/第二十八章銳角三角函數(shù)小結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)系核心要點(diǎn)回顧核心要點(diǎn)一銳角三角函數(shù)的定義1.如圖28-X-1,在△ABC中，∠B=9A.52 B.122.如圖28-X-2所示,在Rt△ABC中，∠C=90°,A.2 BC.3 3.如圖28-X-3，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正弦值是核心要點(diǎn)二特殊角的三角函數(shù)值4.計(jì)算:cos5.在△ABC中,∠C=906.如圖28-X-4,A,B,C是⊙O上的三點(diǎn),若△OBC是等邊三角形,則cosA=.核心要點(diǎn)三解直角三角形7.如圖28-X-5,在△ABC中,AB=33,∠C=A.2 B.4 C.23 D8.如圖28-X-6,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tanA=43核心要點(diǎn)四解直角三角形的應(yīng)用9.(2025天津)綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津站附近世紀(jì)鐘建筑AB的高度(如圖28-X-7①).某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖②所示，點(diǎn)A，E，C依次在同一條水平直線上,CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF=1.7m.在D處測(cè)得世紀(jì)鐘建筑頂部B的仰角為22°，在F處測(cè)得世紀(jì)鐘建筑頂部B的仰角為31°，CE=32m.根據(jù)該學(xué)習(xí)小組測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算世紀(jì)鐘建筑AB的高度(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1tan10.(2024青海)如圖28-X-8,某種攝像頭識(shí)別到最遠(yuǎn)點(diǎn)A的俯角α是17°，識(shí)別到最近點(diǎn)B的俯角β是45°，該攝像頭安裝在距地面5m的點(diǎn)C處，求最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)之間的距離AB(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin1711.(2024海南)木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標(biāo).某天，一艘漁船自西向東(沿AC方向)以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖28-X-9所示.航行記錄記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西60°方向上的A處.記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西45°方向上的B處.記錄三：根據(jù)氣象觀測(cè)，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東15°方向.請(qǐng)你根據(jù)以上信息解決下列問題：(1)填空:∠PAB=°,∠APC=°,AB=海里;(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異常”區(qū)?請(qǐng)計(jì)算說明.(參考數(shù)據(jù)：2綜合素養(yǎng)提升12.(2025威海)問題提出已知∠α，∠β都是銳角，tanα問題解決(1)如圖28-X-10，小亮同學(xué)在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中畫出∠BAD和∠CAD，請(qǐng)你按照這個(gè)思路求∠α+∠β的度數(shù);(點(diǎn)A,B,C,D都在格點(diǎn)上)策略遷移(2)已知∠α,∠β都是銳角,tanα=23,(3)已知∠α,∠β,∠θ都是銳角,tanα=1(提示：在正方形網(wǎng)格中畫出求解過程的圖形，并直接寫出答案)綜合與實(shí)踐1.(2024湖北)某數(shù)學(xué)興趣小組在校園內(nèi)開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，記錄如下：活動(dòng)項(xiàng)目測(cè)量校園中樹AB的高度活動(dòng)方案“測(cè)角儀”方案“平面鏡”方案方案示意圖實(shí)施過程1.選取與樹底B位于同一水平地面的D處；2.測(cè)量D，B兩點(diǎn)間的距離；3.站在D處，用測(cè)角儀測(cè)量從眼睛C處看樹頂A的仰角∠ACF;4.測(cè)量C到地面的高度CD.1.選取與樹底B位于同一水平地面的E處；2.測(cè)量E，B兩點(diǎn)間的距離；3.在E處水平放置一個(gè)平面鏡，沿射線BE方向后退至D處，眼睛C剛好從鏡中看到樹頂A；4.測(cè)量E，D兩點(diǎn)間的距離；5.測(cè)量C到地面的高度CD.測(cè)量數(shù)據(jù)1.DB=10m;2.∠ACF=32.5°;3.CD=1.6m.1.EB=10m;2.ED=2m;3.CD=1.6m.備注1.圖28-ZH-1上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)；2.AB,CD均與地面垂直;3.參考數(shù)據(jù):tan32.5°≈0.64.1.圖28-ZH-2上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)；2.AB,CD均與地面垂直;3.把平面鏡看作一個(gè)點(diǎn)，并由物理學(xué)知識(shí)可得∠CED=∠AEB.請(qǐng)你從以上兩種方案中任選一種，計(jì)算樹AB的高度.2.(2025山西)項(xiàng)目學(xué)習(xí)項(xiàng)目背景：“源池泉涌”為我省某景區(qū)的一個(gè)景點(diǎn)，主體設(shè)計(jì)包括外欄墻與內(nèi)欄墻，外欄墻高于內(nèi)欄墻，兩欄中間為步道，內(nèi)欄墻內(nèi)為泉池，池內(nèi)泉水清澈見底.從正上方看，外欄墻呈正八邊形，內(nèi)欄墻呈圓形.綜合實(shí)踐小組的同學(xué)圍繞“景物的測(cè)量與計(jì)算”開展項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)，形成了如下活動(dòng)報(bào)告.項(xiàng)目主題景物的測(cè)量與計(jì)算驅(qū)動(dòng)問題———————— ————如何測(cè)量?jī)?nèi)欄墻圍成泉池的直徑.活動(dòng)內(nèi)容利用視圖、三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)進(jìn)行測(cè)量與計(jì)算.活動(dòng)過程方案說明圖28-ZH-3①為該景點(diǎn)俯視圖的示意圖，A，D是正八邊形中一組平行邊的中點(diǎn)，BC為圓的直徑，圖中點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上.圖②為測(cè)量方案示意圖，直徑BC所在水平直線與外欄墻分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，外欄墻AE與DF均與水平地面垂直,且AE=DF.BE,CF均表示步道的寬,BE=數(shù)據(jù)測(cè)量在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)B和點(diǎn)C的俯角分別為.∠DAB計(jì)算…交流展示…請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長(zhǎng)(結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù)：：sin8.5°≈知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)系③12④52⑤3⑥2⑦⑧1⑨52⑩12?3?∠A+∠B=90°∠A?已知兩直角邊?已知斜邊和一銳角?已知一直角邊和一銳角1.D2.A3.5.12 6.7.B8.69.解:如圖,延長(zhǎng)DF與AB相交于點(diǎn)G.由題意，得四邊形GAEF和四邊形FECD都是矩形,∠GDB=22°,∠GFB=31°,∠DGB=90°,∴AG=EF=CD=1.7m,DF=CE=32m.在Rt△FGB中,tan∠在Rt△DGB中tan∠GDB∵GF+DF=GD,∴∴GB=∴AB=AG+GB=1.7+38.4≈40(m).答：世紀(jì)鐘建筑AB的高度約為40m.10.解:如圖,根據(jù)題意,得CE∥AD,∴∠A=a=17°,∠CBD=β=45°.在Rt△ACD中,∵∴在Rt△BCD中,∵∴∴AB=AD-BD=16.1-5=11.1≈11(m).答：最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)之間的距離AB約是11m.11.解:(1)如圖,過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D,則△APD,△BPD,△CPD都是直角三角形.由題意可知:∠APD=60°,∠BPD=45°,∠CPD=15°,∴∠PAB=30°,∠APC=∠APD+∠CPD=60°+15°=75°.由題意可知漁船每小時(shí)航行10海里，漁船從A處航行至B處所用時(shí)間為30分鐘,∴AB故答案為30,75,5.(2)在Rt△BPD中,∵∠BPD=45°,∴∠PBD=45°=∠BPD,∴BD=PD.在Rt△APD中,∵∠APD=60°,∴tan∠∴AD=3PD,AP=2PD.∵AB=AD-BD,∴5=3PD-PD,∴PD∴AP=2PD=5(3+1)≈13.65(海里).在△APC中,∵∠A=30°,∠APC=75°,∴∠C=180°-∠A-∠APC=75°,∴∠C=∠APC,∴AC=AP=13.65海里.如圖，設(shè)上午9時(shí)漁船航行至E處，則AE=10海里,∴CE=AC-AE=3.65海里<5海里，∴該漁船會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū).12.解:(1)如圖①,連接BC.由勾股定理，得AB=BC=5,AC=10∴∴∠ABC=90°,∴∠BAC=45°,∴∠a+∠β=45°.(2)90(3)如圖②,∠a=∠EDH,∠β=∠HDF,在Rt△DGF中,tanθ=tan∠GDF=FG1.解：“測(cè)角儀”方案：由題意,得CD⊥BD,AB⊥BD,∠CFB=90°,∴∠CDB=∠ABD=∠CFB=90°,∴四邊形BDCF為矩形,∴BF=CD=1.6m,CF=DB=10m.在Rt△ACF中.∵∴AF=CF·tan∠ACF≈10×0.64=6.4(m),∴AB=AF+BF=6.4+1.6=8(m).答：樹AB的高度約為8m.“平面鏡”方案：由題意,得ED=2m,EB=10m,CD=1.6m,∠CDE=∠ABE=90°,∠CED=∠AEB,∴△CDE∽△ABE,∴CDAB=2.解:由題意,得EF=AD=26米,AD∥EF,∴∠ABE