閔行中學2025-2026學年第一學期高三年級數學期中2025.11一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．已知集合，則.

2．復數，則.

3．函數的定義域為.

4．已知函數，則.

5．已知，則.

6．二項式的展開式中，常數項為.

7．將某學校一次物理測試學生的成績統(tǒng)計如圖所示，則估計本次物理測試學生成績的平均分為（同一組數據用該組區(qū)間的中點值作代表）.

8．已知有4名男生6名女生，若從這10人中任選4人，則恰有2名男生和2名女生的概率為.（結果用分數表示）

9．已知實數成等差數列，則點到直線的最大距離是.

10．已知是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是.

11．若函數的最大值為11，則.

12．已知是橢圓的左焦點，過點的直線與圓交于兩點，與在軸右側交于點，且，則的離心率為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13．下列函數是偶函數的是（）.

A．B．C．D．

14．設＂是＂＂的必要非充分條件，則的取值范圍是（）.

A．B．C．D．15．若干個能確定一個立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的＂基本量＂．已知長方體，下列四組量中，不能作為該長方體的＂基本量＂的是（）.

A．的長度 B．的長度 C．的長度 D．的長度

16．在平面直角坐標系中，將函數的圖像繞坐標原點逆時針旋轉后，所得曲線仍然是某個函數的圖像，則稱函數為＂函數＂．已知函數，中恰有一個為＂函數＂，則滿足條件的的整數值的個數是（）.

A．1B．2C．3D．4

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，第17-18題每題14分，第19-20題每題16分，第21題18分）17．在等差數列中，，且構成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）令，記為數列的前項和，若，求正整數的最小值．

18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面底面，且，設分別為的中點．

（1）證明：直線平面；

（2）求直線與平面所成的角的正切值．

19．某生態(tài)旅游景區(qū)升級改造，有一塊半圓形土地打算種植花草供人游玩欣賞，如圖所示，其中長為兩點在半圓弧上，滿足，設．

（1）現要在景區(qū)內鋪設一條觀光道路，由線段和組成，則當為何值時，觀光道路的總長最長，并求最大值；

（2）若在和內種滿月季花，在扇形內種滿薰衣草，已知月季花利潤是每平方千米元，薰衣草的利潤是每平方千米元，則當為何值時，才能使總利潤最大？最大利潤是多少？20．在平面直角坐標系中，已知橢圓的右頂點為，點分別是軸負半軸、軸正半軸上的動點．

（1）若是的左焦點，且，求的值；

（2）設上存在軸上方一點．若，求的坐標；

（3）設，過的直線與交于兩點（兩點不重合），與軸交于且的縱坐標，記與到直線的距離分別為．若存在直線，滿足成立，求的取值范圍．

21．已知函數．

（1）對于任意的，求證：；

（2）若，且存在單調遞減區(qū)間，求實數的取值范圍；

（3）設函數的圖象與函數的圖象交于點，過線段的中點作軸的垂線分別交于點，證明：在點處的切線與在點處的切線不平行．

參考答案一、填空題1．2．3．4．5．6．

7.8．9．10．11.12．11．若函數的最大值為11，則.

【答案】【解析】其中，又=∴函數達到最大值時，，由于函數的最大值為11，故答案為：5012．已知是橢圓的左焦點，過點的直線與圓交于兩點，與在軸右側交于點，且，則的離心率為.【答案】【解析】是橢圓的左焦點，過點的直線與圓交于兩點，與在由右側交于點，如圖，

設橢圓的右焦點為的中點為，連接，，則，

∵為的中點，∵為的中點，∴，∴，

設，則

在Rt中，由，得

化簡整理得，解得

當時，，不合題意，舍去，

在Rt中，由，得

則，得，即的離心率為．故答案為：．二、選擇題13．D14．C15．B16．D15．若干個能確定一個立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的＂基本量＂．已知長方體，下列四組量中，不能作為該長方體的＂基本量＂的是（）.

A．的長度 B．的長度 C．的長度 D．的長度 【答案】B【解析】如下圖，根據長方體體積公式，只需確定共頂點的三條棱長即可，

已知的長度，則體積可定，滿足；

已知無法求出，體積不能確定，不滿足．

由勾股定理及可求，由勾股定理及可求，故體積可定，滿足；由，即可求出，則體積可定，滿足；故選：．16．在平面直角坐標系中，將函數的圖像繞坐標原點逆時針旋轉后，所得曲線仍然是某個函數的圖像，則稱函數為＂函數＂．已知函數，中恰有一個為＂函數＂，則滿足條件的的整數值的個數是（）.

A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】根據函數定義，在平面直角坐標系中，任意與軸垂直的直線與函數的圖象至多一個交點，

由題意函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉，仍為函數圖象，

相對可知，任意與軸垂直的直線繞原點順時針旋轉后，與圖象至多一個交點，

即，直線與的圖象至多一個交點，

故函數為＂函數＂等價于，方程至多一個實數根，

對于函數：，要使方程至多一個實數根，

即，方程在至多一個實數根，

又不是方程的根，

當時，對任意，方程的判別式不恒成立，不滿足題意，

當時，至多一個實數根，滿足題意，

故若函數為＂函數＂，則

對于函數：，方程至多一個實數至多一個實數根，

故只需函數是單調函數，由，設，

則，其中，

①當時，

當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞增；則，即，且;

故在上必不單調；

①當時，

同理可得，在上單調遞增，在上單調遞減；，且；，

故恒成立不可能，

所以要使函數是單調函數，

則只需恒成立，則只需，解得；

③若，則，顯然為單調函數；

所以若中為＂函數＂，則；

綜上所述，滿足條件的的整數值為，共4個．故選：D．三、解答題17．（1）；（2）618．（1）證明見解析；（2）

19．（1）；（2）當時，總利潤最大，20．在平面直角坐標系中，已知橢圓的右頂點為，點分別是軸負半軸、軸正半軸上的動點．

（1）若是的左焦點，且，求的值；

（2）設上存在軸上方一點．若，求的坐標；

（3）設，過的直線與交于兩點（兩點不重合），與軸交于且的縱坐標，記與到直線的距離分別為．若存在直線，滿足成立，求的取值范圍．

【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因為與的左焦點重合，故，因此．

又因為，而，所以，解得：（負舍）.

（2）因為，又因為，

而，代入解得．

若在第一象限，則，故在第二象限．

設，而整理可得．

代入橢圓方程，可得：．解得（增根舍去），所以因此．

（3）由題意可知：直線的解析式為

設直線的解析式為，且，）、．

聯立，可得．根據韋達定理，．

因為兩點均在直線的左側，故

又因為，因此（

代入化簡可得方程．

設，又因為，故．

①若，而此時在的外部，，故．

若存在，使得，而，故，可得，故．

②若，此時直線與存在兩個交點．若存在，使得，

而，故，可得，故，因此．

綜上所述，的取值范圍為．21．已知函數．

（1）對于任意的，求證：；

（2）若，且存在單調遞減區(qū)間，求實數的取值范圍；

（3）設函數的圖象與函數的圖象交于點，過線段的中點作軸的垂線分別交于點，證明：在點處的切線與在點處的切線不平行．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析【解析】（1）證明：令則，

當時，單調遞增，當時，單調遞減，

于是，故，即．（2）