=1,根2=2,

.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)或(1,2)；

②當(dāng)4cM=90時，有4〃2=AC2+CM2,即4+〃P=10+1+(〃L3)2,

V

解得：〃，=；,

3

<8、

.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,-；

③當(dāng)NC4M=90時，有CM?二4用2+4。2,即1+（〃?_3y=4+加+10,

綜上所述：當(dāng)4MAe是直角三角形時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,1）、（1,2）、或1,一；.

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、

軸對稱中的最短路徑問題以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)

法求出拋物線解析式；（2）由兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合拋物線的對稱性找出點(diǎn)P的位置；（3）

分/AMC=90、/ACM=90和/CAM=90三種情況，列出關(guān)于m的方程.

10.如圖，已知直線y=-2x+4分別交x釉、y軸于點(diǎn)人B.拋物線過4、8兩點(diǎn)，點(diǎn)P

是線段，8上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PCJ_x軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)D.

19

（1）如圖1,設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M,且M的坐標(biāo)是（一，一），對稱軸交48于點(diǎn)M

22

①求拋物線的解析式：

②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由：

（2）是否存在這樣的點(diǎn)。，使得四邊形8OA。的面積最大？若存在，求出此時點(diǎn)。的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】

【分析】

(1)0lt|?次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為丫=

([Y9

ax--把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求得a的值即可；

I2)2

②不存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(m,-2m+4),則D(m,-

2m2+2m+4),根據(jù)題意知PDIIMN,所以當(dāng)PD=MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，

根據(jù)該等量關(guān)系列出方程-2m2+4m=3,通過解方程求得m的值，易得點(diǎn)N、P的坐

2

標(biāo)，然后推知PN=MN是否成立即可；

(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(n,-2n2+2n+4),P(n,■2n+4).根據(jù)S四功形BOAD=S^BOA+S^ABD

=4+S.ABD，則當(dāng)SAABD取最大值時，S四邊彤BOAD最大.根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)

SAABD=-2(n-1)2+2.由二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值.

【詳解】

解：①如圖1,

一C外

頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是—I,

(\y9

「?設(shè)拋物線解析式為y=〃x--+-(a#0).

I2

?「直線y=-2x+4交y軸于點(diǎn)B,

點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,4).

又???點(diǎn)B在該拋物線上，

(1Y9

二a0一一+—=4,

I2)2

解得a=-2.

(iY9

故該拋物線的解析式為：？=一2X——+—=~2x2+2:<+4；

②不存在.理由如下：

(1y91

?.?拋物線y=-2X--的對稱軸是直線x=7,且該直線與直線AB交于點(diǎn)N,

I2)22

點(diǎn)N的坐標(biāo)是(二,3.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(m,-2m+4),則D(m,-2m2+2m+4),

/.PD=(-2m2+2m+4)-(-2m+4)=-2m2+4m.

,/PDIIMN.

3

當(dāng)PD=MN時，四邊形MNPD是平行四邊形，BP-2m2+4m=-.

13

解得mi=一(舍去)，m2=—

22

3

此時P(―,1).

2

PN=5

PNwMN,

平行四邊形MNPD不是菱形.

???不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形；

(2)存在，理由如下：

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(n,-2n2+2n+4),

?一點(diǎn)P在線段AB上且直線PD±x軸，

P(n,-2n+4).

由圖可知S四邊彩BOAD=SABCA+SAABD.其中SABOA=-OB*OA=—x4x2=4.

22

則當(dāng)SAABD取最大值時,S四邊形BOAD最大.

SAABD=—(yo-yp)(XA-XB)

=yo-yp

=-2n2+2n+4-(-2n+4)

=-2n2+4n

=-2(n-1)2+2.

當(dāng)n=l時,SAABD取得最大值2,S四邊形BOAD有最大值.

此時點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1,4).

主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形

結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出

線段之間的關(guān)系.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)

過點(diǎn)A、C.B的拋物線的一部分J與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封

閉曲線，我們把這條封

閉曲線稱為“蛋線〃.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-?),點(diǎn)M是拋物線C2：

y=mx2-2mx-3m(m<o)的頂點(diǎn).

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)“蛋線"在第四象限上是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大？若存在，求出APBC

面積的最大值；若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)△BDM為直角三角形時，求m的值.

【答案】(1)A(-1，0)>B(3,0).

(2)存在.S“BC最大值為一7

16

(3)111二一匕或〃7=-1時，aRDM為直角三角形.

2

【解析】

【分析】

(1)在y=mx?-2mx-3m中令y=0,即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)先用待定系數(shù)法得到拋物線Ci的解析式，由SAPBC=SA?oc+SABOP-SABOC得到△PBC面

積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理求出最大值.

(3)先表示出DM?,RD?,MB2,再分兩種情況：①NBMD=90。時；②NBDM=90。時，討

論即可求得m的值.

【詳解】

解：(1)令y=0,則mx二一2mx-3m=0，

X2X

*/m<0,/.-2-3=0，解得：X[=-l,x2=3.

/.A(-1,0)、B(3,0).

(2)存在.理由如下：

,??設(shè)拋物線J的表達(dá)式為y=a(x+l)(x-3)(arO),

31

把C(0,-彳)代入可得，a=~.

22

I13

??.C】的表達(dá)式為：y=-(x+l)(x-3),即y=/x2-x-/.

j3

設(shè)P(P，耳)，

SAPBC=SAPOC+SABOP-SABOC=-

4216

3327

a=一;<0,.,.當(dāng)p=不時，PBC最大值為一^.

4216

(3)rtiCz可知：B(3,0),D(0,-3m),M(1,-4m),

2222

BD2=9nf+9，BM=16m+4，DM=m+l.

/ZMBD<90°,「.討論/BMD=90°和NBDM=90°兩種情況：

當(dāng)NBMD=9O。時,BM2+DM2=BD2,BP16m2+4+m2+1=9m2+9，

解得：n、=—YN,m,=>(舍去).

22

當(dāng)NBDM=90°時，BD2+DM2=BM2,BP9m2+9+m2+1=16m2+4?

解得：1叫=-1,m?=l(舍去).

綜上所述，m=-"或m=一1時，△BDM為直角三角形.

2

12.如圖，已知A(-2,0),B(4,0),拋物線y=ax?+bx?1過A、B兩點(diǎn)，并與過A

點(diǎn)的直線y=--x-1交于點(diǎn)C.

2

(1)求拋物線解析式及對稱軸；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形ACPO的周長最??？若存在，求出點(diǎn)

P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線AC的垂線，垂足為N.問：是否存

在這樣的點(diǎn)N,使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)N的坐

標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)拋物線解析式為：y=-X2--Jt-l,拋物線對稱軸為直線x=l：(2)存在P

84

點(diǎn)坐標(biāo)為(1?--);(3)N點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3)或(2,-1)

2

【解析】

分析：(1)由待定系數(shù)法求解即可；

(2)將四邊形周長最小轉(zhuǎn)化為PC+PO最小即可；

(3)利用相似三角形對應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行分類討論，構(gòu)造圖形.設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo)，表示點(diǎn)M坐標(biāo)代

入拋物線解析式即可.

詳解：(1)把A(-2,0),B(4,0)代入拋物線y=ax2+bx-l,得

0=4。-2b-\

0=16〃+46-1

1

a=-

解得｛8

b=——

4

「?拋物線解析式為：y=-x2--x-i

84

???拋物線對稱軸為直線x=-==—%=1

2a2x1

8

(2)存在

使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+PO最小

???取點(diǎn)C(0.-1)關(guān)于自線x=l的對稱點(diǎn)U(2.-1),連CO與直線x=l的交點(diǎn)即為P

點(diǎn).

設(shè)過點(diǎn)C、。直線解析式為：y=kx

則P點(diǎn)坐標(biāo)為(1.)

2

(3)當(dāng)aAOC-△MNC時，

如圖，延長MN交y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)N作NE_Ly軸于點(diǎn)E

1/ZACO=ZNCD,ZAOC=ZCND=90°

ZCDN=ZCAO

由相似，ZCAO=ZCMN

ZCDN=ZCMN

?「MN±AC

M、D關(guān)于AN對稱，貝JN為DM中點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a,—a-1）

2

由^EDN-△OAC

/.ED=2a

點(diǎn)D坐標(biāo)為（0,

2

丁N為DM中點(diǎn)

3

點(diǎn)M坐標(biāo)為（2a,—a-1）

2

把M代入y=1x2-'x-l,解得

84

a=4

則N點(diǎn)坐標(biāo)為（4,-3）

當(dāng)^AOO△CNM時，ZCAO=ZNCM

CMIIAB則點(diǎn)C關(guān)于直線x=l的對稱點(diǎn)C即為點(diǎn)N

由（2）N（2,-1）

N點(diǎn)坐標(biāo)為（4,-3）或（2,-1）

點(diǎn)睛：本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了待定系數(shù)、兩點(diǎn)之間線段最短的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造、三

角形相似.解答時，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想.

13.如圖，拋物線y=ax2+bx+c