11.2.2

三角形的外角

第十一章

三角形11.2與三角形有關(guān)的角

情境引入1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能夠在復(fù)雜圖形中找出外角.2.掌握三角形的外角的性質(zhì)和三角形外角和．3.會(huì)利用三角形的外角性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握三角形的外角的性質(zhì)和三角形外角和．學(xué)習(xí)難點(diǎn)：會(huì)利用三角形的外角性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.

1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,則∠C=

.48°2.如下圖，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,則∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°3.什么是三角形的內(nèi)角？其內(nèi)角和等于多少？三角形相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，它們的和是180°.足球比賽中的數(shù)學(xué)知識(shí)

在綠茵場(chǎng)上，足球員在E處受到阻擋需要傳球，請(qǐng)幫助作出選擇，應(yīng)傳給在B處的球員還是C處的球員，其射門不易射偏？（不考慮其他因素）

在一個(gè)三角形花壇的外圍走一圈，在每一個(gè)拐彎的地方都轉(zhuǎn)了一個(gè)角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原來(lái)位置時(shí)（方向與出發(fā)時(shí)相同），一共轉(zhuǎn)了多少度？想一想知識(shí)點(diǎn)1三角形的外角的概念學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】BDCAO●40°70°？●●●發(fā)現(xiàn)懶羊羊獨(dú)自在O處游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先從A前進(jìn)到C處，然后再折回到B處截住懶羊羊返回羊村的去路，紅太狼則直接在A處攔截懶羊羊，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼從C處要轉(zhuǎn)多少度角才能直達(dá)B處？利用“三角形的內(nèi)角和為180°”來(lái)求∠BCD，你會(huì)嗎？BDCAO●40°70°？●●●由三角形內(nèi)角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.【思考】像∠BCD這樣的角有什么特征嗎？試猜想它的性質(zhì).定義如圖，把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.CBAD如圖，延長(zhǎng)AC到E，∠BCE是不是△ABC的一個(gè)外角？∠DCE是不是△ABC的一個(gè)外角？ECBAD∠BCE是△ABC的一個(gè)外角，∠DCE不是△ABC的一個(gè)外角.問(wèn)題1：E在三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角.∠ACD與∠BCE為對(duì)頂角，∠ACD=∠BCE；CBAD如圖，∠ACD與∠BCE有什么關(guān)系？在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處有多少個(gè)外角？問(wèn)題2：ABC畫出△ABC的所有外角，共有幾個(gè)呢?

每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．

每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè)，且這2個(gè)角為對(duì)頂角.畫一畫三角形的外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長(zhǎng)線.CBADFABCDE如圖，∠BEC是哪個(gè)三角形的外角？∠AEC是哪個(gè)三角形的外角？∠EFD是哪個(gè)三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.ACBD三角形的外角的性質(zhì)如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)2學(xué)生活動(dòng)二

【一起探究】三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∠BCD與∠ACB互補(bǔ).如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？ACBD三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行線的方法證明此結(jié)論嗎？D證明：過(guò)C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠A

，

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.三角形內(nèi)角和定理的推論ABCD(((三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.應(yīng)用格式：∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.∴∠ACD=∠A+∠B.說(shuō)出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=40°，

∠2=140°∠1=18°，

∠2=130°素養(yǎng)考點(diǎn)1利用三角形外角的性質(zhì)求角的度數(shù)例1

如圖，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度數(shù).FADEB∵∠BEC是△AEC的一個(gè)外角，∴

∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一個(gè)外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求出∠3.解：∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°.又∵∠2＝35°，∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.如圖，直線AB，CD被BC

所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，

則∠3＝________度．80例2

如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．

分析：延長(zhǎng)BP交AC于E或連接AP并延長(zhǎng)，構(gòu)造三角形的外角，再利用外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)．E素養(yǎng)考點(diǎn)2借助輔助線求角的度數(shù)解：延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE

＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法點(diǎn)撥：求角的度數(shù)，常連接并延長(zhǎng)或延長(zhǎng)三角形的邊長(zhǎng)，通過(guò)構(gòu)造三角形的外角，利用外角的性質(zhì)解決.如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).ABCD(((51°20°30°思路點(diǎn)撥：添加適當(dāng)?shù)妮o助線將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.變式題ABCD((20°30°解法一：連接AD并延長(zhǎng)于點(diǎn)E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因?yàn)椤螧DC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.E

))12)3)4你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？ABCD(((51°20°30°E

)1解法二：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.解法三:連接延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F（解題過(guò)程同解法二）.)2F

解題的關(guān)鍵是正確地構(gòu)造三角形，利用三角形外角的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來(lái)求解.總結(jié)如圖，求證：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.證明：延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D，因?yàn)槿切蔚囊粋€(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C，所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.D如圖①，試比較∠2、∠1的大??；如圖②，試比較∠3、∠2、∠1的大小.圖圖解：∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.三角形的外角大于與它不相鄰的內(nèi)角.如圖，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是(

)A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1

B如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？三角形的外角和定理知識(shí)點(diǎn)3學(xué)生活動(dòng)三

【一起探究】ABCEFD((((((213解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你還有其他解法嗎？解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°–

180°=360°.ABCEFD((((((213解法三：過(guò)A作AM平行于BC，∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°M∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAM，結(jié)論：三角形的外角和等于360°.【思考】你能總結(jié)出三角形的外角和的數(shù)量關(guān)系嗎？DEF

下列對(duì)三角形的外角和敘述正確的是(

)A．三角形的外角和等于180°B．三角形的外角和就是所有外角的和C．三角形的外角和等于所有外角和的一半D．以上都不對(duì)C1.判斷下列命題的對(duì)錯(cuò).（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的內(nèi)角和的2倍.（）（3）三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和.（）（4）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（）（5）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角.（）（6）三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰的外角.（）2.如圖，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A3.（1）如圖，∠BDC是________的外角,

也是

的外角；

(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,

∠BCE=20°,試求∠AEC的度數(shù).△ADE△ADCABCDE解：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)有∠ADC=∠B+∠BCE,∠AEC=∠ADC+∠BAE,所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE=45°+20°+36°=101°.解：因?yàn)椤螦DC是△ABD的外角，4

.如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn),∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù).∵在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180o-40o-70o=70°.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因?yàn)椤螧=∠BAD，ABCD123BACPNMDEF5.如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.360°三角形的外角定義角一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形另一邊的延長(zhǎng)線性質(zhì)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360°學(xué)前溫故新課早知1.三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于

.

2.在兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中,相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)和為

.

180°

180°

學(xué)前溫故新課早知1.三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角,叫做三角形的

.如圖,

是△ABC的一個(gè)外角.

2.三角形的外角等于

的兩個(gè)內(nèi)角的和.

3.如圖,在△ABC中,∠A=80°,∠B=50°,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上,則∠ACD等于(

).A.100°

B.120°

C.130°

D.150°外角

∠ACD

與它不相鄰

C∠ACD=∠A+∠B=80°+50°=130°.1.利用三角形外角的性質(zhì)求角度【例1】

如圖,在△ABC與△DBE中,AC∥DE,點(diǎn)B,C,E在同一條直線上,AC,BD相交于點(diǎn)F.若∠BDE=85°,∠BAC=55°,∠ABD∶∠DBE=3∶4,求∠DBE的度數(shù).分析首先根據(jù)AC∥DE,∠BDE=85°,應(yīng)用平行線的性質(zhì),求出∠BFC的度數(shù);然后求出∠ABD的度數(shù),最后根據(jù)∠ABD∶∠DBE=3∶4,求出∠DBE的度數(shù)即可.解:∵AC∥DE,∠BDE=85°,∴∠BFC=85°.∵∠ABD+∠BAC=∠BFC,∴∠ABD=85°-55°=30°.∵∠ABD∶∠DBE=3∶4,∴∠DBE=40°.2.三角形內(nèi)角、外角的不等關(guān)系【例2】

如圖,D是△ABC外角∠ACE的平分線與BA的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).求證:∠BAC>∠B.分析∠BAC,∠DCE分別是△ACD,△BCD的一個(gè)外角,根據(jù)三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角進(jìn)行證明.證明∵∠BAC是△ACD的一個(gè)外角,∴∠BAC>∠ACD.∵∠DCE是△BCD的一個(gè)外角,∴∠DCE>∠B.又CD平分∠ACE,∴∠ACD=∠DCE,∴∠BAC>∠ACD=∠DCE>∠B,即∠BAC>∠B.12345671.如果三角形的一個(gè)外角和與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和為180°,那么與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為

(

).A.30° B.60° C.90° D.120°答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉12345672.若三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個(gè)三角形是(

).A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.無(wú)法確定答案答案關(guān)閉C12345673.將一副三角尺按如圖所示的方式擺放,則∠α的大小為(

)A.85° B.75°C.65° D.60°答案答