江蘇省啟東市建新中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某學(xué)生2021年共參加10次數(shù)學(xué)競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數(shù)字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差；C.，，，…，的中位數(shù)； D.，，，…，的眾數(shù)；2．已知函數(shù)在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.4．已知直線，，若，則實數(shù)的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-35．繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體可能是（）A.圓臺 B.圓臺或兩個圓錐的組合體C.圓錐或兩個圓錐的組合體 D.圓柱6．斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A. B.C. D.7．設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.328．“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．在平行六面體中，，，，則（）A. B.5C. D.310．雙曲線的左頂點為，右焦點，若直線與該雙曲線交于、兩點，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.11．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線上的點到的距離為15，則點到點的距離為（）A.7 B.23C.5或25 D.7或23二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_________.14．一條光線經(jīng)過點射到直線上，被反射后經(jīng)過點，則入射光線所在直線的方程為___________.15．已知橢圓的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，左、右焦點分別是，，且的面積為，點為橢圓上的任意一點，則的取值范圍是______.16．已知過點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB經(jīng)過拋物線C的焦點F，則___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，、分別為橢圓的左、右焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到、兩點的距離之和為4.（1）求a的值和橢圓C的方程；（2）過橢圓C的焦點作AB的平行線交橢圓于P，Q，求的面積18．（12分）已知拋物線C的對稱軸是y軸，點在曲線C上.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過拋物線焦點的傾斜角為直線l與拋物線交于A、B兩點，求線段AB的長度.19．（12分）已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項和為21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的最大值.22．（10分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，O為原點，已知點，，，設(shè)向量，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實數(shù)k的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動大小估計數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選：B.2、B【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的極大值；【詳解】解：因為，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域為，且，令，解得或，令解得，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B3、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.4、C【解析】由，結(jié)合兩直線一般式有列方程求解即可.【詳解】由知：,解得：或故選：C.5、C【解析】討論是按直角邊旋轉(zhuǎn)還是按斜邊旋轉(zhuǎn)【詳解】按直角邊選擇可得下圖圓錐：如果按直角邊旋轉(zhuǎn)可得下圖的兩個圓錐的組合體：故選：C6、A【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側(cè)面積與圓環(huán)的面積之和【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A7、B【解析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.8、C【解析】根據(jù)兩直線平行求得的值，由此確定充分、必要條件.【詳解】由于，所以，當(dāng)時，兩直線重合，不符合題意，所以.所以“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.故選：C9、B【解析】由，則結(jié)合已知條件及模長公式即可求解.【詳解】解：，所以，所以，故選：B.10、A【解析】求出，分析可得，可得出關(guān)于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯(lián)立，可得，則，易知點、關(guān)于軸對稱，且為線段的中點，則，又因為為等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.11、C【解析】由，得到，根據(jù)正弦、余弦定理定理化簡得到，化簡得到，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因為，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因為，所以，由，所以，因為是銳角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.故選：C12、D【解析】根據(jù)雙曲線的定義知，，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得焦點坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的定義知，，而，所以或故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義及其應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的定義，列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法進行求解即可.【詳解】，因為在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即，當(dāng)時，的最小值為，所以，故答案為：14、【解析】先求點關(guān)于直線的對稱點，連接,則直線即為所求.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，又點，所以，直線的方程為：，由圖可知，直線即為入射光線，所以化簡得入射光線所在直線的方程:.故答案為：.15、【解析】根據(jù)的面積和短軸長得出a，b，c的值，從而得出的范圍，得到關(guān)于的函數(shù)，從而求出答案【詳解】由已知得，故，∵的面積為，∴，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴.即的取值范圍為.故答案為點睛】本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，函數(shù)最值的計算，熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題16、【解析】設(shè)出點的坐標(biāo)，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合題意和韋達定理，求得拋物線的方程為，直線AB的方程為，進而求得的值.【詳解】設(shè)，在拋物線，過切點A與拋物線相切的直線的斜率為，則以為切點的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，整理得，所以，解得，所以以為切點的切線方程為，即，同理，設(shè)，在拋物線，過切點B與拋物線相切的直線，又因為在切線和，所以，所以直線AB的方程為，又直線AB過拋物線的焦點，所以令，可得，即，所以拋物線的方程為，直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，整理得或，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a＝2，（2）【解析】（1）由題意可得a＝2，，求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意可求出的坐標(biāo)，則可求出直線PQ的方程，然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出的值，從而可求出的值【小問1詳解】由橢圓定義可得2a＝4，所以a＝2，又因點在橢圓C上，所以，解得：，所以a的值為2，橢圓C的方程為【小問2詳解】由橢圓的方程可得，，，所以，所以直線PQ的方程為，設(shè)，，由可得，所以，，所以，所以18、（1）（2）16【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，再代入求解即可.（2）根據(jù)焦點弦公式求解即可.【小問1詳解】由題意知拋物線C的對稱軸是y軸，點在曲線C上，所以拋物線開口向上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，代入點的坐標(biāo)得：，解得則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】焦點，則直線的方程是，設(shè)，，由得，，所以，則，故.19、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）由，取倒數(shù)得到，再利用等差數(shù)列的定義求解；（2）由（1）得到，利用錯位相減法求解.【小問1詳解】證明：由，以及，顯然，所以，即，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】由（1）可得，，所以數(shù)列的前項和①所以②則由②-①可得：，所以數(shù)列的前項和.20、（1）證明見解析;（2）.【解析】（1）由已知得，當(dāng)時，兩式作差整理得，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得證；（2）由（1）求得，，再運用錯位相減法可求得答案.【小問1詳解】證明：因為，……①，所以當(dāng)時，，當(dāng)時……②，則①-②可得，所以，因為，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】解：由（1）知，即，因為所以，則……①，①得……②，①-②得，所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)在處的切線斜率可得到參數(shù)的值，然后代入，求出的值，則即可得出；（2）根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，可得，即恒成立，再進行參變分離，構(gòu)造函數(shù)，對進行求導(dǎo)分析，找出最小值，即實數(shù)的最大值【詳解】解：（1）由題意，函數(shù).故，則，由題意，知，即.又，則