第6章樣本及抽樣分布

習(xí)題6

1.下面各量中哪些是隨機(jī)變量？

（1）總體均值

（2）總體容量

（3）樣本容量

（4）樣木均值

（5）樣本方差

（6）樣本中的最大樣本值

（7）總體方差

答：樣本均值、樣本方差和樣本中的最大樣本值是隨機(jī)變量。

2.分別用契比雪夫不等式和中心極限定理計(jì)算需拋擲一枚均勻硬幣多少次才能使樣本均

值落在0.4到0.6之間的概率至少為0.9?

解：設(shè)鱉呼?i=…"則XW，…,X”獨(dú)立同分布，樣本均

0,拋擲出反面。

值和樣本方差分別為

_/1n1￡」(X,)二1

E(X)=E=E(X,)=0.5,D(X)=D一力

日n4〃

由切比雪夫不等式知

P1|X-O.5|<O.1}>11

4?x0.12

依題意‘令、而GF=0.9,可解出至少需要拋擲n=250次。

nX一0.5〃

由獨(dú)立同分布中心極限定理知近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，固有

Jo.5x(l-05)〃

P||X-0.5|<0.11=/二/卜2①(0.2向-1

,0.25〃

依題意，令2①（0.2〃）-1=0.9,解得0.26^1.645,/公67.6。取整，〃=68。

3.從正態(tài)總體N（12,4）中隨機(jī)抽取一容量為5的樣本，試求：

（1）樣本均值與總體均值之差的絕對值小于1的概率，

（2）樣本的極小值小于10的概率，

（3）樣本的極大值大于15的概率，

（4）若要求樣本均值與總體均值之差的絕對值小于1的概率提高至0.9,樣本容量應(yīng)為

多少？

解；設(shè)樣本為（X1,X2，X3，X4，Xs）,則N（12,4）,i=l,2,…,5,反~"（12,0.8）。

X-12

(1)P{|X-12|<1|=P

^F<7(X8]

=20(1.118)-1?0.74.

(2)令7=皿11{%,乂2.…,Xs},則Ev(z)=l—[1—G(z)『，X?N(12,4)。

-5

故P[N<10}=F(10)=1-[1-F(1())]5=1-[…(10^2

vY)=1-[^(D]S

LV4

=1-0.8413、b0.58。

<3)M=max{X，X2.…,X$},則>⑶=因⑵7,X?N(12,4)。

故P{M>15}=1-%(15)=1-氏(15)]5=1-6("渣)=1-[①(L5)]S

=1一0.9332、0.29。

(4)樣本容量n應(yīng)滿足2①-1=0.9,中=0.95

〃起10.8,取整數(shù)，n=llo

[io

4.設(shè)X1,X2,…，X1°為N(0,0.09)的一個(gè)樣本，求概率P|ZX；>1.44｝的值。

I/=1

XX2

解.：依題意，」~N(0,l),一」~力2(1),X1,X2，,??，X1°相互獨(dú)立，由卡方分布的可

0.30.09

110

加性可知——yx,2-z2(io),因此

0.09T

1°f110

〃ZX；>L44=〃痂1>；>16=〃{/(1。)>16"1。

」=i[u.uy,=]

5.設(shè)總體X?僅1,〃)，X'X2,…,X”是來自X的樣本，求

(1)(X1,X2,…,X〃)的分布律，

(2)fXj的分布律，

/=|

(3)E(X)>。(9)和E(S?)之值。

解：XI,X2,…,X〃相互獨(dú)立，P{X產(chǎn)匕}=〃“1一〃產(chǎn)，《=0,1,i=l,2,.

⑴P{XX〃=(}=P{X=4}P{X2=&}…P{X〃=Z〃}

=pX：/(i—p)"￡*.

⑵尤Xj?帥,p),即P{fXj=k}=C3(1一〃尸，攵二0,1,2,…，幾

⑶￡(%)=七(一ZX)=一工七(％)=一〃〃=P，

n?n?n

D(又”D(眩X)==之D(XJ=之"p)二四二2

nin?nn

n

2i〃2i22

￡(S)=E{-^J(X/-X))=-^2；E(X/)--E(X)

二白七⑻)-小^(產(chǎn)戶白/廣白[七*〃2]

n-\〃一1n-\n-\n

=p(l-〃)。

6.設(shè)總體X~N(〃Q2),XjX2,…,X10是來自X的樣本。

(1)寫出樣本的分布密度函數(shù)，

(2)寫出樣本均值的概率密度。

解：X-X2,…，XIo相互獨(dú)立，且均服從N(〃,/),即

1r(七一〃)

fxi(%)=r—exp{----^―-00<Xi<+CO,i=l,2,…』0.

42no2。

(1)(X-X],…，X10)是1()維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為

/(內(nèi)，電，…,Z)=7%(%)6(%)…/x.(G

忌Fxp{式學(xué)

A。

(2)也即

f式x)=]-----exp{-5-----；—},-co<x<+coo

j0.2乃b(y~

7.試證明：

(1)若T~f⑺,則廣~尸(1,〃)，

證明：

VV2

(1)令7=r=,x?N(O,I),r~z2(/?),才與「相互獨(dú)立。則〃=一，且

jY]nY/n

X2-Z2(l)o由F分布的定義，

(2)若F?F(n,ni),則/?F(m,n)<,

依據(jù)上分位點(diǎn)的定義有P{尸(樞〃)>心(〃?,〃)}=々，

即P{—!-<—!—}=a,P{b(〃,m)>—!—)=\-a,

F，m,n)行(團(tuán),〃)

故片_"(〃，〃2)=一一-o

Fuitn,n)

8.設(shè)(X-X?)是正態(tài)總體NO/。？)的一個(gè)樣本，試證：*1+*2與K一乂2是相互獨(dú)立

的。

證明：依題意K+x?與％—X2均服從正態(tài)分布，而

Cov(X1+X2,X,-X2)=Cov(X,,X,)-Cov(X},X2)+Cov(X2,X,)-Cov(X2,X2)

=<j2-O+O-o-2=0.

所以七+九與七-/相互獨(dú)旌

9.設(shè)總體X~N(0,l),乂”乂2「?,乂6是它的樣本。

(1)設(shè)y=(X1+X2+X3)2+(X4+Xs+X6)2,試確定常數(shù)。使6y服從％2分布。

(2)設(shè)丫=。&+乂2+乂3),試確定常數(shù)。使y服從，分布。

(X：+X；+X；)%

解：

(1)(X1+X2+X3)?N(0,3),(X4+Xs+X6)~N(0,3),且兩者相互獨(dú)立，故

山里產(chǎn)y+(區(qū)手％?/⑵,

也即當(dāng)。=1/9時(shí)，d服從彳2分布。

(2)(X1+X2+XJ)~N(0,3),X：+X；+X；~/2(3),且(X1+Xz+XJ與

X：+X；+X；相互獨(dú)立，故有

(x、+x/X3)e=X+X2+X3一⑶。