試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)上海市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期四區(qū)統(tǒng)考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、填空題1．已知集合A={x∣2．函數(shù)y=2sin3．(1?ax)6的二項(xiàng)展開式中4．已知冪函數(shù)y=fx的圖像過(guò)點(diǎn)35．如下是一個(gè)2×2列聯(lián)表，則sy1y2總計(jì)x1a3545x27bn總計(jì)m73s6．已知cosθ=?357．已知ΔABC，“A、B、C成等差數(shù)列且sinA、sinB、sin8．拋物線x2=4y的準(zhǔn)線與圓9．通過(guò)隨機(jī)抽樣，獲得某種商品消費(fèi)者年需求量與該商品每千克價(jià)格之間的一組數(shù)據(jù)調(diào)查，如下表所示:價(jià)格（百元）xxxxxxxxxx444.655.25.666.6710需求量（千克）yyyyyyyyyy3.532.72.42.521.51.21.21那么線性相關(guān)系數(shù)r=．（精確到0.001）線性相關(guān)系數(shù)公式10．已知某次數(shù)學(xué)的測(cè)試成績(jī)X服從μ=75、σ211．某建筑公司欲設(shè)計(jì)一個(gè)正四棱錐形紀(jì)念碑，要求其頂點(diǎn)位于容積為36π立方米的球形景觀燈所在球面上．考慮到抗風(fēng)、抗震等結(jié)構(gòu)安全需求，側(cè)棱長(zhǎng)度l需滿足23≤l12．在平面直角坐標(biāo)系中，一質(zhì)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，第一次從點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)P1，第二次從點(diǎn)P1移動(dòng)到點(diǎn)P2，…，第k次從點(diǎn)Pk?1（規(guī)定P0=O）移動(dòng)到點(diǎn)Pk.記向量vk=Pk?1Pk，其模長(zhǎng)為二、單選題13．“函數(shù)y=sin(x＋φ)為偶函數(shù)”是“φ＝”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．在研究線性回歸模型時(shí)，若樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=A．?1 B．1 C．?115．函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)為y=gx，若存在實(shí)數(shù)x0，使得gx0f?A．y=e?x B．y=sin16．設(shè)數(shù)列an滿足an=sinnπ3+?1nA．?dāng)?shù)列Sn和數(shù)列TB．?dāng)?shù)列Sn是周期數(shù)列，數(shù)列TC．?dāng)?shù)列Sn不是周期數(shù)列，數(shù)列TD．?dāng)?shù)列Sn和數(shù)列T三、解答題17．如圖，已知四棱錐S?AB(1)求證：AC⊥平面(2)若AB=218．已知函數(shù)y=f((1)解關(guān)于x的不等式f((2)若存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f(x19．為了研究高三學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的情況，某校數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)在本校高三年級(jí)學(xué)生中采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了40名學(xué)生，調(diào)查他們平時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)和整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)14不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)1520合計(jì)40(1)完成上述樣本數(shù)據(jù)的2×(2)是否有99%附：χ2α0.100.010.001P2.7066.63510.828(3)從不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生做進(jìn)一步訪談，設(shè)恰好抽取到數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列和期望.20．如圖1，曲線Γ是x24+(1)x24+y2(2)b=2，設(shè)T0,t，t∈?(3)若b=1，如圖2，存在過(guò)點(diǎn)P(0,1)的兩條直線l1，l2與曲線Γ的交點(diǎn)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)M、點(diǎn)B、點(diǎn)N21．已知函數(shù)y=fx，其中fx=x2+ax+b,(1)當(dāng)a=b=(2)當(dāng)a=0時(shí)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍，使得點(diǎn)(3)求所有實(shí)數(shù)a和b，使得點(diǎn)P0答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《上海市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期四區(qū)統(tǒng)考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷》參考答案題號(hào)13141516答案BACB1．{【分析】解不等式求出集合A，即可求集合的交集.【詳解】解集合A中的不等式2x≤1A∩B就是求既屬于A又屬于B的元素，所以故答案為：{2．?【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)求值域即可.【詳解】y=其中tanφ則其值域?yàn)?故答案為：?133．?【分析】利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式T則(1?ax又C63=已知x3項(xiàng)的系數(shù)是20，則20×(解得a=故答案為：?4．0【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義代入點(diǎn)可得fx【詳解】設(shè)冪函數(shù)fx代入點(diǎn)3,33可得3可得fx因?yàn)閤>0，可得fx故答案為：0,5．90【分析】完善列聯(lián)表即可求解.【詳解】由表格有a=故答案為：90.6．7【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出tanθ【詳解】cosθ所以sinθ則tan(故答案為：7.7．充要【分析】根據(jù)給定條件，利用等差、等比數(shù)列的定義，結(jié)合正余弦定理及充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】在ΔABC中，由A、B、C成等差數(shù)列，得2B=由sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，得sin由余弦定理得b2=a2+c2若ΔABC是正三角形，則A因此A、B、C成等差數(shù)列且sinA、sinB、所以“A、B、C成等差數(shù)列且sinA、sinB、sinC故答案為：充要.8．4【分析】利用拋物線的性質(zhì)求準(zhǔn)線，利用相切求半徑，即可用球的表面積求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程為x2=4又由圓x2+y將圓繞直徑旋轉(zhuǎn)一周所成的球的表面積為：S=故答案為：49．?【分析】利用相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可得x=y=所以ii=110i=所以r=故答案為：?0.86310．97.7【分析】根據(jù)正態(tài)分布的2σ【詳解】因?yàn)棣?所以PX故答案為：97.711．4.90【分析】由題設(shè)可得球的半徑為r=3，結(jié)合正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征及其外接球半徑與棱長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)的關(guān)系得6h【詳解】若球的半徑為r，則43πr3=對(duì)于正四棱錐，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則h2=l2?又(h?r)2+a紀(jì)念碑體積V=13對(duì)于y=t2?t當(dāng)12≤t<24時(shí)y′當(dāng)24<t≤27時(shí)y′所以ymax=242?故答案為：4.9012．13【分析】根據(jù)題意，求出向量vk的坐標(biāo)，再求出向量Sn的坐標(biāo)，根據(jù)模長(zhǎng)求解【詳解】根據(jù)題意可知vk=Pk?1Pk的模長(zhǎng)為∴Sn∴S4=OS8=OS12=OS13=O故n=故答案為：13.13．B【詳解】試題分析：φ=π2時(shí)，y=sin(考點(diǎn)：1三角函數(shù)的性質(zhì)；2充分必要條件．14．A【分析】根據(jù)回歸模型性質(zhì)判斷即可.【詳解】若樣本數(shù)據(jù)(xi,則兩組數(shù)據(jù)xi和yi?故選：A.15．C【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證gx0f?x0=【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)fx=e?x對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)楹瘮?shù)fx=sin所以gx而sin2所以gx0f對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)fx=e所以gx令e2x0?1即存在實(shí)數(shù)x0=1所以函數(shù)y=fx對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)楹瘮?shù)fx=1所以gx令x02x02下面證明方程ln(當(dāng)x<0時(shí)lnx當(dāng)x>0時(shí)，2x令hx=ln則h'x=又因?yàn)閔(0)=0，所以h綜上，方程(*)無(wú)解.所以不存在實(shí)數(shù)x0，使得g故選：C.16．B【分析】令bn=sinnπ3，可得數(shù)列bn的周期為6，令cn=?1ncosnπ【詳解】令bn=sin又b1則b1令cn=?又c1則c1所以數(shù)列an的一個(gè)周期為24，且S24=0，所以又a1=b所以T1=32?故選：B.17．(1)證明見解析(2)1【分析】（1）由菱形與等腰三角形的性質(zhì)，可得線線垂直，根據(jù)線面垂直判定，可得答案；（2）由菱形的性質(zhì)與勾股定理，根據(jù)（1）可分割三棱錐的底與高，結(jié)合體積公式，可得答案.【詳解】（1）設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以AC⊥BD，且又因?yàn)锳S=CS，所以所以AC⊥平面（2）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD=π在△BDS中，B根據(jù)勾股定理逆定理可知∠BSD由（1）知AC⊥平面BDS，所以S△則VS18．(1)x(2)a【分析】（1）由fx=log2x（2）原問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于x的方程log2x+1=2log2(x?【詳解】（1）由函數(shù)fx=log所以0<3（2）原問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于x的方程log2x+即12log2等價(jià)于2x=x?a=x令2x=t(t畫出關(guān)于t的二次函數(shù)在t∈(0∴a19．(1)列聯(lián)表見解析，0.35；(2)有；(3)分布列見解析，期望為34【分析】（1）完善列聯(lián)表，求出經(jīng)驗(yàn)概率.（2）求出χ2（3）求出X的可能值及對(duì)應(yīng)概率，列出分布列并求出期望.【詳解】（1）完善2×數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)14620不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)51520合計(jì)192140每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀的經(jīng)驗(yàn)概率為1440（2）由（1）得χ2所以有99%（3）不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的學(xué)生有20人，其中數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀人數(shù)為5，X的所有可能值為0，1，2，3，P(P(所以X的分布列為：X0123P913551期望E(20．(1)y(2)Q(3)答案見解析，理由見解析【分析】（1）將點(diǎn)?1,32代入x（2）分t∈?22，（3）設(shè)直線l1和直線l2的方程，聯(lián)立方程組求四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再化簡(jiǎn)【詳解】（1）將點(diǎn)?1,32代入x24所以y23?（2）因b=2，則x2①當(dāng)t∈?22，2時(shí)，設(shè)點(diǎn)Qx,y則TQ當(dāng)t=?22時(shí)，則y=0或2時(shí)，QT當(dāng)?22<t≤2時(shí)，當(dāng)y=②當(dāng)t∈2，32時(shí)，Q設(shè)點(diǎn)Qx,y則TQ因2<t≤故當(dāng)y=2時(shí)，QT取最小值t綜上可知，曲線Γ上存在點(diǎn)Q0,2（3）設(shè)l1:y設(shè)A由y=k1x+由y=k2x+由y=k1x+由y=k2x+則k=k同理可得，kM若存在非零實(shí)數(shù)λ使得MN=λAB即k1k2k1若k1k2=0，則k1=0或k故當(dāng)k1+k2=0且k121．(1)是，理由見解析；(2)b∈(3)答