集合與常用邏輯用語1．1集合的概念第1課時集合的概念——(教學(xué)方式：基本概念課—逐點理清式教學(xué))[課時目標(biāo)]1．通過實例了解集合與元素的含義，能判斷元素與集合的關(guān)系．2．能利用集合元素的確定性、互異性、無序性解決一些簡單的問題．3．熟記常用數(shù)集的表示符號，通過常用數(shù)集準(zhǔn)確把握元素與集合之間的關(guān)系．逐點清(一)元素與集合的概念[多維理解]1．元素與集合的含義元素一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素集合把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱為集符號表示元素通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示，集合通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示|微|點|助|解|(1)“集合”是數(shù)學(xué)中的一個基本概念，同“點”“線”“面”等概念一樣都是描述性概念．(2)集合是一個“整體”，一些對象一旦組成了集合，那么這個集合就是這些對象的全體，而非個別對象．(3)組成集合的元素可以是數(shù)、點、圖形、多項式、方程，也可以是人或物等．2．集合相等只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的．3．集合中元素的特征確定性一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的互異性一個集合中的任何兩個元素都不相同．也就是說，集合中的元素沒有重復(fù)無序性集合中的元素是沒有順序的[微點練明]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在一個集合中可以找到兩個相同的元素．()(2)好聽的歌能組成一個集合．()(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解組成的集合有3個元素．()(4)分別由元素0,1,2和2,0,1組成的兩個集合是相等的．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(多選)考察下列每組對象，能組成集合的是()A．中國各地最美的鄉(xiāng)村B．直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點C．不小于3的自然數(shù)D．唐宋散文八大家解析：選BCDA中“最美”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，B、C、D中的元素標(biāo)準(zhǔn)明確，均可構(gòu)成集合，故選BCD.3．集合中“元素”的英文單詞“element”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選D由集合中元素的互異性可知，該集合中共有“e”“l(fā)”“m”“n”“t”5個元素．4．已知集合A中含有3個元素a,0，－1，集合B中含有3個元素c＋b，eq\f(1,a＋b)，1，且集合A和集合B是相等的，則a＝________，b＝________，c＝________.解析：∵集合A和集合B是相等的，又eq\f(1,a＋b)≠0，∴a＝1，c＋b＝0，eq\f(1,a＋b)＝－1，∴b＝－2，c＝2.答案：1－22逐點清(二)元素與集合的關(guān)系[多維理解]1．元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A的元素，就說a屬于集合Aa∈A“a屬于A”不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合Aa?A“a不屬于A”2．常用數(shù)集及其記法名稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN*或N＋ZQR|微|點|助|解|(1)元素和集合是兩個完全不同的概念，元素是集合中的某一對象，而集合是由所有的元素組成的．(2)由元素的確定性可知，對于任何a與A，a∈A或a?A這兩種情況必有一種且只有一種成立．(3)符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性(開口對著集合)，左右兩邊不能互換．(4)N是非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)，而N*與N＋表示正整數(shù)集，N包括元素0，而N*與N＋不包括元素0.[微點練明]1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是()A．3.14 B．－5C.eq\f(3,7) D．eq\r(7)解析：選D因為eq\r(7)是實數(shù)，但不是有理數(shù)，所以選D.2．集合M是由大于－2且小于1的實數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系正確的是()A.eq\r(5)∈M B．0?MC．1∈M D．－eq\f(π,2)∈M答案：D3．已知集合A中元素滿足2x＋a>0，a∈R，若1?A，且2∈A，則()A．a(chǎn)>－4 B．a(chǎn)≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2解析：選D由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×1＋a≤0，,2×2＋a>0，))解得－4<a≤－2.4．(多選)下列說法正確的是()A．集合N與集合N*是同一個集合B．集合N中的元素都是集合Z中的元素C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素D．集合Q中的元素都是集合R中的元素解析：選BD因為集合N*表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集，所以A、C中的說法不正確，B、D中的說法正確．5．用符號“∈”和“?”填空：(1)設(shè)集合A為所有偶數(shù)組成的集合，則0______A，－2024________A；(2)設(shè)集合B是由平面直角坐標(biāo)系中所有第二象限的點組成的集合，則－1________B，(－1,1)________B.答案：(1)∈∈(2)?∈逐點清(三)集合中元素特征的應(yīng)用[典例]已知集合A中含有兩個元素1和a2，若a∈A，求實數(shù)a的值．解：由題意，可知a＝1或a2＝a，若a＝1，則a2＝1，這與a2≠1相矛盾，故a≠1.若a2＝a，則a＝0或a＝1(舍去)，又當(dāng)a＝0時，A中含有元素1和0，滿足集合中元素的互異性，符合題意．綜上可知，實數(shù)a的值為0.[變式拓展]1．本例若去掉條件“a∈A”，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍．解：由集合中元素的互異性可知a2≠1，即a≠±1.所以a的取值范圍是a≠±1.2．本例條件中“若1和a互換位置”，求實數(shù)a的值．解：若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1.當(dāng)a＝1時，集合A有重復(fù)元素，與集合中元素的互異性矛盾，所以a≠1.當(dāng)a＝－1時，集合A含有兩個元素1，－1，符合集合中元素的互異性，所以a＝－1.|思|維|建|模|由集合中的元素特征求參數(shù)的步驟[針對訓(xùn)練]1．由a2，2－a，3組成的一個集合A，若A中元素個數(shù)不是2，則實數(shù)a的取值可以是()A．－1 B．1C.eq\r(3) D．2解析：選D由題意知a2,2－a,3組成一個集合A，A中元素個數(shù)不是2，因為a2＝2－a＝3無解，故由a2,2－a,3組成的集合A的元素個數(shù)為3，故a2≠2－a≠3，即a≠－2，a≠±1，a≠±eq\r(3)，即a可取2，故A、B、C錯誤，D正確．2．已知集合P有三個元素－1,2a＋1，a2－1.若0∈P，則實數(shù)a的值為()A．－eq\f(1,2) B．1C．－eq\f(1,2)或1 D．0或1解析：選C因為0∈P，所以2a＋1＝0或a2－1＝0.當(dāng)2a＋1＝0，即a＝－eq\f(1,2)時，P中含有元素－1，0，－eq\f(3,4)，滿足題意；當(dāng)a2－1＝0，即a＝±1時，若a＝1，則P中含有元素－1,3,0，滿足題意；若a＝－1，則P中含有元素－1，0，不滿足題意．綜上，實數(shù)a的值為－eq\f(1,2)或1.[課時跟蹤檢測](滿分100分，選填小題每題5分)1．(多選)下列各組對象能構(gòu)成集合的是()A．倒數(shù)等于它本身的數(shù) B．某班視力較好的同學(xué)C．所有銳角三角形 D．小于π的正整數(shù)解析：選ACD根據(jù)集合的概念，可知集合中元素具有確定性，可得選項A、C、D中的元素都是確定的，故選項A、C、D能構(gòu)成集合，但B選項中“視力較好”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，不能構(gòu)成集合．故選ACD.2．(多選)下列元素與集合的關(guān)系正確的是()A．－1∈N B．0?N*C.eq\r(3)∈Q D．eq\f(2,5)∈R答案：BD3．設(shè)不等式3－2x<0的解集為M，下列關(guān)系正確的是()A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈MC．0∈M,2?M D．0?M,2?M解析：選B本題是判斷0和2與集合M間的關(guān)系，因此只需判斷0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．當(dāng)x＝0時，3－2x＝3>0，所以0?M；當(dāng)x＝2時，3－2x＝－1<0，所以2∈M.4．(多選)若以集合A的四個元素a，b，c，d為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形不可能是()A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形解析：選BCD由于a，b，c，d四個元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等．5．已知集合M具有性質(zhì)：若a∈M，則2a∈M，現(xiàn)已知－1∈M，則下列元素一定是M中的元素的是()A．1 B．0C．－2 D．2解析：選C因為－1∈M，所以2×(－1)∈M，即－2∈M.6．集合A中有三個元素2,3,4，集合B中有三個元素2,4,6，若x∈A且x?B，則x等于()A．2 B．3C．4 D．6解析：選B集合A中的元素3不在集合B中，且僅有這個元素符合題意．7．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解組成的集合，若2∈M，則下列判斷正確的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M解析：選C由2∈M知2為方程x2－x＋m＝0的一個解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程為x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根為－1，所以－1∈M.8．(多選)下列說法正確的是()A．N*中最小的數(shù)是1B．若－a?N*，則a∈N*C．若a∈N*，b∈N*，則a＋b的最小值是2D．x2＋4＝4x的實數(shù)解組成的集合中含有兩個元素解析：選AC因為N*表示正整數(shù)集，容易判斷A、C正確；對于B，若a＝eq\f(1,2)，則滿足－a?N*，但a?N*，B錯誤；對于D，x2＋4＝4x的實數(shù)解只有2，所以組成的集合中只有一個元素，D錯誤．9．已知a，b是非零實數(shù)，代數(shù)式eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|ab|,ab)的值組成的集合是M，則下列判斷正確的是()A．0∈M B．－1∈MC．3?M D．1∈M解析：選B當(dāng)a，b全為正數(shù)時，代數(shù)式的值是3；當(dāng)a，b全是負(fù)數(shù)時，代數(shù)式的值是－1；當(dāng)a，b是一正一負(fù)時，代數(shù)式的值是－1.綜上可知B正確．10．由實數(shù)x，－x，|x|,eq\r(x2)，－eq\r(x2)所組成的集合中，含有元素的個數(shù)最多為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選A∵eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(x2)＝－|x|，故當(dāng)x＝0時，這幾個實數(shù)均為0；當(dāng)x>0時，它們分別是x，－x，x，x，－x；當(dāng)x<0時，它們分別是x，－x，－x，－x，x.最多表示2個不同的數(shù)，故集合中的元素最多為2個．故選A.11．設(shè)集合D是滿足方程y＝x2的有序數(shù)對(x，y)的集合，則－1______D，(－1,1)______D.解析：因為集合D中的元素是有序數(shù)對(x，y)，而－1是數(shù)，所以－1?D，(－1,1)∈D.答案：?∈12．已知集合P中的元素x滿足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三個元素，則整數(shù)a＝________.解析：因為集合P中恰有三個不同元素，且元素x滿足x∈N，且2<x<a，則滿足條件的x的值為3,4,5，所以整數(shù)a的值是6.答案：613．已知集合M有2個元素x,2－x，若－1?M，則下列說法一定錯誤的是________．①2∈M；②1∈M；③x≠3.解析：依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,2－x≠－1，,x≠2－x，))解得x≠－1，x≠1且x≠3.對于①，當(dāng)x＝2或2－x＝2，即x＝2或x＝0時，M中的元素為0,2，故①可能正確；對于②，當(dāng)x＝1或2－x＝1，即x＝1時，M中兩元素為1,1不滿足互異性，故②不正確，③顯然正確．答案：②14．(16分)已知集合A含有兩個元素m，m2－3m，其中m∈R.(1)實數(shù)m不能取哪些數(shù)？(2)若4∈A，求實數(shù)m的值．解：(1)根據(jù)題意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，實數(shù)m不能取0和4.(2)由(1)的結(jié)論，可知m≠4，若4∈A，則m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合題意)，因此，實數(shù)m的值是－1.15．(19分)設(shè)集合S中的元素全是實數(shù)，且滿足下面兩個條件：①1?S；②若a∈S，則eq\f(1,1－a)∈S.(1)求證：若a∈S，則1－eq\f(1,a)∈S；(2)若2∈S，則在S中必含有其他的兩個元素，試求出這兩個元素．解：(1)證明：因為1?S，a∈S，所以1－a≠0，且eq\f(1,1－a)∈S，可得eq\f(1,1－\f(1,1－a))＝eq\f(1－a,－a)＝1－eq\f(1,a)∈S，故若a∈S，則1－eq\f(1,a)∈S.(2)由2∈S，得eq\f(1,1－2)＝－1∈S；由－1∈S，得eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)∈S；而當(dāng)eq\f(1,2)∈S時，eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈S，…，因此當(dāng)2∈S時，集合S中必含有－1，eq\f(1,2)兩個元素．

第2課時集合的表示方法——(教學(xué)方式：基本概念課—逐點理清式教學(xué))[課時目標(biāo)]1．掌握集合的表示方法——列舉法和描述法，并能用這兩種方法表示集合．2．能利用集合的表示法表示一些簡單的集合并能進(jìn)行自然語言與集合語言間的相互轉(zhuǎn)換．3．會用集合中元素的共同特征描述一些集合，如數(shù)集、解集和一些基本圖形構(gòu)成的集合．逐點清(一)列舉法[多維理解]列舉法的定義及一般形式定義把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法一般形式{a1，a2，a3，…，an}|微|點|助|解|(1)a與{a}是完全不同的，{a}表示一個集合，這個集合由元素a構(gòu)成，a是集合{a}的一個元素．(2)列舉法表示集合的注意點：①元素間用分隔號“，”；②元素不重復(fù)；③元素?zé)o順序；④元素不能遺漏．[微點練明]1．(多選)下列命題正確的是()A．0與{0}表示同一個集合B．由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,3}或{3,2,1}C．方程(x－3)2＋(y＋4)2＝0的所有解組成的集合可表示為{(3，－4)}D．絕對值小于3的整數(shù)組成的集合可以用列舉法表示解析：選BCD由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，所以A錯誤；根據(jù)集合中元素的無序性，知B正確；由方程可得x＝3，y＝－4，所以組成的集合為{(3，－4)}，故C正確；由于該集合中的元素可以一一列舉出來，所以可以用列舉法表示，所以D正確．2．若1∈{x＋2，x2}，則實數(shù)x的值為()A．－1 B．1C．1或－1 D．1或3解析：選B由題意得x＋2＝1或x2＝1.當(dāng)x＋2＝1時，x＝－1，x2＝1，不滿足集合元素的互異性，舍去；當(dāng)x2＝1時，x＝1或x＝－1(舍去)，當(dāng)x＝1時，x＋2＝3符合題意．綜上，x＝1.3．用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)方程x2＝2x的所有實數(shù)解組成的集合；(3)直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合；(4)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合．解：(1)因為不大于10是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解組成的集合為{0,2}．(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點是(0,1)，故交點組成的集合是{(0,1)}．(4)正整數(shù)有1,2,3，…，故所求集合為{1,2,3，…}．逐點清(二)描述法[多維理解]描述法的定義及一般形式定義設(shè)A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法一般形式{x∈A|P(x)}，其中x是表示集合元素的一般符號，P(x)是這個集合中元素的共同特征，有時也用冒號或分號代替豎線，寫成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}的形式具體方法在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征|微|點|助|解|描述法的幾點說明(1)豎線前寫代表元素的符號，豎線后用簡明、準(zhǔn)確的語言描述元素的共同特征．寫清楚該集合代表元素的符號，例如，集合{x|x＜1}不能寫成{x＜1}，且要分清是點集還是數(shù)集．(2)同一個集合可以有不同的表述形式，如{x|x≥0}，{y|y≥0}，{y|y＝x2，x∈R}表示同一個集合．(3)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)．例如，{x|x＝2k}，k∈Z，這種表示方式就不符合要求，需將k∈Z也寫進(jìn)花括號，即{x|x＝2k，k∈Z}．(4)不能出現(xiàn)未被說明的字母．[微點練明]1．由大于－3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是()A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}答案：D2．(多選)已知集合A＝{x∈N|x<6}，則下列關(guān)系式成立的是()A．0∈A B．1.5?AC．－1?A D．6∈A解析：選ABC∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6?A，故D不成立，其余都成立．3．用描述法表示下列集合：(1)函數(shù)y＝－2x2＋x圖象上的所有點組成的集合；(2)不等式2x－3<5的解組成的集合；(3)3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合；(4)如圖中陰影部分的點(含邊界)的集合．解：(1)函數(shù)y＝－2x2＋x的圖象上的所有點組成的集合可表示為{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2)不等式2x－3<5的解組成的集合可表示為{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．(3)3和4的最小公倍數(shù)是12，因此3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．(4)題圖中陰影部分的點(含邊界)的集合可表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(3,2)，0≤y≤1)))).逐點清(三)集合與方程的綜合問題[典例]已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．若A中只有一個元素，求a的值．解：當(dāng)a＝0時，原方程變?yōu)?x＋1＝0，即x＝－eq\f(1,2)，符合題意；當(dāng)a≠0時，由Δ＝0，得a＝1，此時x＝－1.所以若A中只有一個元素，則a的值為0或1.[變式拓展]1．將本例中“只有一個”改為“有兩個”，a的取值情況是什么．解：若A中有兩個元素，即關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以a≠0且Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0，故a的取值范圍為{a|a<1且a≠0}．2．若將本例中“只有”改為“至多有”，求a的取值范圍．解：當(dāng)a≠0時，若A中至多含有一個元素，則方程ax2＋2x＋1＝0有兩個相等的實根或沒有實根．由Δ＝4－4a≤0，得a≥1.當(dāng)a＝0時，由例題解析可知方程有唯一解．所以若A中至多有一個元素，a的取值范圍為{a|a≥1或a＝0}．3．把本例中“只有”改為“至少有”，求a的取值范圍．解：A中至少有一個元素，即A中有一個或兩個元素．當(dāng)a≠0時，由Δ≥0，得a≤1且a≠0；當(dāng)a＝0時，由例題解析可知方程有唯一解．綜上，a≤1.故a的取值范圍為{a|a≤1}．4．在本例條件下，是否存在實數(shù)a，使集合A與集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.又當(dāng)a＝－3時，由－3x2＋2x＋1＝0，得x＝－eq\f(1,3)或x＝1，即方程ax2＋2x＋1＝0有兩個根－eq\f(1,3)和1，此時A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))，與A＝{1}矛盾．故不存在實數(shù)a，使A＝{1}．|思|維|建|模|集合與方程的綜合問題的解題步驟(1)弄清方程與集合的關(guān)系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的實數(shù)根．(2)當(dāng)方程中含有參數(shù)時，一般要根據(jù)方程實數(shù)根的情況來確定參數(shù)的值或取值范圍，必要時要分類討論．(3)求出參數(shù)的值或取值范圍后還要檢驗是否滿足集合中元素的互異性．[課時跟蹤檢測](滿分100分，選填小題每題5分)1．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．－2∈A B．{0}∈AC．－3∈A D．0∈A解析：選D∵0>－1，∴0∈A，故選D.2．下列集合不同于另外三個集合的是()A．{0} B．{y|y2＝0}C．{x|x＝0} D．{x＝0}解析：選DA、B、C中的元素都是數(shù)，且只有一個元素0，D中的元素是式子x＝0.故D與A、B、C不同．3．把集合{x|x2－4x－5＝0}用列舉法表示為()A．{x＝－1，x＝5} B．{x|x＝－1或x＝5}C．{x2－4x－5＝0} D．{－1,5}解析：選D根據(jù)題意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或x＝5，用列舉法表示為{－1,5}．4．已知P＝{1,2}，Q＝{2,3}，若M＝{x|x∈P，x?Q}，則M＝()A．{1} B．{2}C．{3} D．{1,2,3}答案：A5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，則A中元素的個數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．無數(shù)個解析：選C由題意得A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，故集合A中含有6個元素．6．下列選項滿足M＝N的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}解析：選BA中兩個坐標(biāo)不同，C、D中一個點集一個數(shù)集．7．設(shè)集合A＝{－1,0,1}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為()A．3 B．6C．9 D．12解析：選C易得集合B中的元素為(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共9個元素．故選C.8．已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，－3∈A，則a＝()A．－1 B．－3或1C．3 D．－3解析：選D∵－3∈A，∴－3＝a2＋4a或－3＝a－2.若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3.當(dāng)a＝－1時，a2＋4a＝a－2＝－3，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)a＝－3時，集合A＝{12，－3，－5}，滿足題意，故a＝－3成立．若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，a＝－3.9．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝{2}時，集合B＝()A．{1} B．{1,2}C．{2,5} D．{1,5}解析：選D由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0，得p＝－3，q＝4.則(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化為(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3，即(x－1)2－4(x－1)＝0，解得x＝1或x＝5.所以集合B＝{1,5}．10．設(shè)A是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a，b∈A，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈A(除數(shù)b≠0)，則稱A是一個數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的是()A．N B．ZC．Q D．{x|x≠0，x∈R}解析：選C1,2∈N，eq\f(1,2)?N，故N不是數(shù)域，A錯誤，同理B錯誤；任意a，b∈Q，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈Q(除數(shù)b≠0)，故Q是一個數(shù)域，C正確；對于集合A＝{x|x≠0，x∈R},1∈A,1－1＝0?A，故{x|x≠0，x∈R}不是數(shù)域，D錯誤．11．集合{x|x＝2m－3，m∈N*，m<5}，用列舉法表示為______________．解析：因為集合中的元素滿足x＝2m－3，m∈N*，m<5，所以m可取值為1,2,3,4，則滿足條件的x的值為－1，1,3,5.故集合用列舉法表示為{－1,1,3,5}．答案：{－1,1,3,5}12．若一數(shù)集的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中，則稱該數(shù)集為可倒數(shù)集，則集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒數(shù)集．試寫出一個含三個元素的可倒數(shù)集為________．解析：由于2的倒數(shù)eq\f(1,2)不在集合A中，故集合A不是可倒數(shù)集．若一個元素a∈A，則eq\f(1,a)∈A.若集合中有三個元素，故必有一個元素a＝eq\f(1,a)，即a＝±1，故可取的集合有eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，3，\f(1,3)))等．答案：不是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)))(答案不唯一)13．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中有2個元素，則實數(shù)k的取值范圍為________．解析：若集合A中有2個元素，則方程kx2＋4x＋4＝0有兩個不同的根，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝16－16k>0，))∴k<1且k≠0.答案：{k|k<1且k≠0}14．含有三個實數(shù)的集合可表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，也可以表示為{a2，a＋b,0}，則a2013＋a2014的值為________．解析：因為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，且a≠0，所以b＝0，則有{a,0,1}＝{a2，a,0}，所以a2＝1，且a≠1，得a＝－1，所以a2013＋a2014＝(－1)2013＋(－1)2014＝－1＋1＝0.答案：015．(12分)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)不大于10的非負(fù)奇數(shù)集；(2)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈Z且\f(6,4－x)∈N))))；(3)A＝{x|x＝|x|，x∈Z且x<5}；(4)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與坐標(biāo)軸的距離相等的點組成的集合．解：(1)由不大于10，即小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0，所以不大于10的非負(fù)奇數(shù)集，用列舉法可表示為{1,3,5,7,9}．(2)由集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈Z且\f(6,4－x)∈N))))，可得1≤4－x≤6，解得－2≤x≤3且x∈Z，當(dāng)x＝－2時，可得eq\f(6,4－x)＝1∈N，滿足題意；當(dāng)x＝－1時，可得eq\f(6,4－x)＝eq\f(6,5)?N，不滿足題意；當(dāng)x＝0時，可得eq\f(6,4－x)＝eq\f(3,2)?N，不滿足題意；當(dāng)x＝1時，可得eq\f(6,4－x)＝2∈N，滿足題意；當(dāng)x＝2時，可得eq\f(6,4－x)＝3∈N，滿足題意；當(dāng)x＝3時，可得eq\f(6,4－x)＝6∈N，滿足題意，所以集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈Z且\f(6,4－x)∈N))))可表示為{－2，1,2,3}．(3)由集合A＝{x|x＝|x|，x∈Z且x<5}，則滿足x≥0且x∈Z且x<5，所以x＝0,1,2,3,4，所以集合A可表示為{0,1,2,3,4}．(4)由平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(x，y)到x軸的距離為|y|，到y(tǒng)軸的距離為|x|，所以與坐標(biāo)軸的距離相等的點組成的集合可表示為{(x，y)||x|＝|y|}．16．(18分)已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，則是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)對任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？證明你的結(jié)論．解：(1)設(shè)m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，則m＝a＋b.故若m∈M，則存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)設(shè)a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，則a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.當(dāng)k＋l＝2p(p∈Z)時，a＋b＝6p＋3∈M，此時存在m∈M，使a＋b＝m成立；當(dāng)k＋l＝2p＋1(p∈Z)時，a＋b＝6p＋6?M，此時不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故對任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.1.2集合間的基本關(guān)系——(教學(xué)方式：基本概念課—逐點理清式教學(xué))[課時目標(biāo)]1．理解集合之間包含與相等的含義，能從教材實例中抽象出子集、真子集的概念．2．能識別給定集合的子集、真子集，掌握列舉有限集所有集合的方法．3．會判斷集合間的關(guān)系，并能用符號和Venn圖表示．4．在具體情境中，了解空集的含義，并注意空集在解題中的影響．逐點清(一)子集與集合相等[多維理解]1．Venn圖在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．2．子集定義一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集記法與讀法記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示性質(zhì)(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A.(2)對于集合A，B，C，若A?B，且B?C，則A?C3．集合相等如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A＝B，也就是說，若A?B，且B?A，則A＝B.|微|點|助|解|(1)“A是B的子集”的含義：對任意x∈A都能推出x∈B.(2)注意“∈”與“?”的區(qū)別：“?”用于表示集合與集合之間的關(guān)系；“∈”用于表示元素與集合之間的關(guān)系．[微點練明]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若a∈A，則{a}?A.()(2)如果集合B?A，那么若元素a不屬于A，則必不屬于B.()答案：(1)√(2)√2．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等邊三角形}，則()A．A?B B．C?BC．D?C D．A?D解析：選B因為等腰直角三角形必為等腰三角形，所以C?B.3．已知集合A＝{0,1，a2}，B＝{0,1,2a＋3}，若A＝B，則a等于()A．－1或3 B．0或1C．3 D．－1解析：選C由A＝B，得a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3.當(dāng)a＝－1時，A＝{0,1,1}與集合元素的互異性矛盾，舍去．當(dāng)a＝3時，A＝{0,1,9}＝B，滿足題意．故選C.4．指出下列各對集合之間的關(guān)系：(1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；(3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解：(1)集合B＝{x|x<5}，用數(shù)軸表示集合A，B，如圖所示，由圖可知A?B.(2)正方形是特殊的矩形，故A?B.(3)集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對，故A與B之間無包含關(guān)系．(4)M＝{正奇數(shù)}，N＝{不含1的正奇數(shù)}，故N?M.逐點清(二)真子集與空集[多維理解]1．真子集定義如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集記法與讀法記作AB(或BA)，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)圖示性質(zhì)①真子集具有傳遞性，即若AB，BC，則AC；②含有n個元素的有限集合的真子集個數(shù)為(2n－1)個2．空集定義一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集記法?規(guī)定空集是任何集合的子集，即??A特性(1)空集只有一個子集，即它本身，???；(2)A≠?，則?A|微|點|助|解|(1)在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但x?A.(2)0，{0}，{?}與?之間的關(guān)系?與0?與{0}?與{?}相同點都表示無的意思都是集合都是集合不同點?是集合；0是實數(shù)?不含任何元素；{0}含一個元素0?不含任何元素；{?}含一個元素，該元素是?關(guān)系0???{0}?{?}或?∈{?}[微點練明]1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，則集合M與N的關(guān)系是()A．M＝N B．NMC．MN D．N?M解析：選C解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，則M＝{1,2}，因為1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M?N.又因為0∈N但0?M，所以MN.2．下列四個集合中，是空集的是()A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}解析：選DA中集合為{0}，B中為{(0,0)}，C中為{0}，而D中方程無解，是空集．3．滿足{1}?A{1,2,3,4}的集合A的個數(shù)為()A．7 B．8C．15 D．16解析：選A∵{1}?A，∴1∈A，∵A{1,2,3,4}，∴滿足題意的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7個．故選A.4．已知集合Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝?，則實數(shù)k的取值范圍是________．解析：∵Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝?，∴k＋1>2k－1，解得k<2.答案：{k|k<2}5．填寫下表，并回答問題：集合集合的子集子集的個數(shù)?{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n個元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的個數(shù)是多少？真子集的個數(shù)及非空真子集的個數(shù)呢？解：集合集合的子集子集的個數(shù)??1{a}?，{a}2{a，b}?，{a}，，{a，b}4{a，b，c}?，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8由此猜想：含n個元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的個數(shù)是2n，真子集的個數(shù)是2n－1，非空真子集的個數(shù)是2n－2.

逐點清(三)由集合間的關(guān)系求參數(shù)范圍[典例]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實數(shù)m的取值范圍．解：若B＝?，滿足B?A，則m＋1>2m－1，解得m<2.若B≠?，滿足B?A，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.綜上，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為{m|m≤3}．[變式拓展]1．若本例條件“B?A”變?yōu)锳?B，求實數(shù)m的取值范圍．解：若A?B，數(shù)軸表示如下：依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，,m＋1≤2m－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3，,m≥2，))此時m的取值范圍是?.2．本例條件不變，是否存在實數(shù)m，使得A＝B？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．解：假設(shè)存在滿足題意的實數(shù)m.若A＝B，則必有m＋1＝－2且2m－1＝5，此時無解，即不存在使得A＝B的實數(shù)m.3．若本例條件“集合A”變?yōu)椤癆＝{x|x＜－5或x＞2}”，“集合B”變?yōu)椤癇＝{x|2a－3＜x＜a－2}”，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍．解：①當(dāng)B＝?時，2a－3≥a－2，解得a≥1.顯然成立．②當(dāng)B≠?時，2a－3＜a－2，解得a＜1.由已知A?B，如圖在數(shù)軸上表示出兩個集合，由圖可知，2a－3≥2或a－2≤－5，解得a≥eq\f(5,2)或a≤－3.又因為a＜1，所以a≤－3.綜上，實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥1或a≤－3}．|思|維|建|模|利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點(1)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端點值．(2)要注意“空集”的情況，空集是任何集合的子集．[針對訓(xùn)練]設(shè)M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N?M，求所有滿足條件的a的集合．解：因為M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{x|(x＋1)(x－3)＝0}＝{－1,3}，N＝{x|ax－1＝0}，若a＝0，則N＝?，此時滿足N?M；若a≠0，則N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，因為N?M，故eq\f(1,a)＝－1或eq\f(1,a)＝3，解得a＝－1或a＝eq\f(1,3)，所以a的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,3))).[課時跟蹤檢測](滿分100分，選填小題每題5分)1．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{3,4,5，x}，若B?A，則x可以取的值為()A．1,2,3,4,5,6 B．1,2,3,4,6C．1,2,3,6 D．1,2,6解析：選D由B?A和集合元素的互異性可知，x可以取的值為1,2,6.2．下列集合中為?的是()A．{0} B．{?}C．{x|x2＋4＝0} D．{x|x＋1≤2x}解析：選C集合{0}中有一個元素0，A不符合題意；集合{?}中有一個元素?，B不符合題意；由方程x2＋4＝0，即x2＝－4，此時方程無解，可得{x|x2＋4＝0}＝?，C符合題意；不等式x＋1≤2x，解得x≥1，{x|x＋1≤2x}＝{x|x≥1}，D不符合題意．故選C.3．集合M＝{x∈N|－2<x≤3}的真子集個數(shù)為()A．7 B．8C．15 D．16解析：選C集合M中共有0,1,2,3四個元素，真子集的個數(shù)是24－1＝15.4．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))，則集合A，B間的關(guān)系為()A．AB B．BAC．A＝B D．A?B解析：選B∵B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))＝{(x，y)|y＝x，x≠0}，∴BA.5．能正確表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}關(guān)系的Venn圖是()解析：選B由x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其對應(yīng)的Venn圖如選項B所示．6．(多選)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，則實數(shù)m等于()A．2 B．－1C．－2 D．4解析：選AB∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.7．(多選)已知A?B，A?C，B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9，3,8}，則A可以是()A．{1,8} B．{2,3}C．{1} D．{2}解析：選AC∵A?B，A?C，∴A中的元素應(yīng)為B和C的共同元素．∵B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9,3,8}，∴B和C的共同元素為1和8.∴A?{1,8}．結(jié)合選項知，A、C選項滿足題意，故選AC.8．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4個子集，則實數(shù)m＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B根據(jù)題意，集合M有4個子集，則M中有2個元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素為大于等于1而小于等于m的全部整數(shù)，故m＝2.9．設(shè)集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠?，B?A，則a等于()A．－1 B．0C．1 D．±1解析：選D當(dāng)B＝{－1}時，x2－2ax＋1＝0有兩個相等的實根－1，即a＝－1；當(dāng)B＝{1}時，x2－2ax＋1＝0有兩個相等的實根1，即a＝1；當(dāng)B＝{－1,1}時，不成立．故a＝±1.10．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D．－1解析：選B依題意有a－2＝0或2a－2＝0.當(dāng)a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不滿足A?B；當(dāng)2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，滿足A?B.所以a＝1，故選B.11．設(shè)集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M與P的關(guān)系為________．解析：∵xy＞0，∴x，y同號．又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限內(nèi)的點．而集合P表示第三象限內(nèi)的點，故M＝P.答案：M＝P12．若A＝{1,2}，B＝{x|x?A}，則B＝________.解析：因為A＝{1,2}，B＝{x|x?A}，所以集合B中的元素是集合A的子集：?，{1}，{2}，{1,2}，則集合B＝{?，{1}，{2}，{1,2}}．答案：{?，{1}，{2}，{1,2}}13．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}，且B?A，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析：由集合B＝{x|1<x<m}，若m≤1時，可得B＝?，此時滿足B?A；若m>1時，要使B?A，則滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1，,m≤4，))解得1<m≤4.綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤4}．答案：{m|m≤4}14．已知非空集合P滿足：①P?{1,2,3,4,5}；②若a∈P，則6－a∈P.符合上述條件的集合P的個數(shù)為________．解析：由a∈P,6－a∈P，且P?{1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面應(yīng)滿足的條件是1,5同時選，2,4同時選，3可單獨選，可一一列出滿足條件的集合P為{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7個．答案：715．(15分)已知集合A＝{1,2,3}．(1)若M是A的子集，且至少含有元素3，寫出滿足條件的所有集合M；(2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B?A，求實數(shù)a的取值集合．解：(1)∵M(jìn)?A,3∈M，∴集合M可能為{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．(2)當(dāng)a＝0時，B＝?，滿足B?A；當(dāng)a≠0時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)))；若B?A，則eq\f(3,a)＝1或eq\f(3,a)＝2或eq\f(3,a)＝3，解得a＝3或a＝eq\f(3,2)或a＝1.綜上所述，實數(shù)a的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(3,2)，3)).16．(15分)若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一個真子集，求a的取值范圍．解：①當(dāng)A無真子集時，即A＝?時，則方程ax2＋2x＋1＝0無實根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝4－4a<0，))解得a>1.②當(dāng)A只有一個真子集時，即A為單元素集，這時有兩種情況：當(dāng)a＝0時，方程化為2x＋1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)，符合題意；當(dāng)a≠0時，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，符合題意．綜上，當(dāng)集合A至多有一個真子集時，a的取值范圍是{a|a＝0或a≥1}．1．3集合的基本運算第1課時集合的基本運算——(教學(xué)方式：基本概念課—逐點理清式教學(xué))[課時目標(biāo)]1．能從實例中抽象出兩個集合的并集的含義，會求兩個簡單集合的并集和交集．2．能用Venn圖或數(shù)軸表達(dá)兩個集合的并集與交集．3．了解全集的含義及符號，理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集．逐點清(一)并集[多維理解]并集的概念及性質(zhì)文字語言一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”符號語言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}圖形語言性質(zhì)(1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝A；(3)A∪?＝?∪A＝A；(4)如果A?B，則A∪B＝B，反之也成立|微|點|助|解|(1)A∪B仍是一個集合；(2)并集符號語言中的“或”包含三種情況：①x∈A且x?B；②x∈A且x∈B；③x?A且x∈B；(3)對概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互異性．[微點練明]1．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：選D由Venn圖可知，陰影部分表示M∪P，即M∪P＝{－1,0,1,2,3}．2．已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}解析：選C在數(shù)軸上表示兩個集合，如圖所示，∴P∪Q＝{x|x≤4}．故選C.3．已知集合M＝{0,1}，則滿足M∪N＝{0,1,2}的集合N的個數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．8解析：選C依題意，可知滿足M∪N＝{0,1,2}的集合N有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，共4個．故選C.4．點集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，則A∪B中的元素不可能在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選A由題意得，A∪B中的元素是由橫坐標(biāo)小于0或縱坐標(biāo)小于0的點構(gòu)成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．

逐點清(二)交集[多維理解]交集的概念及性質(zhì)文字語言一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”符號語言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}圖形語言性質(zhì)(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝A；(3)A∩?＝?∩A＝?；(4)如果A?B，則A∩B＝A，反之也成立|微|點|助|解|(1)A∩B仍是一個集合，如果兩個集合沒有公共元素，不能說兩個集合沒有交集，而是A∩B＝?；(2)文字語言中“所有”的含義：A∩B中任一元素都是A與B的公共元素，A與B的公共元素都屬于A∩B；(3)交集概念中的“且”即“同時”的意思，兩個集合交集中的元素必須同時是兩個集合中的元素．[微點練明]1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}解析：選AA∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．故選A.2．(2023·北京高考)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，則M∩N＝()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2<x≤1}C．{x|x≥－2} D．{x|x<1}解析：選A由題意得M＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，N＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．根據(jù)交集的運算可知，M∩N＝{x|－2≤x<1}．故選A.3．已知集合A＝{x∈Z|－4<x<1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，\f(1,2)))，則A∩B的非空子集個數(shù)為()A．7 B．8C．15 D．16解析：選A因為A＝{x∈Z|－4<x<1}＝{－3，－2，－1,0}，又B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，\f(1,2)))，所以A∩B＝{－2，－1,0}，所以A∩B的元素個數(shù)為3，其非空子集有7個．故選A.4．設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是()A．{a|a<2} B．{a|a>－2}C．{a|a>－1} D．{a|－1<a≤2}解析：選C在數(shù)軸上表示出集合A，B，由圖可知若A∩B≠?，則a>－1.5.已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn圖如圖所示，則陰影部分所表示的集合的元素共有________個．解析：M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全體正奇數(shù)組成的集合，則陰影部分所表示的集合為M∩N＝{1,3}，即陰影部分所表示的集合共有2個元素．答案：2逐點清(三)全集與補(bǔ)集[多維理解]1．全集定義一般地，如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集記法全集通常記作U2.補(bǔ)集文字語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA符號語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言3．補(bǔ)集的性質(zhì)(1)A∪(?UA)＝U；(2)A∩(?UA)＝?；(3)?UU＝?，?U?＝U，?U(?UA)＝A；(4)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)；(5)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．|微|點|助|解|(1)“全集”是一個相對概念，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體問題加以選擇的．(2)補(bǔ)集是集合之間的一種運算關(guān)系，求集合A的補(bǔ)集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補(bǔ)集也不同．(3)?UA包含三層含義：①A?U；②?UA是一個集合，且?UA?U；③?UA是U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合．[微點練明]1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，則?UM＝()A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}答案：C2．已知全集U＝{x|－1≤x<3}，集合A＝{x|－1≤x≤2}，則?UA＝()A．{x|－1≤x<2} B．{x|2<x<3}C．{x|2≤x<3} D．{x|x<－1或x>2}解析：選B由題意知?UA＝{x|2<x<3}．3．設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M滿足?UM＝{1,3}，則()A．2∈M B．3∈MC．4?M D．5?M解析：選A由題意知M＝{2,4,5}，故選A.4．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，?UA＝{x|x<1或x≥2}，則實數(shù)b＝________.解析：因為?UA＝{x|x<1或x≥2}，所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2.答案：2[課時跟蹤檢測](滿分100分，選填小題每題5分)1．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，則()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N解析：選B因為NM，所以M∪N＝M.2．設(shè)集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤5))))，則M∩N＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x≤\f(1,3))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x＜4))))C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}解析：選B由題意得M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x＜4)))).故選B.3．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且?UA＝{－1}，則a的值是()A．－1 B．1C．3 D．±1答案：A4．已知集合M＝{a,0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))，如果M∩N≠?，則a等于()A．1 B．2C．1或2 D．eq\f(5,2)解析：選C∵N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))＝{1,2}，又∵M(jìn)＝{a,0}，M∩N≠?，∴a＝1或a＝2.5．(多選)已知集合A＝{x|0<x<3}，集合B＝{x|x<0}，則下列關(guān)系正確的是()A．2∈A B．A?BC．A?(?RB) D．A∪B＝{x|x<3}解析：選AC因為A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x<0}，所以2∈A，故A正確；A不是B的子集，故B錯誤；?RB＝{x|x≥0}，A?(?RB)，故C正確；A∪B＝{x|x<0或0<x<3}，故D錯誤．6．設(shè)集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C等于()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：選B(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩C＝{1,2,4}．7．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}，若A∩B＝B，則實數(shù)m的值是()A．0 B．2C．0或2 D．0或1或2解析：選C因為A∩B＝B，所以B?A，所以m＝0或m＝2，故選C.8．(2023·全國甲卷)設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，則N∪?UM＝()A．{2,3,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5}解析：選A由題意知，?UM＝{2,3,5}，又N＝{2,5}，所以N∪?UM＝{2,3,5}，故選A.9.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么陰影部分表示的集合為()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}解析：選D由題意得，陰影部分所表示的集合為(?UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．10．(多選)若集合M?N，則下列結(jié)論正確的是()A．M∩N＝M B．M∪N＝NC．N?(M∩N) D．(M∪N)?N解析：選ABD若M?N，則可知M∩N＝M，M∪N＝N，故A、B正確；從而(M∩N)?N，故C錯誤；(M∪N)?N，故D正確．11．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，?UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.解析：因為U＝R，?UN＝{x|0<x<2}，所以N＝{x|x≤0或x≥2}，所以M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．答案：{x|x<1或x≥2}12．若集合A，B，C滿足A∩B＝A，B∪C＝C，則A與C之間的關(guān)系是________．解析：因為A∩B＝A，所以A?B.因為B∪C＝C，所以B?C，所以A?C.答案：A?C13.設(shè)全集U是實數(shù)集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如圖所示，則陰影部分所表示的集合為________．解析：由題意知M∪N＝{x|x<－2或x≥1}，陰影部分所表示的集合為?U(M∪N)＝{x|－2≤x<1}．答案：{x|－2≤x<1}14．集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，A∩B＝B，則a＝________.解析：A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，∵A∩B＝B，∴B＝{1}或B＝?，故a＝1或a＝0.答案：1或015．(13分)若全集U＝{3，－3，a2＋2a－3}，A＝{a＋1,3}，且?UA＝{5}，求實數(shù)a的值．解析：由題意可知，5∈U，－3∈A，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋2a－3＝5，,a＋1＝－3，))解得a＝－4，所以實數(shù)a的值為－4.答案：－416．(17分)已知集合A＝{1,2}，B＝{x|2a<x<4－a}．(1)當(dāng)a＝1時，求A∪B；(2)若A與B之間存在包含關(guān)系，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝1時，B＝{x|2<x<3}．故A∪B＝{x|x＝1或2≤x＜3}．(2)若B?A，則B＝?，則2a≥4－a，即a≥eq\f(4,3).若A?B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a<1<4－a，,2a<2<4－a，))解得a<eq\f(1,2).綜上，a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)或a≥\f(4,3))))).第2課時集合運算的綜合問題——(教學(xué)方式：拓展融通課—習(xí)題講評式教學(xué))[課時目標(biāo)]進(jìn)一步理解集合的交集、并集、補(bǔ)集，能根據(jù)集合的運算結(jié)果判斷兩個集合的關(guān)系，能利用交集、并集、補(bǔ)集的運算性質(zhì)解決一些簡單的應(yīng)用問題．題型(一)集合的交、并、補(bǔ)混合運算[例1](2023·天津高考)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{1,2,4}，則(?UB)∪A＝()A．{1,3,5} B．{1,3}C．{1,2,4} D．{1,2,4,5}解析：選A法一因為U＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,4}，所以?UB＝{3,5}，又A＝{1,3}，所以(?UB)∪A＝{1,3,5}．故選A.法二因為A＝{1,3}，且A?(?UB)∪A，所以集合(?UB)∪A中必含有元素1,3，所以排除選項C、D；觀察選項A、B，因為5?B，所以5∈?UB，即5∈(?UB)∪A，故選A.[例2]設(shè)全集U＝{x∈N*|x≤9}，若?U(A∪B)＝{1,3}，A∩(?UB)＝{2,4}，則集合B＝()A．{4,5,6,7,8,9} B．{2,4,5,6,7,8,9}C．{5,6,7,8} D．{5,6,7,8,9}解析：選D因為全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由?U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}．又A∩(?UB)＝{2,4}，所以B＝{5,6,7,8,9}．|思|維|建|模|解決集合交、并、補(bǔ)運算的技巧(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合交集、并集、補(bǔ)集的定義來求解．在解答過程中常常借助于Venn圖來求解．(2)如果所給集合是無限實數(shù)集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后進(jìn)行交、并、補(bǔ)集的運算．解答過程中要注意邊界問題．[針對訓(xùn)練]1．(多選)已知集合A中含有6個元素，全集U＝A∪B中共有12個元素，(?UA)∪(?UB)中有m個元素，已知m≥8，則集合B中元素個數(shù)可能為()A．2 B．6C．8 D．12解析：選BC因為(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)中有m個元素，所以A∩B中有12－m個元素．設(shè)集合B中元素個數(shù)為x，又集合A中含有6個元素，則x＋6－(12－m)＝12，即m＝18－x.因為m≥8，所以x≤10.又U＝A∪B中共有12個元素，所以x≥6，則6≤x≤10.2．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，求A∩B，(?UB)∪P，(A∩B)∩(?UP)．解：將集合A，B，P分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．因為U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，?UB＝{x|x≤－1或x>3}．又P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，所以(?UB)∪P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2))))).又?UP＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))，所以(A∩B)∩(?UP)＝{x|－1<x<2}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))＝{x|0<x<2}．題型(二)由集合的運算求參數(shù)[例3]已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|1－a<x<2a}．若(?RA)∪B＝R，求實數(shù)a的取值范圍．解：因為A＝{x|0≤x≤1}，所以?RA＝{x|x<0或x>1}，又因為B＝{x|1－a<x<2a}且(?RA)∪B＝R，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a<0，,2a>1，,2a>1－a，))解得a>1，故實數(shù)a的取值范圍為{a|a>1}．[變式拓展]1．若本例條件“(?RA)∪B＝R”變?yōu)椤癆∪B＝A”，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍．解：因為A∪B＝A，則B?A.若B＝?，則2a≤1－a，解得a≤eq\f(1,3).若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a>1－a，,2a≤1，,1－a≥0，))解得eq\f(1,3)<a≤eq\f(1,2).綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2))))).2．若本例條件變?yōu)橐阎螦＝{x|2a－3<x<a＋1}，B＝{x|0<x≤1}．若A∩B＝?，求實數(shù)a的取值范圍．解：由題意知A∩B＝?，當(dāng)A＝?時，2a－3≥a＋1，解得a≥4.當(dāng)A≠?時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<4，,2a－3≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<4，,a＋1≤0，))解得2≤a<4或a≤－1.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－1或a≥2}．|思|維|建|模|解集合中參數(shù)問題的注意點及常用方法注意點(1)不能忽視集合為?的情形；(2)當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論常用方法對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答[針對訓(xùn)練]3．設(shè)集合A＝{0,2,4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，若A∪B＝{0,1,2,3,4}，則m＋n的值是()A．1 B．3C．5 D．7解析：選D因為集合A＝{0,2,4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，A∪B＝{0,1,2,3,4}，則B＝{1,3}，所以1,3是方程x2－mx＋n＝0的兩根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3＝m，,1×3＝n，))因此m＋n＝4＋3＝7.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B??RA，則a的取值范圍為_______．解析：由題意得?RA＝{x|x≥－1}，①若B＝?，則a＋3≤2a，即a≥3，滿足B??RA；②若B≠?，則由B??RA，得2a≥－1且2a<a＋3，即－eq\f(1,2)≤a<3.綜上可得，a≥－eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－\f(1,2)))))題型(三)集合中新定義問題[例4]設(shè)集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定義A·B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A·B中元素的個數(shù)是()A．7 B．10C．25 D．52解析：選B因為A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1，0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有結(jié)果如下表所示：yx－