秘密★啟用前韶關(guān)市2021屆高三綜合測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、班級(jí)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。3．回答非選擇題時(shí)，必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．1．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一縣象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．命題：是命題：的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件3．中，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且，若，則的值是（）A．1 B． C． D．4．人的心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)值．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓（單位：），為時(shí)間（單位：），則下列說(shuō)法正確的是（）A．收縮壓和舒張壓均高于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值 B．收縮壓和舒張壓均低于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值C．收縮壓高于標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓低于標(biāo)準(zhǔn)值 D．收縮壓低于標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓高于標(biāo)準(zhǔn)值5．假設(shè)某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒(méi)有影響．若在兩次射擊中至多命中一次的概率是，則該射手每次射擊的命中率為（）A． B． C． D．6．已知，則（）A． B．10 C． D．457．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，為底面正方形內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若三角形的面積，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．圓的一部分 B．雙曲線的一部分C．拋物線的一部分 D．橢圓的一部分8．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得2分．請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相對(duì)位置涂黑．9．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，焦距為，若是直角，則（）A．（為原點(diǎn)） B．C．的內(nèi)切圓半徑 D．10．如圖所示，點(diǎn)是函數(shù)（，）圖象的最高點(diǎn)，、是圖象與軸的交點(diǎn)，若，且，則（）A． B． C． D．11．設(shè)，為正數(shù)，若直線被圓截得弦長(zhǎng)為4，則（）A． B． C． D．12．如圖三棱錐，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱錐的外接球，則（）A．球心到平面的距離是 B．球心到平面的距離是C．球的表面積是 D．球的體積是三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知集合，，則________（結(jié)果用區(qū)間或集合表示）．14．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則________，若，則使得不等式成立的最小整數(shù)________．15．現(xiàn)有標(biāo)號(hào)為①，②，③，④，⑤的5件不同新產(chǎn)品，要放到三個(gè)不同的機(jī)構(gòu)進(jìn)行測(cè)試，每件產(chǎn)品只能放到一個(gè)機(jī)構(gòu)里．機(jī)構(gòu)，各負(fù)責(zé)一個(gè)產(chǎn)品，機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)余下的三個(gè)產(chǎn)品，其中產(chǎn)品①不在機(jī)構(gòu)測(cè)試的情況有________種（結(jié)果用具體數(shù)字表示）．16．若曲線：（）與曲線：存在公切線，則的取值范圍為_(kāi)_______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中．問(wèn)題：在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，若，________，求角的值和的最小值（注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答給分）．18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知，．（1）若為中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（），且的最大值為25．（1）求的值及通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．在一次大范圍的隨機(jī)知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查中，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參加問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：得分頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表）．①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的條件下，為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：贈(zèng)送話費(fèi)的金額（單位：元）2050概率現(xiàn)有市民甲參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．21．已知拋物線：的焦點(diǎn)是，若過(guò)焦點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，所得弦長(zhǎng)的最小值為4．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)，是拋物線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．22．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：．

2021屆高三綜合測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．題號(hào)12345678答案DBCCCADB1．D．【解析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．2．B．【解析】，所以，故是的必要不充分條件．3．C．【解析】由可知，，則有，所以，，，．4．C．【解析】由三角函數(shù)知識(shí)，函數(shù)的最大值（即收縮壓）為126，函數(shù)的最小值（即舒張壓）為76，比較得：收縮壓高與標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓低于標(biāo)準(zhǔn)值，故選C．5．C．【解析】設(shè)該射手射擊命中的概率為，兩次射擊命中的次數(shù)為，則．由題可知：，即，解得．6．A．【解析】，．7．D．【解析】設(shè)是三角形邊的高，，所以，即點(diǎn)到直線的距離為定值，所以點(diǎn)在以直線為軸，以為底面半徑的圓柱側(cè)上，直線與平面既不平行也不垂直，所以點(diǎn)的軌跡是平面上的一個(gè)橢圓，其中只有一部分在正方形內(nèi)．8．B．【解析】由題可知：的定義域?yàn)?，且，則為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．又由所以，，故．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題上中的相應(yīng)位置涂黑．題號(hào)9101112答案ABCBCBCDBC9．ABC．【解析】中，為斜邊的中點(diǎn)，所以，故A正確；設(shè)，，則有，，所以，所以，故B正確．，，故C正確；當(dāng)且僅當(dāng)為橢圓右頂點(diǎn)，此時(shí)，，不構(gòu)成三角形，故D錯(cuò)誤．10．BC．【解析】由題知的縱坐標(biāo)為，又，所以，，所以，所以的周期，所以，，故B正確；所以，故C正確；，故A錯(cuò)誤，將代入函數(shù)解析式可得：，（），故D錯(cuò)誤．11．BCD．【解析】圓的半徑是2，所以直線過(guò)圓心，即，故B正確；又，均為正數(shù)，所以由均值不等式，故C正確；又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．12．BC．【解析】三棱錐可置于棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)，正方體的上底面的中點(diǎn)即為此三棱錐的頂點(diǎn)，如下圖的，分別設(shè)，為、外接圓圓心，所以A錯(cuò)；因?yàn)椋瑒t是的中點(diǎn)．在等腰三角形中，，設(shè)其外接圓半徑為（如圖），則，得：，解得，．所以，B對(duì)；設(shè)三棱錐外接球半徑為在中，，，所以，解得．從而．所以C對(duì)；計(jì)算可得D錯(cuò)．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）題號(hào)13141516答案6；131613．．【解析】，所以．14．6；13．【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，所以為遞減數(shù)列，又，，所以．15．16．【解析】（1）若產(chǎn)品1在機(jī)構(gòu)，則情況數(shù)為；（2）若產(chǎn)品1在機(jī)構(gòu)則情況數(shù)為，所以總共16種情況．16．．【解析】由，得，由，得．設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，則切線方程分別為：，：；若兩切線重合，則有，可得：；所以，記，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，所以的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．解：若選擇①：在中，有，則由題可得：又，所以，．又，所以．因?yàn)?，所以，．由余弦定理可得：，又，所以，?dāng)時(shí)，，說(shuō)明：研究時(shí)，若換成，過(guò)程完全相同，請(qǐng)參考上面過(guò)程給分．若選擇②：在中，有，則由題可得：，解得或（舍去），又，所以．（剩下同①）若選擇③：由正弦定理可將已知條件轉(zhuǎn)化為代入上式得又，所以，．又，所以．（剩下同①）18．解：（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）解法一：如圖，過(guò)作，垂足為，連接．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以．因?yàn)?，平面，平面，所以，．因?yàn)椋?，，平面，所以，平面．因?yàn)?，平面，所以平面平面．因?yàn)?，平面平面，，所以，平面．為斜線在平面內(nèi)的射影．所以，為直線與平面所成的角．在中，有，得．因?yàn)椋云矫?，在中，有．所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．（2）解法二：如圖，過(guò)作，垂足為，因?yàn)?，四邊形為正方形，所以．因?yàn)椋矫?，平面，所以，．因?yàn)椋?，，平面，所以，平面．因?yàn)?，平面，所以平面平面．因?yàn)?，平面平面，，所以，平面．過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，因?yàn)椋矫?，所以，．以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．在中，有，易得，則．則有，，所以顯然軸平面，則平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，．則所以直線與平面所成角的正弦值為．說(shuō)明：若其它方法建系的，參照上面過(guò)程給分．19．解：（1）由題可得，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)無(wú)整數(shù)解．綜上可得：，．說(shuō)明：若直接由，得到，扣1分．①時(shí)，．②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立．綜上可得：所以，（）（2）①②兩式相減得：則．則．20．解：（1）由題意得：，，，由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性得，解得．（2）由題意得，獲贈(zèng)話費(fèi)的的所有可能取值為20，40，50，70，100，，，，．的分布列為：20405070100元．所以的數(shù)學(xué)期望為41.25元．21．解：（1）顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)置的方程為，，所以，．所以．，所以當(dāng)時(shí)，最小，所以，故所求拋物線的方程為．說(shuō)明：若直線根據(jù)通徑為最短的焦點(diǎn)弦，得到，扣2分．（2）直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，，．，所以，．．因?yàn)椋?，所以，即解得或．若，則直線過(guò)點(diǎn)，不符合題意．則有，此時(shí)直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)．如圖，又，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以．此時(shí)．22．解：（1）由題知定義域?yàn)?，，由解得，得的增區(qū)間為，由解得，得的減區(qū)間為，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）解法一：當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，，，，由（1）知在上遞增，所以時(shí)，．所以方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，的兩根為，，設(shè)，故時(shí)，，，增區(qū)間為，減區(qū)間為，如圖，當(dāng)方程有兩個(gè)解時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)不妨設(shè)，，，設(shè)，則要證，即證，即證，即證，因?yàn)椋詾樵龊瘮?shù)．所以時(shí)，恒成立，即．所以時(shí)，成立．解法二：當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，，，，由（