湘教版（2024）數(shù)學(xué)8年級上冊第2章

分式2.5.2分式方程的應(yīng)用1.理解題目中的數(shù)量關(guān)系正確列出分式方程；（難點(diǎn)）2.在不同的實(shí)際問題中能恰當(dāng)設(shè)出未知數(shù)，列出分式方程并求解，從而解決實(shí)際問題.（重點(diǎn)）#2.5.2分式方程的應(yīng)用（七年級下冊）##一、教學(xué)目標(biāo)1.能根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出分式方程并求解；2.掌握分式方程應(yīng)用題的解題步驟，能檢驗(yàn)解的合理性（包括是否符合實(shí)際意義和分式有意義）；3.結(jié)合實(shí)際情境（如愛國主題活動、生活實(shí)際等），體會分式方程在解決工程問題、行程問題、濃度問題等中的應(yīng)用；4.培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識和愛國情懷。##二、教學(xué)重難點(diǎn)-**重點(diǎn)**：根據(jù)實(shí)際問題列出分式方程，掌握解題步驟；-**難點(diǎn)**：找準(zhǔn)實(shí)際問題中的等量關(guān)系，檢驗(yàn)解的合理性（既要驗(yàn)根，也要符合實(shí)際情境）。##三、教學(xué)準(zhǔn)備-課件（幻燈片逐頁內(nèi)容如下）；-預(yù)習(xí)任務(wù)單（提前布置學(xué)生復(fù)習(xí)分式方程的解法，回顧一元一次方程應(yīng)用題的解題思路）。##四、教學(xué)過程（45分鐘）###（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入，銜接新知（5分鐘）####幻燈片1：標(biāo)題頁-標(biāo)題：2.5.2分式方程的應(yīng)用-副標(biāo)題：找準(zhǔn)等量關(guān)系·檢驗(yàn)雙重意義-教師備注：播放129運(yùn)動主題海報(bào)制作花絮短視頻（30秒），回顧上節(jié)課合作制作海報(bào)的分式方程問題，自然過渡到本節(jié)課的實(shí)際應(yīng)用。####幻燈片2：復(fù)習(xí)回顧1.分式方程的解法步驟：去分母→解整式方程→驗(yàn)根→寫結(jié)論；2.列方程解應(yīng)用題的核心：找準(zhǔn)等量關(guān)系；3.小練習(xí)：解分式方程$\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}$（答案：$x=3$，驗(yàn)根：$x=3$時(shí)公分母$x(x-1)=6≠0$，是原方程的解）；-學(xué)生活動：獨(dú)立完成小練習(xí)，一名學(xué)生板演，教師強(qiáng)調(diào)驗(yàn)根的重要性，為應(yīng)用題求解鋪墊。####幻燈片3：情境導(dǎo)入-問題：為傳承129運(yùn)動精神，學(xué)校組織學(xué)生制作“愛國故事”手抄報(bào)，甲小組單獨(dú)制作需10天完成，乙小組單獨(dú)制作需15天完成。若甲小組先做2天，剩下的由兩組合作完成，還需多少天才能完成全部手抄報(bào)？-教師提問：這是我們學(xué)過的什么類型問題？（工程問題）如何用分式方程解決？今天我們就來探究分式方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用。###（二）探究新知，例題解析（20分鐘）####幻燈片4：工程問題——核心等量關(guān)系-工程問題基本公式：工作效率×工作時(shí)間=工作量（通常設(shè)總工作量為1）；-常見等量關(guān)系：1.各部分工作量之和=總工作量；2.合作工作效率=各單獨(dú)工作效率之和；-教師強(qiáng)調(diào)：工程問題中，若未明確總工作量，可設(shè)總工作量為1，簡化計(jì)算。####幻燈片5：例題1（工程問題）-例1：為紀(jì)念129運(yùn)動，班級計(jì)劃制作一批宣傳展板，甲同學(xué)單獨(dú)做需8小時(shí)完成，乙同學(xué)單獨(dú)做需12小時(shí)完成。甲同學(xué)先做3小時(shí)后，因有其他任務(wù)，剩下的由乙同學(xué)單獨(dú)完成，乙同學(xué)還需多少小時(shí)才能完成？-解題步驟：1.設(shè)未知數(shù)：設(shè)乙同學(xué)還需$x$小時(shí)完成；2.找等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=總工作量（1）；3.表示工作效率：甲的工作效率為$\frac{1}{8}$，乙的工作效率為$\frac{12}{1}$；4.列方程：$\frac{3}{8}+\frac{x}{12}=1$；5.解方程：

去分母（最簡公分母24）：$3×3+2x=24$

化簡：$9+2x=24$

移項(xiàng)：$2x=15$

解得：$x=7.5$；6.檢驗(yàn)：-驗(yàn)根：將$x=7.5$代入最簡公分母24≠0，分式有意義；-驗(yàn)實(shí)際意義：$x=7.5$小時(shí)是合理的工作時(shí)間，符合實(shí)際；7.寫結(jié)論：乙同學(xué)還需7.5小時(shí)完成。-學(xué)生活動：跟隨教師一步步分析，明確工程問題的解題邏輯，重點(diǎn)關(guān)注等量關(guān)系的尋找和雙重檢驗(yàn)。####幻燈片6：行程問題——核心等量關(guān)系-行程問題基本公式：速度=路程÷時(shí)間（$v=\frac{s}{t}$），變形：時(shí)間=路程÷速度（$t=\frac{s}{v}$）；-常見等量關(guān)系：1.相遇問題：路程和=總路程；2.追及問題：路程差=初始距離；3.同一路程：速度不同→時(shí)間不同（時(shí)間差/時(shí)間和為已知條件）；-教師強(qiáng)調(diào)：行程問題中，需明確路程、速度、時(shí)間三者的對應(yīng)關(guān)系，避免混淆。####幻燈片7：例題2（行程問題）-例2：129運(yùn)動紀(jì)念日當(dāng)天，學(xué)校組織學(xué)生步行前往愛國主義教育基地參觀，全程30千米。原計(jì)劃每小時(shí)走4千米，實(shí)際每小時(shí)多走1千米，實(shí)際比原計(jì)劃提前多少小時(shí)到達(dá)？-解題步驟：1.設(shè)未知數(shù)：設(shè)實(shí)際比原計(jì)劃提前$x$小時(shí)到達(dá)；2.找等量關(guān)系：原計(jì)劃時(shí)間-實(shí)際時(shí)間=提前時(shí)間（$x$）；3.表示時(shí)間：原計(jì)劃時(shí)間為$\frac{30}{4}$小時(shí)，實(shí)際速度為$4+1=5$千米/小時(shí)，實(shí)際時(shí)間為$\frac{30}{5}$小時(shí)；4.列方程：$\frac{30}{4}-\frac{30}{5}=x$；5.解方程：

化簡：$7.5-6=x$，解得$x=1.5$；6.檢驗(yàn)：-驗(yàn)根：分母4和5不為0，分式有意義；-驗(yàn)實(shí)際意義：$x=1.5$小時(shí)是合理的時(shí)間差，符合實(shí)際；7.寫結(jié)論：實(shí)際比原計(jì)劃提前1.5小時(shí)到達(dá)。-教師提問：如果題目未直接問提前時(shí)間，而是問“實(shí)際用了多少小時(shí)”，該如何設(shè)未知數(shù)？（設(shè)實(shí)際用了$x$小時(shí)，則原計(jì)劃用$x+1.5$小時(shí)，列方程$\frac{30}{x}=4+1$），引導(dǎo)學(xué)生靈活設(shè)未知數(shù)。####幻燈片8：濃度問題——核心等量關(guān)系-濃度問題基本公式：濃度=溶質(zhì)質(zhì)量÷溶液質(zhì)量×100%，變形：溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量×濃度；-常見等量關(guān)系：1.稀釋問題：溶質(zhì)質(zhì)量不變；2.混合問題：混合前溶質(zhì)總質(zhì)量=混合后溶質(zhì)質(zhì)量；-教師舉例：將10克鹽溶于90克水，濃度為$\frac{10}{10+90}×100\%=10\%$，幫助學(xué)生理解公式。####幻燈片9：例題3（濃度問題）-例3：為制作129運(yùn)動主題紀(jì)念徽章，需要濃度為20%的酒精溶液清洗材料。現(xiàn)有濃度為15%的酒精溶液400克，需加入多少克濃度為30%的酒精溶液，才能配制成濃度為20%的酒精溶液？-解題步驟：1.設(shè)未知數(shù)：設(shè)需加入$x$克濃度為30%的酒精溶液；2.找等量關(guān)系：15%溶液的溶質(zhì)質(zhì)量+30%溶液的溶質(zhì)質(zhì)量=20%混合溶液的溶質(zhì)質(zhì)量；3.表示溶質(zhì)質(zhì)量：-15%溶液溶質(zhì)：$400×15\%=60$克；-30%溶液溶質(zhì)：$30\%x$克；-混合溶液總質(zhì)量：$400+x$克，溶質(zhì)：$(400+x)×20\%$克；4.列方程：$60+0.3x=0.2(400+x)$；5.解方程：

展開：$60+0.3x=80+0.2x$

移項(xiàng)：$0.3x-0.2x=80-60$

解得：$x=200$；6.檢驗(yàn)：-驗(yàn)根：$x=200$是整式方程的解，代入原方程各分母（無分母，僅需檢驗(yàn)實(shí)際意義）；-驗(yàn)實(shí)際意義：$x=200$克是合理的溶液質(zhì)量，符合實(shí)際；7.寫結(jié)論：需加入200克濃度為30%的酒精溶液。###（三）歸納步驟，規(guī)范解題（5分鐘）####幻燈片10：分式方程應(yīng)用題解題步驟1.**審**：審題，明確題目類型（工程、行程、濃度等），找出已知條件和所求問題；2.**設(shè)**：設(shè)未知數(shù)（直接設(shè)或間接設(shè)，注明單位）；3.**找**：找準(zhǔn)等量關(guān)系（關(guān)鍵步驟，可借助列表、畫圖輔助分析）；4.**列**：根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程；5.**解**：按照分式方程的解法求解（去分母→解整式方程→驗(yàn)根）；6.**驗(yàn)**：雙重檢驗(yàn)——①檢驗(yàn)解是否使原分式方程有意義（公分母不為0）；②檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際情境（如時(shí)間、質(zhì)量、長度等為正數(shù)）；7.**答**：寫出完整的答語（注明單位）。####幻燈片11：易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.等量關(guān)系找錯(cuò)（如工程問題混淆“工作量之和”與“效率之和”）；2.設(shè)未知數(shù)時(shí)未注明單位，或答語不完整；3.忘記雙重檢驗(yàn)（僅驗(yàn)根，忽略實(shí)際意義）；4.解方程時(shí)出現(xiàn)去分母漏乘、符號錯(cuò)誤等問題。###（四）課堂練習(xí)，鞏固提升（10分鐘）####幻燈片12：基礎(chǔ)題（必做）1.工程問題：某工程隊(duì)修一條公路，單獨(dú)修甲隊(duì)需15天完成，乙隊(duì)需10天完成。兩隊(duì)合作修若干天后，甲隊(duì)因另有任務(wù)離開，剩下的由乙隊(duì)單獨(dú)修3天完成。兩隊(duì)合作了多少天？（答案：4.2天）2.行程問題：小明從家到學(xué)校，原計(jì)劃騎自行車每小時(shí)行12千米，需要0.5小時(shí)到達(dá)。實(shí)際因自行車故障，步行前往，每小時(shí)行6千米，實(shí)際比原計(jì)劃晚到多少小時(shí)？（答案：0.5小時(shí)）-學(xué)生活動：獨(dú)立完成，兩名學(xué)生板演，教師巡視糾錯(cuò)，重點(diǎn)檢查等量關(guān)系是否正確、檢驗(yàn)步驟是否完整。####幻燈片13：提高題（選做）1.商業(yè)問題：某商店銷售129運(yùn)動主題紀(jì)念筆，進(jìn)價(jià)為每支3元，原售價(jià)為每支5元，每天可售出100支。若售價(jià)每降低0.5元，每天可多售出50支。為了每天獲得150元的利潤，售價(jià)應(yīng)降低多少元？（提示：利潤=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量，答案：1元）2.綜合問題：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，3小時(shí)后相遇。若甲的速度每小時(shí)增加2千米，乙的速度不變，兩人同時(shí)出發(fā)后2.5小時(shí)相遇。已知A、B兩地相距60千米，求甲、乙兩人原來的速度。（答案：甲10千米/小時(shí)，乙10千米/小時(shí)）-教師引導(dǎo)：第2題需通過相遇問題的路程關(guān)系列出兩個(gè)方程，聯(lián)立求解，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析能力。###（五）課堂小結(jié)，布置作業(yè)（5分鐘）####幻燈片14：課堂小結(jié)1.知識梳理：-分式方程應(yīng)用題的常見類型：工程問題、行程問題、濃度問題、商業(yè)問題等；-解題核心：找準(zhǔn)等量關(guān)系，雙重檢驗(yàn)（驗(yàn)根+驗(yàn)實(shí)際意義）；-解題步驟：審→設(shè)→找→列→解→驗(yàn)→答。2.思想方法：數(shù)學(xué)建模思想（將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程）、分類討論思想（不同類型問題的等量關(guān)系）。####幻燈片15：作業(yè)布置1.基礎(chǔ)作業(yè)：教材習(xí)題2.5第3、4、5題（寫出完整解題步驟，包括雙重檢驗(yàn)）；2.拓展作業(yè)：結(jié)合129運(yùn)動，設(shè)計(jì)一道分式方程應(yīng)用題（類型不限），并寫出解題過程，下節(jié)課分享交流；3.預(yù)習(xí)作業(yè)：復(fù)習(xí)本章內(nèi)容，梳理分式、分式的運(yùn)算、分式方程的解法及應(yīng)用的知識框架。####幻燈片16：結(jié)束頁-口號：用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題，用愛國情懷書寫青春華章！-教師寄語：希望同學(xué)們能將所學(xué)知識運(yùn)用到生活中，善于發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，同時(shí)傳承129運(yùn)動的愛國精神，努力成長為有理想、有本領(lǐng)、有擔(dān)當(dāng)?shù)男聲r(shí)代少年！##五、教學(xué)反思1.本節(jié)課通過復(fù)習(xí)分式方程解法導(dǎo)入，銜接自然，再通過工程、行程、濃度三類常見問題的例題解析，讓學(xué)生掌握不同類型應(yīng)用題的等量關(guān)系和解題思路；2.結(jié)合129運(yùn)動主題設(shè)計(jì)情境問題，既落實(shí)了愛國教育，又增強(qiáng)了問題的趣味性和實(shí)用性，符合七年級學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)；3.強(qiáng)調(diào)“雙重檢驗(yàn)”是本節(jié)課的重點(diǎn)，通過例題和練習(xí)反復(fù)強(qiáng)化，幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣；4.需關(guān)注部分學(xué)生在找準(zhǔn)等量關(guān)系時(shí)存在的困難，可通過畫圖、列表等輔助手段幫助學(xué)生分析，課后加強(qiáng)個(gè)性化輔導(dǎo)。1.解分式方程的基本思路是什么？2.解分式方程有哪幾個(gè)步驟？3.

解分式方程過程中一般如何檢驗(yàn)？分式方程整式方程轉(zhuǎn)化去分母一化二解三檢驗(yàn)將所求得的解代入最簡公分母，看是否等于0，不等于0的才是原分式方程的解.4.我們所學(xué)過的應(yīng)用題有哪些類型？每種類型的基本公式是什么？常見的有

4

種：(1)行程問題：路程=速度×?xí)r間以及它的兩個(gè)變式；(2)數(shù)字問題：在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法；(3)工程問題：工作量=工時(shí)×工效以及它的兩個(gè)變式；(4)利潤問題：批發(fā)成本=批發(fā)數(shù)量×批發(fā)價(jià)；打折銷售價(jià)=定價(jià)×

；銷售利潤=銷售收入-批發(fā)成本；每件銷售利潤=定價(jià)-批發(fā)價(jià)；利潤率=利潤÷進(jìn)價(jià).折數(shù)10例1

兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工

1個(gè)月完成總工程的三分之一，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了半個(gè)月，總工程全部完成.哪個(gè)隊(duì)的施工速度快？表格法分析如下：工作時(shí)間（個(gè)月）工作效率工作總量（1）甲隊(duì)乙隊(duì)等量關(guān)系：甲隊(duì)完成的工作總量

+

乙隊(duì)完成的工作總量=“1”設(shè)乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要

x個(gè)月.列分式方程解決工程問題1解：設(shè)乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要

x個(gè)月.記工作總量為1，甲的工作效率是

，根據(jù)題意得即方程兩邊同乘2x，得解得x=1.檢驗(yàn)：當(dāng)

x=1時(shí)，2x≠0.所以，原分式方程的解為

x=1.由上可知，若乙隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月可以完成全部任務(wù)，而甲隊(duì)單獨(dú)施工需3個(gè)月才可以完成全部任務(wù)，所以乙隊(duì)的施工速度快.想一想：本題的等量關(guān)系還可以怎么找？甲隊(duì)單獨(dú)完成的工作總量

+

兩隊(duì)合作完成的工作總量=“1”此時(shí)表格怎么列，方程又怎么列呢？設(shè)乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要

x個(gè)月.則乙隊(duì)的工作效率是，甲隊(duì)的工作效率是，兩隊(duì)合作的工作效率是工作時(shí)間(個(gè)月)工作效率工作總量（1）甲單獨(dú)兩隊(duì)合作此時(shí)方程是：1表格為“3行

4列”工程問題1.題中有“單獨(dú)”字眼通常可知工作效率；2.通常間接設(shè)元，如××單獨(dú)完成需

x（單位時(shí)間），則可表示出其工作效率；3.弄清基本的數(shù)量關(guān)系.如本題中的“合作的工效

=甲乙兩隊(duì)工作效率的和”.歸納總結(jié)4.解題方法：可概括為“321”，即

3指該類問題中三量關(guān)系，如工程問題有工作效率，工作時(shí)間，工作量；2指該類問題中的“兩個(gè)主人公”如甲隊(duì)和乙隊(duì)，或“甲單獨(dú)和兩隊(duì)合作”；1指該問題中的一個(gè)等量關(guān)系.如工程問題中等量關(guān)系是：兩個(gè)主人公工作總量之和

=全部工作總量.例1

用A，B兩種型號的機(jī)器人搬運(yùn)原料，已知A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)200kg，且A型機(jī)器人搬運(yùn)10000kg所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)8000kg所用時(shí)間相等，求這兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少原料.典例精析上述問題中存在以下兩個(gè)等量關(guān)系：設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)

xkg，則由等量關(guān)系(2)可得，A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)(x+200)kg.(1)A型機(jī)器人搬運(yùn)10000kg所用時(shí)間=B型機(jī)器人搬運(yùn)8000kg所用時(shí)間.(2)A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)量=B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)量＋200kg.再根據(jù)等量關(guān)系(1)，可列出如下方程：

經(jīng)檢驗(yàn)，x=800是原分式方程的解，且符合題意.將方程兩邊同乘最簡公分母

x(x＋200)，得10000x=8000(x+200)，解得

x=800.由此可知，B

型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)原料

800

kg，A

型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)原料

1000kg.2列分式方程解決行程問題例2

某校八年級學(xué)生乘車前往某鄉(xiāng)村進(jìn)行研學(xué)實(shí)踐活動，現(xiàn)有兩條線路可供選擇：線路一全程

25

km，線路二全程

30

km.若走線路二的平均車速是走線路一的

1.5

倍，所花時(shí)間比走線路一少用

10

min，則走

線路一的平均車速為多少?鄉(xiāng)村學(xué)校線路一線路二分析

本題涉及的等量關(guān)系是：

平均車速/(km/h)路程/km時(shí)間/h線路一線路二設(shè)走線路一的平均車速為

xkm/h，則可得下表：x1.5x2530

解：設(shè)走線路一的平均車速為

xkm/h，則走線路二的平均車速為

1.5x

km/h.根據(jù)等量關(guān)系，可列出如下方程：

解得

x=30.答：走線路一的平均車速為

30km/h.經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原分式方程的解，且符合題意.練一練：1.一輪船往返于

A、B兩地之間，順?biāo)饶嫠?/p>

1

小時(shí)到達(dá).已知

A、B

兩地相距

80

千米，水流速度是

2

千米/時(shí)，求輪船在靜水中的速度.檢驗(yàn)：x=－18不合題意，舍去.解：設(shè)輪船在靜水中的速度為

x千米/時(shí),根據(jù)題意得解得x=±18.故

x=18.答：輪船在靜水中的速度為

18千米/時(shí).方程兩邊同乘(x

-

2)(x

+

2)得80x

+

160－80x

+

160=x2－4.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟1.審清題意；

2.找等量關(guān)系；3.設(shè)出未知數(shù)4.列出方程；5.解這個(gè)分式方程；6.檢驗(yàn)解的合理性（包括兩方面：①是否是分式方

程的根；②是否符合實(shí)際情況）；7.作答.A.B.C.D.1.幾名同學(xué)包租一輛面包車去旅游，面包車的租價(jià)為180元/輛.出發(fā)前，又增加兩名同學(xué)，結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來少分?jǐn)?元車費(fèi)，若設(shè)原來參加旅游的學(xué)生有

x人，則所列方程為(

)A2.農(nóng)機(jī)廠到距工廠

15千米的向陽村檢修農(nóng)機(jī)，一部分人騎自行車先走，過了

40

分鐘，其余人乘汽車去，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車的速度是自行車的

3

倍，求兩車的速度.解：設(shè)自行車的速度為

x千米/時(shí)，那么汽車的速度是

3x

千米/時(shí)，依題意得：解得

x＝15.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的根.由

x＝15得

3x＝45.答：自行車的速度是15千米/時(shí)，汽車的速度是45千米/時(shí).3.某學(xué)校為鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育鍛煉，派王老師和李老師去購買一些籃球和排球．回校后，王老師和李老師編寫了一道題：同學(xué)們，請求出籃球和排球的單價(jià)各是多少元.解：設(shè)排球的單價(jià)為

x元，則籃球的單價(jià)為(x＋60)元，根據(jù)題意，列方程得解得

x＝100.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原分式方程的解，當(dāng)

x＝100時(shí)，x＋60＝160.答：排球的單價(jià)為100元，籃球的單價(jià)為160元．4.

某水果店在批發(fā)市場購買某種水果銷售，第一次用1200元購進(jìn)若