第1課時線段垂直平分線的性質(zhì)與判定第15章

15.2線段的垂直平分線滬科版（2024）數(shù)學八年級上冊1.理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定.(重點)2.能運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定進行推理計算.(難點)學習目標線段的垂直平分線：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線，又叫作線段的中垂線.課堂引入一、線段垂直平分線的性質(zhì)及應用問題1

如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3…是l上的點，那么點P1，P2，P3…到點A與點B的距離之間有何數(shù)量關系？(1)觀察與度量，可以發(fā)現(xiàn)P1A=

，P2A=

，P3A=

，…；

(2)猜想與驗證，過程如下：已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上.求證：PA=PB.證明：因為l⊥

，

所以∠PCA=

=90°.

又AC=

，PC=

，

所以△PCA≌

(SAS).

所以PA=

.

P1BP2BP3BAB∠PCBCBPC△PCBPB知識梳理線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離_____.相等例1

如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，D為線段CE的中點，∠CAD=20°，∠ACB的補角是110°.求證：BE=AC.證明

如圖，連接AE，因為∠ACB的補角是110°，所以∠ACB=180°-110°=70°，因為∠DAC=20°，所以∠DAC+∠ACD=90°，所以AD⊥EC，因為DE=DC，所以AE=AC，

如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，D為線段CE的中點，∠CAD=20°，∠ACB的補角是110°.求證：BE=AC.證明

因為EF垂直平分AB，所以AE=BE，所以BE=AC.例1反思感悟(1)見垂直平分線，注意連接線段端點和垂直平分線上的點，得到線段相等.(2)能用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到線段相等，就盡量不要再去證明全等.(1)(2025·安徽蚌埠蚌山區(qū)期末)如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，則△ABD的周長是

.

跟蹤訓練1解析

因為DE垂直平分BC，所以DB=DC，所以△ABD的周長=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AC+AB=7+5=12.12(2)如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD于點O.①求證：△ABC≌△ADC；

②圖中還有多少對全等的三角形？請把它們寫出來.解

圖中還有2對全等三角形.△ABO≌△ADO，△CBO≌△CDO.二、線段垂直平分線的判定及應用問題2

問題1中的條件與結論反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？已知：如圖，PA=PB.求證：點P在線段AB的垂直平分線上.證明：過點P作線段AB的垂線PC，垂足為C.則∠PCA=

=90°.

在Rt△PCA和

中，

因為PA=

，PC=

，

所以Rt△PCA≌

(HL).

所以AC=BC.又PC⊥AB，所以點P在線段AB的

上.

∠PCBRt△PCBPBPCRt△PCB垂直平分線知識梳理線段垂直平分線的判定：到線段兩個端點距離

的點在線段的垂直平分線上.相等

如圖，已知E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，連接CD，與∠AOB的平分線交于點F.求證：OE是CD的垂直平分線.例2

反思感悟判定某條直線是線段的垂直平分線時，必須根據(jù)“兩個”點與線段兩端點的距離相等，才能斷定過此“兩點”的直線是線段的垂直平分線.(2025·安徽淮南田家庵區(qū)期中)如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點M，N，直線EF，MN交于點P.求證：點P在線段BC的垂直平分線上.跟蹤訓練2證明

如圖，連接PA，PB，PC.因為PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，所以PA=PB，PA=PC，所以PB=PC，所以點P在線段BC的垂直平分線上.1.如圖所示，DE是線段AB的垂直平分線，下列結論一定成立的是A.ED=CD B.AD=BDC.AB=AC D.BD=AC√2.(2025·廣西河池鳳山縣期末)下列條件中，不能判定直線MN是線段AB(M，N不在AB上)的垂直平分線的是A.MA=MB，NA=NBB.MA=MB，MN⊥ABC.MA=NA，MB=NBD.MA=MB，MN平分AB√解析

因為MA=MB，NA=NB，所以直線MN是線段AB的垂直平分線；因為MA=MB，MN⊥AB，所以直線MN是線段AB的垂直平分線；當MA=NA，MB=NB時，直線MN不一定是線段AB的垂直平分線；因為MA=MB，MN平分AB，所以直線MN是線段AB的垂直平分線.3.如圖，在△ABC中，AB=AC=20

cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于點D，若△DBC的周長為35

cm，則BC的長為

.

15

cm解析因為DE垂直平分AB，所以AD=BD，因為△DBC的周長為35

cm，所以BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=35(cm)，因為AC=20

cm，所以BC=15

cm.4.如圖，在△ABC中，BD，CE相交于點O，∠BEC=∠CDB=90°，且BD=CE.求證：點O在線段BC的垂直平分線上.證明

因為∠BEC=∠CDB=90°，CE=BD，BC=CB，所以Rt△BEC≌Rt△CDB，所以∠ECB=∠DBC，所以OB=OC，所以點O在線段BC的垂直平分線上.5，如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB與E，D為垂足，連結EC.(1)求∠ECD的度數(shù)；(2)若CE=5，求BC的長.