第十一章

三角形11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

1.經(jīng)歷畫圖的過程，認識三角形的高、中線與角平分線；2.會畫三角形的高、中線與角平分線；3.了解三角形的三條高所在的直線,三條中線,三條角平分線分別交于一點.學習重點：掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.學習難點：掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.1.畫一畫如圖，P為線段AB右上方一點，過點P作線段AB的垂線.P

●AB2.

如圖，如果點C是線段AB的中點，你能得到什么結(jié)論？ACBAC=BC=AB3.如圖，若OC是∠AOB的平分線，你能得到什么結(jié)論？∠AOC=∠BOCACBO三角形的高的定義A從三角形的一個頂點，BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.012345678910012345012345知識點1三角形高的概念學生活動一

【一起探究】ABCD如右圖，

線段AD是BC邊上的高.012345678910012345012345幾何語言：AD⊥BC于點D，讀作AD垂直BC于點D或∠ADC=∠ADB=90°.你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點，應(yīng)該有三條高.畫一畫(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？O(3)銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點；銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.如圖所示；銳角三角形的三條高直角邊BC邊上的高是

;直角邊AB邊上的高是

;(2)AC邊上的高是

;ABC(1)畫出直角三角形的三條高，ABBC它們有怎樣的位置關(guān)系？D直角三角形的三條高交于直角頂點.BD直角三角形的三條高

(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)

AC邊上的高呢？AB邊上呢？BC邊上呢？BFCEAD鈍角三角形的三條高ABCDF(3)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？(4)它們所在的直線交于一點嗎？OE鈍角三角形的三條高不相交于一點；鈍角三角形的三條高所在的直線交于一點.311相交相交不相交相交相交相交三角形的三條高所在直線交于一點.三條高所在直線的交點的位置三角形的三條高的特性：高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內(nèi)部的數(shù)量鈍角三角形直角三角形銳角三角形三角形內(nèi)部直角頂點三角形外部例1作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)D素養(yǎng)考點1識別三角形的高方法總結(jié)：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過三角形的一個頂點；(2)為頂點到其對邊所在直線的垂線段.在下圖中，正確畫出△ABC中邊BC上高的是(

)

A

B

C

DADCBADCBADCBADCBC例2如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為____．素養(yǎng)考點2利用三角形的高求值解析：當BP⊥AC時，BP的值最小.∵S△ABC=BC·AD，S△ABC=AC·BP，∴BC·AD=AC·BP∴BC·AD=AC·BP∴6×4=5BP，BP=所以BP的最小值為方法總結(jié)：可利用面積相等作橋梁(但不求面積)求三角形的高，此解題方法通常稱為“面積法”．如圖，(1)寫出以AE為高的三角形;(2)當BC=8，AE=3，AB=6時，求AB邊上的高的長度.解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC.(2)設(shè)AB邊上的高為x，∵S△ABC=

BC·AE=AB·x∴BC·AE=AB·x，8×3=6x解得x=4.

我們學習了三角形的高，我們已經(jīng)知道了三角形的面積公式，你能經(jīng)過三角形的一個頂點畫一條線段，將這個三角形分為面積相等的兩個三角形嗎？三角形中線的概念知識點2學生活動二

【一起探究】如圖，點D是BC的中點，則線段AD是△ABC的中線，幾何語言：BD=DC=BC．

在三角形中，連接一個頂點與它對邊的中點的線段叫做三角形的中線．三角形的中線的定義如上頁圖，畫出△ABC的另兩條中線，觀察三條中線，你有什么發(fā)現(xiàn)？畫一個銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，再分別畫出這三個三角形的三條中線.

三角形的三條中線相交于一點，三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．

三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.1.定義：在三角形中，連接一個頂點和所對邊的中點的線段叫做三角形的中線.2.三角形的重心：三角形三條中線的交點.3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形內(nèi)部.4.三角形的任何一條中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.如上圖：AD為中線，則S△ABD=S△ACD.5.三角形任何一邊上的中線把三角形分成的兩個小三角形周長之差等于原三角形長邊與短邊之差.△ABD的周長–△ACD的周長=AB–AC.歸納總結(jié)例

如圖所示，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，則△ACD的周長為(

)A.19cm

B.22cm

C.25cm

D.31cm

利用三角形的中線求線段的值A(chǔ)素養(yǎng)考點3解：∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=CD，

∴△ABD和△ACD周長的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB

–AC.

∵△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，

∴△ACD的周長為25–6=19(cm).

如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線．

(1)AC=

AE，AE=_____；

CD=

；

AF=

AB；

(2)若S△ABC

=12cm2，

則S△ABD=

．2BD6cm2ABCDEFGEC

如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線．(3)若AB=4，AC=3，則△ABD的周長與△ACD的周長之差是______.ABCDEFG1在一張薄紙上任意畫一個三角形，你能設(shè)法畫出它的一個內(nèi)角的平分線嗎?你能通過折紙的方法得到它嗎?知識點3三角形的角平分線學生活動三

【一起探究】BAC用量角器畫最簡便，用圓規(guī)也能.

在一張紙上畫出一個三角形并剪下，將它的一個角對折，使其兩邊重合.折痕AD即為三角形的∠A的平分線.ABCD在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.12ABCD“三角形的角平分線”是一條線段.幾何語言：∠1=∠2=∠BAC三角形的角平分線的定義每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個.

(1)你能分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎?

(2)你能用折紙的辦法得到它們嗎?

(3)在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關(guān)系?做一做三角形共有三條內(nèi)角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點.三角形角平分線的性質(zhì)

例

如圖，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，

AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABDC利用三角形的角平分線求角的度數(shù)素養(yǎng)考點4解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，

∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD＝180°–36°–34°

＝110°.ABDC

如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條角平分線，則：

∠1=

；∠3=

；

∠ACB=2

.ABCDEF12341234∠2∠ABC∠41.（2023?裕華區(qū)校級二模）如圖，用三角板作△ABC的邊AB上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是（）DABCD2.如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點,那么這個三角形是（

）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形B3．下列說法正確的是（）A．三角形三條高都在三角形內(nèi)B．三角形三條中線相交于一點C．三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)，也可能在

三角形外D．三角形的角平分線是射線B4.如圖1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直線AC翻折180°,使點B落在點B′的位置,則線段AC具有性質(zhì)()

A.是邊BB′上的中線

B.是邊BB′上的高

C.是∠BAB′的角平分線

D.以上三種性質(zhì)合一D5.填空：（1）如圖①，AD,BE,CF是△ABC的三條中線，則AB=2＿＿,BD=＿＿，AE=＿＿＿.圖①AFDCAC5.填空：(2)如圖②，AD,BE,CF是△ABC的三條角平分線，則∠1=_______，∠3=________，∠ABC=2______.

圖②∠CAD∠2∠BCF6.如圖，在△ABC中,CD是中線,已知BC-AC=5cm,△DBC的周長為25cm,求△ADC的周長.ADBC解：∵CD是△ABC的中線，

∴BD=AD

.

∵BC-AC=5cm,∴

△DBC與△ADC的周長差是5cm.又∵

△DBC的周長為25cm，∴

△ADC的周長為25-5=20(cm).ADBC7.如圖，在△ABC中，E是BC上的一點，EC＝2BE，點D是AC的中點，設(shè)△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.解：∵點D是AC的中點，∴AD＝

AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝

S△ABC＝

×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝

S△ABC＝

×12＝4.方法總結(jié)：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時，面積的比等于底邊的比；底相等時，面積的比等于高的比．∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.三角形的重要線段概念圖形表示法數(shù)量及交點位置三角形的高線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段∵AD是△ABC的高線.∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.3條高，銳角三角形：形內(nèi)；鈍角三角形：形外；直角三角形：直角頂點三角形的中線三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中的線段3條，交點叫作三角形的重心.形內(nèi)三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段3條，形內(nèi).學前溫故新課早知1.由不在同一條直線上的三條線段

相接所組成的圖形叫做三角形.

2.從一個角的頂點出發(fā),把這個角分成

的兩個角的

,叫做這個角的平分線.

首尾順次

相等

射線

學前溫故新課早知1.(1)如圖①,從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線,垂足為D,所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的

.

(2)如圖②,連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D,所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的

.

高

中線

學前溫故新課早知(3)如圖③,三角形的三條中線相交于一點.三角形三條中線的交點叫做

.

(4)如圖④,畫∠A的平分線AD,交∠A所對的邊BC于點D,所得線段AD叫做△ABC的

.

三角形的重心

角平分線

學前溫故新課早知2.如圖,下列說法正確的是(

).A.如圖①,由AB,BC,DE三條線段組成的圖形是三角形B.如圖②,已知∠BAD=∠CAD,則射線AD是△ABC的角平分線C.如圖③,已知D為邊BC上的中點,則射線AD是△ABC的中線D.如圖④,已知AD⊥BC于點D,則線段AD是△ABC的邊BC上的高D1.認識三角形的三條重要線段【例1】

下列說法中正確的是(

)A.平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線B.三角形的中線是經(jīng)過頂點和對邊中點的直線C.鈍角三角形的三條高都在三角形外D.三角形的三條中線總在三角形內(nèi)解析:選項A,三角形的角平分線是一條線段,故本選項說法錯誤,不符合題意;選項B,三角形的中線是經(jīng)過頂點和對邊中點的線段,故本選項說法錯誤,不符合題意;選項C,鈍角三角形的兩條短邊上的高都在三角形外,最長邊上的高在三角形內(nèi),故本選項說法錯誤,不符合題意;選項D,三角形的三條中線總在三角形內(nèi),本選項說法正確,符合題意.故選D.答案:D2.三角形的三條重要線段的簡單應(yīng)用【例2】

如圖,已知AD,AE分別是△ABC的高和中線,A