2025-2026學(xué)年上海市松江區(qū)立達(dá)中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷考試注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準(zhǔn)考證號、姓名等信息．考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．非選擇題答案用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上答題無效．3．作圖可先使用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑．一、填空題1．設(shè)全集，0，1，2，，若集合，2，，則．2．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為．3．扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于．4．某校高三老師的年齡分布莖葉圖，如圖所示，則該校高三老師成員年齡的第75百分位數(shù)是．5．在的展開式中，第2項(xiàng)和第4項(xiàng)的系數(shù)相同，則．6．已知函數(shù)是定義在，上的奇函數(shù)，則．7．（5分）已知是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列．若數(shù)列的前三項(xiàng)和為2，則．8．（5分）已知，則的最小值是．9．（5分）某校高三年級舉行演講比賽，共有5名選手參加．若這5名選手甲、乙、丙、丁、戊通過抽簽來決定上場順序，則甲、乙兩位選手上場順序不相鄰的概率為．10．（5分）在△中，是邊的中點(diǎn)．若，，，則．11．（5分）數(shù)學(xué)的浪漫難以言表，今年是2025年，，，我們將可以表示成某個整數(shù)的平方且可以表示為連續(xù)正整數(shù)的立方和的年份成為“完美平方年”，小張同學(xué)想給下一個完美平方年的人寫一封信，則標(biāo)題可起為年之約．12．（5分）若曲線的右頂點(diǎn)，若對線段上任意一點(diǎn)，端點(diǎn)除外，在上存在關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)、使得三角形為等邊三角形，則正數(shù)的取值范圍是．二、單選題13．已知，則A． B． C． D．14．已知、是兩個隨機(jī)事件，且，則下列選項(xiàng)中一定成立的是A．（A）（B） B．（A）（B） C． D．15．（5分）如圖，已知正方體，點(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，則下列命題中假命題為A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)．使得 C．直線始終與直線異面 D．直線始終與直線異面16．（5分）設(shè)函數(shù)和的定義域均為，對于下列四個命題：①若對任意，都有，則存在且唯一；②若為上單調(diào)函數(shù)，為周期函數(shù)，則在上既是單調(diào)函數(shù)又是周期函數(shù)：③若對任意，都有，則當(dāng)時，必有；④命題：函數(shù)存在，使得，命題在上不是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，命題是命題的充分不必要條件．其中正確的命題為A．①② B．①④ C．①③ D．③④三、解答題17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．18．（16分）某校為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)詩詞的熱情，舉辦了詩詞測試，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生的測試成績，根據(jù)測試成績（所得分?jǐn)?shù)均在，，將所得數(shù)據(jù)按照，，，，，，，，，，，分成6組，得到頻率分布直方圖如圖所示．（1）求的值，并求出測試成績在，內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；（2）試估計本次測試成績的平均分；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（3）從測試成績在，和，內(nèi)的學(xué)生用分層抽樣的方法抽出5人，再從這5人中隨機(jī)抽取兩人分享背誦詩詞的方法．求這兩人中恰好有一人的成績在，內(nèi)的概率．19．（16分）七寶中學(xué)狂歡節(jié)在“星蛇起舞，幻夢游園”主題活動中，計劃將如圖所示的扇形空地分隔成三部分分別作為團(tuán)隊游戲區(qū)、運(yùn)動區(qū)及簽到區(qū)．已知扇形的半徑為60米，，動點(diǎn)在扇形的弧上（不包含端點(diǎn)），點(diǎn)在半徑上，且．（1）當(dāng)米時，求分隔欄的長；（2）綜合考慮到運(yùn)動的安全性等原因，希望運(yùn)動區(qū)的面積盡可能的大，求該區(qū)△的面積的最大值．20．（16分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．（1）若的離心率為，求的值；（2）若，△為等腰三角形，且在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線交橢圓于另一點(diǎn)，若，求的取值范圍．21．（18分）已知函數(shù)，，為自然常數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間，上有最小值，求實(shí)數(shù)的值；（3）在（1）的條件下，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、填空題1．設(shè)全集，0，1，2，，若集合，2，，則，．解：因?yàn)槿?，1，2，，若集合，2，，所以，．故答案為：，．2．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為．解：，復(fù)數(shù)的虛部為．故答案為：．3．扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于3．解：由題意扇形的半徑等于2，面積等于6，設(shè)它的圓心角為，則由，可得，解得．故答案為：3．4．某校高三老師的年齡分布莖葉圖，如圖所示，則該校高三老師成員年齡的第75百分位數(shù)是48.5．解：因?yàn)?，所以該校高三老師年齡的第75百分位數(shù)是．故答案為：48.5．5．在的展開式中，第2項(xiàng)和第4項(xiàng)的系數(shù)相同，則4．解：的展開式的通項(xiàng)公式為，若第2項(xiàng)和第4項(xiàng)的系數(shù)相同，則，則，則．故答案為：4．6．已知函數(shù)是定義在，上的奇函數(shù)，則．解：由函數(shù)是定義在，上的奇函數(shù)，可知，即．又是奇函數(shù)，故，即，對任意都成立，則，．所以．故答案為：．7．（5分）已知是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列．若數(shù)列的前三項(xiàng)和為2，則．解：由題意可得，，，，若數(shù)列的前三項(xiàng)和為2，則，解得或（舍．故答案為：．8．（5分）已知，則的最小值是．解：由題意，，可得，，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值是．故答案為：．9．（5分）某校高三年級舉行演講比賽，共有5名選手參加．若這5名選手甲、乙、丙、丁、戊通過抽簽來決定上場順序，則甲、乙兩位選手上場順序不相鄰的概率為．解：這5名選手上場順序共有種，要使甲、乙兩位選手上場順序不相鄰，則先排丙、丁、戊共有種，再利用插空法排甲乙，共有種排法，則甲、乙兩位選手上場順序不相鄰共有種排法，則甲、乙兩位選手上場順序不相鄰的概率為．故答案為：．10．（5分）在△中，是邊的中點(diǎn)．若，，，則．解：因?yàn)?，，，所以由余弦定理得：，所以，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以．故答案為：．11．（5分）數(shù)學(xué)的浪漫難以言表，今年是2025年，，，我們將可以表示成某個整數(shù)的平方且可以表示為連續(xù)正整數(shù)的立方和的年份成為“完美平方年”，小張同學(xué)想給下一個完美平方年的人寫一封信，則標(biāo)題可起為千或1000年之約．解：由題設(shè)，猜想，顯然時，若時，成立，當(dāng)時，，所以時，也成立，由，故下一個完美平方年為年，所以，故標(biāo)題可為千年之約．故答案為：千或1000．12．（5分）若曲線的右頂點(diǎn)，若對線段上任意一點(diǎn)，端點(diǎn)除外，在上存在關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)、使得三角形為等邊三角形，則正數(shù)的取值范圍是，．解：由任意點(diǎn)在線段上（除端點(diǎn)），在曲線上存在關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，，使得△為等邊三角形，即存在點(diǎn)使得，所以存在點(diǎn)使得，與雙曲線的一條漸近線方程，則漸近線的斜率大于等于，可得，解得．故答案為：，．二、單選題13．已知，則A． B． C． D．解：，則，故正確；，故錯誤；，故錯誤；，故錯誤．故選：．14．已知、是兩個隨機(jī)事件，且，則下列選項(xiàng)中一定成立的是A．（A）（B） B．（A）（B） C． D．解：．，（B），錯誤；．，（A），錯誤；．，，正確；．，（A），錯誤．故選：．15．（5分）如圖，已知正方體，點(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，則下列命題中假命題為A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)．使得 C．直線始終與直線異面 D．直線始終與直線異面解：正方體中，易得平面，點(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)和重合時，平面，，故正確；連接，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，為三角形的中位線，即，故正確；平面，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時，平面，則直線和在同一平面內(nèi)，故錯誤；平面，平面，，故直線始終與直線不相交，且不平行，是異面直線，故正確．故選：．16．（5分）設(shè)函數(shù)和的定義域均為，對于下列四個命題：①若對任意，都有，則存在且唯一；②若為上單調(diào)函數(shù)，為周期函數(shù)，則在上既是單調(diào)函數(shù)又是周期函數(shù)：③若對任意，都有，則當(dāng)時，必有；④命題：函數(shù)存在，使得，命題在上不是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，命題是命題的充分不必要條件．其中正確的命題為A．①② B．①④ C．①③ D．③④解：對于①：令，對任意，那么都有，，因此都有；令，對任意，那么都有，，因此都有，因此①錯誤．對于②：設(shè)的最小正周期為，那么．因此當(dāng)時，．因此函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，②錯誤．對于③：如果對任意，那么都有，那么，．因此當(dāng)時，那么必有，③正確．對于④：對于，設(shè)，若在上是單調(diào)函數(shù)，那么可得或．因此不存在，使得．若存在，使得，若函數(shù)在上不是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，即．因此命題是命題的充分條件．若命題為真，即函數(shù)在上不是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時，如函數(shù)，函數(shù)不存在，使得，因此，所以命題不是命題的必要條件．綜上所述，命題是命題的充分不必要條件，④正確．故選：．三、解答題17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又因?yàn)椋云矫妫?）解：因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，由（Ⅰ）知平面，所以、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，2，，，1，，，2，，，1，，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，令，則，，所以平面的一個法向量，，，，0，是平面的法向量，所以二面角的余弦值為．18．（16分）某校為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)詩詞的熱情，舉辦了詩詞測試，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生的測試成績，根據(jù)測試成績（所得分?jǐn)?shù)均在，，將所得數(shù)據(jù)按照，，，，，，，，，，，分成6組，得到頻率分布直方圖如圖所示．（1）求的值，并求出測試成績在，內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；（2）試估計本次測試成績的平均分；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（3）從測試成績在，和，內(nèi)的學(xué)生用分層抽樣的方法抽出5人，再從這5人中隨機(jī)抽取兩人分享背誦詩詞的方法．求這兩人中恰好有一人的成績在，內(nèi)的概率．解：（1）由題意得，解得，所以測試成績在，內(nèi)學(xué)生的人數(shù)為；（2）由頻率分布直方圖可知，本次測試成績的平均分為；（3）抽取的成績在，內(nèi)的人數(shù)為，記為，，，抽取的成績在，內(nèi)的人數(shù)為，記為，，則從5人中隨機(jī)抽取2人的情況有：，，，，，，，，，，共10種，其中恰有一人的成績在，內(nèi)的有，，，，，，共6種，所以這兩人中恰好有一人的成績在，內(nèi)的概率為．19．（16分）七寶中學(xué)狂歡節(jié)在“星蛇起舞，幻夢游園”主題活動中，計劃將如圖所示的扇形空地分隔成三部分分別作為團(tuán)隊游戲區(qū)、運(yùn)動區(qū)及簽到區(qū)．已知扇形的半徑為60米，，動點(diǎn)在扇形的弧上（不包含端點(diǎn)），點(diǎn)在半徑上，且．（1）當(dāng)米時，求分隔欄的長；（2）綜合考慮到運(yùn)動的安全性等原因，希望運(yùn)動區(qū)的面積盡可能的大，求該區(qū)△的面積的最大值．解：（1）因?yàn)?，，所以，在△中，，，由余弦定理得，即，解得，所以的長為米；（2）因?yàn)?，，設(shè)，，則，在△中，由正弦定理得，即，解得，則，當(dāng)，即時，△面積取得最大值，最大值為平方米．20．（16分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．（1）若的離心率為，求的值；（2）若，△為等腰三角形，且在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線交橢圓于另一點(diǎn)，若，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，則；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，綜上，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時，；橢圓焦點(diǎn)在軸上時，；（2）當(dāng)時，橢圓，其中，，，設(shè)，，，，因?yàn)椤鳛榈妊切?，且在第一象限，由橢圓對稱性和點(diǎn)位置可知，，若，此時，所以，即，因?yàn)?，在橢圓上，所以，即，因?yàn)椋?，整理得，此時△，所以該方程無實(shí)數(shù)解，則；若，，此時，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），將代入橢圓方程可得，則；（3）設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時△，解得，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榕c關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，，又，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，整理得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，又，所以．則的取值范圍為，．21．（18分）已知函數(shù)，，為自然常數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間，上有最小值，求實(shí)數(shù)的值；（3）在（1）的條件下，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題設(shè)，，則，故（e），（e），所以函數(shù)在處的切線方程為，整理得；（2）由題設(shè)且，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，此時，在區(qū)間，上有