6.1無(wú)耗媒質(zhì)中的平面電磁波

無(wú)耗媒質(zhì)意味著描述媒質(zhì)電磁特性的電磁參數(shù)滿足條件:σ=0,ε、μ

為實(shí)常數(shù)。無(wú)源意味著無(wú)外加場(chǎng)源,即ρ=0,J=0。

6.1.1無(wú)耗媒質(zhì)中齊次波動(dòng)方程的均勻平面波解

設(shè)無(wú)源、無(wú)界空間充滿無(wú)耗的簡(jiǎn)單媒質(zhì),那么電場(chǎng)強(qiáng)度E

和磁場(chǎng)強(qiáng)度H滿足式(561)和式(562)的波動(dòng)方程,它們常被寫(xiě)為

在直角坐標(biāo)系中,假設(shè)均勻平面電磁波沿z

軸方向傳播,如圖6-1所示,則因場(chǎng)矢量在xy

平面(等相位面)內(nèi)各點(diǎn)無(wú)變化,故有

因此,電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁場(chǎng)強(qiáng)度H

只是直角坐標(biāo)z

和時(shí)間t的函數(shù)。此時(shí)波動(dòng)方程式(6-1)和式(6-2)是關(guān)于直角坐標(biāo)z

的一維波動(dòng)方程,將E=E(z,t)和H=H(z,t)分別代入無(wú)源區(qū)域中無(wú)耗、線性、均勻、各向同性媒質(zhì)限定的麥克斯韋方程組中,并在直角坐標(biāo)系中展開(kāi),可得到下列方程組

圖6-1均勻平面電磁波的傳播

由

可以看出,Ez(z,t)和

Hz(z,t)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的恒定分量。在波動(dòng)方程問(wèn)題中,常量沒(méi)有意義,故可取Ez(z,t)=0和

Hz(z,t)=0。

綜上可見(jiàn)

類(lèi)似分析可得

如第五章所述,我們只需求式(6-1)的解,相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度H

可以直接由麥克斯韋方程得出。由于矢量波動(dòng)方程式(6-1)在直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)于三個(gè)形式相同的標(biāo)量波動(dòng)方程,所以根據(jù)疊加原理,可以分別討論Ex(z,t)和Ey(z,t)。若以Ex(z,t)為例(假設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度E

只有Ex(z,t)分量),則矢量波動(dòng)方程式(6-1)變?yōu)闃?biāo)量波動(dòng)方程:

此方程的通解為

式中f1(z-vt)和f2(z+vt)是(z-vt)和(z+vt)的任意函數(shù)。可以證明,f1(z-vt)和f2(z+vt)是式(6-4)的兩個(gè)特解。

現(xiàn)在讓我們說(shuō)明特解Ex(z,t)=f1(z-vt)的物理意義。在某特定時(shí)刻t=t1,f1(z-vt1)是z

的函數(shù),如圖6-2(a)所示。當(dāng)時(shí)間t1

增大到t2時(shí),相應(yīng)的f1(z-vt2)仍是z的函數(shù),其形狀與圖6-2(a)相同,但向右移動(dòng)了v(t2-t1)的距離,如圖6-2(b)所示。這說(shuō)明f1(z-vt)是一個(gè)以速度v

向+z

方向傳播的波。同樣的分析可知,Ex=f2(z+vt)表示一個(gè)以速度v

向-z

方向傳播的波。

圖6-2向+z方向傳播的波

在無(wú)界媒質(zhì)中,一般沒(méi)有反射波存在,只有單一行進(jìn)方向的波。如果假設(shè)均勻平面電磁波沿+z

方向傳播,電場(chǎng)強(qiáng)度只有Ex(z,t)分量,則波動(dòng)方程式(6-4)的解為

由麥克斯韋方程式(528b)可得

即

顯然,磁場(chǎng)強(qiáng)度

H

只有Hy(z,t)分量。磁場(chǎng)強(qiáng)度

H的矢量波動(dòng)方程式(6-2)可簡(jiǎn)化為標(biāo)量波動(dòng)方程:

類(lèi)似電場(chǎng)強(qiáng)度的討論,對(duì)于沿+z方向傳播的均勻平面電磁波,方程式(6-7)的特解應(yīng)寫(xiě)為

于是可寫(xiě)出沿+z方向傳播的均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式:

式(6-8)表明,均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量均與傳播方向垂直,沒(méi)有傳播方向的分量。也就是說(shuō),對(duì)傳播方向而言,電磁場(chǎng)只有橫向分量,沒(méi)有縱向分量。這種電磁波稱(chēng)為橫電磁波(TransverseElectro-MagneticWave),或稱(chēng)為T(mén)EM波。TEM波的電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和傳播方向三者構(gòu)成右手正交系,如圖6-1所示。

對(duì)于正弦電磁場(chǎng),無(wú)源、無(wú)界、無(wú)耗簡(jiǎn)單媒質(zhì)中的波動(dòng)方程是式(563)和式(564)。在直角坐標(biāo)系中,假設(shè)均勻平面波沿z方向傳播,電場(chǎng)強(qiáng)度只有x方向坐標(biāo)分量Ex(z),則波動(dòng)方程式(563)可以簡(jiǎn)化為

式(6-9)的解為

將上式代入麥克斯韋方程?×E=-jωH,得到均勻平面波的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

式中:

η具有阻抗的量綱,單位為歐姆(Ω),它的值與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān),因此它被稱(chēng)為媒質(zhì)的波阻抗(或本征阻抗)。真空中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率為

將它們代入式(6-12),得電磁波在真空中的本征阻抗為

6.1.2均勻平面波的傳播特性

假設(shè)均勻平面波沿+z

方向傳播,電場(chǎng)強(qiáng)度只有x

方向的坐標(biāo)分量Ex(z)。由于無(wú)界媒質(zhì)中不存在反射波,所以正弦均勻平面電磁波的復(fù)場(chǎng)量可以表示為

式中E0=E0mej?0

為z=0處的復(fù)振幅。式(6-13)所對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式為

式中:E0m

是實(shí)常數(shù),表示電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅值;ωt稱(chēng)為時(shí)間相位;kz稱(chēng)為空間相位。式(6-14)表明,正弦均勻平面電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)在空間上互相垂直,在時(shí)間上是同相的,它們的振幅之間有一定的比值,此比值取決于媒質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。圖6-3表示在t=0時(shí)刻電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量在空間沿+z軸的分布(初始相位?0=0)。

圖6-3理想介質(zhì)中均勻平面電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)空間分布

由式(6-14)可見(jiàn),正弦均勻平面電磁波的等相位面方程為

平面電磁波的等相位面行進(jìn)的速度稱(chēng)為相速,以vp表示。根據(jù)相速的定義和等相位面方程有

上式中vp

實(shí)際上是沿波振面的法向等相位面移動(dòng)的速度。

空間相位kz

變化2π所經(jīng)過(guò)的距離稱(chēng)為波長(zhǎng),以λ

表示。按此定義有kλ=2π,所以

此式表明波長(zhǎng)除了和頻率有關(guān),還和媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)。因此,同一頻率的電磁波,在不同媒質(zhì)中的波長(zhǎng)是不相同的。式(6-16)還可以寫(xiě)為

k

稱(chēng)為波數(shù)。因?yàn)榭臻g相位kz

變化2π相當(dāng)于一個(gè)全波,k

表示單位長(zhǎng)度內(nèi)所具有的全波數(shù)目的2π倍。k

也被稱(chēng)為電磁波的相位常數(shù),因?yàn)樗硎緜鞑シ较蛏喜ㄐ羞M(jìn)單位距離時(shí)相位變化的大小。

時(shí)間相位ωt變化2π所經(jīng)歷的時(shí)間稱(chēng)為周期,以

T

表示。而一秒內(nèi)相位變化2π的次數(shù)稱(chēng)為頻率,以f表示。由ωT=2π得

由式(6-15)和式(6-17)可知

由上可見(jiàn),電磁波的頻率描述的是相位隨時(shí)間的變化特性,而波長(zhǎng)描述的是相位隨空間的變化特性。

下面我們討論均勻平面電磁波的能量關(guān)系。由式(6-13)知,復(fù)坡印廷矢量為

從而得坡印廷矢量的時(shí)間平均值為

平均功率密度為常數(shù),表明與傳播方向垂直的所有平面上,每單位面積通過(guò)的平均功率都相同,電磁波在傳播過(guò)程中沒(méi)有能量損失(沿傳播方向電磁波無(wú)衰減)。因此理想媒質(zhì)中的均勻平面電磁波是等振幅波。電場(chǎng)能量密度和磁場(chǎng)能量密度的瞬時(shí)值為

可見(jiàn),任一時(shí)刻電場(chǎng)能量密度和磁場(chǎng)能量密度相等,各為總電磁能量的一半。電磁能量的時(shí)間平均值為

我們知道,有電磁波的傳播,就有電磁能流。電磁波的電磁能量傳播速度,簡(jiǎn)稱(chēng)能速,用ve表示,定義為

其方向?yàn)殡姶拍芰鞯姆较?。均勻平面電磁波的能速可表示?/p>

上式表明,均勻平面電磁波的能量傳播速度等于其相速。

6.1.3向任意方向傳播的均勻平面波

在直角坐標(biāo)系oxyz中,我們?nèi)匀患僭O(shè)無(wú)界媒質(zhì)中,均勻平面波沿+z

方向傳播,電場(chǎng)強(qiáng)度只有x

方向的坐標(biāo)分量Ex(z),那么正弦均勻平面電磁波的復(fù)場(chǎng)量還可以表示為

利用矢量恒等式?×(ΨA)=Ψ?×A+?Ψ×A

和?·(ΨA)=Ψ?·A+?Ψ·A,將以上兩式代入麥克斯韋方程?×E=-jωμH

和?·E=0,可以得到

和

由上式得

綜上所述,把它們寫(xiě)在一起就是:

如果開(kāi)始時(shí)我們選擇直角坐標(biāo)系ox'y'z',那么,正弦均勻平面電磁波的復(fù)場(chǎng)量可以表示為

這是向e'z

方向傳播的波。將直角坐標(biāo)系ox'y'z'任意旋轉(zhuǎn)后得新的直角坐標(biāo)系oxyz,如圖6-4所示。

圖6-4向k方向傳播的均勻平面電磁波

在直角坐標(biāo)系oxyz

中,式(6-21)就是向任意方向e'z(或記為ek)傳播的均勻平面電磁波。如以r表示等相位面z'=常數(shù)上任一點(diǎn)的矢徑,則有z'=r·e'z。在直角坐標(biāo)系oxyz中有

式中cosα、cosβ、cosγ

是e'z在直角坐標(biāo)系oxyz中的方向余弦。這樣式(6-21)中的相位因子為

其中k=ke'z=kek=exkx+eyky+ezkz

稱(chēng)為傳播矢量(波矢量),其方向是波的傳播方向,模是波數(shù)。然而,坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)時(shí),矢量E0

并不改變,只是在不同坐標(biāo)系中其分量不同。因

此,式(6-21)可以寫(xiě)為

式中ek

是平面電磁波傳播方向的單位矢量。

類(lèi)似地,無(wú)耗媒質(zhì)中均勻平面電磁波的另一種表示形式為

例6-1

已知無(wú)界理想媒質(zhì)(ε=9ε0,μ=μ0,σ=0)中正弦均勻平面電磁波的頻率f=108Hz,電場(chǎng)強(qiáng)度為

試求:

(1)均勻平面電磁波的相速度vp、波長(zhǎng)λ、相移常數(shù)k

和波阻抗η;

(2)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值表達(dá)式;

(3)與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過(guò)的平均功率。

解:(1)

(2)

電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為

(3)復(fù)坡印廷矢量:

坡印廷矢量的時(shí)間平均值:

與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過(guò)的平均功率:

6.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面電磁波

6.2.1導(dǎo)電媒質(zhì)中平面電磁波的傳播特性無(wú)源、無(wú)界的導(dǎo)電媒質(zhì)中麥克斯韋方程組為

式(6-22a)可以寫(xiě)為

其中:

稱(chēng)為導(dǎo)電媒質(zhì)的復(fù)介電常數(shù),它是一個(gè)等效的復(fù)數(shù)介電常數(shù)。由此可見(jiàn),引入等效復(fù)介電常數(shù)后,導(dǎo)電媒質(zhì)(有耗媒質(zhì))中的麥克斯韋方程組和無(wú)耗媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組具有完全相同的形式。因此就電磁波在其中的傳播而言,可以把導(dǎo)電媒質(zhì)等效地看作一種介質(zhì),其等效介電常數(shù)為復(fù)數(shù)。

從麥克斯韋方程式(6-23)和式(6-22b)~式(6-22d)出發(fā),類(lèi)似式(563)和式(564)的推導(dǎo),可以導(dǎo)出波動(dòng)方程:

式中,γ2=ω2μεc。

直角坐標(biāo)系中,對(duì)于沿+z

方向傳播的均勻平面電磁波,如果假定電場(chǎng)強(qiáng)度只有x分量Ex,那么式(6-25)的一個(gè)解為

上式中,令γ=β-jα,則E=exE0e-j(β-jα)z=exE0e-αze-jβz

。顯然電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)振幅以因子e-αz隨z的增大而減小,表明α

為每單位距離衰減程度的常數(shù),稱(chēng)為電磁波的衰減常數(shù)。β表示每單位距離落后的相位,稱(chēng)為相位常數(shù)。γ=β-jα

稱(chēng)為傳播常數(shù)。因此電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值可以表示為

其中Em

、?0

分別表示電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅值和初相角,即E0=Emej?0。

因?yàn)?/p>

所以

故有

從而有

由以上兩方程解得

將式(6-27)代入式(6-22b)可得磁場(chǎng)強(qiáng)度:

其中:

稱(chēng)為導(dǎo)電媒質(zhì)的波阻抗,它是一個(gè)復(fù)數(shù)。式(6-31)中:

從式(6-32)我們看到,導(dǎo)電媒質(zhì)的本征阻抗是一個(gè)復(fù)數(shù),其模小于理想介質(zhì)的本征阻抗,幅角在0~π/4之間變化,具有感性相角。這意味著電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度在空間上雖然仍互相垂直,但在時(shí)間上有相位差,二者不再同相,電場(chǎng)強(qiáng)度相位超前磁場(chǎng)強(qiáng)度相位。

這樣磁場(chǎng)強(qiáng)度可以重寫(xiě)為

其對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)值為

磁場(chǎng)強(qiáng)度的相位比電場(chǎng)強(qiáng)度的相位滯后θ,電導(dǎo)率σ

愈大則滯后愈多。其振幅也隨z

的增加按指數(shù)衰減,如圖6-5所示。

圖6-5導(dǎo)電媒質(zhì)中平面電磁波的電磁場(chǎng)

導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面電磁波的相速為

而波長(zhǎng)為

由此可見(jiàn),均勻平面電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時(shí),波的相速和波長(zhǎng)比介電常數(shù)和磁導(dǎo)率相同的理想介質(zhì)的情況慢和短,且σ愈大,相速愈慢,波長(zhǎng)愈短。此外,相速和波長(zhǎng)還隨頻率而變化,頻率低,則相速慢。這樣,攜帶信號(hào)的電磁波其不同的頻率分量將以不同的相速傳播。經(jīng)過(guò)一段距離后,它們的相位關(guān)系將發(fā)生變化,從而導(dǎo)致信號(hào)失真。這種現(xiàn)象稱(chēng)為色散。所以導(dǎo)電媒質(zhì)是色散媒質(zhì)。

磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量互相垂直,并都垂直于傳播方向,因此導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波是橫電磁波。導(dǎo)電媒質(zhì)中的坡印廷矢量的瞬時(shí)值、時(shí)間平均值和復(fù)坡印廷矢量分別為

導(dǎo)電媒質(zhì)中平均電能密度和平均磁能密度分別如下:

顯然,在導(dǎo)電媒質(zhì)中,平均磁能密度大于平均電能密度。總的平均能量密度為

能量傳播速度為

可見(jiàn),導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面電磁波的能速與相速相等

6.2.2集膚深度和表面電阻

良導(dǎo)體中,有關(guān)表達(dá)式可以用泰勒級(jí)數(shù)簡(jiǎn)化并近似表達(dá)為

由此可見(jiàn),高頻電磁波傳入良導(dǎo)體后,由于良導(dǎo)體的電導(dǎo)率一般在107S/m量級(jí),所以電磁波在良導(dǎo)體中衰減極快,電磁波往往在微米量級(jí)的距離內(nèi)就衰減得近于零了,因此高頻電磁場(chǎng)只能存在于良導(dǎo)體表面的一個(gè)薄層內(nèi)。這種現(xiàn)象稱(chēng)為集膚效應(yīng)(SkinEffect)。

電磁波場(chǎng)強(qiáng)振幅衰減到表面處的1/e的深度,稱(chēng)為集膚深度(穿透深度),以δ

表示。

因?yàn)?/p>

所以

可見(jiàn)導(dǎo)電性能越好(電導(dǎo)率越大),工作頻率越高,則集膚深度越小。例如銀的電導(dǎo)率σ=6.15×107S/m,磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m,由式(6-36)得

當(dāng)頻率f=3GHz時(shí),銀的集膚深度δ=1.17×10-6=1.17μm。因此,雖然微波器件通常用黃銅制成,但只要在其導(dǎo)電層的表面上涂以若干微米的銀,就能保證表面電流主要在銀層通過(guò)。

良導(dǎo)體中均勻平面電磁波的電磁場(chǎng)分量和電流密度為

H0

和J0

是導(dǎo)體表面(z=0)處的磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)振幅和電流密度復(fù)振幅。復(fù)坡印廷矢量(復(fù)功率流密度矢量)為

在z>0處,平均功率流密度為

在z=0處,平均功率流密度為

式(6-37)表示導(dǎo)體表面每單位面積所吸收的平均功率,也就是單位面積導(dǎo)體內(nèi)傳導(dǎo)電流的熱損耗功率:

可見(jiàn),傳入導(dǎo)體的電磁波實(shí)功率全部轉(zhuǎn)化為熱損耗功率。

導(dǎo)體表面處切向電場(chǎng)強(qiáng)度Ex

與切向磁場(chǎng)強(qiáng)度Hy

之比定義為導(dǎo)體的表面阻抗,即

可見(jiàn),導(dǎo)體的表面阻抗等于其波阻抗。RS

和

XS分別稱(chēng)為表面電阻和表面電抗,并有

這意味著,表面電阻相當(dāng)于單位長(zhǎng)度、單位寬度,而厚度為δ

的導(dǎo)體塊的直流電阻。參看圖6-6,流過(guò)單位寬度平面導(dǎo)體的總電流(z

由0至∞)為

從電路的觀點(diǎn)看,此電流通過(guò)表面電阻所損耗的功率為

圖6-6平面導(dǎo)體

例6-2

海水的電磁參數(shù)是εr=81,μr=1,σ=4S/m,頻率為3kHz和30MHz的電磁波在緊切海平面下側(cè)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為1V/m,求:

(1)電場(chǎng)強(qiáng)度衰減為1μV/m處的深度,應(yīng)選擇哪個(gè)頻率進(jìn)行潛水艇的水下通信;

(2)計(jì)算頻率3kHz的電磁波從海平面下側(cè)向海水中傳播的平均功率流密度。

(2)平均功率密度為

例6-3微波爐利用磁控管輸出的2.45GHz的微波加熱食品。在該頻率上,牛排的等效復(fù)介電常數(shù)ε'=40ε0,tanδe=0.3,求:

(1)微波傳入牛排的集膚深度δ,在牛排內(nèi)8mm處的微波場(chǎng)強(qiáng)是表面處的百分之幾;

(2)微波爐中盛牛排的盤(pán)子是用發(fā)泡聚苯乙烯制成的,其等效復(fù)介電常數(shù)和損耗角正切為ε'=1.03ε0,tanδe=0.3×10-4。說(shuō)明為何用微波加熱時(shí)牛排被燒熟而盤(pán)子并沒(méi)有被燒毀。

解:(1)根據(jù)牛排的損耗角正切知,牛排為不良導(dǎo)體,因此由式(6-29a)得

可見(jiàn)微波加熱與其它加熱方法相比的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是,微波能對(duì)食品內(nèi)部進(jìn)行加熱。此外,由于微波場(chǎng)分布在三維空間中,所以加熱均勻且快。

(2)發(fā)泡聚苯乙烯是低耗介質(zhì),所以其集膚深度為

可見(jiàn)其集膚深度很大,這意味著微波在其中傳播的熱損耗極小,所以盤(pán)子不會(huì)被燒毀。

例6-4證明均勻平面電磁波在良導(dǎo)體中傳播時(shí),每波長(zhǎng)內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)的衰減約為55dB。

證:良導(dǎo)體中衰減常數(shù)和相移常數(shù)相等。因?yàn)榱紝?dǎo)體滿足條件:

所以,相移常數(shù)等于衰減常數(shù),即

設(shè)均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為

那么z=λ

處的電場(chǎng)強(qiáng)度振幅與z=0處的電場(chǎng)強(qiáng)度振幅比為

即

例6-5已知海水的電磁參量σ=51(Ω·m)-1,μr=1,εr=81,作為良導(dǎo)體欲使90%以上的電磁能量(僅靠海水表面下部)進(jìn)入1m以下的深度,電磁波的頻率應(yīng)如何選擇。

解:對(duì)于所給海水,當(dāng)其視為良導(dǎo)體時(shí),設(shè)其中傳播的均勻平面電磁波為

式中良導(dǎo)體海水的波阻抗為

因此沿+z

方向進(jìn)入海水的平均電磁功率流密度為

故海水表面下部z=l處的平均電磁功率流密度與海水表面下部z=0處的平均電磁功率流密度之比為

依題意,有

考慮到良導(dǎo)體中衰減常數(shù)與相移常數(shù)有如下關(guān)系:

從而有

6.3電磁波的極化6.3.1極化的概念如前所述,無(wú)界媒質(zhì)中的均勻平面電磁波是TEM波。TEM波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量均在垂直于傳播方向的平面內(nèi)。假設(shè)電磁波沿+z方向傳播,則電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量均在z=常數(shù)的平面內(nèi)。討論均勻平面電磁波的傳播特性時(shí),我們假設(shè)在直角坐標(biāo)系中,電場(chǎng)強(qiáng)度矢量只有Ex

分量,因此在垂直傳播方向的等相位面上,電場(chǎng)強(qiáng)度矢量隨時(shí)間在一條直線上變化,其矢端軌跡是一條直線,這種波稱(chēng)為線極化波。

在一般情況下,對(duì)于沿+z

方向傳播的均勻平面電磁波,電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E

有兩個(gè)頻率和傳播方向均相同的兩個(gè)分量Ex

和Ey。電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的表達(dá)式為

電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的兩個(gè)分量的瞬時(shí)值為

6.3.2平面電磁波的極化形式

1.線極化

設(shè)Ex

和Ey

同相,即?x=?y=?0。為了討論方便,在空間任取一固定點(diǎn)z=0,則式(6-41)變?yōu)?/p>

合成電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的模為

合成電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量與x

軸正向夾角α

的正切為

它表明矢量E

與x

軸正向夾角α保持不變,如圖6-7(a)所示。合成電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的模隨時(shí)間作正弦變化,其矢端軌跡是一條直線,故稱(chēng)為線極化(LinearPolarization)。

同樣的方法可以證明,?x-?y=π時(shí),合成電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量與x軸正向的夾角α

的正切為

這時(shí)合成平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E

的矢端軌跡是位于二、四象限的一條直線,故也稱(chēng)為線極化,如圖6-7(b)所示。

圖6-7線極化波

此方程是圓方程。電磁波的兩正交電場(chǎng)強(qiáng)度分量的合成電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E的模和幅角為

可見(jiàn),電磁波的合成電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的大小不隨時(shí)間變化,而其與x

軸正向夾角α

將隨時(shí)間變化。因此合成電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的矢端軌跡為圓,故稱(chēng)為圓極化(CircularPolarization)。

如果α=+(ωt+?x),則矢量E將以角頻率ω在xoy平面上沿逆時(shí)針?lè)较蜃鞯冉撬傩D(zhuǎn);如果α=-(ωt+?x),則矢量E

將以角頻率ω在xoy

平面上沿順時(shí)針?lè)较蜃鞯冉撬傩D(zhuǎn)。所以圓極化波有左旋和右旋之分,規(guī)定如下:將大拇指指向電磁波的傳播方向,其余四指指向電場(chǎng)強(qiáng)度矢量

E

的矢端的旋轉(zhuǎn)方向,符合右手螺旋關(guān)系的稱(chēng)為右旋圓極化波;符合左手螺旋關(guān)系的稱(chēng)為左旋圓極化波,如圖6-8所示。

圖6-8圓極化波

應(yīng)該指出,一般情況下,α=±(ωt+?x-kz)。所以如果在固定時(shí)刻,觀察合成電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的矢端軌跡沿傳播方向隨空間坐標(biāo)z

變化,那么它的大小和方向在垂直于傳播方向的平面上的投影與固定空間坐標(biāo)z

的矢端軌跡隨時(shí)間t變化的方式相同,但是兩者的旋向相反。

由圖可見(jiàn),在空間固定點(diǎn)上,合成電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E不斷改變其大小和方向,其矢端軌跡為橢圓,故稱(chēng)為橢圓極化(Ellipti－calPolarization)。顯然,線極化和圓極化可看作橢圓極化的特例。和圓極化波一樣,橢圓極化波也有左旋橢圓極化波和右旋橢圓極化波之分。由于矢量E與x

軸正向夾角α

的關(guān)系為

6.3.3電磁波極化特性的工程應(yīng)用

電磁波的極化描述電磁波運(yùn)動(dòng)的空間性質(zhì),因此討論電磁波的極化有著重要的意義。一個(gè)與地面平行放置的線天線的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)是電場(chǎng)強(qiáng)度矢量平行于地面的線極化波,稱(chēng)為水平極化。

很多情況下,系統(tǒng)必須利用圓極化才能進(jìn)行正常工作。一個(gè)線極化波可以分解為兩個(gè)振幅相等、旋向相反的圓極化波,所以,不同取向的線極化波都可由圓極化天線收到。

例6-6

證明任一線極化波總可以分解為兩個(gè)振幅相等旋向相反的圓極化波的疊加。

解:假設(shè)線極化波沿+z

方向傳播。不失一般性,取x

軸平行于電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E,則

上式右邊第一項(xiàng)為一左旋圓極化波,第二項(xiàng)為一右旋圓極化波,而且兩者振幅相等,均為E0/2。

例6-7

判斷下列平面電磁波的極化形式:

解:(1)E=jE0(jex+ey)e-jkz,Ex

和Ey

振幅相等,且Ex

相位超前Ey相位π/2,電磁波沿+z

方向傳播,故為右旋圓極化波。

(2)E=jE0(ex-2ey)ejkz,Ex

和Ey

相位差為π,故為在二、四象限的線極化波。

(3)Ezm≠Exm,Ez

相位超前Ex相位π/2,電磁波沿+y

方向傳播,故為右旋橢圓極化波。

(4)

在垂直于en

的平面內(nèi)將E

分解為exy和ez

兩個(gè)方向的分量,則這兩個(gè)分量互相垂直,振幅相等,且exy相位超前ez

相位π/2,exy

×ez=en,故為右旋圓極化波。

例6-8電磁波在真空中傳播,其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為

試求:

(1)工作頻率f;

(2)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式;

(3)坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值;

(4)此電磁波是何種極化,旋向如何。

(3)坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值為

(4)此均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量在x

方向和y

方向的分量振幅相等,且x

方向的分量比y方向的分量相位超前π/2,故為右旋圓極化波。

6.4色散、

相速和群速

色散的名稱(chēng)來(lái)源于光學(xué)。當(dāng)一束陽(yáng)光射在三棱鏡上時(shí),在三棱鏡的另一邊就可看到紅、橙、黃、綠、藍(lán)、靛、紫七色光散開(kāi)的圖像。這就是光譜段電磁波的色散現(xiàn)象。這是由于不同頻率的光在同一媒質(zhì)中具有不同的折射率,也即具有不同的相速度所致?！懊劫|(zhì)的色散”是指媒質(zhì)的參數(shù)與頻率有關(guān),而“波的色散”是指波的相速與頻率有關(guān)。

一個(gè)任意波形的信號(hào)總可以看成是由許多時(shí)諧波疊加而成的,每一時(shí)諧波傳播的相速由媒質(zhì)參數(shù)ε、μ和σ確定。若媒質(zhì)的參數(shù)ε、μ

和σ與頻率有關(guān),則是色散媒質(zhì),在其中傳播的電磁波必然要發(fā)生色散。要深入研究媒質(zhì)的色散特性,就必須研究媒質(zhì)的原子理論和極化的微觀過(guò)程。下面我們介紹由洛侖茲給出的簡(jiǎn)單的色散介質(zhì)模型和由此導(dǎo)出的色散關(guān)系。

6.4.1介質(zhì)的色散

根據(jù)洛侖茲給出的色散介質(zhì)模型,一個(gè)分子由若干重離子(如原子核)和圍繞它們旋轉(zhuǎn)的一些輕離子(如電子)組成。在非極性分子中,電子的電荷和原子核的電荷不僅總量相等,而且正電荷中心與負(fù)電荷中心也重合,因而不呈現(xiàn)電偶極矩。但是,在外電場(chǎng)的作用下,非極性分子的電子和核都將產(chǎn)生位移,正、負(fù)電荷中心不再重合,形成一電偶極矩。而且,由于原子核的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子的質(zhì)量,相對(duì)于電子的位移而言,原子核可視為不動(dòng)。

由前面的分析可知,每一個(gè)電子當(dāng)對(duì)平衡位置產(chǎn)生一位移后,就貢獻(xiàn)一個(gè)電偶極矩p=er,其中e是電子的電荷,r是電子在外場(chǎng)作用下離開(kāi)它平衡位置的位移。因此,我們先來(lái)求電子的位移與頻率的關(guān)系。每個(gè)電子在外場(chǎng)作用下所受到的作用力為

其中v

是電子運(yùn)動(dòng)的速度。因?yàn)樵跁r(shí)變場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度E

與磁感應(yīng)強(qiáng)度B

之間存在關(guān)系|B|∝|E|/c,其中c為光速,所以洛侖茲力公式中磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)可以忽略。要嚴(yán)格地算出電子在電場(chǎng)力作用下所產(chǎn)生的位移是一個(gè)復(fù)雜的量子力學(xué)問(wèn)題?，F(xiàn)在我們作如下的近似處理,即假定電子是被一個(gè)彈性恢復(fù)力

束縛在它的平衡位置上,其中m

是電子的質(zhì)量,ω0

是繞平衡點(diǎn)振動(dòng)的振動(dòng)頻率。另外,還存在阻尼力

相對(duì)介電常數(shù)

將其分解成實(shí)部和虛部得

圖6-10相對(duì)介電常數(shù)隨頻率的變化曲線

因此電子的平均運(yùn)動(dòng)滿足方程:

對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)E=Re[Emejωt],上式的兩個(gè)穩(wěn)態(tài)解為

設(shè)單位體積內(nèi)自由電子的總數(shù)為

N,則電流密度Jm

為

另外我們知道,導(dǎo)電媒質(zhì)也是色散媒質(zhì),導(dǎo)電媒質(zhì)的β也是ω

的復(fù)雜函數(shù),vp

與頻率ω

有關(guān)。良導(dǎo)體中的相速為

這時(shí)的相速度是頻率的函數(shù)。這種波的相速度隨頻率而變的現(xiàn)象就稱(chēng)為波的色散。

前幾節(jié)討論了以cos(ωt-βz)表示其相位變化的均勻平面電磁波,這種在時(shí)間、空間上無(wú)限延伸的單一頻率的電磁波稱(chēng)為單色波。一個(gè)單一頻率的正弦電磁波不能傳遞任何信息,并且理想的單頻正弦電磁波實(shí)際上也是不存在的。實(shí)際工程中的電磁波在時(shí)間和空間上是有限的,它由不同頻率的正弦波(諧波)疊加而成,稱(chēng)為非單色波。非單色波在傳播過(guò)程中,由于各諧波分量的相速度不同而使其相對(duì)相位關(guān)系發(fā)生變化,從而引起波形(信號(hào))的畸變。攜帶信息的都是具有一定帶寬的已調(diào)制非單色波,因此調(diào)制波傳播的速度才是信號(hào)傳遞的速度。

在色散媒質(zhì)中,不同頻率分量的單色波各以不同的相速傳播。那么,由不同頻率的單色波疊加而成的電磁波信號(hào)在媒質(zhì)中是以什么速度傳播的呢?為了闡明此概念我們來(lái)討論一個(gè)簡(jiǎn)單情況。假定色散媒質(zhì)中同時(shí)存在著兩個(gè)電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同、振幅相同、頻率不同,向z方向傳播的正弦線極化電磁波,它們的角頻率和相位常數(shù)分別為

且有

電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為

合成電磁波的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式為

可以將上式看成角頻率是ω0,而振幅按cos(Δω·t-Δβ·z)緩慢變化的向z

方向傳播的行波。

圖6-11表示固定時(shí)刻此合成波隨z

的分布(這里f0=1MHz,

Δf=100kHz,E0=1V/m),可見(jiàn),這是按一定周期排列的波群。隨著時(shí)間的推移,波群向正z

方向運(yùn)動(dòng)。合成波的振幅隨時(shí)間按余弦變化,是一調(diào)幅波,調(diào)制的頻率為Δω。這個(gè)按余弦變化的調(diào)制波稱(chēng)為包絡(luò)波(圖6-11中的虛線)。群速vg

的定義是包絡(luò)波上某一恒定相位點(diǎn)推進(jìn)的速度。

令調(diào)制波的相位為常數(shù):

由此得

當(dāng)Δω→0時(shí),上式可寫(xiě)

圖6-11相速與群速

6.4.4群速與相速的關(guān)系

在一般情況下,信號(hào)是由任意形狀的波包(或脈沖)構(gòu)成的。根據(jù)傅里葉分析可知,對(duì)于頻率為ω

的單色正弦波,它的電場(chǎng)或磁場(chǎng)的某一分量ψ(t)可以表示成

其中:

若每一頻率分量的相速是不同的,其相移常數(shù)β(ω)也是不同的(這種波稱(chēng)為色散波),這樣信號(hào)在傳播過(guò)程中就可能發(fā)生畸變。設(shè)信號(hào)的帶寬足夠窄,中心頻率為ω0,即

沿z方向傳播一定距離z

后,相函數(shù)ψ0(ω)變成了ψz(ω),且

將β(ω)在ω0

附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)并只取前兩項(xiàng),得

將式(6-47e)代入式(6-47d),并取其傅里葉逆變換,可求得z

的信號(hào)為

包絡(luò)的等相位面方程

在色散媒質(zhì)中,有

從而得

可見(jiàn),當(dāng)dvp/dω=0時(shí),則vg=vp,這是無(wú)色散情況,群速等于相速。當(dāng)dvp/dω≠0,即相速是頻率的函數(shù)時(shí),vg≠vp,這時(shí)又分兩種情況:

導(dǎo)體的色散就是非正常色散。這里“非正常”一詞并沒(méi)有特別的含義,只是表示它與正常色散的類(lèi)型不同而已。

6.5均勻平面電磁波向平面分界面的垂直入射

6.5.1平面電磁波向理想導(dǎo)體的垂直入射我們從較簡(jiǎn)單的垂直入射開(kāi)始研究平面電磁波的反射和透射。如圖6-12所示,Ⅰ區(qū)為無(wú)耗媒質(zhì),Ⅱ?yàn)槔硐雽?dǎo)體,它們具有無(wú)限大的平面分界面(z=0的無(wú)限大平面)。設(shè)均勻平面電磁波沿ez

方向垂直投射到分界面上。

圖6-12垂直入射到理想導(dǎo)體上的平面電磁波

設(shè)入射電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別依次為

式中:Ei0為z=0處入射波(IncidentWave)的振幅;k1

和η1

為媒質(zhì)1的相位常數(shù)和波阻抗,且有

下面討論Ⅰ區(qū)中合成電磁波的時(shí)空特性。由式(6-54)可見(jiàn),在任意時(shí)刻t,Ⅰ區(qū)的合成電場(chǎng)E1

和磁場(chǎng)

H1都在距理想導(dǎo)體表面的某些固定位置處存在零值和最大值:

這些最大值的位置不隨時(shí)間變化,稱(chēng)為波腹點(diǎn);同樣這些零值的位置也不隨時(shí)間變化,稱(chēng)為波節(jié)點(diǎn)。這可用圖6-13來(lái)說(shuō)明。圖中電場(chǎng)強(qiáng)度振幅Ei0=5,給出了時(shí)間t等于0、T/8、T/4、5T/8、3T/4時(shí),E1(z,t)與z的關(guān)系。從圖中我們看到,空間各點(diǎn)的電場(chǎng)都隨時(shí)間按sinωt作簡(jiǎn)諧變化,但其波腹點(diǎn)處電場(chǎng)振幅總是最大,波節(jié)點(diǎn)處電場(chǎng)總是零,而且這種狀態(tài)并不隨時(shí)間沿z

移動(dòng)。這種波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)位置都固定不動(dòng)的電磁波稱(chēng)為駐波。這說(shuō)明兩個(gè)振幅相等、傳播方向相反的行波合成的結(jié)果是駐波。駐波電場(chǎng)波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)都每隔λ1/4交替出現(xiàn),兩個(gè)相鄰波節(jié)點(diǎn)之間的距離為λ1/2。

圖6-13不同瞬間的駐波電場(chǎng)

駐波不傳輸能量,其坡印廷矢量的時(shí)間平均值為

可見(jiàn)沒(méi)有單向流動(dòng)的實(shí)功率,而只有虛功率。由式(554)可得駐波的坡印廷矢量的瞬時(shí)值為

此式表明,瞬時(shí)功率流隨時(shí)間按周期變化,但是僅在兩個(gè)波節(jié)點(diǎn)之間進(jìn)行電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)量的交換,并不發(fā)生電磁能量的單向傳輸。

6.5.2平面電磁波向理想介質(zhì)的垂直入射

設(shè)區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ中的媒質(zhì)都是理想介質(zhì),則當(dāng)x

方向極化、沿z

軸正向傳播的均勻平面電磁波由區(qū)域Ⅰ向無(wú)限大分界平面(z=0)垂直入射時(shí),因媒質(zhì)參數(shù)不同(波阻抗不連續(xù)),到達(dá)分界面上的一部分入射波被分界面反射,形成沿z

軸負(fù)向傳播的反射波;另一部分入射波透過(guò)分界面進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ進(jìn)行傳播,形成沿z軸正向傳播的透射波(TransmittedWave)。由于分界面兩側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù),因此反射波和透射波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量也只有x

分量,即反射波和透射波沿x方向極化,如圖6-14所示。

圖6-14垂直入射到理想介質(zhì)上的平面電磁波

入射波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)表達(dá)式與式(6-49)相同,反射波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)表達(dá)式

與

式(6-50)相同,區(qū)域Ⅰ中的合成電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)表達(dá)式與式(6-51)相同。區(qū)域Ⅱ中只有透射波,其電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為

式中:Et0為z=0處透射波的振幅;k2和η2

為媒質(zhì)2的相位常數(shù)和波阻抗,且有

接著利用分界面上電場(chǎng)和磁場(chǎng)所滿足的邊界條件E1t=E2t和

H1t=H2t(理想介質(zhì)的分界面上不存在傳導(dǎo)面電流),確定分界面處反射波振幅、透射波振幅與入射波振幅的關(guān)系。由式(6-51a)及式(6-56a),考慮到z=0處分界面電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù)的邊界條件E1t=E2t,可得

由式(6-51b)及式(6-56b),考慮到z=0處分界面磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù)的邊界條件H1t=H2t,可得

聯(lián)立求解式(6-57)得分界面上的反射系數(shù)?！纸缑嫔戏瓷洳妶?chǎng)強(qiáng)度與入射波電場(chǎng)強(qiáng)度之比,即

和界面上的透射系數(shù)T——分界面上透射波電場(chǎng)強(qiáng)度與入射波電場(chǎng)強(qiáng)度之比,即

由式(6-58a)和式(6-58b)知,分界面上的透射系數(shù)

T和反射系數(shù)Γ

都是無(wú)量綱的量。反射系數(shù)Γ

既可以為正數(shù),也可以為負(fù)數(shù),這取決于區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的波阻抗η1

和η2。透射系數(shù)T

始終為正數(shù)。反射系數(shù)和透射系數(shù)的關(guān)系為

如果媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體,則其波阻抗η2=0,由式(6-58a)和式(6-58b)得反射系數(shù)Γ=-1,透射系數(shù)T=0。此時(shí),入射波被理想導(dǎo)體表面全部反射,并在媒質(zhì)1中形成駐波。

最后,我們討論分界面兩側(cè)區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ(非理想導(dǎo)體)中合成電磁波的特性。區(qū)域Ⅰ(z<0)中任意點(diǎn)的合成電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度可表示為

從式(6-59)可以看出,式中第一項(xiàng)是沿z

方向傳播的行波,第二項(xiàng)是駐波。這種既有行波成分又有駐波成分的電磁波稱(chēng)為行駐波。因?yàn)橛行胁ǔ煞执嬖?所以行駐波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度在離分界面的某些固定位置處的最小值不再為零,但仍然有最大值和最小值存在。根據(jù)式(6-59)知,區(qū)域Ⅰ中電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的模為(設(shè)Ei0=Em

為實(shí)數(shù))

式(6-60)是z

的周期函數(shù),周期為λ/2。括號(hào)中的上、下標(biāo)分別對(duì)應(yīng)于Γ>0(η2>η1)和Γ<0(η2<η1)。

(2)Γ<0(η2<η1)。此時(shí),電場(chǎng)、磁場(chǎng)的波腹點(diǎn)、波節(jié)點(diǎn)位置相反。即電場(chǎng)的波腹點(diǎn)對(duì)應(yīng)于Γ<0(η2<η1)時(shí)的電場(chǎng)的波節(jié)點(diǎn),磁場(chǎng)的波腹點(diǎn)對(duì)應(yīng)于Γ>0(η2<η1))時(shí)的磁場(chǎng)的波節(jié)點(diǎn);電場(chǎng)的波節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于Γ>0(η2<η1)時(shí)的電場(chǎng)的波腹點(diǎn),磁場(chǎng)的波節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于Γ>0(η2<η1)時(shí)的磁場(chǎng)的波腹點(diǎn)。比較式(6-60a)和式(6-60b)知,磁場(chǎng)強(qiáng)度的模和電場(chǎng)強(qiáng)度的模的最大值和最小值位置正好互換。

為了反映行駐波狀態(tài)的駐波成分大小,定義行駐波電場(chǎng)(磁場(chǎng))的最大值與最小值之比為駐波比,即VSWR(VoltageStandingWaveRatio),用ρ表示:

因?yàn)棣?-1~1,所以ρ=1~∞。當(dāng)|Γ|=0、ρ=1時(shí),為行波狀態(tài),區(qū)域Ⅰ中無(wú)反射波,因此全部入射波功率都透入?yún)^(qū)域Ⅱ。

區(qū)域Ⅱ中的電磁波僅有透射波,將透射系數(shù)引入式(6-56)后,其電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以表示為

顯然,區(qū)域Ⅱ中的電磁波為向z

方向傳播的行波。

我們?cè)賮?lái)討論電磁能量關(guān)系。區(qū)域Ⅰ中,入射波向z

方向傳輸?shù)钠骄β拭芏仁噶繛?/p>

反射波向-z

方向傳輸?shù)钠骄β拭芏仁噶繛?/p>

區(qū)域Ⅰ中合成場(chǎng)向z

方向傳輸?shù)钠骄β拭芏仁噶繛?/p>

區(qū)域Ⅱ中向z

方向傳輸?shù)钠骄β拭芏仁噶繛?/p>

并且有

即區(qū)域Ⅰ中的入射波功率等于區(qū)域Ⅰ中的反射波功率和區(qū)域Ⅱ中的透射波功率之和。這符合能量守恒定律。

例6-9一右旋圓極化波由空氣向一理想介質(zhì)平面(z=0)垂直入射,坐標(biāo)與圖6-14相同,媒質(zhì)的電磁參數(shù)為ε2=9ε0,ε1=ε0,

μ1=μ2=μ0。試求反射波、透射波的電場(chǎng)強(qiáng)度及相對(duì)平均功率密度;它們各是何種極化波。

解:設(shè)入射波電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為

則反射波和透射波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為

式中反射系數(shù)和透射系數(shù)為

入射波、反射波和透射波都可以看成是兩個(gè)振幅相等、旋向相反、互相正交的線極化波的合成,每一線極化波的平均功率密度關(guān)系與式(6-65)相同,所以相對(duì)平均功率密度為

因?yàn)榉瓷湎禂?shù)和透射系數(shù)都是實(shí)數(shù),所以,根據(jù)反射波和透射波電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的表示式可見(jiàn),反射波是左旋圓極化波,透射波是右旋圓極化波。

例6-10頻率為f=300MHz的線極化均勻平面電磁波,其電場(chǎng)強(qiáng)度振幅值2V/m,從空氣垂直入射到εr=4、μr=1的理想介質(zhì)平面上,求:

(1)反射系數(shù)、透射系數(shù)、駐波比;

(2)入射波、反射波和透射波的電場(chǎng)和磁場(chǎng);

(3)入射功率、反射功率和透射功率。

解:設(shè)入射波為x方向的線極化波,沿z方向傳播,如圖6-14所示。

(1)據(jù)題意波阻抗為

因此,反射系數(shù)、透射系數(shù)和駐波比為

(2)入射波、反射波和透射波的電磁和磁場(chǎng)為

(3)入射波、反射波、透射波的平均功率密度為

顯然:

6.6均勻平面電磁波向多層媒質(zhì)分界面的垂直入射

6.6.1多層媒質(zhì)中的電磁波及其邊界條件為簡(jiǎn)單起見(jiàn),我們僅考慮只有三個(gè)媒質(zhì)區(qū)域的情況,如圖6-15所示。

圖6-15垂直入射到多層媒質(zhì)中的均勻平面電磁波

我們可以寫(xiě)出各個(gè)區(qū)域中的電場(chǎng)和磁場(chǎng):

區(qū)域1中的入射波:

區(qū)域1中的反射波:

區(qū)域1(z≤0)中的合成電磁波:

區(qū)域2(0≤z≤d)中的合成電磁波:

區(qū)域3(z≥d)中的合成電磁波:

以上各式中,E1i0是區(qū)域1中入射波電場(chǎng)的復(fù)振幅,假設(shè)是已知量。E1r0、E2i0、E2r0、E3i0是四個(gè)未知量。為了求得這四個(gè)未知量,利用z=0和z=d處媒質(zhì)分界面上電場(chǎng)和磁場(chǎng)的切向分量都必須連續(xù)的邊界條件:

因?yàn)橛兴膫€(gè)邊界條件,所以能夠求四個(gè)未知量。

6.6.2等效波阻抗

為了便于討論多層媒質(zhì)的反射問(wèn)題,現(xiàn)引入等效波阻抗的概念:媒質(zhì)中平行于分界面的任一平面上的總電場(chǎng)與總磁場(chǎng)之比,定義為該處的等效波阻抗Z(z),即

此時(shí)我們已經(jīng)假設(shè)x

方向極化的均勻平面電磁波沿z

方向傳播。

1.無(wú)界媒質(zhì)中的等效波阻抗

假設(shè)無(wú)界媒質(zhì)中,x方向極化的均勻平面電磁波沿+z方向傳播,那么媒質(zhì)中任意位置處的等效波阻抗為

x方向極化的均勻平面電磁波沿-z

方向傳播時(shí),等效波阻抗為

可見(jiàn)無(wú)界媒質(zhì)中,等效波阻抗在數(shù)值上等于波阻抗

2.半無(wú)界媒質(zhì)中的等效波阻抗

如圖6-14所示,根據(jù)式(6-71)的定義,且考慮到式(6-59),可知媒質(zhì)1中離平面分界面為z

處的等效波阻抗為

由于媒質(zhì)1中z為負(fù)值,因此離平面分界面(z=0)的距離為l的某一位置(z=-l)處的等效波阻抗為

將式(6-58a)定義的反射系數(shù)代入上式得

如果η2=η1,那么由式(6-72c)知:Z1(-l)=η1。這表明空間僅存在同一種媒質(zhì),因此沒(méi)有反射波,等效波阻抗等于媒質(zhì)的波阻抗;如果區(qū)域2中的媒質(zhì)

是

理

想

導(dǎo)

體,即η2=0,Γ=-1,那么式(6-72c)簡(jiǎn)化為

3.有界媒質(zhì)中的等效波阻抗

若空間存在三層媒質(zhì),如圖6-15所示,利用邊界條件,在z=0的邊界上,由式(6-68)和式(6-69)得

在z=d的邊界上,由式(6-69)和式(6-70)得

聯(lián)立求解式(6-74c)和式(6-74d),得z=d

分界面處的反射系數(shù):

聯(lián)立求解式(6-74a)和式(6-74b)且考慮到式(6-75),得z=0分界面處的反射系數(shù):

上式中的Z2(0)表示區(qū)域2中z=0處的等效波阻抗:

考慮到z=0和z=d分界面處反射系數(shù)的定義,由式(6-74a)及式(6-74c)知區(qū)域2和區(qū)域3中的入射波電場(chǎng)振幅為

可見(jiàn),根據(jù)各個(gè)區(qū)域的媒質(zhì)電磁參數(shù)計(jì)算出各分界面處的反射系數(shù)后,用式(6-75)、式(6-76)和式(6-78)可以計(jì)算出各個(gè)區(qū)域中的合成電磁波。

6.6.3媒質(zhì)1中無(wú)反射的條件

如圖6-15所示,要使區(qū)域Ⅰ的媒質(zhì)1中沒(méi)有反射波存在,入射波能量全部透入媒質(zhì)3(媒質(zhì)2為無(wú)耗媒質(zhì)),那么z=0分界面處的反射系數(shù)Γ0

必須等于零。由式(6-76)和式(6-77)知,此時(shí):

或

使上式中實(shí)部、虛部分別相等,有

和

下面分兩種情況討論。

(1)如果η1=η3≠η2,那么要使式(6-80a)和式(6-80b)同時(shí)滿足,則要求:

所以,對(duì)于給定的工作頻率,媒質(zhì)2的夾層厚度d

為媒質(zhì)2中半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí),媒質(zhì)1中無(wú)反射。最短夾層厚度d

應(yīng)為媒質(zhì)2中的半波長(zhǎng)。

(2)如果η1≠η3,那么要求:

且

所以當(dāng)媒質(zhì)1和媒質(zhì)3的波阻抗不相等時(shí),若媒質(zhì)2的波阻抗等于媒質(zhì)1和媒質(zhì)3的波阻抗的幾何平均值,且媒質(zhì)2的夾層厚度d

為媒質(zhì)2中四分之一波長(zhǎng)的奇數(shù)倍,則媒質(zhì)1中無(wú)反射波。

例6-11

為了保護(hù)天線,在天線的外面用一理想介質(zhì)材料制作一天線罩。天線輻射的電磁波頻率為4GHz,近似地看作均勻平面電磁波,此電磁波垂直入射到天線罩理想介質(zhì)板上。天線罩的電磁參數(shù)為εr=2.25,μr=1,求天線罩理想介質(zhì)板厚度為多少時(shí)介質(zhì)板上無(wú)反射。

解:因?yàn)?/p>

所以,理想介質(zhì)板中的電磁波波長(zhǎng)為

天線罩兩側(cè)為空氣,故天線罩的最小厚度應(yīng)為

6.7均勻平面電磁波向平面分界面的斜入射

6.7.1均勻平面電磁波向理想介質(zhì)分界面的斜入射

1.相位匹配條件和斯奈爾定律均勻平面電磁波向理想介質(zhì)分界面z=0處斜入射時(shí),將產(chǎn)生反射波和透射波,如圖6-16所示。

圖6-16入射線、反射線、透射線

設(shè)入射波、反射波和透射波的傳播矢量分別為

式中eki、ekr、ekt分別是入射波、反射波、透射波在傳播方向上的單位矢量。

由6.1.3節(jié),即向任意方向傳播的均勻平面波知,入射波、反射波、透射波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量可寫(xiě)為

下面由入射波和邊界條件確定反射波、透射波的傳播方向。因?yàn)榉纸缑鎧=0處兩側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量應(yīng)連續(xù),故有

式中上標(biāo)t表示切向分量。此式對(duì)分界面上任意點(diǎn)都成立,因而

式(6-85b)對(duì)不同的x、y

均成立,故必有

式(6-86)表明入射波傳播矢量、反射波傳播矢量和透射波傳播矢量沿介質(zhì)分界面的切向分量相等。這一結(jié)論稱(chēng)為相位匹配條件。

我們把入射波的傳播矢量eki與分界面的法線所構(gòu)成的平面稱(chēng)為入射面,即圖6-16中y=0的平面。入射波的傳播矢量eki與法線之間的夾角θi

稱(chēng)為入射角,反射波的傳播矢量ekr、透射波的傳播矢量ekt與法線之間的夾角θr

和θt分別稱(chēng)為反射角和透射角。若取入射面為y=0的平面,即入射線位于xoz平面內(nèi),應(yīng)用式(6-86)得

由式(6-87b)知

2.反射系數(shù)和透射系數(shù)

斜入射的均勻平面電磁波,不論何種極化方式,都可以分解為兩個(gè)正交的線極化波:一個(gè)極化方向與入射面垂直,稱(chēng)為垂直極化波;另一個(gè)極化方向在入射面內(nèi),稱(chēng)為平行極化波,即

因此,只要分別求得這兩個(gè)分量的反射波和透射波,通過(guò)疊加,就可以獲得電場(chǎng)強(qiáng)度矢量任意取向的入射波的反射波和透射波。

1)垂直極化波

取如圖6-17所示的坐標(biāo)系,使分界面z=0,入射面為xoz

平面(y=0)。

在此坐標(biāo)系中,入射波的電磁場(chǎng)為

考慮到反射定律,反射波的電磁場(chǎng)為

透射波的電磁場(chǎng)為

圖6-17垂直極化的入射波、反射波和透射波

根據(jù)分界面z=0處電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量和磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量在分界面兩側(cè)必須連續(xù)的邊界條件,及式(6-92)、式(6-93)和式(6-94),有

考慮到折射定律k1sinθi=k2sinθt,式(6-95)簡(jiǎn)化為

解之得

?！秃蚑⊥分別是Ei垂直入射面時(shí)的反射系數(shù)和透射系數(shù),即分界面處反射波電場(chǎng)及透射波電場(chǎng)與入射波電場(chǎng)之比。換句話說(shuō),此時(shí)電場(chǎng)只有平行于分界面的y分量,故?！秃蚑⊥也是電場(chǎng)切向分量之比。

2)平行極化波

取如圖6-18所示的坐標(biāo)系,使分界面為z=0,入射面為xoz

平面(y=0)。

此時(shí)的入射波電磁場(chǎng):

反射波電磁場(chǎng)(已經(jīng)考慮了反射定律):圖6-18平行極化的入射波、反射波和透射波

透射波電磁場(chǎng):

應(yīng)用分界面z=0處場(chǎng)量的邊界條件和折射定律有

解之得反射系數(shù)、透射系數(shù):

Γ‖和T‖分別是Ei平行入射面時(shí),分界面處的反射波電場(chǎng)及透射電場(chǎng)與入射波電場(chǎng)之比。與?！秃蚑⊥不同的是,它們不等于對(duì)應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量之比。以Ei0除式(6-103b)得

如果θi=0,那么θr=θt=0,故

上式和垂直入射時(shí)導(dǎo)出的反射系數(shù)差一負(fù)號(hào)。這是由于對(duì)圖6-18所示的電場(chǎng)正方向,在θi=0時(shí),Ei0和Er0方向相反之故。

對(duì)于非磁性媒質(zhì),μ1=μ2=μ0,式(6-104)簡(jiǎn)化為

即

即

由此可見(jiàn),透射系數(shù)T‖總是正值,反射系數(shù)Γ‖則可正可負(fù)。

3.媒質(zhì)1中的合成電磁波

以垂直極化波為例,討論斜入射情況下媒質(zhì)1中的合成電磁場(chǎng)。將入射波和反射波疊加,就可以獲得媒質(zhì)1中的合成電磁波。由式(6-92)、式(6-93)和式(6-97a)可得

上式中的因子e-j(k1sinθi)x=e-jkxx

表明,E1

和

H1

是向x

方向傳播的行波,相移常數(shù)為

相速為

沿z方向,電磁場(chǎng)的每一分量都是傳播方向相反、幅度不相等的兩個(gè)行波之和,電磁場(chǎng)沿z

方向的分布為行駐波。它們的相移常數(shù)、相速和相應(yīng)的波長(zhǎng)為

由于E1

僅有垂直于傳播方向x

的分量,而

H1

有傳播方向的分量

Hx,所以媒質(zhì)1中的合成電磁場(chǎng)是沿x

方向傳播的TE波。

6.7.2均勻平面電磁波向理想導(dǎo)體的斜入射

在圖6-17和圖6-18中,只要將媒質(zhì)2看成理想導(dǎo)體,我們就獲得了均勻平面電磁波向理想導(dǎo)體斜入射的兩種基本形式:垂直極化和平行極化。理想導(dǎo)體的波阻抗η2=0,故令式(6-97)和式(6-104)中η2=0,有垂直極化的反射系數(shù)和透射系數(shù):

平行極化的反射系數(shù)和透射系數(shù):

由此可見(jiàn),同垂直入射時(shí)一樣,斜入射電磁波也不能透入理想導(dǎo)體。

1.垂直極化

將式(6-108a)代入式(6-107),便得經(jīng)區(qū)域2的理想導(dǎo)體表面反射后媒質(zhì)1(z<0)中的合成電磁波:

可以看出,媒質(zhì)1中的合成電磁波具有下列性質(zhì):

(1)合成電磁波是沿x

方向傳播的TE波,相速為

(2)合成電磁波的振幅與z

有關(guān),所以為非均勻平面電磁波,即合成電磁波沿z

方向的分布是駐波。電場(chǎng)強(qiáng)度的波節(jié)點(diǎn)位置離分界面(z=0)的距離,可以由式(6-109a)求得

這也是

H1

的z

分量Hz

的波節(jié)點(diǎn),H1

的x

分量Hx

的波腹點(diǎn)。

(3)坡印廷矢量有兩個(gè)分量。由式(6-109)可見(jiàn),坡印廷矢量有x、z

兩個(gè)分量,它們的時(shí)間平均值為

2.平行極化

若Ei

平行入射面斜入射到理想導(dǎo)體表面,類(lèi)似于上面垂直極化的分析,我們獲知媒質(zhì)1中的合成電磁波是沿x

方向傳播的TM波,垂直理想導(dǎo)體表面的z

方向合成電磁波仍然是駐波。

例6-12如果定義功率反射系數(shù)、功率透射系數(shù)為

證明:

即在垂直分界面的方向,入射波、反射波、透射波的平均功率密度滿足能量守恒關(guān)系。

解:不論Ei垂直入射面還是平行入射面,均有

上式中已經(jīng)考慮了eki·Ei0=0。類(lèi)似地有(垂直極化和水平極化的反射系數(shù)和透射系數(shù)統(tǒng)一用Γ和T表示)

將以上三式代入功率反射系數(shù)和功率透射系數(shù)的定義,并且考慮到

有

和

將垂直極化或平行極化的反射系數(shù)和透射系數(shù)代入式(6-111)和式(6-112),可得

6.8均勻平面電磁波的全透射和全反射

由分析的結(jié)論可知,對(duì)于非磁性媒質(zhì),不論垂直極化還是平行極化的斜入射,透射系數(shù)總是正值,而反射系數(shù)既可以是正值也可以是負(fù)值。因此,如果反射系數(shù)為零,那么斜入射電磁波將全部透入媒質(zhì)2;如果反射系數(shù)的模為1,那么斜入射電磁波將被分界面全部反射。下面以均勻平面電磁波自空氣斜入射于聚苯乙烯(εr=2.7,μr=1)為例,計(jì)算垂直極化和平行極化斜入射時(shí)的功率反射系數(shù)、功率透射系數(shù)(定義參看例6-12),計(jì)算結(jié)果如圖6-19所示。圖6-19斜入射的功率反射系數(shù)與透射系數(shù)

6.8.1全透射

由平行極化斜入射的反射系數(shù)公式(6-106a)知,要使?！?0,必有

解上式得

此角度稱(chēng)為布儒斯特角(BrewsterAngle),記為θB。由式(6-106a)知,此時(shí)

從而

對(duì)于垂直極化的斜入射,其反射系數(shù)公式(6-99a)表明,?！?0發(fā)生于

上式成立時(shí)要求ε2=ε1。因此,當(dāng)ε2≠ε1

時(shí),以任何入射角向兩種不同非磁性媒質(zhì)分界面垂直極化斜入射,都不會(huì)發(fā)生全透射。圖6-19也表明了這一結(jié)論。

綜上可見(jiàn),對(duì)于非磁性媒質(zhì),產(chǎn)生全透射的條件是:

①

均勻平面電磁波平行極化斜入射;

②

入射角等于布儒斯特角,即θi=θB。所以,任意極化的電磁波以布儒斯特角斜入射到兩非磁性媒質(zhì)的分界面時(shí),入射波中Ei

平行于入射面的部分將全部透入媒質(zhì)2,僅垂直入射面的另一部分入射波被分界面反射,故反射波是Ei

垂直入射面的線極化波。顯然,如果圓極化波以布儒斯特角斜入射時(shí),其反射波為線極化波而透射波為橢圓極化波。光學(xué)中通常利用這種原理來(lái)實(shí)現(xiàn)極化濾波。

6.8.2全反射

均勻平面電磁波斜入射時(shí)的反射系數(shù)、透射系數(shù)不僅與媒質(zhì)特性有關(guān),而且依賴(lài)于入射波的極化形式和入射角。在一定條件下會(huì)產(chǎn)生全反射現(xiàn)象。當(dāng)反射系數(shù)的模|Γ|=1時(shí),功率反射系數(shù)Γp=|Γ|2=1,此時(shí)垂直于分界面的平均功率全部被反射回媒質(zhì)1,這種現(xiàn)象稱(chēng)為全反射。

對(duì)于非磁性媒質(zhì),由平行極化斜入射和垂直極化斜入射的反射系數(shù)公式(6-106a)和式(6-99a)知,只要

則無(wú)論是平行極化斜入射,還是垂直極化斜入射,均有?！?Γ‖=1;并且,當(dāng)入射角繼續(xù)增大時(shí),即θc<θi≤90°,反射系數(shù)成為復(fù)數(shù)而其模仍為1,即|?！蛗=|Γ‖|=1。公式(6-115)所確定的角度稱(chēng)為臨界角(CriticalAngle),記為θc。值得注意,公式(6-115)成立時(shí)必然要求ε2<ε1。

綜上可見(jiàn),對(duì)于非磁性媒質(zhì),斜入射的均勻平面電磁波產(chǎn)生全反射的條件是:

①

入射波自媒質(zhì)1向媒質(zhì)2斜入射,且ε2<ε1