第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)溫州市2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二期末模擬試卷（B）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)全部?jī)?nèi)容+選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線3x?3y+m=0的傾斜角為A.30° B.60° C.120°【答案】B

【解析】解：設(shè)直線3x?3y+m=0的傾斜角為α則tanα=3故選：B2.已知向量a，b是平面α內(nèi)兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則“c?a=0，且c?b=0A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系，線面垂直的判定與性質(zhì)，以及充分、必要條件的判斷，屬基礎(chǔ)題．根據(jù)定義判斷即可．【解答】

解：若l⊥平面α，則c⊥a，c?a=0，c⊥b，c?b=0;

反之，若a/?/b3.黨的十八大報(bào)告指出，鼓勵(lì)共同奮斗創(chuàng)造美好生活，不斷實(shí)現(xiàn)人民對(duì)美好生活的向往。為響應(yīng)中央號(hào)召，某社區(qū)決定在現(xiàn)有的休閑廣場(chǎng)內(nèi)修建一個(gè)半徑為4m的圓形水池來(lái)規(guī)劃噴泉景觀.設(shè)計(jì)如下：在水池中心豎直安裝一根高出水面為2m的噴水管(水管半徑忽略不計(jì))，它噴出的水柱呈拋物線型，要求水柱在與水池中心水平距離為32m處達(dá)到最高，且水柱剛好落在池內(nèi)，則水柱的最大高度為(

)A.83m B.94m C.【答案】C

【解析】【分析】本題考查拋物線方程的應(yīng)用，屬中檔題．【解答】解：取一截面建系如圖，設(shè)拋物線方程為x2=?2py(p>0)，記最大高度為h，如圖：A(?1.5,2?h)，B(2.5,?h)在拋物線上，故94=?2p(2?h),254=?2p(?h),4.已知雙曲線C:x22?y26=1的一條漸近線l與橢圓E:x2a2+yA.3?1 B.3+1 C.【答案】A

【解析】解：易知雙曲線C的漸近線方程為y=±3x，不妨設(shè)如圖，由|AB|=F1F2=2c代入橢圓方程，得c24a故e24+3e24(1?故選：A．5.已知數(shù)列1，?3，5，?7，9，?，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為(

)A.99 B.?199 C.?111 D.111【答案】B

【解析】【分析】本題考查了就數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(?1)6.在1和7之間插入m個(gè)數(shù)，使得這m+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.若這m個(gè)數(shù)中第1個(gè)為x，第m個(gè)為y，則1x+25yA.92 B.4 C.3 D.【答案】A

【解析】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得x+y=1+7=8，且1<x<y<7，則1x+25當(dāng)且僅當(dāng)x+y=85x=y，即x=43y=20故選：A．7.《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽(yáng)馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”.如圖，在“陽(yáng)馬”P(pán)?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD=2AB=PA，則直線PC與面PBD所成角的正弦值為A.69 B.759 C.【答案】A

【解析】【分析】本題考查直線與平面所成角的向量求法。

建立空間直角坐標(biāo)系，求出面PBD的法向量，再求直線PC與面PBD所成角的正弦值．【解答】解：

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB,AD?面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直，設(shè)AB=1,AD=AP=2，以AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則B所以BD=設(shè)平面PBD的法向量為n=所以n?BD=?x+2y=0n?BP=?x+2z=0直線PC與面PBD所成角的正弦值為cosn故選：A8.已知A(?2,0)，B(2,0)，若圓(x?a?1)2+(y?3a+2)2=4上存在點(diǎn)P滿足PAA.[?1,2] B.[?2,1] C.[?2,3] D.[?3,2]【答案】A

【解析】【分析】本題考查與圓相關(guān)的軌跡問(wèn)題，圓與圓的位置關(guān)系，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．

設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)PA?PB=5列式算出P的軌跡方程為x2+【解答】

解：根據(jù)題意，圓(x?a?1)2+(y?3a+2)2=4是以C(a+1,3a?2)為圓心，半徑r1=2的圓，

設(shè)P(x,y)，則PA=(?x?2,?y)，PB=(?x+2,?y)，

所以PA?PB=(?x?2)(?x+2)+y2=5，整理得x2+y2=9，

因此，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=9，是以O(shè)(0,0)為圓心，半徑為二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N?)，公差d≠0，S6=90A.a1=22 B.d=?2

C.當(dāng)且僅當(dāng)n=9時(shí)，Sn取得最大值 D.當(dāng)Sn【答案】BD

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得a1=20，d=?2，判斷AB；求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式后，解不等式an≥0，即可判斷C【解答】

解：因?yàn)镾6=90，所以6a1+6×52?d=90，即2a1+5d=30①，

又a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，

所以a72=a3a9，即(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d)，所以a1d+10d2=0，

因?yàn)閐≠0，所以a1+10d=0②，

由①②解得a1=20，d=?2，即選項(xiàng)A10.如圖，四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，O，P分別是AC，SC的中點(diǎn)，M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn)，則(

)

A.OM⊥AP

B.存在點(diǎn)M，使OM/?/平面SBC

C.存在點(diǎn)M，使直線OM與AB所成的角為30°

D.點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值

【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷A、C、D，根據(jù)線面平行的判定定理判斷B．【解答】

解：四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，

SA=AB，O，P分別是AC，SC的中點(diǎn)，M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn)，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)SA=AB=2，則A(0,0,0)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，P(1,1,1)，

D(0,2,0)，S(0,0,2)，O(1,1,0)，

由M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M(0,λ,2?λ)，(0≤λ≤2)，

∵AP=(1,1,1)，OM=(?1,λ?1,2?λ)，

∴AP?OM=?1+λ?1+2?λ=0，∴OM⊥AP，故A正確；

當(dāng)M為SD中點(diǎn)時(shí)，OM是△SBD的中位線，∴OM//SB，

∵OM?平面SBC，SB?平面SBC，∴OM/?/平面SBC，故B正確；

AB=(2,0,0)，OM=(?1,λ?1,2?λ)，

若存在點(diǎn)M，使直線OM與AB所成的角為30°，

則cos30°=|AB?OM||AB|?|OB|=11+(λ?1)2+(2?λ)2=32，

化簡(jiǎn)，得3λ2?9λ+7=0，無(wú)解，故C錯(cuò)誤；

點(diǎn)M到平面11.已知雙曲線C：x28?y24=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，BA.若直線y=kx與雙曲線C無(wú)交點(diǎn)，則|k|>22

B.焦點(diǎn)到漸近線的距離為2

C.點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為83

D.當(dāng)P與A，B不重合時(shí)，直線PA【答案】BC

【解析】【分析】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

由雙曲線的方程可得漸近線及焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷A；求出焦點(diǎn)到漸近線的距離d，可判斷B；求出P到漸近線的距離之積，將雙曲線的方程整理代入可判斷C；求出直線PA，PB的斜率之積，可判斷D．【解答】

解：A中，由雙曲線的方程可得漸近線的方程為y=±22x，

所以y=kx與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，則|k|≥22，所以A不正確；

B中，由A知漸近線的方程為2x±2y=0，焦點(diǎn)(±23,0)，

所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為d=|2×23|(2)2+22=2，所以B正確；

C中，設(shè)P(x,y)，因?yàn)镻在雙曲線上，所以三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知l：(2+m)x+(1?2m)y+4?3m=0?(m∈R)過(guò)定點(diǎn)A，則點(diǎn)A到直線n：x+y=1的距離是

．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題．

把直線的方程變形，得關(guān)于x、y的方程組，可得定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解．【解答】

解：由直線方程(2+m)x+(1?2m)y+4?3m=0變形為：m(x?2y?3)+(2x+y+4)=0，

令x?2y?3=0，2x+y+4=0，

求得x=?1，y=?2，

可得直線(2+m)x+(1?2m)y+4?3m=0恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(?1,?2)，

故點(diǎn)A到直線n：x+y=1的距離是d=|?1?2?1|2=213.設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn【答案】57【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題；

運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求解即可．【解答】

解：由題意可得a314.若關(guān)于x的方程x+4?x2?2m=0有解，則m【答案】[?1,【解析】【分析】本題考查方程根的個(gè)數(shù)的判斷，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．

分析可知，直線y=?x+2m與曲線y=4?x2有公共點(diǎn)，求出當(dāng)直線y=?x+2m與圓x2+y2=4【解答】

解：由4?x2≥0，可得?2≤x≤2，由題意可得4?x2=?x+2m，

則關(guān)于x的方程x+4?x2?2m=0有解，

即直線y=?x+2m與曲線y=4?x2有交點(diǎn)，

又因?yàn)榍€y=4?x2表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑且位于x軸上及上方的半圓，如圖所示：

當(dāng)直線y=?x+2m過(guò)(?2,0)時(shí)，即m=?1，此時(shí)直線y=?x+2m與半圓有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí)，即m=1，此時(shí)直線y=?x+2m與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?2,5)，且斜率為?3(1)求直線l的方程;(2)若直線m與l平行，且點(diǎn)P到直線m的距離為3，求直線m的方程．【答案】解：(1)由直線方程的點(diǎn)斜式，得y?5=?34(x+2)，

(2)由直線m與直線l平行，可

設(shè)直線m的方程為3x+4y+C=0，

由點(diǎn)到直線的距離公式得|3×(?2)+4×5+C|32+42=3，即|14+C|故所求直線方程為3x+4y+1=0或3x+4y?29=0．

【解析】本題考查了直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

(1)利用點(diǎn)斜式即可得出．

(2)設(shè)m的方程為3x+4y+C=0，則由點(diǎn)到直線的距離公式得，|C+14|5=3，解出16.(本小題15分)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為(1)求{a(2)若a1=1，求數(shù)列{nan【答案】解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}由題意知：2a1=所以q2+q?2=0，解得q=?2(q=1舍去(2)若a1=1，則所以數(shù)列{nan}的前n則?2T兩式相減得3=1?所以Tn【解析】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，屬于中檔題．(1)

設(shè)出等比數(shù)列的公比，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，列方程求解即可；(2)

由題意寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，從而可根據(jù)錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{n17.(本小題15分)已知A(1,2)、B(3,6)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA?PB=?4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求過(guò)點(diǎn)A(1,2)且與曲線C相切的直線的方程．【答案】解：(1)設(shè)P(x,y)，則

PA=(1?x,2?y)

，

PB=(3?x,6?y)

，

由

PA?PB=(1?x)(3?x)+(2?y)(6?y)=?4

，

所以曲線

C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x?2)2+(2)曲線

C

是以

2,4

為圓心，1為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)

A(1,2)

的直線若斜率不存在，直線方程為

x=1

，滿足與圓

C

相切；過(guò)點(diǎn)

A(1,2)

的切線若斜率存在，設(shè)切線方程為

y?2=kx?1

，即

kx?y+2?k=0

由圓心到直線距離

d=2k?4+2?kk2+1=1則方程為

3x?4y+5=0

．過(guò)點(diǎn)

A(1,2)

且與曲線

C

相切的直線的方程為

x=1

或

3x?4y+5=0

．

【解析】本題主要考查軌跡方程的求法，圓的切線方程的求法，屬于中檔題．

(1)設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)系式，整理即可得到曲線方程．

(2)考慮過(guò)點(diǎn)A(1,2)的直線斜率不存在和存在兩種情況，設(shè)出直線方程，結(jié)合圓心到直線的距離等于半徑列出方程，求出直線方程．18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PFPC=13，設(shè)點(diǎn)

(1)求證：CD⊥平面PAD；

(2)若PGPB=23.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．

(3)設(shè)CG與平面AEF所成角為θ【答案】解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，

又因?yàn)锳D⊥CD，PA、AD是平面PAD內(nèi)相交直線，故CD⊥平面PAD;

(2)以A為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作CD的平行線為x軸，以AD、AP所在直線分別為y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，B(2,?1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(xiàn)(23,23,43)，G(43,?23,23)，

所以A