絕密★啟用前

2025—2026學(xué)年高二年級階段性診斷

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.數(shù)列-1,,…的一個通項公式為

AB

C.(-1)”-1.

2.圓(x-2)2+(y-2)2=2與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是

A.外離B.相交C.相切D.內(nèi)含

3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，ACNBD=0,則PA+PB+PC+PD=

A.2OPB.2POC.4OPD.4PO

4.已知直線l經(jīng)過點(3,-2)但不經(jīng)過原點，且l在x軸上的截距是在y軸上的截距的3倍，

則l的方程為

A.x+3y-1=0B.x+y-1=0

C.x+3y+3=0D.3x+y+3=0

數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

5.已知在△ABC中，∠ACB=120°,,若點A,B為雙曲線E的兩個焦點，且點C在E上，

則E的離心率為

C

A.7BD

6.已知點P到點F(2,0)的距離與點P到直線x=8的距離之比為,則IFPI的最大值為

A.1B.3C.6D.8

7.已知數(shù)列{a滿足a?=1,a?=3,an+2=a?+an+1,若{a。}中的第n項為奇數(shù)，把該項替換成

(-1)",若第n項為偶數(shù)，把該項替換成2n,得到數(shù)列{b。,則{b。的前100項和為

A.1121B.1123C.3365D.3367

8.已知在正方體ABCD-A?B?C?D?中，AA·AC?=4,點P滿,則

三棱錐D-A?BP的體積為

ABC.D

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若{a,b,c|構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是

A.a,2b,3cB.a-b,b-c,c-a

C.a,a-b,a-2bD.a,a-b,a+b-2c

10.記等差數(shù)列{a}的公差為d,前n項和為S。,已知S?<S?<S?,則

A.d>0B.a?+a?<0

C.a?+a?<0D.a,>√a?a10

11.已知實數(shù)a,b滿足a2+b2-4a-4b+7=0,則

A的最小值為

B.alal+blbl的最小值為3-2√2

C的最小值

D.當(dāng)m∈(0,+∞)時，√(a-2√m)2+(b+m)2+Im+11的最小值為√13-1

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知點P(1,0,1)在平面α內(nèi)，α的一個法向量為n=(-2,√3,3),則點A(-1,0,2)到平

面α的距離為

13.在數(shù)列\(zhòng)a|中，a?=2,若數(shù)列|a。+an+1是公差為2的等差數(shù)列，則a15=

14.已知點0(0,0),A(4,2),B(2,-1),點P在雙曲線C:上，記△OAP的面積為

S?,△OBP的面積為S?,則S?+S?的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知橢圓(1(a>b>0)的右焦點為F(√2,0),離心率

(1)求C的方程；

(2)過點且斜率為√2的直線與C交于A,B兩點，求△FAB的面積.

16.(15分)

(1)若{a|為等差數(shù)列，且a?+a?+a?=12,a?+a?+a?=21,求{an}的通項公式；

(2)記{a。}的前n項和為S,若a?=3,a?=7,且為等差數(shù)列，求a和S?.

17.(15分)

如圖，菱形ABB?A?與矩形AA?C?C所在的平面垂直，AA?=2,AC=√2,,D為

AA?的中點.

(1)證明：AC?⊥平面B?CD;

(2)求直線BC?與平面A?B?C所成角的正弦值.

數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

18.(17分)

如圖，已知圓0:x2+y2=4,P是直線y=4上的動點，過點P作圓0的兩條切線，切點分別

為A,B.

(1)若PA⊥x軸，求四邊形OAPB的面積；

(2)若直線PA,PB與x軸分別交于點M(m,0),N(n,0),證明：9m2+9n2+30mn為定值；

(3)求線段AB的中點Q的軌跡方程

19.(17分)

已知點P?(6,6)在拋物線C:x2=2py(p>0)上，C的焦點為F.

(1)點A,B在C上，且滿足FA+FB=FP?,求IFAI+IFBI.

(2)設(shè)k為常數(shù)，按照如下方式依次構(gòu)造點P。(n=2,3,…):過點Pn_1作斜率為k的直線

與C交于點Qn-(異于點Pn-1),令P,為Qn-1關(guān)于y軸的對稱點，記P。的坐標(biāo)為

(xn,y。),且x?=y?=6.

(i)若k=-1,求x?,Y?;

(ii)若,設(shè)點P,到γ軸的距離為a,求數(shù)列|a,}的前n項和S?

數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

2025—2026學(xué)年高二年級階段性診斷

數(shù)學(xué)·答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.B2.A3.D4.C5.B6.C

7.D8.A

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的

得0分.

9.AD10.ABD11.ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.13.1614.2√2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.解析(1)設(shè)C的半焦距為c(c>0).由C的右焦點為F(√2,0),得c=、2.……………(2分)

由C的離心率為,得,所以a=2.………(4分)

所以b2=a2-c2=4-2=2,………………(6分)

所以C的方程……………(7分)

(2)設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?).

由題可知直線AB的方程為,即……………(8分)

聯(lián)立，得5y2-2y-7=0,

解得y?=-1………………………(10分)

所以,即△FAB的面積………(13分)

16.解析(1)設(shè){a,}的公差為d.

由題意知解得……………………(4分)

所以an=a?+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5(6分)

(2)設(shè)的公差為k,

,即S?=kn2-(k-3)n.…………………(8分)

—1—

當(dāng)n≥2時，a?=S?-S-1=kn2-(k-3)n-k(n-1)2+(k-3)(n-1)=2kn-2k+3,(11分)

所以a?=6k-2k+3=7,得k=1,

所以an=2n+1,a?=3也符合該式.………………………(13分)

所以S?=n2+2n.…………………………(15分)

17.解析方法一：(1)連接AB?,因為側(cè)面ABB?A?是菱形，

所以△AA?B?是正三角形，因為D為AA?的中點，所以B?D⊥AA?,(1分)

因為平面AA?C?C⊥平面ABB?A?,平面AA?C?Cn平面ABB?A?=AA?,

所以B?D⊥平面AA?C?C(3分)

因為AC?C平面AA?C?C,所以B?D⊥AC?.…………………(4分)

因為在矩形AA?C?C中，AA?=2,AC=√2,所以tan∠ADC=tan∠A?C?A=√2,

所以∠ADC=∠A?C?A,因為,所以

所以AC?⊥CD,(6分)

因為B?D∩CD=D,所以AC?⊥平面B?CD(7分)

(2)以D為坐標(biāo)原點，DB?,DA?所在直線分別為x,y軸，過點D且與乎面ABB?A?垂直的直線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，如圖，……………(8分)

則B?(√3,0,0),A,(0,1,0),C?(0,1,√2),C(0,-1,√2),B(√3,-2,0),

所以BC=(-√3,3,√2),A?B=(√3,-1,0),A?C=(0,-2,√2).…………………(10分)

設(shè)平面A?B?C的法向量為n=(x,y,z),則即

取x=1,得n=(1,√3,√6).………………(13分)

設(shè)直線BC?與平面A?B?C所成的角為θ,

……………(15分)

—2—

方法二：(1)連接AB?,因為側(cè)面ABB?A?是菱形，,所以△AA?B?是正三角形，

因為D為AA?的中點，所以B?D⊥AA?,以D為坐標(biāo)原點，DB?,DA?所在直線分別為x,y軸，過點D且與平面

ABB?A?垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.…………………(2分)

因為平面AA?C?C⊥平面ABB?A?,所以z軸在平面AA?C?C內(nèi)，

所以D(0,0,0),A(0,-1,0),C?(0,1,√2),B?(√3,0,0),C(0,-1,√2),

所以DC=(0,-1,√2),AC=(0,2,√2),DB=(√3,0,0),(4分)

所以AC·DC=0-2+2=0,AC·DB=0+0+0=0,

所以AC?⊥DC,AC?⊥DB?,(6分)

因為B?D∩CD=D,所以AC?⊥平面B?CD(7分)

(2)同方法一.

18.解析(1)當(dāng)PA⊥x軸時，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點A在B的右側(cè)，則P(2,4),A(2,0),………………(1分)

所以IAPI=4,10Al=2,且OA⊥AP,(3分)

連接OP,則……………(5分)

(2)設(shè)P(2t,4),因為M(m,0),

所以直線PM的方程為4(x-m)=(2t-m)y,即4x-(21-m)y-4m=0,

因為直線PM與圓0相切，所以……………………(7分)

整理得3m2+4tm-4t2-16=0,同理有3n+4tn-4t2-16=0,

所以m,n是方程3x2+4Lxs4'+16=0的兩個實根，

所以,…………(9分)

所以9m2+9n2+30mn=9(m+n)2+12mn=16t2-4(4t2+16)=-64,為定值.………(11分)

(3)由題知OA⊥AP,OB⊥BP,

所以點A,B在以O(shè)P為直徑的圓上，由0(0,0),P(2t,4),

得該圓的方程為(x-t)2+(y-2)2=t2+4,

與x2+y2=4相減，得直線AB的方程為tx+2y-2=0(14分)

取t=0,得y=1,所以直線AB過定點R(0,1),

又因為Q為AB的中點，所以0Q⊥AB,即0Q⊥RQ,

所以點Q在以O(shè)R為直徑的圓上，該圓的方程為…………………(16分)

又AB不可能是圓的直徑，所以點Q不可能與原點重合，

所以點Q的軌跡方程為,即x2+y2-y=0(y≠0).………(17分)

—3—

19.解析(1)因為點P?(6,6)在C上，所以62=2p×6,

所以p=3,C的方程為x2=6y,.…………………(2分)

設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB).

由FA+FB=FP,得

所以

………………………(5分)

(2)(i)過點P?且斜率為-1的直線為y=-x+12.……………………(6