指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)[課時(shí)目標(biāo)]理解n次方根、根式的概念,明確正數(shù)的偶次方根有兩個(gè),偶次根式下被開方數(shù)必須非負(fù).逐點(diǎn)清(一)n次方根[多維理解]n次方根的定義與性質(zhì)定義一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),任意實(shí)數(shù)a都有n次方根,且只有一個(gè),記作n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)的偶次方根有兩個(gè),且是相反數(shù),記作±na.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根,零的偶次方根為正數(shù)a的正n次方根叫做a的n次算術(shù)根(n∈N*,n>1)|微|點(diǎn)|助|解|(1)在n次方根的概念中,關(guān)鍵是數(shù)a的n次方根x滿足xn=a,因此求一個(gè)數(shù)a的n次方根,就是求一個(gè)數(shù)的n次方等于a.(2)n次方根實(shí)際上就是立方根與平方根的推廣.(3)n次方根的概念表明,乘方與開方是互逆運(yùn)算.[微點(diǎn)練明]1.(多選)若xn=a(x≠0),則下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),x的n次方根為aB.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a的n次方根為xC.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),x的n次方根為±aD.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),a的n次方根為±x解析:選BD當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a的n次方根只有1個(gè),為x;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),由于(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2個(gè),為±x.所以B、D的說(shuō)法是正確的,故選BD.2.(多選)下列說(shuō)法正確的是()A.3-27=3 B.16的4C.481=±3 D.(x+y)解析:選BD負(fù)數(shù)的3次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),3-27=-3,故A錯(cuò)誤;16的4次方根有兩個(gè),為±2,故B正確;481=3,故C錯(cuò)誤;(x+y)2是非負(fù)數(shù),所以(x逐點(diǎn)清(二)根式[多維理解]根式的定義與性質(zhì)定義式子na叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a性質(zhì)(1)nan(2)(na)n=a(n∈N*,且n>1|微|點(diǎn)|助|解|根式符號(hào)na(1)n>1,且n∈N*.(2)當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí),na對(duì)任意的實(shí)數(shù)a都有意義,它表示a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)唯一的一個(gè)n次方根,從而有(na)n=(3)當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí),na只有當(dāng)a≥0時(shí)才有意義;na(a≥0)表示a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)n次方根,a的另一個(gè)n次方根是-na,從而有(±na)(4)式子nan對(duì)任意a∈R[微點(diǎn)練明]1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)(5-2)5=-2.((2)(4-2)4=-2.((3)(4-2)4=2.((4)13(-5)13=-5.((5)(na)n總有意義.()(6)nan總有意義.(答案:(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×(6)√2.已知xy≠0,且4x2y2=-2xy,則以下結(jié)論正確的是(A.xy<0 B.xy>0C.x>0,y>0 D.x<0,y<0解析:選A由4x2y2=|2xy|=-2xy,xy≠0知xy<0.所以x,y異號(hào)3.若x≠0,則|x|-x2+x2x的值為(A.-1 B.0 C.1 D.2解析:選C因?yàn)閤≠0,所以|x|-x2+x2x=|x|-|x|+4.若(3a-1)2=3(1-3a)3,則實(shí)數(shù)A.R B.-∞,C.13,+∞ 解析:選B(3a-1)2=|3a-1|,3(1-3a)3=1-3a.因?yàn)閨3a-1|=1-3a,故3a-1≤逐點(diǎn)清(三)根式的化簡(jiǎn)與求值[典例]已知-3<x<3,求x2-2解:原式=(=|x-1|-|x+3|,∵-3<x<3,∴當(dāng)-3<x<1時(shí),原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;當(dāng)1≤x<3時(shí),原式=(x-1)-(x+3)=-4.∴原式=-2[變式拓展]若將本例中“-3<x<3”變?yōu)椤皒≤-3”,則結(jié)果又是什么?解:原式=(=|x-1|-|x+3|.∵x≤-3,∴x-1<0,x+3≤0,∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.|思|維|建|模|化簡(jiǎn)根式的注意點(diǎn)(1)在根式計(jì)算中,含有na(n為正偶數(shù))的形式中要求a≥0,而nan中(2)對(duì)于形如m±2n(m>0,n>0)的雙重根式,當(dāng)滿足a>b>0,a+b=m,ab=n時(shí),有m±2[針對(duì)訓(xùn)練]化簡(jiǎn)下列各式:(1)7(-2)7;(2)(3)4(3a-3)4(a≤1);(4)解:(1)7(-2)7(2)(π-4)2+3(π-4)3=|π-4|+π-4=4(3)∵a≤1,∴4(3a-3)4=|3a-3|=3|a-1|=3(4)3a3+4(1-a)4=[課時(shí)跟蹤檢測(cè)](滿分90分,選填小題每題5分)1.若a是實(shí)數(shù),則下列式子可能沒(méi)有意義的是()A.4a2 B.C.5-a D解析:選D當(dāng)a<0時(shí),a的偶次方根無(wú)意義.2.若正數(shù)x,y滿足x3=8,y4=81,則x+y=()A.1 B.3 C.5 D.7解析:選C因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足x3=8,y4=81,所以x=38=2,y=481=3,所以x+y=23.若m3=64,則m=()A.±8 B.8 C.4 D.2解析:選D因?yàn)閙3=64,所以m=4.則m=4=2,故選D.4.若m=5(π-3)5,n=4(π-4)4,則mA.-7 B.-1 C.1 D.7解析:選Cm+n=|π-3|+|π-4|=π-3+4-π=1.5.化簡(jiǎn)(π-1+π)2-4A.π-π-1 B.π-1-πC.π+π-1 D.0解析:選A(=π-2=(π-1-π)2=|π-1-π|=6.當(dāng)a>0時(shí),-ax3等于(A.xax B.x-C.-x-ax D.-x解析:選C由題設(shè)得-ax3≥0,因?yàn)閍>0,所以x≤0.故-ax3=-x-ax7.已知a,b∈R,下列各式總能成立的有()A.(6a-6b)6=a-b B.n(aC.4a4-4b4=a-b D解析:選BA顯然錯(cuò)誤;B中,∵a2+b2≥0,∴B一定成立;C和D中,∵a,b∈R,∴4a4=|a|,4b4=|b|,10(a+b)10=|a8.(多選)下列說(shuō)法正確的是()A.481的運(yùn)算結(jié)果是B.16的4次方根是2C.當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí),na只有當(dāng)a≥0D.當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí),na對(duì)任意a∈R解析:選CD對(duì)于A,因?yàn)榕即胃降慕Y(jié)果只能是正數(shù),A錯(cuò)誤;對(duì)于B,正數(shù)的偶次方根的結(jié)果有正有負(fù),B錯(cuò)誤;根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則可知C、D正確.故選CD.9.若a+1a=3,則aa2+1的值為(A.17 B.1C.16 D.解析:選A因?yàn)閍+1a=3,a>0所以a+1a2=9,a即aa2+1=110.已知a,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng),化簡(jiǎn)(a-b-c)2-|b+c-aA.2(b+c)-2a B.2(b+a)-2cC.2a D.0解析:選D原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|=(b+c-a)-(b+c-a)=0.11.當(dāng)x<0時(shí),x+4x4+3x解析:原式=x+|x|+xx=x-x+1=1答案:112.若x>3,則x2-6x+9-|2-解析:∵x>3,∴x2-6x+9-|2-x|=(x-3)2-|2-x|=|x-3|-|2-x|=x-3-(x答案:-113.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+0.1的圖象如圖所示,則4(a-解析:由題圖知f(-1)=a-b+0.1<0,∴a-b<0,∴4(a-b)4=|a-b|=-(a-b答案:b-a14.(12分)設(shè)f(x)=x2-4,若0<a≤1,求f解:fa+1a=a+1a2因?yàn)?<a≤1,所以a≤1a故fa+1a=115.(13分)已知f(x)=axax+a,(1)求f12(2)探求f(x)+f(1-x)的值;(3)利用(2)的結(jié)論求f1101+f2101+…+f100解:(1)f12=a12(2)由f(x)=axax+a,得f(1-x)=a1-xa1-x+a=aa+ax+(3)由(2)知,f1101+f2101+…+=f1101+f100101+f第2課時(shí)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)——(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]

1.能正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值.2.掌握并運(yùn)用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

3.能結(jié)合教材探究了解無(wú)理數(shù)指數(shù)冪.4.結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.(一)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定:amn=nam(a>0,m,n∈N*負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定:a-mn=1amn=1nam(a>0,m0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義|微|點(diǎn)|助|解|(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪amn不可理解為mn個(gè)a相乘,它是根式的一種新的寫法.在這樣的規(guī)定下,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量(2)指數(shù)的概念擴(kuò)充到有理數(shù)指數(shù)后,當(dāng)a≤0時(shí),amn有時(shí)有意義,有時(shí)無(wú)意義.如(-1)13=3-1=-1,但(-1)12就不是實(shí)數(shù)了.為了保證在mn取任何有理數(shù)時(shí)(3)注意冪指數(shù)不能隨意約分.如(-4)24=4(-4)2=(-4)214=2(4)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下,總表示正數(shù),而不是負(fù)數(shù).(二)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)與無(wú)理數(shù)指數(shù)冪1.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).|微|點(diǎn)|助|解|(1)有理數(shù)指數(shù)冪除上述運(yùn)算性質(zhì)外,還有如下性質(zhì):①ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q);②abr=arbr(a>0,b>0,(2)有理數(shù)指數(shù)冪的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論:①當(dāng)a>0時(shí),ab>0;②當(dāng)a≠0時(shí),a0=1,而當(dāng)a=0時(shí),a0無(wú)意義;③若ar=as(a>0,且a≠1),則r=s;④乘法公式仍適用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,如:a12+b12a12-b12=(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)均在有意義的條件下才能成立,否則,不一定成立.如m12×8不一定等于(m12)8,因?yàn)楫?dāng)m<02.無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地,無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α為無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.下列運(yùn)算結(jié)果中,正確的是()A.a2·a3=a5 B.(-a2)3=(-a3)2C.(a-1)0=1 D.(-a2)3=a6解析:選Aa2·a3=a2+3=a5,故A正確;(-a2)3=-a6,(-a3)2=a6,故B、D錯(cuò)誤;當(dāng)a=1時(shí)無(wú)意義,故C錯(cuò)誤.2.計(jì)算π3-33的結(jié)果是(A.π B.π C.-π D.1答案:D3.下列關(guān)系式中,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是(填序號(hào)).①-x=(-x)12(x②6y2=y13③x-34=41④x-13=-3x(⑤aa=a34(a答案:③⑤4.若10x=3,10y=4,則102x-解析:∵10x=3,∴102x=9.∴102x-y=102x10答案:9題型(一)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化[例1]將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.(1)3a·4a;(2)a(3)3a2·a(4)(3a)2·ab3解:(1)3a·4a=a13·(2)原式=a12·a14·(3)原式=a23·a3(4)原式=(a13)2·a12·|思|維|建|模|根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)eq\o(→,\s\up7(化為),\s\do5())分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母,被開方數(shù)(式)的指數(shù)eq\o(→,\s\up7(化為),\s\do5())分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.(2)在具體計(jì)算時(shí),通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算.

(3)當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí),要搞清被開方數(shù),由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出,然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).[針對(duì)訓(xùn)練]1.把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式(式中字母均為正實(shí)數(shù)).(1)b-79;(2)27m3;(3)(a+b解:(1)b-79(2)27m3=(3)(a+b)34=(4)15x3+y=(x題型(二)利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值[例2]化簡(jiǎn)求值:(1)0.02713-614(2)(a-2b-3)(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);(3)23a÷46ab×3解:(1)原式=(0.33)13-52212+(44)34+23(2)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)=-13a-3-(-4)b-2-(-2)c-=-13ac-1=-a(3)原式=2a13÷(4a1=12a1=32|思|維|建|模|1.指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧(1)有括號(hào)先算括號(hào)里的,無(wú)括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算.(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是小數(shù),先要化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù),要先化成假分?jǐn)?shù),然后要盡可能用冪的形式表示,以便于運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.化簡(jiǎn)指數(shù)冪常用技巧(1)ba-p=abp((2)a=a1mm,anm(3)1的代換,如1=a-1a,1=a-1[針對(duì)訓(xùn)練]2.化簡(jiǎn)3ab2·a3b23b·aA.ba B.abC.ab D.a2解析:選C原式=(ab2)1312·(3.求下列各式的值:(1)481×923;(2)23×(3)325-12545;(解:(1)原式=3=34+2314(2)原式=2×312×3213×(3×22)16=(3)原式=523-532514=(4)原式=a2a12a23=a2-題型(三)指數(shù)冪運(yùn)算中的條件求值[例3]已知a12+a-1(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2解:(1)將a12+a-得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.(2)將a+a-1=7兩邊平方,可得a2+a-2+2=49,∴a2+a-2=47.(3)∵a32+a-32=(a12=(a12+a-12)(a-a12=3(a+a-1-1)=3(7-1)=18,而a2+a-2=47,∴原式=47-218-3=45|思|維|建|模|(1)對(duì)于條件求值問(wèn)題,一般先化簡(jiǎn)代數(shù)式,再將字母取值代入求值.但有時(shí)字母的取值不知道或不易求出,這時(shí)可將所求代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形,構(gòu)造出能用已知條件表示的結(jié)構(gòu),從而通過(guò)“整體代入法”巧妙地求出代數(shù)式的值.(2)利用“整體代入法”求值常用的變形公式(其中a>0,b>0):①a±2a12b12+b=(a②(a12+b12)(a12③a32+b32=(a12+b1④a32-b32=(a12[針對(duì)訓(xùn)練]4.已知10m=2,10n=4,則103m-n2的值為A.2 B.2C.10 D.22解析:選B103m-n2=103m5.已知a2x=2+1,則a3x+a-3xA.22-1 B.2-22C.22+1 D.2+1解析:選A令ax=t,則t2=2+1,所以a3x+a-3xax+a-x=t3+t-3t+t-1=(t+t-1)(t[課時(shí)跟蹤檢測(cè)](滿分90分,A級(jí)選填小題每題5分,B級(jí)選填小題每題6分)A級(jí)——達(dá)標(biāo)評(píng)價(jià)1.把根式aa化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是()A.(-a)32 B.-(-C.-a32 D解析:選D由題意可知a≥0,排除A、B、C選項(xiàng),故選D.2.52·52=(A.5 B.5 C.52 D.2解析:選C52·52=522=[(5)23.設(shè)a>0,則下列運(yùn)算正確的是()A.a144=a BC.a÷a23=a32 D解析:選A易知A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,a23a-23=a0=1,B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,a÷a23=a13,C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D4.x13·3x-A.x12 B.C.x-415 解析:選B原式=x13·x-23-5.若0<a<1,b>0,且ab+a-b=22,則ab-a-b等于()A.6 B.2或-2C.-2 D.2解析:選C由ab+a-b=22,得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6,所以(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.由題意得0<ab<1,a-b>1,故ab-a-b<0,所以ab-a-b=-2.故選C.6.設(shè)α,β是方程5x2+10x+1=0的兩個(gè)根,則2α·2β=,(2α)β=.

解析:利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得α+β=-2,αβ=15.則2α·2β=2α+β=2-2=14,(2α)β=答案:147.計(jì)算2a-3b-23·(-3a-1b解析:原式=-6a-4b134答案:-32b8.如果在某種細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中,細(xì)菌每10分鐘分裂一次(1個(gè)分裂成2個(gè)),那么經(jīng)過(guò)1小時(shí),一個(gè)這種細(xì)菌可以分裂成個(gè).解析:經(jīng)過(guò)1小時(shí)可分裂6次,可分裂成26=64個(gè).答案:649.(8分)計(jì)算下列各式的值:(1)(83×333)2(3)π3(4)2790.5+0.1-2+21027-解:(1)原式=(2332×333)(2)原式=aπ6+7π(3)原式=π3π333(4)原式=2590.5+10.1=53+100+916-3+3710.(8分)已知a=3,求11+a14+11-a解:11+a14+1=21+a14=21-a12=41-a=41-a=8=-1.B級(jí)——重點(diǎn)培優(yōu)11.設(shè)2a=5b=m,且1a+1b=2,則m=(A.10 B.10 C.20 D.100解析:選A∵2a=m,5b=m,∴2=m1a,5=∴2×5=m1a·m1b=m1a+1b.又1a+1b=2,∴m2=10.∴m12.212,313,616這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為A.616<313<212 BC.212<313<616 D解析:選B212=236=623=68,313=326=632=69,616=13.(多選)已知10a=2,102b=5,則下列結(jié)論正確的是()A.a+2b=1 B.ab<1C.10a+b>4 D.a>b解析:選ABC因?yàn)?0a·102b=10a+2b=10,所以a+2b=1,故A正確;易知a>0,b>0,由基本不等式得a+2b≥22ab,所以ab≤18,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=12時(shí)取等號(hào),又因?yàn)?0a≠102b,即a≠2b,所以等號(hào)不成立,所以ab<18,故B正確;10a+b=10a·10b=2×5=25>4,故C正確;由(10a)2=102a=4<5=102b,得a<b,故D錯(cuò)誤.14.已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),則a4m+n的值為.

解析:因?yàn)閍2m+n=2-2①,am-n=28②,所以①×②得a3m=26.所以am=22.將am=22代入②得22·a-n=28,所以an=2-6.所以a4m+n=a4m·an=(a答案:415.(10分)若a,b,c為正實(shí)數(shù),ax=by=cz,1x+1y+1z=0,求a解:設(shè)ax=by=cz=k,則k>0,a=k1x,b=k1y,因此abc=k1xk1yk14.2.1指數(shù)函數(shù)的概念———（教學(xué)方式：基本概念課——逐點(diǎn)理清式教學(xué)）[課時(shí)目標(biāo)]

1.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.會(huì)從形式上判斷一個(gè)函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù).

2.會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出指數(shù)函數(shù)模型并能解決相應(yīng)問(wèn)題.逐點(diǎn)清(一)指數(shù)函數(shù)的概念[多維理解]一般地,函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.|微|點(diǎn)|助|解|指數(shù)函數(shù)只是一個(gè)形式定義,判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵有三點(diǎn):(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù),不能是自變量;(2)指數(shù)處只有一個(gè)自變量,而且不是含自變量的多項(xiàng)式;(3)ax的系數(shù)是1.說(shuō)明[微點(diǎn)練明]1.如果函數(shù)f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指數(shù)函數(shù),則ab=()A.18 B.1C.9 D.8解析:選D根據(jù)題意可得2a=1?a=12,-(b+3)=0?b=-3,則ab=122.若函數(shù)f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x為指數(shù)函數(shù),則()A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1C.a=1 D.a=-3解析:選C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x為指數(shù)函數(shù),則a2+2a-2=1,a+4>0,且3.(多選)下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是()A.y=52xB.y=-4xC.y=x3D.y=(6a-3)xa解析:選AD對(duì)于A,y=52x=25x為指數(shù)函數(shù);對(duì)于B,y=-4x不是指數(shù)函數(shù);對(duì)于C,y=x3不是指數(shù)函數(shù);對(duì)于D,當(dāng)a>12且a≠23時(shí),6a-3>0且6a-3≠1,則y=(6a-3)xa4.若函數(shù)y=(2a-1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù),則a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,+∞) B.[0,1)∪(1,+∞)C.12,1∪(1,+∞) D解析:選C依題意得2a-1>0,且2a-1≠1,解得a>12,且a≠1即a的取值范圍是12,1∪(1,+∞逐點(diǎn)清(二)求指數(shù)函數(shù)的解析式或值[多維理解](1)求指數(shù)函數(shù)的解析式時(shí),一般采用待定系數(shù)法,即先設(shè)出函數(shù)的解析式,然后利用已知條件,求出解析式中的參數(shù),從而得到函數(shù)的解析式,其中掌握指數(shù)函數(shù)的概念是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.(2)求指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的關(guān)鍵是求出指數(shù)函數(shù)的解析式.[微點(diǎn)練明]1.已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1),且f(1)=2,則f(0)+f(2)=()A.4 B.5 C.6 D.8解析:選B由f(1)=2?a=2?f(x)=2x,所以f(0)+f(2)=20+22=5.2.若函數(shù)f(x)=12a-1·ax是指數(shù)函數(shù),則f12的值為(A.-2 B.2 C.-22 D.22解析:選B因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=12a-1·ax是指數(shù)函數(shù),所以12a-1=1,a>0,且a≠1,即a=4.所以f(x)=4x.則f123.設(shè)函數(shù)f(x)=4x-12,x<1,ax,x≥1,若A.12 B.3C.1 D.2解析:選Df78=4×78則ff78=f(3)=a得a3=8,解得a=2.故選D.4.已知函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù),且f-32=525,則f(3解析:設(shè)f(x)=ax(a>0,且a≠1),則f-32=a-32得a=5,故f(x)=5x.因此,f(3)=53=125.答案:125逐點(diǎn)清(三)指數(shù)增長(zhǎng)與衰減的應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中,經(jīng)常遇到指數(shù)增長(zhǎng)模型,形如y=kax(k∈R,且k≠0,a>0,且a≠1)的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型.[典例]有一種樹栽植5年后可成材.在栽植后5年內(nèi),該種樹的產(chǎn)量年增長(zhǎng)率為20%,如果不砍伐,從第6年到第10年,該種樹的產(chǎn)量年增長(zhǎng)率為10%,現(xiàn)有兩種砍伐方案:甲方案:栽植5年后不砍伐,等到10年后砍伐.乙方案:栽植5年后砍伐重栽,然后過(guò)5年再砍伐一次.請(qǐng)計(jì)算后回答:10年內(nèi)哪一個(gè)方案可以得到較多的木材?解:設(shè)該種樹的最初栽植量為a,甲方案在10年后的木材產(chǎn)量為y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材產(chǎn)量為y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.∵a>0,∴4.98a>4.01a,即y2>y1,∴10年內(nèi)乙方案可以得到較多的木材.|思|維|建|模|(1)由特殊到一般的歸納方法是探究增長(zhǎng)型函數(shù)問(wèn)題常用的手段.(2)在實(shí)際問(wèn)題中,對(duì)于平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題,如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值或總產(chǎn)量y,可以用公式y(tǒng)=N(1+p)x表示.[針對(duì)訓(xùn)練]1.若鐳經(jīng)過(guò)100年后剩余量為原來(lái)的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過(guò)x年后剩余量為y,則x,y的函數(shù)關(guān)系是()A.y=(0.9576)x100 B.y=(0.9576)C.y=0.9576100x D.y=1-(0.042解析:選A由100年后剩余量為原來(lái)的95.76%,故x年后的剩余量y=(0.9576)x2.某地下車庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下,測(cè)得空氣中一氧化碳的含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài),經(jīng)搶修后排氣扇恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測(cè)得車庫(kù)內(nèi)一氧化碳濃度為64ppm(ppm為濃度單位,1ppm表示百萬(wàn)分之一),再過(guò)4分鐘又測(cè)得濃度為32ppm.經(jīng)檢驗(yàn)知,該地下車庫(kù)一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時(shí)間t(分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y=c12mt(c,m為常數(shù)).求c,m解:由題意可得c解得c故c,m的值分別為128,14[課時(shí)跟蹤檢測(cè)](滿分90分,選填小題每題5分)1.下列函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的是()A.y=2·3x B.y=-3xC.y=5x D.y=1x答案:C2.函數(shù)f(x)=(2a-3)ax是指數(shù)函數(shù),則f(1)=()A.8 B.32C.4 D.2解析:選D∵函數(shù)f(x)=(2a-3)ax是指數(shù)函數(shù),∴2a-3=1,a>0,且a≠1.解得a=2.∴f(x)=2x.∴f(1)=2.故選D.3.若點(diǎn)(a,27)在函數(shù)y=(3)x的圖象上,則a的值為()A.6 B.1 C.22 D.0解析:選A點(diǎn)(a,27)在函數(shù)y=(3)x的圖象上,所以27=(3)a,即33=3a2,所以a2=3,解得a=6,所以a=6.4.函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y都有()A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)解析:選Cf(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y).5.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中,每15min分裂一次(由1個(gè)分裂成2個(gè)),這種細(xì)菌由1個(gè)分裂成4096個(gè)需經(jīng)過(guò)()A.12h B.4h C.3h D.2h解析:選C設(shè)需經(jīng)過(guò)x次分裂,則2x=4096,解得x=12.所以所需時(shí)間t=12×1560=3(6.已知一種產(chǎn)品的成本是a元,今后m年,計(jì)劃使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是經(jīng)過(guò)年數(shù)x(0<x<m)的函數(shù),其關(guān)系式是()A.y=a(1+p%)x(0<x<m)B.y=a(1-p%)x(0<x<m)C.y=a(p%)x(0<x<m)D.y=a-(p%)x(0<x<m)解析:選B∵產(chǎn)品的成本是a元,1年后,成本為a-p%·a=a(1-p%);2年后,成本為a(1-p%)-a(1-p%)·p%=a(1-p%)2;…,∴x年后,成本y=a(1-p%)x(0<x<m).7.已知函數(shù)f(x)=12x+2,則f(1)與f(-1)的大小關(guān)系是(A.f(1)>f(-1) B.f(1)<f(-1)C.f(1)=f(-1) D.不確定解析:選B∵f(x)=12x+2,∴f(1)=121+2=52,f(-1)=12-1+2=4.∵52<4,∴f(18.已知f(x)=3x,g(x)=9x,若f(a)g(b)=13,則下列各式正確的是()A.a+b=-1 B.a+b=1C.a+2b=-1 D.a+2b=1解析:選C由3a·9b=13知3a·32b=3-1.即a+2b=-19.如圖所示,面積為8的平行四邊形OABC的對(duì)角線AC⊥CO,AC與BO交于點(diǎn)E.若指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,B,則a等于()A.2 B.3 C.2 D.3解析:選A設(shè)點(diǎn)C(0,m)(m>0),則由已知條件可得A8m,m,E4m,m,B8m,2m.因?yàn)辄c(diǎn)E,B在指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)的圖象上,所以m=a4m,2m=10.將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中,tmin后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent,假設(shè)過(guò)5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再過(guò)mmin甲桶中的水只有a4升,則m的值為()A.10 B.9 C.8 D.5解析:選D由題設(shè)可得方程組2ae5n=a,ae(m+5)n=a4.由2ae5n=a?e5n=12,代入ae(m+5)11.函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x,則當(dāng)x>0時(shí),f(x)等于()A.-2x B.2-xC.-2-x D.2x解析:選C當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x,當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=2-x.又f(x)是R上的奇函數(shù),所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-f(-x)=-2-x.12.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=(2b-3)ax經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),則a=,f(a+b)=.

解析:由指數(shù)函數(shù)的定義可知2b-3=1,即b=2.將點(diǎn)(1,2)代入f(x)=ax,得a=2.故f(x)=2x,a+b=4,所以f(a+b)=f(4)=24=16.答案:21613.設(shè)函數(shù)f(x)=x,x≥0,12x,x<0,則f解析:依題意,知f(-4)=12-4=16,f(16)=16=4,所以f(f(-4))=f(16)答案:414.(12分)已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足g(3)=8,定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=g(x)-g(-x).(1)求y=g(x),y=f(x)的解析式;(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解:(1)根據(jù)題意,函數(shù)y=g(x)為指數(shù)函數(shù),設(shè)g(x)=ax,若g(3)=8,則a3=8,解得a=2,則g(x)=2x,f(x)=g(x)-g(-x)=2x-2-x,(2)f(x)=2x-2-x,函數(shù)定義域?yàn)镽,則f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),函數(shù)f(x)為奇函數(shù).15.(13分)已知函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,(1)求a的值;(2)若g(x)是定義在R上的偶函數(shù),且x≤0時(shí),g(x)=f(x),求g(x)的解析式.解:(1)由已知,得a2=19,∵a>0且a≠1,∴a=1(2)當(dāng)x≤0時(shí),g(x)=f(x)=13設(shè)x>0,則-x<0,則g(-x)=13-x=3x,因?yàn)間(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以g(x)=g(-x)所以函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=14.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)——(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),學(xué)會(huì)利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的函數(shù)定義域、值域的問(wèn)題.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)項(xiàng)目0<a<1a>1圖象定義域R值域(0,+∞)過(guò)定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=1函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),y>1當(dāng)x<0時(shí),0<y<1;當(dāng)x>0時(shí),y>1單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)對(duì)稱性y=ax與y=1ax的圖象關(guān)于|微|點(diǎn)|助|解|(1)當(dāng)?shù)讛?shù)a大小不確定時(shí),必須分a>1和0<a<1兩種情況討論函數(shù)的圖象和性質(zhì).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),且圖象都在x軸上方.(3)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1),(1,a),-1,1a,只要確定了這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),即可快速地畫出指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)(4)底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,根據(jù)這種對(duì)稱性,就可以利用一個(gè)函數(shù)的圖象,畫出另一個(gè)函數(shù)的圖象.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)將函數(shù)y=3x的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=3x-2的圖象.()(2)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的最小值為0.()(3)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在R上單調(diào)遞增.()(4)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)不具備奇偶性.()答案:(1)√(2)×(3)×(4)√2.函數(shù)y=3-x的圖象是()答案:B3.若函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函數(shù),則a的取值范圍是.解析:結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,若y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函數(shù),則a>1.答案:(1,+∞)4.已知函數(shù)y=2+ax-2(a>0,且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),則定點(diǎn)的坐標(biāo)為.答案:(2,3)5.函數(shù)f(x)=2x+3的值域?yàn)?解析:因?yàn)?x>0,所以2x+3>3,即函數(shù)f(x)=2x+3的值域?yàn)?3,+∞).答案:(3,+∞)題型(一)指數(shù)函數(shù)的圖象[例1]如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是()A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c解析:選B作直線x=1,由下到上分別與指數(shù)函數(shù)②,①,④,③相交(圖略),所以b<a<1<d<c.[例2]若b<-1,則函數(shù)y=ax+b(a>1)的圖象必定不經(jīng)過(guò)()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:選By=ax+b的圖象是由指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到,且b<-1.如圖,故選B.|思|維|建|模|處理函數(shù)圖象問(wèn)題的策略抓住特殊點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),求指數(shù)型函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)時(shí),只要令指數(shù)為0,求出對(duì)應(yīng)的y的值,即可得函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)巧用圖象變換函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)利用函數(shù)的性質(zhì)利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的圖象特點(diǎn)判斷[針對(duì)訓(xùn)練]1.函數(shù)y=ax,y=x+a在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()解析:選D由題意知a>0且a≠1,則函數(shù)y=x+a單調(diào)遞增.當(dāng)0<a<1時(shí),y=ax單調(diào)遞減,直線y=x+a在y軸上的截距大于0且小于1;當(dāng)a>1時(shí),y=ax單調(diào)遞增,直線y=x+a在y軸上的截距大于1.只有D符合.2.(多選)函數(shù)y=ax-1a(a>0,且a≠1)的圖象可能是()解析:選CD當(dāng)a>1時(shí),1a∈(0,1),因此x=0時(shí),0<y=1-1a<1,且y=ax-1a在R上單調(diào)遞增,故C符合,A、B不符合;當(dāng)0<a<1時(shí),1a>1,因此x=0時(shí),y<0,且y=ax-1a在R上單調(diào)遞減,故D符合題型(二)指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用[例3]若函數(shù)f(x)=2ax+m-n(a>0,且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(-1,4),則m+n等于()A.3 B.1 C.-1 D.-2解析:選C由已知,得m-1=0,2·am-1-n=4,解得m=1,n=-2.所以m+n=-1.[例4]要使g(x)=3x+1+t的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限,則t的取值范圍為()A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)C.(-∞,-3] D.[-3,+∞)解析:選C由已知,得3+t≤0,解得t≤-3.|思|維|建|模|與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象問(wèn)題的解題策略根據(jù)函數(shù)圖象特征,確定指數(shù)型函數(shù)y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的參數(shù),可借助圖象的升、降確定a的范圍,利用函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn),確定c的范圍,也可利用圖象的平移變化確定c的范圍.[針對(duì)訓(xùn)練]3.已知函數(shù)f(x)=12x-1+b,且函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第一象限,則b的取值范圍是(A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]C.(-∞,-2] D.(-∞,-2)解析:選C由已知,得f(0)=2+b≤0,解得b≤-2.故選C.4.已知直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2|的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:畫出函數(shù)y=|2x-2|的圖象如圖所示.要使直線y=2a與該圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則有0<2a<2,即0<a<1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1).題型(三)指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域[例5]求下列函數(shù)的定義域和值域:(1)y=21x-1;(2)y=23-x;(解:(1)由已知得x應(yīng)滿足x-1≠0,∴x≠1.∴定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞).∵1x-1≠0,∴21∴y=21x-1的值域?yàn)?0,1)∪(1,+(2)定義域?yàn)镽.∵|x|≥0,∴y=23-x=32∴此函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞).(3)由題意知1-12x≥0,∴12x∴x≥0.故定義域?yàn)閇0,+∞).∵x≥0,∴12x≤∵12x>0,∴0<12∴0≤1-12x<1.∴0≤y∴此函數(shù)的值域?yàn)閇0,1).|思|維|建|模|函數(shù)y=af(x)定義域、值域的求法(1)定義域的求法:函數(shù)y=af(x)的定義域與y=f(x)的定義域相同.(2)值域的求法:①換元,令t=f(x);②求t=f(x)的定義域x∈D;③求t=f(x)的值域t∈M;④利用y=at的單調(diào)性求y=at,t∈M的值域.[提醒]求定義域時(shí)注意使函數(shù)式有意義的條件,而求值域時(shí)注意整體性.[針對(duì)訓(xùn)練]5.函數(shù)y=12x2解析:函數(shù)的定義域?yàn)镽,x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴12x2-2又∵12x2-2x>0,∴函數(shù)的值域?yàn)榇鸢?(0,2]6.求函數(shù)y=3x1+解:函數(shù)的定義域?yàn)镽.∵y=3x1+3x=(1+又∵3x>0,∴1+3x>1,∴0<11+3∴-1<-11+3x<0,∴0<1-∴函數(shù)的值域?yàn)?0,1).[課時(shí)跟蹤檢測(cè)](滿分100分,A級(jí)選填小題每題5分,B級(jí)選填小題每題6分)A級(jí)——達(dá)標(biāo)評(píng)價(jià)1.函數(shù)y=1-3x(y≥0)的定義域是()A.[0,+∞) B.(-∞,0]C.[1,+∞) D.(-∞,+∞)解析:選B因?yàn)?-3x≥0,即3x≤1,所以x≤0,即x∈(-∞,0].2.函數(shù)y=2x+1的圖象是(解析:選A當(dāng)x=0時(shí),y=2,且函數(shù)單調(diào)遞增,故選A.3.若函數(shù)y=2x在區(qū)間[2,a]上的最大值比最小值大4,則a=()A.1 B.2 C.3 D.4解析:選C∵y=2x在R上是增函數(shù),∴y=2x在[2,a]上單調(diào)遞增.∴y=2x的最小值為4,最大值為2a.故2a-4=4,即a=3.4.函數(shù)f(x)=πx與g(x)=1πx的圖象關(guān)于(A.原點(diǎn)對(duì)稱 B.x軸對(duì)稱C.y軸對(duì)稱 D.直線y=-x對(duì)稱解析:選C設(shè)點(diǎn)(x,y)為函數(shù)f(x)=πx的圖象上任意一點(diǎn),則點(diǎn)(-x,y)為g(x)=π-x=1πx的圖象上的點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱,所以函數(shù)f(x)=πx與g(x)=1πx5.函數(shù)f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(A.a>1,b<0 B.a>1,b>0

C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0解析:選D由于f(x)的圖象單調(diào)遞減,所以0<a<1.又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0.即-b>0,b<0.故選D.6.函數(shù)y=0.71x解析:由x2-1≠0,得x≠±1.即函數(shù)y=0.71x2-1的定義域?yàn)閧x|答案:{x|x≠±1}7.函數(shù)f(x)=2·ax-1+1(a>0,且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn).解析:令x-1=0,得x=1.又f(1)=2×1+1=3,所以f(x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,3).答案:(1,3)8.若0<a<1,b<-1,則函數(shù)f(x)=ax+b的圖象一定不經(jīng)過(guò)第象限.解析:函數(shù)y=ax的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度,因?yàn)閎<-1,所以函數(shù)f(x)=ax+b的圖象一定不經(jīng)過(guò)第一象限.答案:一9.(8分)畫出函數(shù)y=|2x-1|的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間和最值.解:函數(shù)的圖象如圖所示,由圖象可知,函數(shù)的定義域?yàn)镽;值域?yàn)閇0,+∞);在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;有最小值為0,無(wú)最大值.10.(8分)求下列函數(shù)的定義域和值域:(1)y=1-3(2)y=23(3)y=12解:(1)要使函數(shù)式有意義,則1-3x≥0,即3x≤1=30.因?yàn)楹瘮?shù)y=3x在R上是增函數(shù),所以x≤0.故函數(shù)y=1-3x的定義域?yàn)?-∞,0因?yàn)閤≤0,所以0<3x≤1.所以0≤1-3x<1.所以1-3x∈[0,1即函數(shù)y=1-3x的值域?yàn)閇0,1(2)要使函數(shù)式有意義,則-|x|≥0,解得x=0.所以函數(shù)y=23-x的定義域?yàn)閧x|x因?yàn)閤=0,所以23-x=即函數(shù)y=23-x的值域?yàn)閧y|y(3)定義域?yàn)镽.因?yàn)閤2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,所以12x2-又12x所以函數(shù)y=12x2-2x-3B級(jí)——重點(diǎn)培優(yōu)11.已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是()解析:選A由函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的圖象可知0<a<1,b<-1,所以函數(shù)g(x)=ax+b是減函數(shù),排除選項(xiàng)C、D;又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1+b)(1+b<0),故選A.12.設(shè)函數(shù)f(x)=2-x,x<0,1-x2,x≥0,則滿足f(x+1)<f(A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,1) D.(0,1)解析:選C函數(shù)f(x)=2-x,x<0,1-x2,x≥0的圖象如圖,顯然函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,∵f(x+1)<f(2x13.已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式12a=13b,給出下列五個(gè)關(guān)系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中,解析:作y=12x與y=13x的圖象(圖略).當(dāng)a=b=0時(shí),12a=13b=1;當(dāng)a<b<0時(shí),可以使12a=13b;當(dāng)a>b>0時(shí),答案:214.(12分)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2,求a的值解:①當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上單調(diào)遞減,所以最大值f(x)max=f(1)=a1=a,最小值f(x)min=f(2)=a2,所以a-a2=a2,解得a=12或a=0(②當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上單調(diào)遞增,所以最大值f(x)max=f(2)=a2,最小值f(x)min=f(1)=a1=a,所以a2-a=a2,解得a=32或a=0(舍去綜上所述,a=12或a=315.(14分)已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).(1)若f(x)的圖象如圖所示,求a,b的值;(2)在(1)中,若|f(x)|=m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍.解:(1)由題圖知f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0),(0,-2),所以a又a>0,且a≠1,所以a=3,b=-3.(2)由(1)知f(x)=(3)x-3,則畫出|f(x)|=|(3)x-3|的圖象如圖所示,要使|f(x)|=m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則m=0或m≥3.故m的取值范圍為[3,+∞)∪{0}.第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用——(教學(xué)方式:拓展融通課習(xí)題講評(píng)式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]

1.進(jìn)一步熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì).會(huì)判斷指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題.

2.能夠利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較數(shù)的大小、解不等式.題型(一)比較大小[例1]比較下列各題中兩個(gè)值的大小:(1)57-1.8,57(2)1.70.3,0.93.1;(3)13-1(4)0.20.3,0.30.2.解:(1)因?yàn)?<57<1所以函數(shù)y=57x在其定義域R又-1.8>-2.5,所以57-1.8<(2)因?yàn)?.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1.(3)因?yàn)閥=13x在R上是減函數(shù),y=32x在R上為增函數(shù),且所以13-12>1,32-1(4)因?yàn)?<0.2<0.3<1,所以指數(shù)函數(shù)y=0.2x與y=0.3x在定義域R上均是減函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上函數(shù)y=0.2x的圖象在函數(shù)y=0.3x的圖象的下方,所以0.20.2<0.30.2.又根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=0.2x在R上是減函數(shù),可得0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<0.30.2.|思|維|建|模|比較指數(shù)式大小的3種類型及處理方法(1)底數(shù)相同,指數(shù)不同:利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷.(2)底數(shù)不同,指數(shù)相同:利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來(lái)判斷.(3)底數(shù)不同,指數(shù)不同:通過(guò)中間量來(lái)比較.[針對(duì)訓(xùn)練]1.下列大小關(guān)系正確的是()A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43解析:選B0.43<0.40=1=π0=30<30.4.2.設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a解析:選C∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,故1.50.6>0.60.6,又函數(shù)y=0.6x在R上是減函數(shù),且1.5>0.6,所以0.61.5<0.60.6,故0.61.5<0.60.6<1.50.6.題型(二)簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法[例2](1)解不等式123x(2)已知ax2-3x+1<ax+6(a>0,且a≠解:(1)∵2=12∴原不等式可以轉(zhuǎn)化為123x∵y=12x在R∴3x-1≥-1.∴x≥0.故原不等式的解集是{x|x≥0}.(2)①當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù),∴x2-3x+1>x+6.∴x2-4x-5>0.解得x<-1或x>5;②當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=ax在R上是增函數(shù),∴x2-3x+1<x+6.∴x2-4x-5<0.解得-1<x<5.綜上所述,當(dāng)0<a<1時(shí),x的取值范圍是{x|x<-1或x>5};當(dāng)a>1時(shí),x的取值范圍是{x|-1<x<5}.|思|維|建|模|(1)利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性解不等式,需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式.(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性,要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習(xí)慣,若底數(shù)不確定,就需要進(jìn)行分類討論,即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1).[針對(duì)訓(xùn)練]3.求滿足下列條件的x的取值范圍:(1)3x-1>9x;(2)0.2x<25;(3)a-5x>ax+7(a>0,且a≠1).解:(1)∵3x-1>9x,∴3x-1>32x.又y=3x在定義域R上是增函數(shù),∴x-1>2x,∴x<-1.即x的取值范圍是(-∞,-1).(2)∵0<0.2<1,∴指數(shù)函數(shù)f(x)=0.2x在R上是減函數(shù).又25=0.2-2,∴0.2x<25.即0.2x<0.2-2,∴x>-2.即x的取值范圍是(-2,+∞).(3)當(dāng)a>1時(shí),∵a-5x>ax+7,∴-5x>x+7,解得x<-76當(dāng)0<a<1時(shí),∵a-5x>ax+7,∴-5x<x+7,解得x>-76綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),x的取值范圍是-∞,-76;當(dāng)0<a<1時(shí),題型(三)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題[例3]判斷f(x)=13x2-解:令u=x2-2x,則原函數(shù)變?yōu)閥=13∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增,又y=13u在(-∞,+∞)∴f(x)=13x2-2x在(-∞,1]上單調(diào)遞增,在[1∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴y=13u,u∈[-1,+∞∴0<13u≤1∴原函數(shù)的值域?yàn)?0,3].[變式拓展]1.把本例的函數(shù)改為“f(x)=3-x2-解:設(shè)t=-x2-x,則原函數(shù)變?yōu)閥=3t.當(dāng)x∈-∞,-12時(shí),t=-x2-x單調(diào)遞增,y因此f(x)=3-x2-當(dāng)x∈-12,+∞時(shí),t=-x2-x單調(diào)遞減,y因此f(x)=3-x2-因此函數(shù)f(x)=3-x2-x的單調(diào)遞增區(qū)間為2.若本例變?yōu)楹瘮?shù)f(x)=132x2+mx-3在區(qū)間(-1,1解:由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可得,y=2x2+mx-3在(-1,1)上嚴(yán)格單調(diào)遞增,即-m4≤-1,解得m≥4所以m的取值范圍是[4,+∞).|思|維|建|模|(1)指數(shù)型函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1)的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定:一是底數(shù);二是f(x)的單調(diào)性,它由兩個(gè)函數(shù)y=au,u=f(x)的復(fù)合而成的.(2)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先求出函數(shù)的定義域,然后把函數(shù)分解成y=f(u),u=φ(x),通過(guò)f(u)和φ(x)的單調(diào)性求出y=f(φ(x))的單調(diào)性.[針對(duì)訓(xùn)練]4.(2023·全國(guó)甲卷)已知函數(shù)f(x)=e-(x-1)2.記a=f22,b=f32,c=f6A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b解析:選A函數(shù)f(x)=e-(x-1)2是由函數(shù)y=eu和u=-(x-1)2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),y=eu為R上的增函數(shù),u=-(x-1)2在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.易知f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以c=f62=f2-62,又22<2-62<32<1,所以f22<f2-5.已知函數(shù)f(x)=2|2x-m|(m為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,則m的取值范圍是.

解析:令t=|2x-m|,則t=|2x-m|在區(qū)間m2,+∞上單調(diào)遞增,在區(qū)間-∞,m2上單調(diào)遞減.而y=2t在R上單調(diào)遞增,所以要使函數(shù)f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則有m2≤2,即m≤4,所以m答案:(-∞,4]題型(四)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合[例4]已知函數(shù)f(x)=12x-1(1)求f(x)的定義域;(2)討論f(x)的奇偶性;(3)證明:f(x)>0.解:(1)由題意得2x-1≠0,即x≠0,∴f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).(2)由(1)知,f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.令g(x)=12x-1+12=2x+12(2則f(x)=g(x)·φ(x).∵g(-x)=2-x+12(2-xφ(-x)=(-x)3=-x3=-φ(x),∴f(-x)=g(-x)·φ(-x)=[-g(x)]·[-φ(x)]=g(x)·φ(x)=f(x).∴f(x)=12x-1+(3)證明:當(dāng)x>0時(shí),2x>1,∴2x-1>0,∴12x-1+12>0.∵x3>0,∴f(由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,知當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0也成立.故對(duì)于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f(x)>0.|思|維|建|模|解決指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)注意代數(shù)式的變形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等變形技巧.(2)解答函數(shù)問(wèn)題注意應(yīng)在函數(shù)定義域內(nèi)進(jìn)行.(3)由于指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與底數(shù)有關(guān),因此要注意是否需要討論.[針對(duì)訓(xùn)練]6.設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=4xa+a4x(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)求f(x)在[1,3]上的值域.解:(1)由f(x)=f(-x),得4xa+a4x=即4x1a-a+所以4x-根據(jù)題意,可得1a-a=0又a>0,所以a=1.(2)由(1)可知f(x)=4x+14設(shè)任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=4x1+14x1-因?yàn)?<x1<x2,所以4x1<4x2.又x1+x2>0,所以4x1+x2>1.所以所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.所以函數(shù)f(x)在[1,3]上的最大值為f(3)=43+143=409764;最小值為f(1)=4+1故f(x)在[1,3]上的值域?yàn)?74[課時(shí)跟蹤檢測(cè)](滿分100分,A級(jí)選填小題每題5分,B級(jí)選填小題每題6分)A級(jí)——達(dá)標(biāo)評(píng)價(jià)1.設(shè)a=3525,b=2535,c=2525,則a,A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a解析:選A因?yàn)楹瘮?shù)y=25x是減函數(shù),所以c>b;又函數(shù)y=x25在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故a>c2.函數(shù)y=121-x的單調(diào)遞增區(qū)間為(A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1)解析:選A定義域?yàn)镽.設(shè)u=1-x,y=12因?yàn)閡=1-x在(-∞,+∞)上為減函數(shù),y=12u在(-∞,+∞)上為減函數(shù),所以y=121-x在(-∞,+∞)3.(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是()A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)解析:選D由題意得y=x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,所以x=a2≥1,解得a≥2.故選D4.不等式13x2-8>3-2x的解集是(A.{x|-2<x<4} B.{x|2<x<4}C.{x|x<4} D.{x|x>-2}解析:選A由13x2-8>3-2x,得38-x2>3-2x,∴8-x2>-2x.即x2-2x-8<0,解得-2<x<4.∴不等式13x2-8>3-2x的解集是{x5.已知x,y∈R,且2-x+3-y>2y+3x,則下列各式正確的是()A.x-y>0 B.x+y<0C.x-y<0 D.x+y>0解析:選B將不等式變形為2-x-3x>2y-3-y,令F(x)=2-x-3x,則F(x)為減函數(shù).又F(x)>F(-y),∴x<-y.∴x+y<0.故選B.6.函數(shù)y=2x-1-8解析:由題意得2x-1-8≥0,即2x-1≥8=23,∴x-1≥3.解得答案:[4,+∞)7.已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=.解析:設(shè)g(x)=a·2x-2-x.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以g(x)是奇函數(shù),所以g(0)=0,解得a=1.答案:18.已知函數(shù)f(x)=12x-1|,則f(x解析:法一由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知y=12x在定義域上為減函數(shù),故要求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,只需求y=|x-1|的單調(diào)遞減區(qū)間.又y=|x-1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1],所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1法二f(x)=12x-1|=12x-1,x≥1,2x-1,x<1.可畫出答案:(-∞,1]9.(8分)設(shè)函數(shù)f(x)=1210-ax,(1)若f(3)=12,求使f(x)≥4的x的取值范圍(2)當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),f(x)的最大值是16,求a的值.解:(1)由f(3)=12得a=3.則不等式f(x)≥4可化為23x-10≥22,解得x≥4.故x的取值范圍是[4,+∞)(2)當(dāng)a>0時(shí),f(x)=2ax-10是增函數(shù),則22a-10=16,所以a=7.當(dāng)a<0時(shí),f(x)=2ax-10是減函數(shù),則2-a-10=16,所以a=-14.綜上,a=-14或a=7.10.(9分)已知函數(shù)f(x)=4x-2·2x+1-6中x∈[0,3(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值;(2)若實(shí)數(shù)a滿足f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范圍.解:(1)由已知,得f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3).令t=2x,因?yàn)?≤x≤3,所以1≤t≤8.令h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8).當(dāng)t∈[1,2]時(shí),h(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(2,8]時(shí),h(t)單調(diào)遞增.所以f(x)min=h(2)=-10,f(x)max=h(8)=26.(2)因?yàn)閒(x)-a≥0恒成立,即a≤f(x)恒成立,所以a≤f(x)min恒成立.由(1)知f(x)min=-10,所以a≤-10.故a的取值范圍為(-∞,-10].B級(jí)——重點(diǎn)培優(yōu)11.已知函數(shù)f(x)=e-|x|,則使得f(2a)<f(a-1)成立的正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.13,+∞ C.(0,1) D.0,解析:選A由題意可知f(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=e-|-x|=e-|x|=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1ex,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且f(x)>0.所以不等式f(2a)<f(a-1)成立,需|2a|>|a-1|,解得a<-1或a>13,又a>0,所以a>13,即正實(shí)數(shù)12.(多選)以下關(guān)于數(shù)的大小的結(jié)論正確的是()A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2C.1.70.3<0.93.1 D.131解析:選ABy=1.7x單調(diào)遞增,2.5<3,∴1.72.5<1.73,A正確;y=0.8x單調(diào)遞減,-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,B正確;又1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1,C錯(cuò)誤;131312=134=181,141412=143=13.若函數(shù)f(x)=a2x2-3x+1在(1,3)上單調(diào)遞增,則關(guān)于x的不等式ax解析:因?yàn)閥=2x2-3x+1的對(duì)稱軸是x=34,開口向上,所以函數(shù)在(1,3)上單調(diào)遞增.而f(x)在(1,3)上單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則,得a>1,則ax-1>1=a0,故x-1>0,解得x>1答案:{x|x>1}14.(12分)已知函數(shù)f(x)=2-x.(1)求f(0)-232×2×2-2(2)若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),且h(x),g(x)滿足下列條件:①h(x)為偶函數(shù);②h(x)≥2且?x∈R使得h(x)=2;③g(x)>0且g(x)恒過(guò)定點(diǎn)(0,1).寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)g(x),并說(shuō)明理由.解:(1)由題意知f(0)-232×2×2-2=20-232×212×2-2=1-2(2)滿足題意的函數(shù)g(x)=2x.證明如下:①因?yàn)閔(x)=2x+2-x,所以h(-x)=2-x+2-(-x)=2-x+2x=h(x),所以h(x)=2x+2-x為偶函數(shù).②h(x)=2x+2-x≥22x·2-x=22x當(dāng)且僅當(dāng)2x=2-x,即x=0時(shí)等號(hào)成立.③g(x)=2x>0,g(x)恒過(guò)定點(diǎn)(0,1).15.(13分)已知函數(shù)f(x)=3x+(1)求a的值;(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并加以證明;(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解:(1)對(duì)任意的x∈R,3x+1>0,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,則f(0)=1+a2=0,解得a=-此時(shí),f(x)=3x-13x+1,所以f(-x)=3-x-13-所以當(dāng)a=-1時(shí),函數(shù)f(x)=3x+(2)由(1)知,f(x)=3x-13x+1=則函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增,證明如下:設(shè)任意的x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1-23x1+1-1+因?yàn)閤1<x2,所以3x2>3x1>0,又3x1+1>0,3x2+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)(3)因?yàn)椴坏仁絝(t2-2t)+f(2t2-k)>0對(duì)任意的t∈R恒成立,所以f(2t2-k)>-f(t2-2t)=f(2t-t2)對(duì)任意的t∈R恒成立,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的奇函數(shù),且為增函數(shù),則2t2-k>2t-t2,則3t2-2t-k>0對(duì)任意的t∈R恒成立,所以Δ=4+12k<0,解得k<-13因此,實(shí)數(shù)k的取值范圍是-∞4.3.1對(duì)數(shù)的概念——（教學(xué)方式：基本概念課——逐點(diǎn)理清式教學(xué)）[課時(shí)目標(biāo)]

要準(zhǔn)確把握對(duì)數(shù)的定義,以及ab=N(a>0,且a≠1)?logaN=b的等價(jià)關(guān)系,學(xué)會(huì)將對(duì)數(shù)與冪進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化,會(huì)求簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)值.逐點(diǎn)清(一)對(duì)數(shù)的概念[多維理解]1.對(duì)數(shù)的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).2.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)名稱定義記法常用對(duì)數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)lgN自然對(duì)數(shù)以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)lnN[微點(diǎn)練明]1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)對(duì)數(shù)log39和log93的意義一樣.()(2)(-2)3=-8可化為log(-2)(-8)=3.()(3)對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù).()(4)若lnN=2,則N=2e.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)×2.lg7與ln8的底數(shù)分別是()A.10,10 B.e,eC.10,e D.e,10答案:C3.已知loga2b=c,則有(A.a2b=c B.a2cC.bc=2a D.c2a解析:選B由題意得(a2)c=b,即a2c=4.在M=log(x-3)(x+1)中,要使式子有意義,x的取值范圍為()A.(-∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞)C.(4,+∞) D.(3,4)解析:選B由對(duì)數(shù)的概念可得x+1>0,x-3>0,x-3≠1,解得3<x逐點(diǎn)清(二)對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系[多維理解]1.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系當(dāng)a>0,a≠1時(shí),ax=N?x=logaN.2.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系示意圖[微點(diǎn)練明]1.已知loga9=-2,則a的值為()A.-3 B.-13C.3 D.1解析:選D∵loga9=-2,a>0,且a≠1,∴a-2=9.解得a=13.故選D2.(多選)下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的是()A.100=1與lg1=0 B.27-13=13與log27C.log39=2與32=9 D.log55=1與51=5解析:選ACD指數(shù)式100=1化為對(duì)數(shù)式為lg1=0,A正確;指數(shù)式27-13=13化為對(duì)數(shù)式為log2713=-13,B不正確;對(duì)數(shù)式log39=2化為指數(shù)式為32=9,C正確;對(duì)數(shù)式log55=1化為指數(shù)式為53.求下列各式中x的值.(1)log3x=-3;(2)logx49=4;(3)lg0.00001=x;(4)lne=-x.解:(1)由題意得x=3-3=12(2)由x4=49,x>0且x≠1,得x=7.(3)由10x=0.00001=10-5,得x=-5.(4)由e-x=e=e12,得x=-逐點(diǎn)清(三)對(duì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用[多維理解]對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)loga1=0(a>0,且a≠1);(2)logaa=1(a>0,且a≠1);(3)零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù);(4)alogaN=N(a>0,且a≠1,|微|點(diǎn)|助|解|1.利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解的兩類問(wèn)題的解法(1)求多重對(duì)數(shù)式的值的解題方法是由內(nèi)到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.(2)已知多重對(duì)數(shù)式的值,求變量值,應(yīng)從外到內(nèi)求,逐步脫去“l(fā)og”后再求解.2.對(duì)數(shù)恒等式的作用(1)化簡(jiǎn)求值,如aloga(x+2)=x+2(a>0,且a≠(2)將有關(guān)數(shù)值轉(zhuǎn)化成冪的形式,如3=2lo[微點(diǎn)練明]1.已知log3(log2x)=0,那么x=()A.1 B.2 C.3 D.4解析:選B因?yàn)閘og3(log2x)=0,所以log2x=1.則x=2.2.設(shè)5log5(2x-1)=25,則A.10 B.13 C.100 D.±1001解析:選B由對(duì)數(shù)的性質(zhì),得5log5(2x-1)=2x-1=3.已知logx27=31+log32,則解析:logx27=31+log32=3×3log32=3×2=6.所以x6=27,所以x6=33,又答案:34.計(jì)算:3log22+2log31-3log77+3ln1=.解析:原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0.答案:05.已知2log2x=log7y,且xy=14,則xy的值為.解析:由對(duì)數(shù)的性質(zhì),得log2x2=log7y,令z=log2x2=log7y,則x2=2z,y=7z.因?yàn)閤y=14,所以x2y=196,即2z·7z=(2×7)z=14z=196,解得z=2.所以x=2,y=49,從而xy=98.答案:98[課時(shí)跟蹤檢測(cè)](滿分90分,選填小題每題5分)1.(多選)下列說(shuō)法正確的是()A.只有正數(shù)有對(duì)數(shù)B.任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式C.以5為底25的對(duì)數(shù)等于2D.3log3(-5)解析:選ACB錯(cuò)誤,如(-2)2=4就不能化成對(duì)數(shù)式,D錯(cuò)誤,對(duì)數(shù)式的真數(shù)a應(yīng)大于0.2.方程2log3x=14的解是A.19 B.3 C.33 D解析:選A∵2log3x=14=2-2,∴l(xiāng)og3x=-2.∴x=33.若log2[log0.5(log2x)]=0,則x的值是()A.2 B.2 C.12 D.解析:選A因?yàn)閘og2[log0.5(log2x)]=0,所以log0.5(log2x)=1.所以log2x=0.5.所以x=2.4.(多選)下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是()A.e0=1與ln1=0B.8-13=12與log8C.log39=2與91D.log77=1與71=7解析:選ABDe0=1?ln1=0,故A正確;8-13=12?log812=-13,故B正確;log39=2?32=9,912=3?log93=12,故C不正確;log77=15.(多選)下列等式正確的有()A.lg(lg10)=0B.lg(lne)=0C.若lgx=10,則x=10D.若lnx=e,則x=e2解析:選ABlg(lg10)=lg1=0,故A正確;lg(lne)=lg1=0,故B正確;若lgx=10,則x=1010,故C錯(cuò)誤;若lnx=e,則x=ee,故D錯(cuò)誤.6.使式子log(2x-1)12-x有意義的x的取值范圍是(A.(2,+∞) B.1C.(-∞,2) D.12,1∪(1,解析:選D要使式子log(2x-1)12-x有意義,則2x-1>0,2x-1≠1,2-x>0,即x>12,x≠1,x<2,7.若a>0,a23=49,則log23aA.2 B.3 C.4 D.5解析:選B因?yàn)閍23=49,a>0,所以a=4932=233.設(shè)log23a=8.已知x2+y2-4x-2y+5=0,則logx(yx)的值是()A.1 B.0 C.x D.y解析:選B由x2+y2-4x-2y+5=0,則(x-2)2+(y-1)2=0,∴x=2,y=1.∴l(xiāng)ogxyx=log2(12)=0.9.聲強(qiáng)是指聲音在傳播途徑上每平方米面積上的聲能流密度,用I表示.由于聲強(qiáng)I的變化范圍非常大,為方便起見(jiàn),引入聲強(qiáng)級(jí)的概念,規(guī)定聲強(qiáng)級(jí)L=lgII0,其中I0=10-12W/m2,稱為基準(zhǔn)聲強(qiáng),聲強(qiáng)級(jí)的單位是Bel,110Bel又稱為1dB,生活在30dB左右的安靜環(huán)境有