專題4.3冪函數(shù)、函數(shù)應用【清單01】冪函數(shù)一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).【清單02】常見的5種冪函數(shù)的圖象1.常見的5種冪函數(shù)的圖象2.常見的5種冪函數(shù)的性質函數(shù)特征性質y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【清單03】三種函數(shù)增長速度的比較(1)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)．一般地，對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有ax＞xn.(2)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)．對于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn.(3)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)．在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們增長的速度不同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn＜ax幾種函數(shù)模型的應用【清單04】函數(shù)的應用1.常見函數(shù)模型：(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)；(2)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)；(4)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)；(5)冪函數(shù)模型：y＝axn＋b(a≠0)；(6)分式函數(shù)模型(7)分段函數(shù)模型2.解題策略與注意點：（1）解答函數(shù)在實際問題中的應用題目，應認真讀題、審題，弄清題意，明確題目中的數(shù)量關系，可充分借助圖象，表格信息確定解析式，同時要特別注意定義域．（2）在構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡捷，做到分段合理，不漏不重．同時求分段函數(shù)的最值時，應在每一段上分別求出各自的最值．然后比較哪一個最大(小)取哪一個．【考點題型一】冪函數(shù)解析式與求值【例1】（24-25高一上·山西陽泉·期中）已知冪函數(shù)fx滿足，求的值（

）A．3 B． C．4 D．【變式1-1】（24-25高一上·廣東·期中）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．16 B． C．64 D．【變式1-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知冪函數(shù)的圖象過點，則（

）A． B．C． D．【變式1-3】（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，若函數(shù)，則（

）A．2024 B．2025 C．4048 D．4049【變式1-4】（24-25高一上·福建龍巖·期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則.【考點題型二】冪函數(shù)相關定義域問題【例2】（23-24高一上·廣東廣州·期中）冪函數(shù)圖象過點，則的定義域為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）下列函數(shù)中，定義域為的是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一上·山西呂梁·階段練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域為（

）A． B．C． D．【變式2-3】（21-22高一上·黑龍江綏化·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【變式2-4】（24-25高一上·上?！るS堂練習）函數(shù)的定義域為．【考點題型三】冪函數(shù)相關值域問題【例3】（24-25高三上·上?！て谥校﹥绾瘮?shù)中，的取值集合是的子集，當冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合.【變式3-1】（22-23高一上·湖北襄陽·期末）下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B．C． D．【變式3-2】（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)的表達式為，則函數(shù)的值域為.【變式3-3】（20-21高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，其中，則其值域為.【變式3-4】（23-24高一下·山東淄博·期中）函數(shù)圖象的對稱中心坐標是；函數(shù)的值域是．【考點題型四】冪函數(shù)的圖象【例4】（24-25高一上·上海浦東新·期中）圖中、、分別為冪函數(shù)，，在第一象限內(nèi)的圖象，則，，依次可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式4-1】（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一個坐標系中，函數(shù)，，的圖象可能是（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25高一上·福建三明·期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【變式4-3】（24-25高一上·陜西西安·期中）函數(shù)，和的圖象如圖所示，則下列四個說法錯誤的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果時，那么【變式4-4】（多選）（24-25高一上·湖南·期中）已知，則函數(shù)的大致圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【變式5-1】（24-25高三上·黑龍江伊春·開學考試）已知為冪函數(shù)，為常數(shù)，且，則函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點坐標為（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25高一·上海·課堂例題）下列冪函數(shù)中，其圖象關于y軸對稱且過點、的是（

）A． B． C． D．【變式5-3】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖像過定點（

）A． B．C． D．【變式5-4】（24-25高一上·上海·期中）函數(shù)（是有理數(shù)）的圖象過一定點，則的坐標為.【考點題型六】冪函數(shù)的單調(diào)性【例6】（24-25高一上·山西朔州·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【變式6-1】（24-25高一上·北京·期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,1）上是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式6-2】（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（

）A． B． C．或 D．或【變式6-3】（24-25高一上·上?！て谥校┫铝嘘P于冪函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點和；B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限；C．當指數(shù)取1，3，時，冪函數(shù)是其定義域上的嚴格增函數(shù)；D．若冪函數(shù)的圖像過點，則它的圖像也經(jīng)過點.【變式6-4】（多選）（24-25高一上·陜西渭南·期中）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．的圖象經(jīng)過點 B．在內(nèi)的值域為C．在定義域上單調(diào)遞減 D．的圖象關于軸對稱【考點題型七】根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍【例7】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．(1)求的值；(2)若函數(shù)，且，判斷的單調(diào)性，并證明．【變式7-1】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式7-2】（2020·黑龍江省鐵人中學高二期中（文））已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，若且則的值（）A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．無法判斷【變式7-3】（2022·江蘇泰州·高一期末）若冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)________．【變式7-4】（24-25高三上·江西·階段練習）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則.【考點題型八】冪函數(shù)奇偶性問題【例8】（24-25高一上·浙江·期中）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．或1【變式8-1】（24-25高一上·安徽池州·期中）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式8-2】（24-25高三上·上?！て谥校﹥绾瘮?shù)在定義域上是非奇非偶函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.【變式8-3】（24-25高一上·寧夏石嘴山·期中）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則.【變式8-4】（24-25高一上·貴州·期中）已知冪函數(shù)是上的奇函數(shù)，則實數(shù)的值為.【考點題型九】冪函數(shù)單調(diào)性、奇偶性綜合問題【例9】（24-25高一上·福建福州·期中）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在0,+∞上是減函數(shù)，則．【變式9-1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式9-2】（24-25高一上·重慶·期中）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式9-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．為增函數(shù) D．為減函數(shù)【變式9-4】（多選）（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）關于冪函數(shù)，下列結論正確的是（

）A．的定義域為B．的值域為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的圖象關于點對稱【考點題型十】應用冪函數(shù)性質比較大小【例10】（24-25高一上·河北邢臺·期中）若，則（

）A． B． C． D．【變式10-1】（24-25高一上·福建廈門·期中）設則的大小關系為

（

）A． B．C． D．【變式10-2】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知那么a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【變式10-3】（24-25高一上·安徽安慶·階段練習）已知，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【變式10-4】（24-25高一上·山東淄博·期中）下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【考點題型十一】應用冪函數(shù)性質解不等式【例11】（24-25高一上·河北唐山·期中）已知冪函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的解析式；(2)若不等式成立，求的取值范圍.【變式11-1】（24-25高一上·山東濟南·期中）已知冪函數(shù)，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式11-2】（24-25高一上·河北邢臺·期中）已知冪函數(shù)經(jīng)過點，則不等式的解集為．【變式11-3】（24-25高一上·上?！て谥校┎坏仁降慕饧癁椋咀兪?1-4】（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）已知冪函數(shù)的圖象關于軸對稱且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍.【考點題型十二】冪函數(shù)圖象和性質的綜合應用【例12】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減.(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)，且，①判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；②求使不等式成立的實數(shù)t的取值范圍.【變式12-1】（多選）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知冪函數(shù)，其中，，則下列說法正確的是（

）A．B．當時，C．當時，的圖象是中心對稱圖形D．恒過定點【變式12-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是；最大值是.【變式12-3】（22-23高二下·江西·期中）已知函數(shù)，若對任意的有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【變式12-4】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)的圖象過點，冪函數(shù)的圖象過點．(1)求，的表達式；(2)求當為何值時：①；②；③．【考點題型十三】函數(shù)增長速度比較【例13】（多選）（23-24高三下·江西鷹潭·階段練習）人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.人口的年平均增長率滿足，其中為經(jīng)過的時間，為時的人口總數(shù)（單位：萬），為經(jīng)過年后的人口總數(shù)（單位：萬）.下表為三市2022年人口總數(shù)及預計年平均增長率情況：2022年人口總數(shù)年平均增長率A市0.02～0.03B市0.04～0.05C市0.03利用上表數(shù)據(jù)，設A、B、C三市在2032年底人口總數(shù)的估計值分別為，，，則（

）A． B．C． D．【變式13-1】（24-25高一上·北京朝陽·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．

C．

D．

【變式13-2】（2024高三·全國·專題練習）在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（）x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y＝2x－2 B．y＝（x2－1）C．y＝log2x D．y＝【變式13-3】（多選）（23-24高一下·全國·課堂例題）已知函數(shù)，則下列關于這三個函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于B．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于C．當時，增長速度一直快于D．當時，增長速度有時快于【變式13-4】（多選）（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)減小的速度越來越慢B．在指數(shù)函數(shù)中，當x>0時，底數(shù)越大，其增長速度越快C．不存在一個實數(shù)m，使得當時，D．當，時，在區(qū)間內(nèi)，對任意的，總有成立【考點題型十四】指數(shù)函數(shù)模型的應用【例14】（23-24高一下·安徽蕪湖·階段練習）血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是，當血氧飽和度低于時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時間（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù).已知，給氧1小時后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達到，則至少還需要給氧時間（單位：時）為（

）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．1.5【變式14-1】（24-25高一上·安徽淮南·期中）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過大約（

）個小時才能駕駛.A． B． C． D．【變式14-2】（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）復利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息與本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.按復利計算利息的一種儲蓄，本金為10000元，每期利率為，本利和為（單位：元），存期數(shù)為，則關于的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．【變式14-3】（23-24高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）內(nèi)蒙古某地引進了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物濃度N（單位：mg/L）與時長t（單位：h）的關系為（為最初污染物濃度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%還需要（

）A．3h B．4h C．5h D．6h【變式14-4】（24-25高三上·山東濟南·階段練習）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個隨物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放到的空氣中冷卻，后物體的溫度是，已知，則的值大約為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考點題型十五】對數(shù)型函數(shù)模型的應用【例15】（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習）中國的5G技術領先世界，5G技術中的數(shù)學原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)所傳信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知當x比較大時，，按照香農(nóng)公式，由于技術提升，寬帶W在原來的基礎上增加20%，信噪比從1000提升至8000，則C大約增加了（附：）【變式15-1】（23-24高一上·北京通州·期末）國家標準對數(shù)視力表是由我國第一個眼科光學研究室的創(chuàng)辦者繆天榮發(fā)明設計的，如圖是5米測距下的標準對數(shù)視力表的一部分.圖中左邊一列數(shù)據(jù)為標準對數(shù)記錄法記錄的近似值L：4.0，4.1，4.2…對應右邊一列數(shù)據(jù)為小數(shù)記錄法記錄的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知標準對數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足（K為常數(shù)）.某同學測得視力的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為0.6，則其標準對數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）標準對數(shù)視力表

A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1【變式15-2】（23-24高一上·北京西城·期末）一種細胞的分裂速度（單位：個/秒）與其年齡（單位：歲）的關系可以用下面的分段函數(shù)來表示：其中，而且這種細胞從誕生到死亡，它的分裂速度變化是連續(xù)的．若這種細胞5歲和60歲的分裂速度相等，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【變式15-3】（2023·河南·模擬預測）某中學堅持“五育”并舉，全面推進素質教育.為了更好地增強學生們的身體素質，校長帶領同學們一起做俯臥撐鍛煉.鍛煉是否達到中等強度運動，簡單測量方法為，其中為運動后心率（單位：次/分）與正常時心率的比值，為每個個體的體質健康系數(shù).若介于之間，則達到了中等強度運動；若低于28，則運動不足；若高于34，則運動過量.已知某同學正常時心率為80，體質健康系數(shù)，經(jīng)過俯臥撐后心率（單位：次/分）滿足，為俯臥撐個數(shù).已知俯臥撐每組12個，若該同學要達到中等強度運動，則較合適的俯臥撐組數(shù)為（

）（為自然對數(shù)的底數(shù)，）A．2 B．3 C．4 D．5【變式15-4】（23-24高一上·上?！るA段練習）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)，單位是m/s，其中O表示魚的耗氧量的單位數(shù)．某條魚把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)耗氧量增大為原來的倍．【考點題型十六】模擬函數(shù)等問題【例16】（24-25高一上·廣東清遠·期中）冪函數(shù)的定義域是全體實數(shù).(1)求的解析式；(2)若不等式在區(qū)間0,4上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.【變式16-1】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)且，給出下列結論：①當時，，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方；②，當時，恒有；③，方程，都有解．其中正確結論的序號是．【變式16-2】（20-21高一·全國·單元測試）已知冪函數(shù)，且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)函數(shù)圖象是上升的．（1）求實數(shù)k的值；（2）若存在實數(shù)a，b使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]，求實數(shù)a，b的值．【變式16-3】（24-25高一上·全國·課堂例題）函數(shù)和的圖象如圖所示．設兩函數(shù)的圖象交于點Ax1,y1，B(1)請指出圖中曲線，分別對應的函數(shù)；(2)結合函數(shù)圖象，判斷，，，的大小．【變式16-4】（23-24高一下·湖北·階段練習）學校為了鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分鐘，）的函數(shù)關系式，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天鍛煉時間為0分鐘時，當天得分為0分；（iii）每天鍛煉時間為9分鐘時，當天得分為6分；（iiii）每天得分最多不超過12分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①；②；③.(1)請根據(jù)函數(shù)圖像性質，結合題設條件，從中選擇一個最合適的函數(shù)模型并求出解析式；(2)若學校要求每天的得分不少于9分，求每天至少鍛煉多少分鐘？（參考值：）

專題4.3冪函數(shù)、函數(shù)應用【清單01】冪函數(shù)一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).【清單02】常見的5種冪函數(shù)的圖象1.常見的5種冪函數(shù)的圖象2.常見的5種冪函數(shù)的性質函數(shù)特征性質y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【清單03】三種函數(shù)增長速度的比較(1)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)．一般地，對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有ax＞xn.(2)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)．對于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn.(3)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)．在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們增長的速度不同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn＜ax幾種函數(shù)模型的應用【清單04】函數(shù)的應用1.常見函數(shù)模型：(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)；(2)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)；(4)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)；(5)冪函數(shù)模型：y＝axn＋b(a≠0)；(6)分式函數(shù)模型(7)分段函數(shù)模型2.解題策略與注意點：（1）解答函數(shù)在實際問題中的應用題目，應認真讀題、審題，弄清題意，明確題目中的數(shù)量關系，可充分借助圖象，表格信息確定解析式，同時要特別注意定義域．（2）在構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡捷，做到分段合理，不漏不重．同時求分段函數(shù)的最值時，應在每一段上分別求出各自的最值．然后比較哪一個最大(小)取哪一個．【考點題型一】冪函數(shù)解析式與求值【例1】（24-25高一上·山西陽泉·期中）已知冪函數(shù)fx滿足，求的值（

）A．3 B． C．4 D．【答案】D【知識點】求冪函數(shù)的值、求冪函數(shù)的解析式【分析】設冪函數(shù)的一般式，代入題干即可求解.【詳解】設冪函數(shù)的解析式為，，所以.故選：D【變式1-1】（24-25高一上·廣東·期中）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．16 B． C．64 D．【答案】D【知識點】求冪函數(shù)的值、求冪函數(shù)的解析式【分析】根據(jù)冪函數(shù)圖象所過點的坐標，求出解析式，再求函數(shù)值即可.【詳解】設，則，得，所以.故選：D.【變式1-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知冪函數(shù)的圖象過點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】求冪函數(shù)的解析式【分析】利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】設，由的圖象過點，則，解得，所以，故選：A【變式1-3】（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，若函數(shù)，則（

）A．2024 B．2025 C．4048 D．4049【答案】D【知識點】判斷或證明函數(shù)的對稱性、函數(shù)對稱性的應用、求冪函數(shù)的解析式【分析】根據(jù)已知有，進而可得、，利用對稱性求目標式的值.【詳解】由題可知：，則，所以，且，則.故選：D【變式1-4】（24-25高一上·福建龍巖·期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則.【答案】4【知識點】求冪函數(shù)的值、求冪函數(shù)的解析式【分析】先由冪函數(shù)經(jīng)過點求出即可得函數(shù)解析式，進而即可求函數(shù)值.【詳解】由題可得，所以，所以，所以.故答案為：4.【考點題型二】冪函數(shù)相關定義域問題【例2】（23-24高一上·廣東廣州·期中）冪函數(shù)圖象過點，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求與冪函數(shù)有關的復合函數(shù)定義域、求冪函數(shù)的解析式【分析】設出冪函數(shù)，代入點坐標得到函數(shù)解析式，確定函數(shù)定義域，得到，解得答案.【詳解】設冪函數(shù)為，則，故，，則的定義域為，故滿足，解得.故選：A【變式2-1】（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）下列函數(shù)中，定義域為的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】具體函數(shù)的定義域、求對數(shù)型復合函數(shù)的定義域、求冪函數(shù)的定義域【分析】根據(jù)分母不為0即可判斷A；根據(jù)偶次方根被開方數(shù)大于等于0即可判斷B；根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0即可判斷C；根據(jù)冪函數(shù)定義域即可判斷D.【詳解】對A，其定義域為，故A錯誤；對B，其定義域為，故B錯誤；對C，由題意得，解得，則其定義域為，故C錯誤；對D，顯然其定義域為R，故D正確.故選：D.【變式2-2】（23-24高一上·山西呂梁·階段練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】求冪函數(shù)的解析式、求與冪函數(shù)有關的復合函數(shù)定義域【分析】依據(jù)題意設出解析式，求出解析式后求解具體函數(shù)定義域即可.【詳解】是冪函數(shù)，設，將代入解析式，得，解得，故，則，故，解得故選：B【變式2-3】（21-22高一上·黑龍江綏化·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求與冪函數(shù)有關的復合函數(shù)定義域、具體函數(shù)的定義域【分析】求使函數(shù)有意義的的取值范圍可得答案.【詳解】由已知解得，所以f(x)的定義域為．故選：B．【變式2-4】（24-25高一上·上?！るS堂練習）函數(shù)的定義域為．【答案】【知識點】求與冪函數(shù)有關的復合函數(shù)定義域、具體函數(shù)的定義域【分析】由二次根式有意義的條件列出不等式即可求解.【詳解】要使有意義，則，解得.故答案為：.【考點題型三】冪函數(shù)相關值域問題【例3】（24-25高三上·上?！て谥校﹥绾瘮?shù)中，的取值集合是的子集，當冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合.【答案】【知識點】求冪函數(shù)的值域【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質一一驗證即可.【詳解】當時，，其定義域和值域均為，符合題意，當時，，其定義域為，值域為，不符合題意，當時，，其定義域和值域均為，符合題意，當時，，其定義域和值域均為，符合題意，當時，，其定義域為，值域為，不符合題意，當時，，其定義域和值域均為，符合題意，綜上當冪函數(shù)的值域與定義域相同時，則集合.故答案為：.【變式3-1】（22-23高一上·湖北襄陽·期末）下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】復雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域、求冪函數(shù)的值域、求與冪函數(shù)有關的復合函數(shù)值域、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、冪函數(shù)的性質、以及基本不等式可直接求得選項中各函數(shù)的值域進行判斷即可.【詳解】由已知值域為，故A錯誤；時，等號成立，所以的值域是，B錯誤；因為定義域為，，函數(shù)值域為，故C正確；，，，所以，故D錯誤.故選：C.【變式3-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函數(shù)的表達式為，則函數(shù)的值域為.【答案】【知識點】求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域、求冪函數(shù)的值域、分段函數(shù)的值域或最值【分析】根據(jù)冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)值域.【詳解】當，，此時單調(diào)遞增，則，當，，此時單調(diào)遞增，則，綜上，函數(shù)的值域為.故答案為：.【變式3-3】（20-21高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，其中，則其值域為.【答案】/【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、求與冪函數(shù)有關的復合函數(shù)值域【分析】利用換元法將函數(shù)化為，結合二次函數(shù)的性質即可得出結果.【詳解】設，則.因為，所以.當時，.所以函數(shù)的值域為.故答案為：【變式3-4】（23-24高一下·山東淄博·期中）函數(shù)圖象的對稱中心坐標是；函數(shù)的值域是．【答案】【知識點】判斷或證明函數(shù)的對稱性、函數(shù)圖象的變換、求與冪函數(shù)有關的復合函數(shù)值域【分析】將函數(shù)解析式變形為，結合圖象的平移得到其對稱中心；又，結合不等式的性質求出函數(shù)的值域.【詳解】因為，將奇函數(shù)圖象向左平移個單位，再向上平移個單位得到圖象，所以圖象的對稱中心為；，因為，所以，則，所以.故答案為：；【考點題型四】冪函數(shù)的圖象【例4】（24-25高一上·上海浦東新·期中）圖中、、分別為冪函數(shù)，，在第一象限內(nèi)的圖象，則，，依次可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【知識點】冪函數(shù)圖象的判斷及應用、判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)冪函數(shù)在第一象限中圖象的性質得到，即可得答案.【詳解】由冪函數(shù)在第一象限，在部分圖象由下向上，逐漸增大，且時在第一象限遞增，且遞增速度以為界點，時在第一象限遞減，所以，故A滿足.故選：A【變式4-1】（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一個坐標系中，函數(shù)，，的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】冪函數(shù)圖象的判斷及應用、判斷對數(shù)型函數(shù)的圖象形狀、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀【分析】先根據(jù)的單調(diào)性相反排除AD，然后根據(jù)冪函數(shù)圖象判斷出的范圍，由此可得答案.【詳解】因為在同一坐標系中，所以函數(shù)，的單調(diào)性一定相反，且圖象均不過原點，故排除AD；在BC選項中，過原點的圖象為冪函數(shù)的圖象，且由圖象可知，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故排除B，所以C正確.故選：C.【變式4-2】（24-25高一上·福建三明·期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】函數(shù)圖像的識別、求冪函數(shù)的解析式、冪函數(shù)圖象的判斷及應用【分析】待定系數(shù)法得到，得到答案.【詳解】設，將代入得，解得，故，其定義域為，由冪函數(shù)的常見函數(shù)圖象可知，C正確.故選：C【變式4-3】（24-25高一上·陜西西安·期中）函數(shù)，和的圖象如圖所示，則下列四個說法錯誤的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果時，那么【答案】B【知識點】冪函數(shù)圖象的判斷及應用【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象確定正確答案.【詳解】，和的圖象都過點.的圖象都過點.A選項，如果，根據(jù)圖象可知：，A選項正確.B選項，如果，根據(jù)圖象可知：或，B選項錯誤.C選項，如果，根據(jù)圖象可知：，C選項正確.D選項，如果時，根據(jù)圖象可知：，D選項正確.故選：B【變式4-4】（多選）（24-25高一上·湖南·期中）已知，則函數(shù)的大致圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ABC【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、冪函數(shù)圖象的判斷及應用、判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性逐項判斷即可.【詳解】當時，，在上單調(diào)遞增，且，所以圖象關于原點對稱，故B正確；當時，，在上單調(diào)遞增，且，所以圖象關于軸對稱，故A正確；當時，，在上單調(diào)遞增，故D錯誤；當時，，在上單調(diào)遞增，，且，所以圖象關于原點對稱，與C不符合，當時，，在上單調(diào)遞增，，且，所以圖象關于軸對稱，故C正確.故選：ABC【考點題型五】冪函數(shù)圖象過定點問題【例5】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函數(shù)的圖象恒過定點，若點在一次函數(shù)的圖象上，其中，，則的最小值為.【答案】4【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、冪函數(shù)圖象過定點問題【分析】求出函數(shù)的圖象恒過定點，得到，使用基本不等式求的最小值.【詳解】函數(shù)的圖象恒過定點，所以,因為，所以，當時，的最小值為4.故答案為：4【變式5-1】（24-25高三上·黑龍江伊春·開學考試）已知為冪函數(shù)，為常數(shù)，且，則函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】冪函數(shù)圖象過定點問題【分析】結合冪函數(shù)的性質計算即可得.【詳解】因為冪函數(shù)的圖象過定點，即有，所以，即的圖象經(jīng)過定點.故選：B.【變式5-2】（24-25高一·上?！ふn堂例題）下列冪函數(shù)中，其圖象關于y軸對稱且過點、的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】冪函數(shù)圖象過定點問題、判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性【分析】由各冪函數(shù)的性質判斷各項是否符合要求即可．【詳解】A項，函數(shù)圖象在第一象限，故不關于軸對稱，故不符合；B項，函數(shù)圖象關于原點對稱，且過，符合；C項，指數(shù)小于0，故其圖象不過點，故不符合；D項，函數(shù)圖象關于原點對稱，故不符合；故選：B【變式5-3】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖像過定點（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題、根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義及單調(diào)性得到方程，求出，從而，結合指數(shù)函數(shù)性質得到定點坐標.【詳解】由題意得且，解得，，令得，此時，故的圖像過定點.故選：A【變式5-4】（24-25高一上·上?！て谥校┖瘮?shù)（是有理數(shù)）的圖象過一定點，則的坐標為.【答案】【知識點】冪函數(shù)圖象過定點問題【分析】根據(jù)冪函數(shù)恒過定點求解.【詳解】由冪函數(shù)的性質可知，恒過定點，故答案為：【考點題型六】冪函數(shù)的單調(diào)性【例6】（24-25高一上·山西朔州·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】具體函數(shù)的定義域、判斷與冪函數(shù)相關的復合函數(shù)的單調(diào)性【分析】先求得函數(shù)的定義域，再由復合函數(shù)的單調(diào)性代入計算，即可得到結果.【詳解】由，可得，解得或，即函數(shù)的定義域為.令，則的圖像開口向上，且對稱軸為直線，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又是增函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：B【變式6-1】（24-25高一上·北京·期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,1）上是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性、判斷與冪函數(shù)相關的復合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】運用增函數(shù)定義，結合函數(shù)圖像判斷即可.【詳解】對于A,區(qū)間,，在單調(diào)遞增，A正確；對于B,區(qū)間,，在單調(diào)遞減，B錯誤；對于C,區(qū)間,，在單調(diào)遞減，C錯誤；對于D,區(qū)間,，在單調(diào)遞減，D錯誤.故選：A.【變式6-2】（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性可得出關于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得.故選：B.【變式6-3】（24-25高一上·上?！て谥校┫铝嘘P于冪函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點和；B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限；C．當指數(shù)取1，3，時，冪函數(shù)是其定義域上的嚴格增函數(shù)；D．若冪函數(shù)的圖像過點，則它的圖像也經(jīng)過點.【答案】C【知識點】求冪函數(shù)的解析式、判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用冪函數(shù)的性質判斷每個選項即可.【詳解】當時，冪函數(shù)不過原點，故A錯誤；當時，冪函數(shù)過第三象限，故B錯誤；當，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，當，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，當，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，故C正確；若冪函數(shù)的圖像過點，則，所以冪函數(shù)為，當時，此時，故D錯誤.故選:C【變式6-4】（多選）（24-25高一上·陜西渭南·期中）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．的圖象經(jīng)過點 B．在內(nèi)的值域為C．在定義域上單調(diào)遞減 D．的圖象關于軸對稱【答案】AB【知識點】求冪函數(shù)的解析式、求冪函數(shù)的值域、判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性、判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性【分析】代入已知點坐標求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)冪函數(shù)的性質判斷．【詳解】將點的坐標代入，可得，則，對A，當，，所以的圖象經(jīng)過點，A正確；根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質可知為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，在定義域上不具有單調(diào)性，函數(shù)在內(nèi)的值域為，故CD錯誤，B正確，故選：AB．【考點題型七】根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍【例7】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．(1)求的值；(2)若函數(shù)，且，判斷的單調(diào)性，并證明．【答案】(1)1(2)在區(qū)間單調(diào)遞增，證明見解析【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】（1）由冪函數(shù)定義，求出，由函數(shù)在上單調(diào)遞減驗證即可.（2）由（1）可得，用定義證明即可.【詳解】（1）由題意知，解得：或2，當時，冪函數(shù)，此時冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意；

當時，冪函數(shù)，此時冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；所以的值為1．（2），在區(qū)間單調(diào)遞增．

證明如下：任取，則，

由可得：，，則，即，

故在區(qū)間單調(diào)遞增．【變式7-1】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【知識點】判斷命題的必要不充分條件、根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】求出冪函數(shù)為上減函數(shù)充要條件，再由充分條件，必要條件概念得解.【詳解】由是冪函數(shù)可知，解得或，由冪函數(shù)在上是減函數(shù)可知，所以滿足不等式，不滿足不等式，綜上知，冪函數(shù)在上是減函數(shù)的充要條件為，因為或是的必要不充分條件，所以“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：C【變式7-2】（2020·黑龍江省鐵人中學高二期中（文））已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，若且則的值（）A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．無法判斷【答案】C【解析】函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或.當時，，在上為減函數(shù)，排除；當時，，在上為增函數(shù)，滿足；，函數(shù)為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減.，故，，故.故選：.【變式7-3】（2022·江蘇泰州·高一期末）若冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)________．【答案】2【分析】由題意可得，求出的取值范圍，從而可出整數(shù)的值【詳解】因為冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得，因為，所以，故答案為：2【變式7-4】（24-25高三上·江西·階段練習）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則.【答案】【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】根據(jù)題意可得，解得.故答案為：【考點題型八】冪函數(shù)奇偶性問題【例8】（24-25高一上·浙江·期中）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．或1【答案】C【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、冪函數(shù)的奇偶性的應用【分析】由冪函數(shù)的定義：系數(shù)為1，再結合偶函數(shù)求參數(shù)的值.【詳解】由題意，，即，解得或，當時，是偶函數(shù)，滿足題意，當時，，，沒有奇偶性，不合題意，所以.故選：C.【變式8-1】（24-25高一上·安徽池州·期中）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質，結合奇函數(shù)的定義，可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，是非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；函數(shù)的定義域為R，是奇函數(shù)，故B正確；函數(shù)的定義域為R，而當x=0時，，此時函數(shù)值不為零，故函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯誤；函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.【變式8-2】（24-25高三上·上海·期中）冪函數(shù)在定義域上是非奇非偶函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性【分析】利用給定的冪函數(shù)性質，結合函數(shù)奇偶性定義求出的范圍.【詳解】當時，，則，且，函數(shù)是奇函數(shù)，不符合題意；當且時，關于數(shù)0不對稱，此時冪函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【變式8-3】（24-25高一上·寧夏石嘴山·期中）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則.【答案】1【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及奇偶性求解．【詳解】由題意，解得或，時函數(shù)為，不是偶函數(shù)，舍去，時函數(shù)為，是偶函數(shù)，滿足題意．故答案為：1.【變式8-4】（24-25高一上·貴州·期中）已知冪函數(shù)是上的奇函數(shù)，則實數(shù)的值為.【答案】3【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性【分析】利用冪函數(shù)的定義及奇偶性求出實數(shù)的值.【詳解】由冪函數(shù)，得，解得或，當時，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意；當時，函數(shù)是奇函數(shù)，所以實數(shù)的值為3.故答案為：3【考點題型九】冪函數(shù)單調(diào)性、奇偶性綜合問題【例9】（24-25高一上·福建福州·期中）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在0,+∞上是減函數(shù)，則．【答案】【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、冪函數(shù)的奇偶性的應用、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質求解即可.【詳解】因為冪函數(shù)是偶函數(shù)，所以且為偶數(shù)，所以或，又因為冪函數(shù)在0,+∞上是減函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：.【變式9-1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性、判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性【分析】根據(jù)一般冪函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性判斷各函數(shù)是否滿足題設即可.【詳解】在上遞增，A不符；、為奇函數(shù)，B、C不符；為偶函數(shù)且在上遞減.故選：D【變式9-2】（24-25高一上·重慶·期中）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、冪函數(shù)的奇偶性的應用、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及初等函數(shù)的單調(diào)性對選項逐一判斷即可得出結論.【詳解】對于A，易知函數(shù)的定義域為，不關于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，可得A錯誤；對于B，函數(shù)定義域為，且滿足，為奇函數(shù)；且由冪函數(shù)性質可得在區(qū)間上為增函數(shù)，所以B正確；對于C，函數(shù)的定義域為，且滿足，為奇函數(shù)；再根據(jù)對勾函數(shù)性質可知，其在上單調(diào)遞減，即C錯誤；對于D，函數(shù)定義域為，且滿足，為偶函數(shù)，即D錯誤.故選：B【變式9-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．為增函數(shù) D．為減函數(shù)【答案】D【知識點】求冪函數(shù)的解析式、判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性、判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與求解，從而可得的單調(diào)性，于是可得的單調(diào)性與奇偶性.【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，即，又的圖象經(jīng)過點，所以，解得，所以，則為上的增函數(shù)，則，則函數(shù)的定義域為，所以非奇非偶函數(shù)，且為上的減函數(shù).故選：D.【變式9-4】（多選）（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）關于冪函數(shù)，下列結論正確的是（

）A．的定義域為B．的值域為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的圖象關于點對稱【答案】ACD【知識點】具體函數(shù)的定義域、常見（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的函數(shù)值域、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】選項A和B，根據(jù)函數(shù)表達式，即可判斷出正誤；選項C，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，任取，且，通過化簡變形得f(x1)?f(x2【詳解】對于選項A，因為f(x)=x?3=1x3，所以對于選項B，由f(x)=1x3對于選項C，任取，且，則f(x1)?f(因為，所以，x23?x1所以，即，所以選項C正確，對于選項D，因為定義域關于原點對稱，又f(?x)=1(?x)3故選：ACD.【考點題型十】應用冪函數(shù)性質比較大小【例10】（24-25高一上·河北邢臺·期中）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】比較指數(shù)冪的大小、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，以及冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】因為是減函數(shù)，所以，即．易得，則冪函數(shù)是增函數(shù)，所以，又是減函數(shù)，所以．故．故選：D.【變式10-1】（24-25高一上·福建廈門·期中）設則的大小關系為

（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】比較對數(shù)式的大小、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等知識來確定正確答案.【詳解】，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：D【變式10-2】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知那么a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】比較指數(shù)冪的大小、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【分析】由冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得答案.【詳解】因函數(shù)在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)增.則．所以．故選：B【變式10-3】（24-25高一上·安徽安慶·階段練習）已知，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【分析】由在上單調(diào)遞增可得，由在上單調(diào)遞增可得即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，又因為在上單調(diào)遞增，所以，，所以.故選：A.【變式10-4】（24-25高一上·山東淄博·期中）下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】比較指數(shù)冪的大小、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【分析】根據(jù)題意構造冪函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)，根據(jù)冪指函數(shù)的單調(diào)性即可逐一比較.【詳解】對于A，構造函數(shù)，函數(shù)為增函數(shù)，，所以，A錯誤；對于B，構造函數(shù)，因為，所以函數(shù)在第一象限遞增，因為，所以，B正確；對于C，構造函數(shù)，函數(shù)為增函數(shù)，所以，構造函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)，所以，所以，C錯誤；對于D，構造函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)，所以，構造函數(shù)，函數(shù)為增函數(shù)，所以，所以，D錯誤.故選：B【考點題型十一】應用冪函數(shù)性質解不等式【例11】（24-25高一上·河北唐山·期中）已知冪函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的解析式；(2)若不等式成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】求冪函數(shù)的解析式、由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）由冪函數(shù)的概念及奇函數(shù)即可求解；（2）由函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因為是冪函數(shù)，所以，即，所以，解得或.當時，，此時，所以是奇函數(shù)，則符合題意；當時，，此時，所以是偶函數(shù)，則不符合題意.故.（2）由（1）可知，所以不等式，即不等式，因為為增函數(shù)，所以，即，所以，解得或，即的取值范圍是.【變式11-1】（24-25高一上·山東濟南·期中）已知冪函數(shù)，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念求得，結合冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，因此，所以是定義在上的增函數(shù)，又因為，所以，解得，故選：A.【變式11-2】（24-25高一上·河北邢臺·期中）已知冪函數(shù)經(jīng)過點，則不等式的解集為．【答案】【知識點】求冪函數(shù)的解析式、由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】設，代入求出，再利用其單調(diào)性解出不等式即可.【詳解】設，由，得，則．因為在上單調(diào)遞增，所以由，得，即．故答案為：.【變式11-3】（24-25高一上·上?！て谥校┎坏仁降慕饧癁椋敬鸢浮俊局R點】判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性、由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】由的單調(diào)性得到不等式，求出答案.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，，所以，解得.故答案為：【變式11-4】（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）已知冪函數(shù)的圖象關于軸對稱且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍.【答案】或【知識點】由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】根據(jù)題意，先得到，將所求不等式化為，結合冪函數(shù)的單調(diào)性轉化為自變量的不等式（組），解得即可.【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得.又因為，所以或；因為冪函數(shù)的圖象關于軸對稱，所以為偶數(shù)，故.不等式可化為，因為在，上單調(diào)遞減，所以或或，解得或.故的取值范圍是或.故答案為：或.【考點題型十二】冪函數(shù)圖象和性質的綜合應用【例12】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減.(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)，且，①判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；②求使不等式成立的實數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)1(2)①在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；②12,1【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求出的值再由題設條件取舍；（2）①根據(jù)單調(diào)性相同的兩函數(shù)在公共區(qū)間上具有相同的單調(diào)性性質即得；②利用①的結論求解抽象不等式即得.【詳解】（1）由題意知，解得：或，當時，冪函數(shù)，此時冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意；當時，冪函數(shù)，此時冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；所以實數(shù)的值為1.（2）①，在區(qū)間單調(diào)遞增.證明如下：任取，則，由可得：，，則，即，故在區(qū)間單調(diào)遞增.②由①知，在區(qū)間單調(diào)遞增，又由可得：，解得解得，所以實數(shù)t的取值范圍是12,1.【變式12-1】（多選）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知冪函數(shù)，其中，，則下列說法正確的是（

）A．B．當時，C．當時，的圖象是中心對稱圖形D．恒過定點【答案】ABD【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、冪函數(shù)圖象過定點問題、判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性、判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域性質對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得，故A正確；當時，，根據(jù)冪函數(shù)性質可知，此時在上是增函數(shù)，所以，故B正確；當時，，滿足，此時的定義域為，所以是偶函數(shù)，不是中心對稱圖形，故C錯誤；根據(jù)冪函數(shù)性質可知恒過定點，故D正確．故選：ABD【變式12-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是；最大值是.【答案】0【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求冪函數(shù)的解析式【分析】由題意，設，結合的圖象過點求出，進而可得，再根據(jù)單調(diào)性求解最值.【詳解】設，是常數(shù)，則，解得，則，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值是，最大值是.故答案為：0；.【變式12-3】（22-23高二下·江西·期中）已知函數(shù)，若對任意的有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷與冪函數(shù)相關的復合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】由奇函數(shù)的定義判斷出為奇函數(shù)，結合時單調(diào)遞減得出在上單調(diào)遞減，結合已知求解即可．【詳解】當時，；當時，，；當時，，所以對任意的，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又當時，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以不等式，解得，由已知對任意的有恒成立，所以,即，故答案為：．【變式12-4】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)的圖象過點，冪函數(shù)的圖象過點．(1)求，的表達式；(2)求當為何值時：①；②；③．【答案】(1)；(2)①或；②或；③且【知識點】求冪函數(shù)的解析式、冪函數(shù)圖象的判斷及應用、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【分析】（1）將點的坐標代入函數(shù)解析式，求出參數(shù)即可得解；（2）在同一平面直角坐標系中作出與的圖象，得出交點坐標，結合函數(shù)圖象即可比較大小.【詳解】（1），∵圖象過點，故，解得，∴；，∵圖象過點，∴，解得．∴．（2）在同一平面直角坐標系中作出與的圖象，如圖所示．由圖象可知，、的圖象均過點?1,1和．所以①當或時，；②當或時，；③當且時，．【考點題型十三】函數(shù)增長速度比較【例13】（多選）（23-24高三下·江西鷹潭·階段練習）人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.人口的年平均增長率滿足，其中為經(jīng)過的時間，為時的人口總數(shù)（單位：萬），為經(jīng)過年后的人口總數(shù)（單位：萬）.下表為三市2022年人口總數(shù)及預計年平均增長率情況：2022年人口總數(shù)年平均增長率A市0.02～0.03B市0.04～0.05C市0.03利用上表數(shù)據(jù)，設A、B、C三市在2032年底人口總數(shù)的估計值分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應用（2）、指數(shù)式與對數(shù)式的互化【分析】首先確定與的關系式，寫出，可得C的真假；再對商，的值進行分析，可判斷ABD的真假.【詳解】因為.又，所以.設市的年平均增長率為，；市的年平均增長率為，；市的年平均增長率為，.對A：，因為，所以，故A錯誤；對B：，因為，所以，故B正確；對C：，故C正確；對D：由A知：，故D正確.故選：BCD【變式13-1】（24-25高一上·北京朝陽·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．

C．

D．

【答案】C【知識點】函數(shù)圖像的識別【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，特殊值點以及分子分母的增長速度，結合選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)的解析式，易知該函數(shù)的定義域為，故選項A錯誤；令，得，故選項B錯誤；當時，的增長速度遠大于，所以當時，，故選項D錯誤.故選：C.【變式13-2】（2024高三·全國·專題練習）在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（）x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y＝2x－2 B．y＝（x2－1）C．y＝log2x D．y＝【答案】B【知識點】根據(jù)實際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型【詳解】解析：由題中表可知函數(shù)在（0，＋∞）上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.【變式13-3】（多選）（23-24高一下·全國·課堂例題）已知函數(shù)，則下列關于這三個函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于B．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于C．當時，增長速度一直快于D．當時，增長速度有時快于【答案】BD【知識點】對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖像和性質、冪函數(shù)圖象的判斷及應用、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異、指數(shù)函數(shù)圖像應用【分析】由指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)的圖象特點逐一分析即可．【詳解】對于，從負無窮開始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上，故隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于，A錯誤，BD正確；對于，由于的增長速度是不變的，當x∈0,1時，大于，當x∈1,+∞時，大于，再也追不上，其中增長速度有時快于，C錯誤．故選：BD．【變式13-4】（多選）（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)減小的速度越來越慢B．在指數(shù)函數(shù)中，當x>0時，底數(shù)越大，其增長速度越快C．不存在一個實數(shù)m，使得當時，D．當，時，在區(qū)間內(nèi)，對任意的，總有成立【答案】AB【知識點】指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)增長的特征及數(shù)形結合，對每個選項逐個判斷即可.【詳解】對于A，由對數(shù)函數(shù)的性質知，函數(shù)減小的速度越來越慢，選項A正確；對于B，由指數(shù)函數(shù)的性質知，指數(shù)函數(shù)中，當時，底數(shù)a越大，其增長速度越快；選項B正確；對于C，由指數(shù)函數(shù)的性質知，隨的增大的增長速度是非?？斓?，遠遠超過冪函數(shù)的增長速度，因此一定存在一個實數(shù)m，使得當時，，選項C不正確；對于D，取，由圖知，在區(qū)間內(nèi)，對任意的，不成立，選項D不正確；故選：AB.【考點題型十四】指數(shù)函數(shù)模型的應用【例14】（23-24高一下·安徽蕪湖·階段練習）血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是，當血氧飽和度低于時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時間（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù).已知，給氧1小時后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達到，則至少還需要給氧時間（單位：時）為（

）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．1.5【答案】B【知識點】對數(shù)的運算、指數(shù)函數(shù)模型的應用（2）、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】根據(jù)題意利用指數(shù)模型表達式可求得，代入數(shù)據(jù)計算可得至少還需要給氧時間為0.5小時.【詳解】設使得血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要小時，由題意可得，兩邊同時取自然對數(shù)并整理，得，；則，則給氧時間至少還需要0.5小時.故選：B【變式14-1】（24-25高一上·安徽淮南·期中）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過大約（

）個小時才能駕駛.A． B． C． D．【答案】C【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應用（2）【分析】依題意飲酒后的初始含量為，根據(jù)酒精遞減速度列出不等式計算可得結論.【詳解】根據(jù)題意可知，相當于飲酒后的初始含量為血液中酒精含量達到；依題意可知，小時后血液中酒精含量為，若能正常駕駛需滿足，即，經(jīng)代入選項驗證可得即可滿足條件，即至少經(jīng)過大約5個小時才能駕駛.故選：C【變式14-2】（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）復利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息與本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.按復利計算利息的一種儲蓄，本金為10000元，每期利率為，本利和為（單位：元），存期數(shù)為，則關于的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應用（2）【分析】利用復利計算方式可直接計算得出結果.【詳解】根據(jù)復利計算利息的方式可知存期數(shù)為1時，本利和為，存期數(shù)為2時可得本利和為，所以存期數(shù)為時，本利和為.故選：D【變式14-3】（23-24高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）內(nèi)蒙古某地引進了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物濃度N（單位：mg/L）與時長t（單位：h）的關系為（為最初污染物濃度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%還需要（

）A．3h B．4h C．5h D．6h【答案】B【知識點】指數(shù)冪的運算、指數(shù)函數(shù)模型的應用（2）、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】由已知有，可得，當時，解得，可求還需的時間.【詳解】由題意知，時，，可得．設，則，解得，因此，污染物消除至最初的51.2%還需要4h．故選：B.【變式14-4】（24-25高三上·山東濟南·階段練習）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個隨物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放到的空氣中冷卻，后物體的溫度是，已知，則的值大約為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】C【知識點】對數(shù)的運算性質的應用、對數(shù)函數(shù)模型的應用（2）【分析】根據(jù)題意列出等式，化簡后即可求解.【詳解】由題意知是，，代入公式，可得，則，兩邊同時取對數(shù)得，即，則，故C正確.故選：C.【考點題型十五】對數(shù)型函數(shù)模型的應用【例15】（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習）中國的5G技術領先世界，5G技術中的數(shù)學原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)所傳信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知當x比較大時，，按照香農(nóng)公式，由于技術提升，寬帶W在原來的基礎上增加20%，信噪比從1000提升至8000，則C大約增加了（附：）【答案】【知識點】對數(shù)的運算性質的應用、對數(shù)函數(shù)模型的應用（2）【分析】利用對數(shù)運算性質，由香農(nóng)公式分別計算信噪比為1000和8000時C的比值即可求得結果.【詳解】根據(jù)題意可設技術提升前最大信息傳送速率，信道帶寬，信噪比；提升后分別為，信道帶寬，信噪比；且滿足，；易知，所以；所以可得C大約增加了.故答案為：【變式15-1】（23-24高一上·北京通州·期末）國家標準對數(shù)視力表是由我國第一個眼科光學研究室的創(chuàng)辦者繆天榮發(fā)明設計的，如圖是5米測距下的標準對數(shù)視力表的一部分.圖中左邊一列數(shù)據(jù)為標準對數(shù)記錄法記錄的近似值L：4.0，4.1，4.2…對應右邊一列數(shù)據(jù)為小數(shù)記錄法記錄的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知標準對數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足（K為常數(shù)）.某同學測得視力的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為0.6，則其標準對數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）標準對數(shù)視力表

A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1【答案】A【知識點】對數(shù)的運算、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】利用