絕密★啟用前2025-2026學(xué)年山東濟(jì)南市弘德中學(xué)月考數(shù)學(xué)試題2025.12.18第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量a=(2,?3,1)，b=(2,0,3)，c=(0,0,2)A.7 B.8 C.9 D.102.已知直線ax+y?2=0與直線?2x+(1?a)y?4=0平行，則a的值為(

)A.2 B.1 C.?1 D.2或?13.已知直線l經(jīng)過點A(?2,0)，B(?5,3)，則正確的是(

)A.直線l的斜率為1 B.直線l的傾斜角為34π

C.直線l的方向向量為(1,1) D.直線l4.經(jīng)過橢圓x22+y2=1的左焦點F1作傾斜角為45°的直線l，直線l與橢圓相交于AA.827 B.4235.在三棱錐O?ABC中，M，N分別是邊OA，CB的中點，點G在線段MN上，且MG=12GN，用向量OA，OB，OC表示向量OG是A.OG=OA+23OB+236.已知圓C1：(x?a)2+(y?a?2)2=1與圓C2A.?3 B.?1 C.2 D.37.已知雙曲線的兩個焦點分別為(0,4)，(0,?4)，點(6,?4)A.y=±33x B.y=±8.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P在線段A1C1上，若直線DP與平面A.23,33 B.1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知直線l：ax+by?r2=0，圓C：x2+yA.若直線l與圓C相離，則點A在圓C內(nèi)

B.若直線l經(jīng)過點A，則點A在圓C上

C.若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交

D.若點A在圓C上，則過點A的圓的切線方程為ax+by?A.AC1=8

B.BD⊥A1C

C.BD111.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：x2+xy+y2=2，點PxA.曲線C關(guān)于x軸對稱

B.曲線C為中心對稱圖形

C.直線y=x+2與曲線C有且僅有兩個公共點

D.點P的橫坐標(biāo)x0的取值范圍為第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在數(shù)列an中，a1=?14，an=1?13.已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M是FN的中點，則|FN|=

．14.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，其中A，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知數(shù)列an的前n項和Sn=32n?n2+1，

(1)求數(shù)列an的通項公式；16.(本小題15分)已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(3,?1)和B(2,6)，且圓心C在直線x+y?1=0(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點P(1,1)在圓C內(nèi)，過點P的最長弦和最短弦分別為GH和EF，求四邊形EHFG的面積．

17.(本小題15分)已知點M(2,3)在雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為雙曲線上一點．①當(dāng)∠F1P②求PF118.(本小題17分)如圖1，在四邊形ABCD中，AB=BC=22，AC=AD=4，∠BAD=3π4，如圖2，把△ACD沿AC折起，使點D到達(dá)點P處，且平面PAC

(1)求證：AC⊥(2)求平面ABQ與平面BQP的夾角的余弦值；(3)判斷線段AP上是否存在點M，使得三棱錐M?ABQ的體積為43.若存在，求出AM19.(本小題17分)已知F1?2,0，F(xiàn)22,0分別是橢圓C：x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若MF1=3(3)橢圓C上的任意一點P及(2)中的點M，點Q在圓x2+y22025-2026學(xué)年山東濟(jì)南市弘德中學(xué)月考數(shù)學(xué)試題答案和解析1-5CABBC

6.【答案】B

【解析】解：(x?a)2+(y?a?2)2=1，圓心(a,a+2)，半徑為1，x2+y2?2x?3=0，圓心為7.【答案】A

【解析】解：因為雙曲線的兩個焦點分別為(0,4)，(0,?4)，故雙曲線的方程為y2a2?x2b2=1(a>0,b>8.【答案】D

【解析】解：設(shè)正方體的棱長為1，且A1PA1C1=λ(0≤λ≤1)，以點D則DP=(1?λ,λ,1),A1B=(0,1,?1),A1C1=(?1,1,0)，設(shè)平面A1BC1的法向量為n當(dāng)λ=12時，f(λ)min=f(12)=34；當(dāng)

9.【答案】ABD

【解析】解：對于A，若直線l與圓C相離，則a×0+b×所以點A在圓C內(nèi)，故A正確；對于B，若直線l經(jīng)過點A，則a×a+b×所以點A在圓C上，故B正確；對于C，若點A在圓C內(nèi)，則a2則圓心C到直線的距離a×所以直線l與圓C相離，故C錯誤；對于D，若點A在圓C上，則a2+b2=r2則過點A的圓的切線斜率為?ab，方程為y?b=?當(dāng)a=0時，b=±r，則過點A的圓的切線斜率為0，切線方程為y=b，滿足當(dāng)b=0時，a=±r，則過點A的圓的切線斜率不存在，切線方程為x=a，滿足綜上所述：若點A在圓C上，則過點A的圓的切線方程為ax+by?r2=0故選：ABD．10.【答案】BCD

【解析】解：對于A，ACA=4+4+4+4+4+4=26，故A錯誤；對于B，=4?4?2+2=0，∴BD⊥A1C，故B正確；對于C即BD1,BD,AA1不是空間的一組基底，故易知BD⊥AC，又BD⊥A1C，AC∩A1C=C,AC,A1C?平面AA1C，∴BD⊥平面AA1C，又AA所以A1H⊥平面ABCD，則∠A1AAA=4+4+4+4?4?4=22∴sin∠A1AC=A1CAC=2故選：BCD．11.【答案】BC

【解析】解：將方程中x2+xy+y2=2的y用?y替換可得x2+x(?y)+(?y)2將方程x2+xy+y2=2中的x用?x替換，y用?y替換，可得(?x聯(lián)立x2+xy+y2=2因為Δ=62?4所以直線y=x+2與曲線C有且僅有兩個公共點，故C正確；由C：x2+xy+y2=2可得x2≤83，解得?263≤x≤故選：BC．12.【答案】5

【解答】解：因為

a1=?14

，

a所以

a2=1?1a1a4=1?1a3=1?14513.【答案】6如圖，過點M作MM'⊥y軸，垂足為M'，|OF|=2，∵M(jìn)為FN的中點，∴|MM'|=1，∴M到準(zhǔn)線的距離d=|MM'|+p2=3，∴|MF|=3，∴|FN14.【答案】29【解析】解：如圖，由BD⊥AB，cos∠CAB=?12所以tan∠CAB=?5在Rt?ABF1中，由tan∠F由勾股定理得AF又由雙曲線的定義可得AF2=13m?2a根據(jù)AF2+BF所以BF故在Rt?F1BF2故c=故雙曲線E的離心率為e=c故答案為：2915.【答案】解：(1)由數(shù)列an的前n項和Sn=32n?n2+1，當(dāng)n?2時，an=Sn?Sn?1=(32n?n2+1)?[32(n?1)?所以數(shù)列an(2)因為Sn=32n?n2+1=?(n2?32n)+1=?(n?16)2+257；【解析】本題考查由數(shù)列前n項和的公式求解數(shù)列的通項公式，數(shù)列的函數(shù)特征，屬基礎(chǔ)題．

(1)先求解當(dāng)n=1時，a1=32，再由n≥2時，an=Sn16.【答案】解：(1)由題意設(shè)圓心C(a,?因為|AC|=|BC|，即(a?3解得a=?1，即則半徑r=|CA|=所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)(2)因為|CP|=由圓的性質(zhì)可知過點P的最長弦過圓心，即為直徑，即|GH|=2r=10，且最短弦EF垂直于GH，可得|EF|=2所以四邊形EHFG的面積12

17.【答案】解：(1)由題設(shè)條件，可得2a=2解得a=1，b=故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)如圖，①因為P為雙曲線C：x2所以PF1?PF在?PPF即PF12由①?②，得?PF1所以?PF1②設(shè)P(m,n)，則m2?n23因為F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，PF所以PF1?

18.【答案】(1)證明：在圖1中，

由AB=BC=22,AC=4所以AB⊥BC，則因為∠BAD=3π4，可得∠CAD=在圖2中知PA⊥AC，取AC的中點O，連接QO，又因為Q為PC的中點，可得QO//PA，

所以因為AB=BC=22，可得又因為BO∩QO=O，且BO,QO?平面BOQ，

所以AC因為BQ?平面BOQ，所以AC(2)解：由題意知，平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，

且QO⊥AC，QO?平面PAC，

所以QO⊥平面ABC以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線OB,OA,OQ所在直線分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

可得A(0,2,0)，B(2,0,0)，Q(0,0,2)，P(0,2,4)，則AB=(2,?2,0)，AQ=(0,?設(shè)平面ABQ的法向量為n=(x,y,z)，

則令y=1，可得x=1，z=1，

所以平面ABQ的一個法向量為n=(1,1,1)設(shè)平面PBQ的法向量為m=(a,b,c)，

因此令a=1，可得b=?1，c=1，

所以平面PBQ的一個法向量為因此cosm所以平面ABQ與平面BQP的夾角的余弦值為13(3)假設(shè)線段AP上存在點M，使得三棱錐的體積為43在?ABQ中，AB=AQ=BQ=22，

因為三棱錐M?ABQ的體積為43設(shè)點M到平面ABQ的距離為d，

可得13×2因此點M到平面ABQ的距離為23令A(yù)MAP=λ(0<λ≤1)，

由又因為平面ABQ的法向量為n=(1,1,1)則點M到平面ABQ的距離為d=|n·AM|所以線段AP上存在點M，使得三棱錐M?ABQ的體積為43，且AM

【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】19.【答案】解：(1)由題可知c=a2若MF1=NF