第二部分專題提升專題三數(shù)學(xué)建模第36講幾何類1．了解初中幾何常見模型，如手拉手全等相似模型、對(duì)角互補(bǔ)模型、倍長(zhǎng)中線模型和123模型等．2．通過圖形建模實(shí)現(xiàn)知識(shí)多元化認(rèn)知，順利找到解題的方法．3．通過觀察與聯(lián)想，構(gòu)造出圖形模型，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題求解．1．【手拉手全等模型】如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，E重合)，在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ.求證：(1)△BEC≌△ADC；(2)△PQC是等邊三角形．證明：(1)∵△ABC和△DCE為等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°.∴∠ACD＝∠BCE.∴△BEC≌△ADC(SAS)．(2)∵△ADC≌△BEC，∴∠ADC＝∠BEC．∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°.在△DPC和△EQC中，∴△DPC≌△EQC(ASA)．∴CP＝CQ.∵∠QCP＝60°，∴△PQC是等邊三角形．解：∵在△ABC和△ADE中，∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC．∴∠CAE＝∠BAD＝20°.3.【倍長(zhǎng)中線模型】如圖，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE.∵AD為BC邊上中線，∴CD＝BD.在△DAC和△DEB中，∴△DAC≌△DEB(SAS)．∴AC＝EB＝4.∵AB－BE＜AE＜AB＋BE，AB＝6，∴2＜AE＜10.∴1＜AD＜5.∴BC邊上的中線AD的取值范圍是1＜AD＜5.4.【對(duì)角互補(bǔ)模型】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，則四邊形ABCD的面積為(

)A．15 B．12.5C．14.5 D．17B5.【123模型】如圖，用6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)造的網(wǎng)格圖，角α，β的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則α＋β＝_________.45°典型考題將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC上時(shí)，連接CE.①當(dāng)∠B＝70°，∠ACB＝50°時(shí)，求證：AC⊥DE.②當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ABCE是平行四邊形？說明理由．①證明：如圖①，設(shè)AC，ED相交于點(diǎn)F.由旋轉(zhuǎn)，可得△ABC≌△ADE.∴∠B＝∠ADE＝70°，AB＝AD.∴∠B＝∠ADB＝70°.∴∠FDC＝180°－∠ADB－∠ADE＝40°.又∠ACB＝50°，∴∠CFD＝180°－∠FDC－∠ACB＝180°－40°－50°＝90°.∴AC⊥DE.②解：當(dāng)△ABC滿足BC＝AC時(shí)，四邊形ABCE是平行四邊形．理由如下：如圖．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠2＝∠DAE－∠2，即∠1＝∠3.∵BC＝AC，∴∠B＝∠BAC．∴∠5＝180°－2∠B.同理，可得∠1＝180°－2∠B.∴∠5＝∠1.∴∠5＝∠3.∴AE∥BC．又BC＝AC，AC＝AE，∴BC＝AE.∴四邊形ABCE是平行四邊形．(2)如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，DE交BC于點(diǎn)P，連接AP.當(dāng)AC＝6，∠C＝45°時(shí)，求PE的長(zhǎng)．解：如圖②，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，AN⊥DE于點(diǎn)N.設(shè)DE與AC交于點(diǎn)H.∴∠ANE＝∠AMC＝90°.∵∠C＝∠E＝45°，AC＝AE，∴△AMC≌△ANE(AAS)．∴AM＝AN.變式訓(xùn)練課題學(xué)習(xí)：三角形旋轉(zhuǎn)問題中的“轉(zhuǎn)化思想”．(1)如圖①，在等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，連接AD，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接DE，CD，BE.請(qǐng)寫出BE和CD的數(shù)量關(guān)系：_________，位置關(guān)系：________，并證明．BE＝CDBE⊥CD證明：∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°.∵∠CAD＋∠DAB＝∠CAB＝90°，∠DAB＋∠BAE＝∠DAE＝90°，∴∠CAD＝∠BAE.∴△CAD≌△BAE(SAS)．∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE.延長(zhǎng)CD交BE于點(diǎn)F，如圖①所示．∵∠FCB＋∠ABC＋∠ABE＝∠FCB＋∠ABC＋∠ACD＝∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠CFB＝180°－(∠FCB＋∠ABC＋∠ABE)＝180°－90°＝90°.∴BE⊥CD.(2)如圖②，在等腰△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，AD＝2，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接DE，BD，BE，取BD的中點(diǎn)M，連接CM.①當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，猜想并證明BE與CM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當(dāng)B，M，E三點(diǎn)共線時(shí)(M，E在AB的下方)，請(qǐng)直接寫出CM的長(zhǎng)度．解：①BE＝2CM，BE⊥CM.證明如下：如圖②，取AB的中點(diǎn)為F，BE的中點(diǎn)為P，連接FC，F(xiàn)P，F(xiàn)M，延長(zhǎng)CM交BE于點(diǎn)O.又BD的中點(diǎn)為M，∴FP是△ABE的中位線，F(xiàn)M是△ABD的中位線．∴∠PFM＝90°.∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，AB的中點(diǎn)為F，∴CF⊥AB，CF＝BF.∴∠CFB＝90°.∵∠CFM＝∠CFB－∠BFM＝90°－∠BFM，∠BFP＝∠PFM－∠BFM＝90°－∠BFM，∴∠CFM＝∠BFP.又CF＝BF，F(xiàn)M＝FP，∴△CFM≌△BFP(SAS)．∴CM＝BP，∠FCM＝∠FBP.∵BE的中點(diǎn)為P，∴BE＝2BP＝2CM.∵∠FBP＋∠CBA＋∠MCB＝∠FCM＋∠CBA＋∠MCB＝∠FCB＋∠CBA＝180°－∠CFB＝180°－90°＝90°，∴∠COB＝180°－(∠FBP＋∠CBA＋∠MCB)＝180°－90°＝90°.∴BE⊥CM.圖形建模就是指建立幾何圖形模型的整個(gè)過程，對(duì)真實(shí)原型進(jìn)行提煉、抽象、簡(jiǎn)單化，以及確立、檢驗(yàn)、解釋、應(yīng)用、向外拓展的過程．利用觀察與聯(lián)想等思想，準(zhǔn)確恰當(dāng)構(gòu)造出一個(gè)或者多個(gè)同源問題相關(guān)的輔助條件或問題．建立圖形模型，把復(fù)雜的問題化為簡(jiǎn)單的問題求解．(2025·遵義模擬)綜合與探究問題情境：如圖，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC＝90°，連接BE，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，連接AF.(1)【問題發(fā)現(xiàn)】90(2)【進(jìn)階探究】如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明該結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．(3)【拓展延伸】如圖③，將圖①中△EDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α<360°)，若AB＝4，CD＝2.直接寫出AF的最小值．解：(2)(1)中的結(jié)論成立．理由如下：如圖②，延長(zhǎng)AF至G，使FG＝AF，連接GE，GD.∵F是BE的中點(diǎn)，∴BF＝